El documento presenta conceptos fundamentales sobre matrices, sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones lineales y conceptos relacionados. Explica que una matriz es ortogonal si sus pares de vectores son ortogonales, y que las transformaciones lineales preservan sumas, productos por escalares y ángulos. También define la eliminación de Gauss para reducir matrices a forma escalonada y la composición e inversa de transformaciones lineales.

1. Presentado por:
UNIVERSIDAD AGUSTINIANA
Bogotá-Colombia

2. Matriz de datos: p variables observadas en n objetos
Vectores
nxp
npnnn
p
p
p
X
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx






















321
3333231
2232221
1131211
p
en
Objeto_1
Objeto_n
Variable_1 Variable_p
nxp
npnnn
p
p
p
X
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx






















321
3333231
2232221
1131211
p
en
Objeto_1
Objeto_n
Variable_1 Variable_p

3. Un conjunto de vectores {v1, . . . , vk } en R ^n se llama conjunto
ortogonal si todos los pares de vectores distintos son ortogonales, es
decir, para i ≠ j , vi*vj = 0
Teorema
Sea Q una matriz n × n ortogonal. Entonces
 1. Q−1 = QT también es ortogonal.
 2. Las filas de Q forman un conjunto ortonormal.
 3. det(Q) = ±1.
 4. Para todo u, v ∈ R ^ n , Qu · Qv = u · v (respeta ángulos).
 5. Para todo u ∈ R ^ n , //Qu// = //u// (respeta longitudes).
 6. Si λ es valor propio real de Q, entonces λ = ±1.
Matrices Ortogonales

4. Una Ecuación Lineal en n variables tiene la forma a1x1 + · · · + anxn
= b, donde los coeficientes a1, . . . , an y el termino independiente b son
constantes.
Ejemplo
a) x − 0,5y = 4 b) √ 3(sen π)x1 + 2x2 = 3 + 1/2x3 c) tan(πx) +
2x2 = −1 d) x + 1 = 1/y
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de
ecuaciones lineales.
Ecuaciones Lineales

5. Una forma escalonada por filas de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros están en la parte baja
2. Para cada fila, debajo del primer elemento diferente de cero, solo hay
ceros
 Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama pivote.
Hay 3 operaciones elementales por filas.
 1. Ri ↔ Rj : Intercambiar filas i con j
 2. kRi : Multiplicar la fila i por k
 3. Ri ← Ri − kRj : Restar un multiplo de la fila j de la fila.
Nota Toda matriz se puede reducir a una forma escalonada por filas mediante
operaciones elementales por filas. A ese proceso se le conoce como eliminación
Gaussiana.
Eliminación de Gaussiana

6. Una transformación lineal de un espacio vectorial V a un espacio
vectorial W es una función T : V → W tal que para todo u, v ∈ V y todo
c ∈ R
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. 2. T(cu) = cT(u)
o equivalentemente si para todo u, v ∈ V y todo c, d ∈ R T(cu + dv) =
cT(u) + dT(v)
Ejemplo
 Si A es una matriz m × n, entonces T : R ^ n → R ^ m definida por T(x)
= Ax es una transformación lineal
 T : Mnn → Mnn definida por T(A) = A T es una transformacion lineal
 D : Pn → Pn−1 definida por D(p) = p´ es una transformacion lineal
 S : Pn → Pn+1 definida por S(p) = R x 0 p(x)dx es una
transformación lineal
Transformaciones Lineales

7. Teorema
Si T : U → V y S : V → W son transformaciones
lineales, entonces S o T : U → W también es una
transformación lineal.
Una Transformación Lineal T : V → W es
invertible si existe una
 transformación lineal T ´: W → V tal que T ´o T
= IV y
 T o T ´= IW . A T ´ se le llama la inversa de T y
se denota por T ^ −1
 .
Composición e Inversa

8. Gracias