Resolución de sistemas de ecuaciones lineales, SEL, IUA, Matemática 1.

1. Modelizaciones matemáticas
SEL
2014
Alumnos:
Villagra, Gabriela
Ceballos, Maximiliano
Curso: Z 41 COR
Material complementario.
104_mate1_TRP_uni1.pdf
Apartado 7. Unidad 1. Guía de Matemática I. Adriana Olmos.
Autoevaluación. Unidad 1. Guía de Matemática I. Adriana Olmos.
Enunciado 2
La figura muestra una malla de tuberías de un sentido con vehículos que entran y salen
de las intersecciones. Las intersecciones o esquinas se denotan con letras mayúsculas
como A, B, … La flecha a lo largo de las calle indica la dirección del flujo del tráfico.
Sea ix el número de vehículos por hora que circulan por el tramo i de la calle (con i=1,
2, …); cada tramo va de
intersección a intersección. Como
no se produce estancamiento el
tráfico que entra a una
intersección también sale; el flujo
es continuo.
Además se conocen algunos
valores específicos de flujo:
 A la intersección A entran
desde la izquierda 200
vehículos.
 De la intersección A salen
por arriba 100 vehículos.
 A la intersección B entran desde arriba 150.
 De la intersección C salen por derecha 100 vehículos.
 De la intersección C salen por arriba 200 vehículos.
 De la intersección D salen por izquierda 200 vehículos.
 A la intersección D entran desde abajo 100 vehículos.
 De la intersección E salen por abajo 100 vehículos.
 A la intersección F entran desde la derecha 150 vehículos.
 A la intersección F entran desde abajo 100 vehículos.
En el día de hoy las calles horizontales cambiaron el sentido de recorrido, los valores
fijos entrantes o salientes siguen el sentido de la flecha. Aconsejamos volcar esta
información en la malla para contar con una imagen visual más clara y completa.
Se necesita conocer la cantidad de flujo que circula en cada tramo por hora. Entonces:
a) Plantee el SEL que permite dar con los valores de los flujos f de 1 a 5. Esto es,
modelice matemáticamente la situación. En particular y previamente explicite datos
conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y
desconocidos que dan origen a cada EL.
A B C
FED

2. 200
100
150
200
100
150
100100100
200
x7
x6
x1
x5
x2
x4
x3
EL correspondienteal nodo A.
EL correspondienteal nodo B.
EL correspondienteal nodo C.
EL correspondienteal nodo D.
EL correspondienteal nodo E.
EL correspondienteal nodo F.
100
b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos
OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-
y%2Bz%3D1, wiris
https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y
también http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.
c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones
de los parámetros en el contexto del problema.
d) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus
conclusiones, grafique si es posible.
e) Identifique una solución particular. Verifique.
f) Si los valores fijos fueran los tramos que unen A-B, B-C, D-E, E-F, ¿es posible
armar un SEL?
g) ¿Es posible asignar los valores de 100 para tramo A-B, 150 a D-E?
h) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de inserción y
embébalo en el foro de la actividad. Así compartirá con sus pares la respuesta. Cuide
de comunicar asegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y
completa.
Resolución:
a) Se gráfican las variables y los flujos fijos para tener una visión práctica del
problema. Se asignaron arbitrariamente los subíndices a las variables.
A continuación se explicitan las EL armadas, que forman el SEL, tomando en cuenta el
flujo constante en cada nodo, o sea, la sumatoria de flujos entrantes y salientes es cero.
Esto quiere decir que la cantidad de autos que ingresan en un nodo es igual a la cantidad
de autos que salen del mismo, siempre y cuando no haya un estacionamiento en algún
nodo y se quede algún auto en el, lo que el problema no plantea.
Las ecuaciones fueron completadas e igualadas a cero.
A- 100 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 1 7 0x x x x x x x       
B- 150 1 1 1 2 0 3 0 4 1 5 0 6 0 7 0x x x x x x x       
C- 300 0 1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0x x x x x x x        
D- 100 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 6 1 7 0x x x x x x x        
E- 100 0 1 0 2 0 3 1 4 1 5 1 6 0 7 0x x x x x x x        
F- 250 0 1 0 2 1 3 1 4 0 5 0 6 0 7 0x x x x x x x       
A B C
FED

