Parte04

Taller Madagascar
Ecuaci´on de Onda Ac´ustica 2D con Densidad Variable
(Malla Intercalada/Staggered Grid)
Herling Gonzalez Alvarez
Instituto Colombiano del Petroleo, Universidad Industrial de Santander
9 de Octubre de 2015
Herling G. A. (Geof´ısica-ICP-Ecopetrol) Taller RSF 9/10/15 1 / 42

Generación de Sismogramas Sintéticos
Teniendo en cuenta el campo de
onda acústico ó elástico, junto con
la variación de la velocidad de
propagación, se pueden obtener el
comportamiento de las propiedades
entre los estratos y sus respuestas
(Dablain 1986; Virieux 1986;
Levander 1988).
Las respuestas son observadas como
reflexiones con efectos hiperbólicos
difractantes originados por los
estratos.

Sismogramas Sintético
Para una posición determinada de la malla computacional se registra el
campo de onda de manera sintética en cada paso de tiempo.
De esta manera se consigue simular
el comportamiento del registro
como si fuese un geófono
(virtualmente). La información
obtenida incluye los efectos
asociado a los arribos de las ondas
reflejadas provenientes del subsuelo.

Directorio y archivos para “ﬂujo 5”
Revisar resultados para el directorio “traza” y el directorio “traza2”
ejecutando para cada uno.
scons && scons view
sfin traza.rsf

SConstruc (compilar+ﬂujo)
from rsf.proj import *
from math import *
from rsf.prog import RSFROOT
#Direct program compilation
proj = Project()
exe = proj.Program('acoustrace.c')
Nx=250
Nz=354
tsteps=950
skip=10
dt=0.002 #[s]
dh=10.0 #[m]
Fq=10. #[Hz]
t0=1./Fq #offset-time
cmin=Fq*dh*12 #[m/s]
cmax=dh/(dt*sqrt(8/3.)) #[m/s]
...

SConstruc (compilar+ﬂujo)
...
# source wavelet
Flow('ricker',None,
'''sfmath n1= %d d1= %g o1= %g
output="(1-2*(( %g* %g)^2)*((x1- %g)^2))*exp(-(( %g* %g)*(x1- %g))^2)"
''' %(tsteps,dt,0,pi,Fq,t0,pi,Fq,t0) )
# program execution
Flow('field traza','model ricker %s' %exe[0],'''./${SOURCES[2]}
wav=${SOURCES[1]}
trace=${TARGETS[1]}
Sx= %g Sz= %g Skip= %d
Gx= %g Gz= %g '''
%(1250,250,skip,1250,3000) )
...

Sismograma Sint´etico (modelo)
Flow('layer1',None,'spike n1= %d n2= %d d1= %g d2= %g mag= %g'
%(Nz/3,Nx,dh,dh,cmin))
%(Nz/3,Nx,dh,dh,(cmin+cmax)*0.5))
%(Nz/3,Nx,dh,dh,cmax))
Flow('model','layer1 layer2 layer3',
'''cat ${SOURCES[1:3]} axis=1 | put unit1=m unit2=m label1="Depth"
''')

Sismogramas Sint´etico (programa, opci´on 1)
...
//trace gather output
sf_file Ft = sf_output("trace");
...
//Write axes-rsf-data trace
sf_putint(Ft,"n1",nt);
sf_putfloat(Ft,"d1",dt);
sf_putfloat(Ft,"o1",0.0);
sf_putstring(Ft,"label1","Time");
sf_putstring(Ft,"unit1","seg");
//dummy-axis data
//(redefinition due to the input)
sf_putint(Ft,"n2",1);
sf_putfloat(Ft,"d2",0.0);
sf_putfloat(Ft,"o2",0.0);
sf_putstring(Ft,"label2"," ");
sf_putstring(Ft,"unit2"," ");
...

