Análisis Matemático II - Eduardo Espinoza Ramos - 3ed

ANALISIS
MATEMÁTICO
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA
(TERCERA EDICION)
♦ INTEGRAL INDEFINIDA
♦ INTEGRAL DEFINIDA
♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
♦ INTEGRALES IMPROPIAS
♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA
♦ INTEGRACION NUMERICA
♦ FUNCIONES ESPECIALES
♦ ECUACIONES PARAMETRICAS
♦ COORDENADAS POLARES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
L I M A - P E R U

IMPRESO EN EL PERÚ
03 - 03 - 2002
3SEDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia,
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RUC
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Escritura Publica
Ne 10070440607
Nfi13714
Ne 10716
Ns4484

En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la
capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de
integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones
Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios
polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones
diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la
integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las
practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,
tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo
que confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo
de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la
derivación de las funciones en una variable.
#
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas
por sus valiosos comentarios y sugerencias.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro—Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad
Ricardo Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la
Universidad Nacional del Callao.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
de la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
LIC. JOSE KIKE BRONCANO
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

D E D I C A T O R I A
Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE
y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que
puedan ser guías de su prójimo

P R E S E N T A C I O N
En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue
avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se
manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.
Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia
universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez
profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver
problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es
la matemática
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM
ASESOR DEL “CONCYTEC”

1, INTEGRAL INDEFINIDA
1.1 Introducción 1
1.2 La Antiderivada de una función 2
1.3 La Antiderivada General 2
1.4 La Integral Indefinida 3
1.5 Fórmulas Básicas de Integración 5
1.5.1 Primeras Fórmulas Básicas de Integración 6
1.5.2 Segundas Fórmulas Básicas de integración 13
1.5.3 Terceras Fórmulas Básicas de Integración 18
1.5.4 Cuartas Fórmulas Básicas de Integración 21
1.5.5 Integración por Sustitución o Cambio de Variable 23
1.5.6 Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado 27
1.5.7 Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas 32
1.5.8 Ecuaciones Diferenciales sencillas 52
1.5.9 Movimiento Rectilíneo 54
1.5.10 Aceleración Constante 56
1.5.11 Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante 58
1.5.12 Ejercicios Desarrollados 60
1.5.13 Ejercicios y Problemas Prepuestos 69
1.6 Métodos de Integración 73
1.6.1 Integración de las Funciones Trigonométricas 73
1.6.2 Ejercicios Propuestos 87
1.6.3 Otras Integrales Trigonométricas 94
1.6.5 Integración por partes 102
1.6.6 Casos Especiales de Integración por Partes 117

130
143
150
169
181
186
190
196
201
215
218
229
253
268
269
270
276
280
280
282
296
300
302
302
303
307
308
Integración por Sustitución Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Integración de Funciones Racionales
Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI
Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos
Integrales de Algunas Funciones Irracionales
Fórmulas de Reducción
Ejercicios Desarrollados Diversos
C A PITU LO II
INTEGRAL DEFINIDA
Sumatorias
Propiedades de las Sumatorias
Fórmulas de las Sumatorias
Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias
Partición de un Intervalo Cerrado
Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos
Sumas Superiores y Sumas Superiores
Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores
Integral Definida
Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores
Integral de RIEMANN
La integral como limite de Sumas
Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud

4.1 Introducción 450
4.2 Integrales Impropias con Limites Infinitos 451
4.3 Integrales Impropias con Limites Finitos 454
4.4 Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias 457
4.4.1 Criterio de Comparación 457
4.4.2 Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas 457
4.4.3 Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito 457
4.5 Aplicaciones de la Integral Impropia 473
4.5.1 Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución 473
4.5.2 Problemas Propuestos 480
4.6 Funciones Especiales 483
4.6.1 Definición de la Función GAMMA 483
4.6.1.1 Propiedades de la Función GAMMA 483
4.6.1.2 Ejercicios Desarrollados 489
4.6.2 Definición de la Función BETA 491
4.6.2.1 Propiedades de la Función Beta 491
4.6.2.2 Ejemplos Aplicativos 493
4.7 Integrales Dependientes de un parámetro 502
4.8 El Polinomio de Taylor 511
4.8.1 Aproximación de Funciones por Polinomios 511
4.8.2 Polinomios de Taylor Engendrado por una Función 513
4.8.3 Fórmula de Taylor con Resto 518
4.8.4 Teorema del Valor Medio para Integrales 522
4.8.5 Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales 522
4.9 Ejercicios Desarrollados 524
4.10 Ejercicios Propuestos 529