3. Para armar la matriz ampliada del sistema, las ecuaciones anteriores deben ser igualadas
al término independiente:
1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 1 7 100x x x x x x x        
1 1 1 2 0 3 0 4 1 5 0 6 0 7 150x x x x x x x       
0 1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 300x x x x x x x      
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 6 1 7 100x x x x x x x      
0 1 0 2 0 3 1 4 1 5 1 6 0 7 100x x x x x x x      
0 1 0 2 1 3 1 4 0 5 0 6 0 7 250x x x x x x x       
A continuación se muestra la matriz aumentada obtenida del SEL anterior, despejando
los términos independientes:
-1 0 0 0 0 0 1 -100
1 -1 0 0 -1 0 0 -150
0 1 1 0 0 0 0 300
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 -1 -1 0 0 0 -250
b) SEL obtenido y resolución en paquete informático:
-1 0 0 0 0 0 1 -100
1 -1 0 0 -1 0 0 -150
0 1 1 0 0 0 0 300
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 -1 -1 0 0 0 -250
Step 1: Divide row 1 by -1
1 0 0 0 0 0 -1 100
1 -1 0 0 -1 0 0 -150
0 1 1 0 0 0 0 300
0 0 0 0 0 1 -1 100

4. 0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 -1 -1 0 0 0 -250
Step 2: Subtract row 1 from row 2
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 -1 0 0 -1 0 1 -250
0 1 1 0 0 0 0 300
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 -1 -1 0 0 0 -250
Step 3: Divide row 2 by -1
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 1 1 0 0 0 0 300
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 -1 -1 0 0 0 -250
Step 4: Subtract row 2 from row 3
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 0 1 0 -1 0 1 50
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 -1 -1 0 0 0 -250
Step 5: Subtract (-1 × row 3) from row 6
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 0 1 0 -1 0 1 50
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 1 1 -1 0 100

5. 0 0 0 -1 -1 0 1 -200
Step 6: Swap row 5 and 4
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 0 1 0 -1 0 1 50
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 -1 -1 0 1 -200
Step 7: Subtract (-1 × row 4) from row 6
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 0 1 0 -1 0 1 50
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 0 0 -1 1 -100
Step 8: Subtract (-1 × row 5) from row 6
1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 0 1 0 -1 0 1 50
0 0 0 1 1 -1 0 100
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 0 0 0 0 0
Matrix is now in row echelon form
Step 9: Subtract (-1 × row 5) from row 4

6. 1 0 0 0 0 0 -1 100
0 1 0 0 1 0 -1 250
0 0 1 0 -1 0 1 50
0 0 0 1 1 0 -1 200
0 0 0 0 0 1 -1 100
0 0 0 0 0 0 0 0
El paquete informático utilizó el método de Gauss, que entrega una matriz ampliada
escalonada, no escalonada reducida, donde luego hay que calcular las variables
principales en función de valores asignados a las variables libres. La diferencia con el
método de Gauss-Jordan es que este último entrega una matriz identidad con cada una
de las variables despegadas, en caso de que le sistema tenga una solución particular.
El sistema tiene siete variables, devuelve cinco unos principales, por lo que el mismo
tiene infinitas soluciones. Tiene 2 variables independientes (libres) y 5 variables
dependientes (principales).
c) SEL asociado a la matriz ampliada y expresión paramétrica
1 7 100
2 5 7 250
3 5 7 50
4 5 7 200
6 7 100
x x
x x x
x x x
x x x
x x
 
  
  
  
 
Solución paramétrica:
 1 100 , 2 250 , 3 50 , 4 200 , 5 , 6 100 , 7x t x s t x s t x s t x s x t x t con t sS                 
Solución biparamétrica porque depende de dos variables.
Restricciones:
50
250
s t
s t
 
  
Conclusiones del conjunto solución:
El sistema admite infinitas soluciones, ya que los valores de las variables x1, x2,
x3, x4, y x6 dependen de los valores arbitrarios o parámetros asignados a x5 y
x7.
Todos los valores deben ser números naturales, ya que se trata de cantidades de
vehículos que ingresan o salen de un nodo.
d) No es posible determinar gráficamente la solución, ya que se trata de un sistema
de 7 variables, y el método grafico solo permite representar hasta 3 variables.