Sismogramas Sintético (programa, opción 2)
...
//traces gather output
sf_file Ft = sf_output("trace");
...
//Outputs the parameters from
//source file to the output file.
sf_fileflush (Ft,Fw);
...
Esta ultima función “sf fileflush” del API de Madagascar, reconfigura
el formato basado en la definición del archivo de entrada “Fw” para
preparar su salida “Ft” con este mismo esquema. De lo contrario usar´ıa el
esquema de salida de “Fv” que está por defecto.
Recomendado revisar:
www.reproducibility.org/RSF/book/rsf/manual/manual html/node344.html

Sismogramas Sint´etico (comparaci´on)
Directorio traza
traza.rsf:
in="../flujo_5/traza/traza.rsf@"
esize=4 type=float form=native
n1=950 d1=0.002 o1=0
n2=1 d2=0 o2=0
950 elements 3800 bytes
Directorio traza2
traza.rsf:
in="../flujo_5/traza2/traza.rsf@"
esize=4 type=float form=native
n1=950 d1=0.002 o1=0
950 elements 3800 bytes

Sismogramas Sint´etico (Directorio: “traza”)

Sismogramas Sint´etico (Directorio: “traza2”)

Sismograma sintético (Traza) Cambiar la posición del geófono a 1500m
de profundidad.

Ecuación de onda Acústica con densidad variable
∂2P
∂x2
=
1
c2
∂2P
∂t2
→
∂
∂x
1
ρ
∂P
∂x
=
1
ρc2
∂2P
∂t2
donde P es el campo de presión, c velocidad y ρ es la densidad (Kosloff
and Baysal 1982). Ahora, se necesita un esquema para los términos de las
derivadas parciales que incluyan la densidad.
Rn
i =
∂
∂x
1
ρ
∂P
∂x
n
i
Realizar los siguientes pasos:
1 calcular
∂Pn
i
∂x
≈
Pn
i+1 − Pn
i−1
2∆x
2 multiplicar por 1/ρi y obtener:
Rn
i =
1
2∆x
1
ρi+1
∂Pn
i+1
∂x
−
1
ρi−1
∂Pn
i−1
∂x

Ecuación de onda Acústica con densidad variable
3 llevar a cabo la integración en tiempo
Pn+1
i = 2Pn
i − Pn−1
i + ρi(ci∆t)2
Rn
i
Sin embargo, el esquema de densidad variable puede ser significativamente
mejorado cuando la derivadas parciales de primer orden son calculadas
entre puntos medios de malla.
1 calcular
∂Pn
i+1/2
∂x
≈
Pn
i+1 − Pn
i
∆x
2 multiplicar por 1/ρi+1/2 y calcular
Rn
i =
1
∆x
1
ρi+1/2
∂Pn
i+1/2
∂x
−
1
ρi−1/2
∂Pn
i−1/2
∂x
3 llevar a cabo la integración en tiempo.

Ecuación de onda malla intercalada
Varios autores han sugerido usar el concepto de malla intercalada
(Staggered Grid) en dos y tres dimensiones para tener en cuenta este tipo
de mejora (Virieux 1986),(Levander 1988).
ρi+1/2 Pi+1Pi
Consideremos la expansión de series de Taylor de una función f(x)
alrededor del punto x0 con un desplazamiento ±δ/2:
f x0 +
δ
2
= f(x0) +
δ
2
f (x0) +
1
2!
δ
2
2
f +
1
3!
δ
2
3
f (x0) + . . . , (1)
f x0 −
δ
2
= f(x0) −
δ
2
f (x0) +
1
2!
δ
2
2
f −
1
3!
δ
2
3
f (x0) + . . . , (2)

Substrayendo la segunda ecuación de la primera, tenemos
f x0 +
δ
2
− f x0 −
δ
2
= δf (x0) +
1
3!
δ
2
3
f (x0) + . . . (3)
Dividiendo por δ tenemos
f(x0 + δ
2) − f(x0 − δ
2)
δ
= f (x0) +
1
3!
δ
2
2
f (x0) + . . . (4)
Re-arreglando los términos para un orden-2 tenemos:
df(x)
dx x=x0
=
f(x0 + δ
2) − f(x0 − δ
2)
δ
+ O(δ2
) (5)
Se observa que las diferencias finitas centradas proveen una aproximación
de la derivada de la función en x0. Sin embargo, la función no
está evaluada en la misma posición. Es decir, que la función está evaluada
en los próximos vecinos de los puntos x0 + δ/2 y x0 − δ/2.