7.3.1 Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica
7.3.2 Longitud de Arco cuando la Curva es dadapor Ecuaciones Farametricas
7.3.3 Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en
forma Parametrica
7.4 Problemas Desarrollados
7.5 Ejercicios Propuestos
C A PITU LO VIH
COORDENADAS POLARES
8.1 Introducción
8.2 Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares
8.3 La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares
8.5 Trazado de Curvas en Coordenadas Polares
8.6 Ejemplos
8.8 Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares
8.9 Intersección de Curvas en Coordenadas Polares
8.10 Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares
8.11 Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares
8.12 Ejercicios Desarrollados
APENDICE
BIBLIOGRAFIA

Integral Indefinida 1
C A P I T U L O I
I. INTEGRAL INDEFINIDA
1.1 INTRODUCCION.-
El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular
su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente.
El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un
punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una
curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.
En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función
hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con
el problema inverso, es decir:
Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /*(jc
) = 4,
g'(x) =5jc4. Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia
se puede hallar dichas funciones, esto es:
Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa
de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

2 Eduardo Espinoza Ramos
DEFINICION.- La función F: I----->R, se llama la antiderivada o primitiva de
f: 1---- >R, si F '(x)= f(x), V x g I. (I= [a.b])
Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) =3e3x, V x e R, las funciones F(x) =x5 y
G(x) = eix para x e I
respectivamente puesto que:
G(x)=eix para x e R son las antiderivadas de f(x) y g(x)
F{x) = jc5
G(x)=eix
F'(x) =5x4 =/ ( x)
G'(x) =3eix =g(x)
Sin embargo las funciones Fx(jc) = je5+ 7 y Gx{x) =eix +5 también son
antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que:
F,(x) =x5+ 7
G¡(x) =eix +5
F¡(x) =5xA= /( x)
G|(x) =3eix =g(x)
análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo: F2(x) =xs - 4 ,
F3(x) =x5+4n, FA{x) =x5 +a , G2(x) =eix - 7 , G3(x) =eix - e * , GA=eix +b
donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y
g(x) respectivamente.
En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) =/ ( jc) , por lo tanto
F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su
derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) +c)'= F ’(jc) = f(x)
DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función
G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx).
El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra
antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).

OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no
determina una única función, si no una familia de funciones, que
difieren entre sí en una constante.
El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y
se denota por el símboloJ , llamado signo de integración, el símbolo Jf(x)dx se
llama integral indefinida de f{x).
IA LA INTEGRAL INDEFINIDA,-
DEFINICIÓN 1.- Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I.
osea F*(x) = /(jt), entonces a su antiderivada general
G(x) = F(x) + c se denota por:
Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x).
NOTA.- De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x)
es decir:

PROPIEDADES.-
De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades:
1) -~~(f f(x)dx) =( í f (x)dx)'= (F(x) +c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivada
dx J J
de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:
2) d(j f(x)dx) =(jf(x)dx)'dx =f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral
indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:
3) Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y
4) Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:
OBSERVACION.- De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también
podemos interpretarla como una operación inversa de la
diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x))
reproduce la función f(x) más la constante de integración.
Ejemplo.- Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple
inspección:
1) J (x2 + 3x + 2)dx =j* ~ x1 + 2jc)+2x+c

IntegralIndefinida 5
2,
r „ r , sen3* cos4x sen3x cos4jc
3) J (cos3jc- sen 4jt)dx = j d{-------+ ---- ) = —-— + ——
— + c
3 4
n-1 n~
4) fxndx - í d(—
— ) = —
— + c , n * -1
J J /i +1 n +1
DEFINICIÓN 2.- En toda integral indefinida J/(jc)rfx, a la función f(x) le
llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos
variable de integración, la constante c es llamada constante de integración, a
J/(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x”
NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal
manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil,
para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.
1.5 FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION.-
1.5.1 PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;-
Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:
© i d x-x+ c © ^Kf(x)dx =K ^f(x)dx
fH
'l
(T) jd(f(x)) =f(x)+ c (? ) jx"dx = +c
© J( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± Jg(x)dx
Sea u = f(x), una función diferenciable en x