7. e) Asignando un valor a cada variable libre se comprueba el conjunto solución,
ejemplo 1:
Siendo:
s=30
t=10
Entonces:
1 100 100 10 110
2 250 250 30 10 230
3 50 50 30 10 70
4 200 200 30 10 180
5 30
6 100 100 10 110
7 10
x t
x s t
x s t
x s t
x
x t
x
    
      
      
      

    

ejemplo 2:
Siendo:
s=10
t=100
Entonces:
3 50 50 10 100 40
1 100 100 100 200
2 250 250 10 100 340
4 200 200 10 100 290
5 10
6 100 100 100 200
7 100
x t
x s t
x s t
x
x t
x t
x
s  
    
      
      



   


  
En el ejemplo 2 se observa una restricción, ya que 50s t  para que se
mantenga el sentido de flujo planteado en el problema. Recordemos que según el
planteo, el sentido del flujo de x3 debe ser desde el nodo F al nodo C, y los
flujos deben ser números naturales, por lo que en la ecuación de x3, el resultado
debe ser un número natural igual o mayor a cero, pero no negativo.
Del mismo modo,
Al reemplazar cualquiera de los valores de x obtenidos en la gráfica de flujo se
comprueba que las igualdades son verdaderas.
Ejemplo, tomando el nodo A se tiene la siguiente ecuación:
200 7 100 1x x  
Reemplazando:
1 110
7 10
200 10 100 110
x
x


  

8. 200
100
150 200
100
150
100100100
200
x5
150
100
x4
x1
x3
x2
100
EL correspondienteal nodo A.
EL correspondienteal nodo B.
EL correspondienteal nodo C.
EL correspondienteal nodo D.
EL correspondienteal nodo E.
EL correspondienteal nodo F.
¿Es posible asignar los valores de 100 para tramo A-B, 150 a D-E?
f) A continuación se asignan los valores de la consigna a la gráfica:
Se listan a continuación las ecuaciones de cada nodo, que dan origen al SEL nuevo:
A- 200 100 100 0 1 0 2 0 3 0 4 1 5 0x x x x x       
B- 100 150 1 1 0 2 0 3 1 4 0 5 0x x x x x      
C- 200 100 1 1 1 2 0 3 0 4 0 5 0x x x x x       
D- 200 100 150 0 1 0 2 0 3 0 4 1 5 0x x x x x        
E- 150 100 0 1 0 2 1 3 1 4 0 5 0x x x x x       
F- 150 100 0 1 1 2 1 3 0 4 0 5 0x x x x x      
Analizando las ecuaciones:
0 1 0 2 0 3 0 4 1 5 0x x x x x    
1 1 0 2 0 3 1 4 0 5 250x x x x x      
1 1 1 2 0 3 0 4 0 5 300x x x x x    
0 1 0 2 0 3 0 4 1 5 50x x x x x     
0 1 0 2 1 3 1 4 0 5 250x x x x x    
0 1 1 2 1 3 0 4 0 5 250x x x x x     
De la ecuación 1 obtenemos el valor 5 0x  .
De la ecuación 4 obtenemos el valor 5 50x  .
El sistema es inconsistente.
g) ¿Es posible asignar los valores de 100 para tramo A-B, 150 a D-E?
Si reemplazamos en las ecuaciones obtenidas x1=100 y x6=150 se tiene:
100 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 1 7 100x x x x x x        
100 1 2 0 3 0 4 1 5 0 6 0 7 150x x x x x x       
0 1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 300x x x x x x x      
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 150 1 7 100x x x x x x      
0 1 0 2 0 3 1 4 1 5 150 0 7 100x x x x x x      
0 1 0 2 1 3 1 4 0 5 0 6 0 7 250x x x x x x x       
A B C
FED

9. Analizando las ecuaciones, se tiene que en la primera ecuación, x7=0 y en la cuarta
ecuación, x7=-100.
Se concluye que el sistema es incompatible.