Ecuación de onda malla intercalada
Tomando la ecuación acústica para un dominio homogéneo con densidad
variable, y haciendo v = −1
ρ
∂P
∂x , u = ∂P
∂t obtenemos un sistema PDE’s de
primer orden.
∂
∂x
1
ρ
∂P
∂x
=
1
ρc2
∂2P
∂t2



∂v
∂t
= −
1
ρ
∂u
∂x
∂u
∂t
= −ρc2 ∂v
∂x
(6)
La discretización para malla intercalada basado en el sistema (6) usando
(11) ser´ıa:
v
n+1/2
i − v
n−1/2
i
∆t
= −
1
ρ
un
i+1/2 − un
i−1/2
∆x
un+1
i+1/2 − un
i+1/2
∆t
= −ρc2
v
n+1/2
i+1 − v
n+1/2
i
∆x
(7)

Ordenando terminos..
v
n+1/2
i = v
n−1/2
i −
∆t
ρ∆x
(un
i+1/2 − un
i−1/2)
un+1
i+1/2 = un
i+1/2 −
ρc2∆t
∆x
(v
n+1/2
i+1 − v
n+1/2
i )
(8)
Y cuya codiﬁcacion ser´ıa:
for(i=1; i<N; i++){
v[i] = v[i] - C1*(dt/dx)*( u[i] - u[i-1] );
}
for(i=0; i<N-1; i++){
u[i] = u[i] - C2*(dt/dx)*( v([+1] - v[i] );
}
El truco est´a en remplazar los indices i + 1/2 por i, he i − 1/2 por i − 1.
Los indices de variables enteras como i, i + 1, i − 1 no tienen cambios.

Los indices de tiempo n, n + 1, n − 1, n + 1/2, n − 1/2 se asumen
implicitos y con su respectivo orden de ejecucion.
Como funciona?
k − 3
2 k − 1
2 k + 1
2 k + 3
2
k − 2 k − 1 k k + 1 k + 2
k − 2 k − 1 k k + 1 k + 2
vn−1/2
un
vn+1/2
q 9
q 9
Figura : Intercalaci´on de los campos v y u en el espacio y en el tiempo para la
formulaci´on de malla intercalada.

Malla Intercalada de Cuarto Orden:
v
n+1/2
i = v
n−1/2
i −
∆t
ρ∆x
9
8
(un
i+1/2 − un
i−1/2) −
1
24
(un
i+3/2 − un
i−3/2)
un+1
i+1/2 = un
i+1/2 −
ρc2∆t
∆x
9
8
(v
n+1/2
i+1 − v
n+1/2
i ) −
1
24
(v
n+1/2
i+2 − v
n+1/2
i−1 )
for(i=2; i<N-1; i++){
v[i] -= C1*(dt/dx)*( 1.125*(u[i]-u[i-1]) - (u[i+1]-u[i-2])/24. );
}
for(i=1; i<N-2; i++){
u[i] -= C2*(dt/dx)*( 1.125*(v[i+1]-v[i]) - (v[i+2]-v[i-1])/24. );
}
La condici´on de estabilidad para el operador DF de cuarto orden en el
espacio:
∆t ≤
∆x
cmax 8/3
, donde ∆x =
λmin
10
→ fmax[Hz] =
cmin
10 · ∆x
(9)

Expansión de Taylor
El siguiente operador de derivada parcial en tiempo de primer orden es
aproximado por el esquema de diferencias finitas de segundo orden como:
∂φ
∂t
≈
φ(i + ∆t
2 ) − φ(i − ∆t
2 )
∆t
(10)
Esta aproximacion fue derivada desde la conbinacion lineal de la expansión
de series de Taylor (Fornberg 1988):
φ(x + ∆x) ≈ φ(x) +
∆x
1!
∂φ
∂x
+
∆x2
2!
∂2φ
∂x2
+
∆x3
3!
∂3φ
∂x3
+ O∆x4
(11)

Expansi´on de Taylor en Malla Intercalada
Por ejemplo, una aproximaci´on de cuarto orden para una derivada de
primer orden, usando el esquema de malla Intercalada (Staggered grid),
puede ser aproximado por cuatro expansiones de Taylor centradas en
cuatro puntos al rededor de x = 0.
φ(x + ∆x
2
) ≈ φ(x) +
∆x
2
∂φ
∂x
+
∆x2
8
∂2φ
∂x2
+
∆x3
24
∂3φ
∂x3
+
∆x4
96
∂4φ
∂x4
+ O∆x5
φ(x − ∆x
2
) ≈ φ(x) −
∆x
2
∂φ
∂x
+
∆x2
8
∂2φ
∂x2
−
∆x3
24
∂3φ
∂x3
+
∆x4
96
∂4φ
∂x4
+ O∆x5
φ(x + 3∆x
2
) ≈ φ(x) +
3∆x
2
∂φ
∂x
+
9∆x2
8
∂2φ
∂x2
+
27∆x3
24
∂3φ
∂x3
+
81∆x4
96
∂4φ
∂x4
+ O∆x5
φ(x − 3∆x
2
) ≈ φ(x) −
3∆x
2
∂φ
∂x
+
9∆x2
8
∂2φ
∂x2
−
27∆x3
24
∂3φ
∂x3
+
81∆x4
96
∂4φ
∂x4
+ O∆x5
(12)

Diferencias Finitas y la Aproximación de Cuarto Orden
Substrayendo la expansión de x − ∆x
2 desde x + ∆x
2 , y substrayendo
x − 3∆x
2 desde x + 3∆x
2 , se eliminan los términos de segundo y cuarto
orden (términos de potencias pares):
φ(x + ∆x
2 ) − φ(x − ∆x
2 ) ≈ ∆x
∂φ
∂x
+
2∆x3
24
∂3
φ
∂x3
φ(x + 3∆x
2 ) − φ(x − 3∆x
2 ) ≈ 3∆x
∂φ
∂x
+
54∆x3
24
∂3
φ
∂x3
(13)
Haciendo la combinación lineal desde el termino de la derivada parcial de
tercer orden, obtenemos nuestra aproximación de cuarto-orden en
diferencias finitas:
∂φ
∂x
≈
27[φ(x + ∆x
2 ) − φ(x − ∆x
2 )] − φ(x + 3∆x
2 ) + φ(x − 3∆x
2 )
24∆x
(14)

Malla Intercalada de Cuarto Orden:
∂φ
∂x
≈
1
∆x
9
8
[φ(x +
∆x
2
) − φ(x −
∆x
2
)] −
1
24
[φ(x +
3∆x
2
) − φ(x −
3∆x
2
)]
v
n+1/2
i = v
n−1/2
i −
∆t
ρ∆x
9
8
(un
i+1/2 − un
i−1/2) −
1
24
(un
i+3/2 − un
i−3/2)
un+1
i+1/2 = un
i+1/2 −
ρc2∆t
∆x
9
8
(v
n+1/2
i+1 − v
n+1/2
i ) −
1
24
(v
n+1/2
i+2 − v
n+1/2
i−1 )
for(i=2; i<N-1; i++){
v[i] -= C1*(dt/dx)*( 1.125*(u[i]-u[i-1]) - (u[i+1]-u[i-2])/24. );
}
for(i=1; i<N-2; i++){
u[i] -= C2*(dt/dx)*( 1.125*(v[i+1]-v[i]) - (v[i+2]-v[i-1])/24. );
}

Estabilidad y dispersión
La aproximación de diferencias finitas por Taylor para el avance en el
tiempo esta condicionada por el criterio de Courant (Courant, Friedrichs,
and Lewy 1967). EL criterio de Courant es usado para restringir el paso de
tiempo bajo un determinado tamaño de malla. Para un esquema de
diferencias finitas de cuarto orden tenemos el siguiente criterio de Courant:
∆t · Vp
∆h
0.606
donde ∆h = {∆x, ∆y, ∆z}. Infortunadamente, el esquema de FDTD son
intr´ınsecamente dispersivos. En un sentido practico para evitar la
dispersión se debe tomar 5 puntos por longitud de onda para el tamaño de
malla (incluyendo la taza de muestreo de Nyquist1).
∆h <
λmin
5
, ∆h <
Cmin
5 · 2fmax
1
Buscar en Wiki: “Nyquist-Shannon sampling theorem”

Estabilidad y dispersión
Para orden superiores en el esquema de diferencias finitas (Fornberg 1988)
la condición de estabilidad se expresa como (Wang 2001) :
∆t · Cmax
∆h
√
2
L
l=1
|cl|
−1
Caso 2D
∆t · Cmax
∆h
√
3
L
l=1
|cl|
−1
Caso 3D
L l cl
4 1 9/8
2 -1/24
6 1 75/64
2 -25/384
3 3/640
8 1 1225/1024
2 -245/3072
3 49/5120
4 -5/7168

Malla Intercalada Método FDTD
∂P
∂t
= −ρc2 · v
∂v
∂t
= −
1
ρ
P
Consideraremos la propagación
acústica, con pequeñas variaciones
descritas en términos del campo
escalar de presión P(x, z, t) y el
campo de velocidades vx(x, z, t) y
vz(x, z, t).
∂P
∂t
= −ρ c2 ∂vx
∂x
+
∂vz
∂z
(15)
∂vx
∂t
= −
1
ρ
∂P
∂x
(16)
∂vz
∂t
= −
1
ρ
∂P
∂z
(17)

Malla Intercalada M´etodo FDTD
i i + 1
j
j + 1
P(i, j), ρ(i, j), c(i, j)
vx(i + 1
2 , j), ρ(i + 1
2 , j)
vz(i, j + 1
2 ), ρ(i, j + 1
2 )
Figura : Esquema de malla intercalada, para la soluci´on de los campos.

Pn+1
2 (i, j) − Pn−1
2 (i, j)
δt
= −ρ c2
vn
x (i+ 1
2
, j) − vn
x (i− 1
2
, j)
δx
+
vn
z (i, j+ 1
2
) − vn
z (i, j− 1
2
)
δz
(18)
vn+1
x (i+ 1
2
, j) − vn
x (i+ 1
2
, j)
δt
= −
1
ρ
Pn+1
2 (i+1, j) − Pn+1
2 (i, j)
δx
(19)
vn+1
z (i, j+ 1
2
) − vn
z (i, j+ 1
2
)
δt
= −
1
ρ
Pn+1
2 (i, j+1) − Pn+1
2 (i, j)
δz
(20)
Para el esquema ac´ustico de
densidad variable los nodos deben
ser acomodados de acuerdo a la
ﬁgura y a las ecuaciones (33), (16),
(17).
i i + 1
j
j + 1
P(i, j), ρ(i, j), c(i, j)
vx(i + 1
2 , j), ρ(i + 1
2 , j)
vz(i, j + 1
2 ), ρ(i, j + 1
2 )

Método FDTD y Ecuaciones de Onda Acústica
Los algoritmos o métodos de malla intercalada (staggered grid) FDTD han
sido usados para guardar una mejor estabilidad y eficiencia en los
operadores de diferencias finitas.
(Yee 1966) y (Taflove and Brodwin 1975) desarrollaron el método FDTD
para solucionar las ecuaciones electromagnéticas de Maxwell. Este método
ha sido usado como un estándar para solucionar sistemas de ecuaciones
diferenciales parciales de primer orden de manera general.
Las ecuaciones que gobiernan la propagación en 3D de manera acústica
son:
∂P
∂t
= −ρc2
· v (21)
∂v
∂t
= −
1
ρ
P (22)

Método FDTD y Ecuaciones de Onda Acústica
Si efectuamos una operación de divergencia en (22) e intercambiamos los
operadores de diferencias espacial y temporal, tenemos:
∂
∂t
· v = −
1
ρ
2
P (23)
ahora, haciendo la derivada temporal en (21)
∂2P
∂t2
= −ρc2 ∂
∂t
· v (24)
y usando (23) obtenemos nuestra famosa ecuación diferencial de segundo
orden
∂2P
∂t2
= c2 2
P (25)

FDTD Staggered Grid (T´ecnica de Malla Intercalada)
∂P
∂t
= −ρ c2 ∂Vx
∂x
+
∂Vz
∂z
∂Vx
∂t
= −
1
ρ
∂P
∂x
∂Vz
∂t
= −
1
ρ
∂P
∂z
(26)
∂P
∂t (i,j)
←
∂Vx
∂x (i+ 1
2 ,j)
,
∂Vz
∂z (i,j+ 1
2 )
∂Vx
∂t (i+ 1
2 ,j)
←
∂P
∂x (i+1,j)
∂Vz
∂t (i,j+ 1
2 )
←
∂P
∂z (i,j+1)
i i + 1i − 1
j
j + 1
j − 1
i + 1
2 i + 3
2i − 1
2
j − 1
2
j + 1
2
j + 3
2
P(i, j)
Vx(i + 1/2, j)
Vz(i, j + 1/2)

Evaluaci´on el operador
∂P
∂t
en la direccion x
i + 1
2 i + 3
2i − 1
2
P(i, j)
Vx(i + 1/2, j)
i i + 1i − 1
j
j + 1
j − 1
∂P
∂t (i,j)
←
Vx(i + 1
2, j) − Vx(i − 1
2, j)
δx

Evaluaci´on del operador
∂P
∂t
en la direcci´on z
j − 1
2
j + 1
2
j + 3
2
P(i, j)
Vz(i, j + 1/2)
i i + 1i − 1
j
j + 1
j − 1
∂P
∂t (i,j)
←
Vz(i, j + 1
2) − Vz(i, j − 1
2)
δz

∂Vx
∂t
evaluado en x, y Operat.
∂Vz
∂t
evaluado en z
i + 1
2 i + 3
2i − 1
2
j − 1
2
j + 1
2
j + 3
2
P(i, j)
Vx(i + 1/2, j)
Vz(i, j + 1/2)
i i + 1i − 1
j
j + 1
j − 1
∂Vx
∂t (i+1
2
,j)
←
P(i + 1, j) − P(i, j)
δx
∂Vz
∂t (i,j+1
2
)
←
P(i, j + 1) − P(i, j)
δz

Mallas Intercaladas y Avance en el Dominio del Tiempo

Discretización FDTD
P
n+1
2 (i, j) − P
n−1
2 (i, j)
δt
= −ρ c2
V n
x (i+ 1
2
, j) − V n
x (i− 1
2
, j)
δx
+
V n
z (i, j+ 1
2
) − V n
z (i, j− 1
2
)
δz
V n+1
x (i+ 1
2
, j) − V n
x (i+ 1
2
, j)
δt
= −
1
ρ


P
n+1
2 (i+1, j) − P
n+1
2 (i, j)
δx


V n+1
z (i, j+ 1
2
) − V n
z (i, j+ 1
2
)
δt
= −
1
ρ


P
n+1
2 (i, j+1) − P
n+1
2 (i, j)
δz


Para codificar, hacemos los cambios
de ´ındices de i + 1
2, por i e i − 1
2,
por i-1 (aplica también para
j ± 1
2). Los demás ´ındices enteros
como i, j + 1 se mantienen. Los
´ındices n − 1
2, n y n + 1
2 son
impl´ıcitos en cada paso
de tiempo.

Codigo FDTD
#define Id(A,i,j) (A)[(i)*Nz+(j)]
/* begin time loop */
for (tstep=0; tstep<Tout; tstep++){
for (i=1; i<Nx; i++){
for (j=1; j<Nz; j++){
C1 = Id(c,i,j);
C1 = C1*C1*Id(rho,i,j);
C1 = -C1*dt/dh;
Id(P,i,j) += C1*(Id(Vx,i,j)-Id(Vx,i-1,j) + Id(Vz,i,j)-Id(Vz,i,j-1));
}
}
Id(P,Ix,Iz) += ricker(tstep,dt,fq);
for (i=0; i<Nx-1; i++){
for (j=0; j<Nz-1; j++){
C2 = 1/Id(rho,i,j);
C2 = -C2*dt/dh;
Id(Vx,i,j) += C2*(Id(P,i+1,j)-Id(P,i,j));
Id(Vz,i,j) += C2*(Id(P,i,j+1)-Id(P,i,j));
}
}
}/* end time loop */

Crear el flujo 6: para la propagación de onda acústica con densidad
variables en malla intercalada, basado en flujo anteriores.

Courant, R., K. Friedrichs, and H. Lewy (1967).
On the partial difference equations of mathematical physics.
IBM, 215–234.
Dablain, M. A. (1986).
The application of high order differencing to the scalar wave equation.
Geophysics 51, 54–66.
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Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids.
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Kosloff, D. and E. Baysal (1982).
Forward modelling by a fourier method.
Levander, A. R. (1988).
Fourth-order finite-difference p-sv seismograms.
Taflove, A. and M. E. Brodwin (1975).
Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent maxwell’s equations.
IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques 23, 623–630.
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P-sv wave propagation in heterogeneus media: velocity stress finite-difference method.
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Seismic wave simulation in anisotropic media with heterogeneity using a high-order finite-difference method.
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