© j e udu =eu +c audu =——+c,a>0, a* 1
ln a
© Ju2 +a2 a a © ¡
© í
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
Jx(a - bx2)dx
Solución
Como x(a-bx2) =ax-bx3 entonces:
Solución
A la función, se expresa en la forma:
+c
_ x 2m-f2 _ 2x m+n~li2 + X 2x li2
= jt(4m
~1)/2 - 2x (2m
+2n~l)/2 +x(4n-l)/2
entonces j ^ - Z £ ^ - dx = - i x ^ 2^ 12 +x iAnl)l2)dx
jc(4m
+l)/2 2J
C
<
2m
+
2',+
1
>
/2 x(4»+l)/2
(4wj +1) / 2 (2/w+2« +1) / 2 (4« +1) / 2

2-s/jt4m
+1 W x2m
+2n+1 2-v/x4n+1
+ 6*
4/w+l 2w + 2/i + l 4/1+1
© |(.x—
v
/
x
+
l)
(
V
^+
l)
r
f*
Solución
Efectuando la multiplicación de (x--Jx + l)(-/it +1). es decir:
(jt—Jx +lft-Jx +1) = x3/í +1. entonces:
2
x
'
n
J(x--/x +l)(-s/x+l)dx=j*(x3
/2+)dx
© f g(-*)./'(.T )-g'(*)■/(*) dx
J g~(X)
Solución
o t- i i j ■ . j, f ( XK g(x).f'(x)- f(x).g'(x)
Se sabe que la diferencial de un cociente es: a(------ ) = ----------------- --------- dx
g(x) [g(*)]~
Ahora reemplazando en la integral se tiene:
g{x).f'(x)-f{x).g'{x) f .,/(* ), f W
r g (x),f(x )-n x).g '(x )dx r /(x) =
J J O
Í*)
© J
[*W ]2 ' J *W *M
3+lnjc J
------- dx
x
Solución
+c
A la integral escribiremos en la forma:
r3 +lnjt , dx r. dx , ln2x
-------- dx =3 — + lnx.— = 31n|jc| +-------+c
J x J x J jc 2

dx
x 2 —
4jcH
-13
©
Solución
Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se
completa cuadrados.
x 2-4x + 13= (jc2-4jc + 4)+9 = (jc-2)2+9
r dx r dx 1
í ? ^ u = J í í ^ ? ' 3 arc,e,- r ,+ ‘-
Jt+1 .
— dx
2x
Solución
Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador
o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula
(7) es decir:
Sea u = x 2 +2x =
>du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral:
f * +^ dx= f— = —ln|w|+c* = —ln| x2+ 2x|+f
J J 2u 2 2 1 1
x 2 +2x J 2u 2
x3dx
Solución
+ jc4
En forma similar al ejercicio (7) se tiene:
Sea w= l+.v4 =
> du =4xidx => x3dx =—
Ahora reemplazando en la integral:
r xydxtdu 1. . , I . . . 4 ,
I —= 1 — = —ln u = —In 1+jr +<•
Jl+ jc4 J 4w 4 4
*%
■

integral Indefinida 9
(¿ ) j(ax +b)* 2dx
Solución
En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6) es decir:
Sea u = ax + b => du = adx dx =—
a
Ahora reemplazando en la integral:
f ✓ » f 3/
■
> du 1 2 *
¡
ti 2
I (ax +b) “d x= u " — = —.—u° “ +c = — (ar +fe) “ +c
J J o a 5 5¿z
© J x w +bx"dx
Solución
A la integral dada lo escribiremos en la forma:
| x " l^!a +bx"dx =j (a+bxn)U2x H'dx ...(1)
Ahora aplicando la fórmula (6), es decir:
Sea u ~ a +bxn => du =bnxM]dx de donde xn idx =— ... (2)
hn
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
f „ , /---- , f 1,2 du 1 n , 2(a +hxn)v l ,
I A fev í/rV = I ti ------= -------14 + C' ------------------------------ + C
J J hn 3hn 3hn
(¡T)
^ J jclnx
Solución
En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:

dx
Sea u = ln(ln x) d u~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene:
jtlnx
f In(lnx) , f. dx f , u2 ln2(ln(x))
— —
dx —I ln(lnx)------ =1 udu =— +c = ----- +c
¿ jflnx J jclnx 2 2 2
© f *—
Solución
A la expresión, agrupemos en la forma:
^ l+ x 2 +(l +x 2)3,2 =^(l + x2) +(l+x2h/l +x2
= -J(l + x2)(l+Vl + ="n
/i +x2-Jl+Vl+Jr2"
f xdx f C„ ít Tx !;■
> xdx
------------ = -----= (l +Vl +x -) 1/’ -7_ . . . ( l )
V1+* + fl + *~)3 2 ‘
yjl +x 2
ahora aplicamos la fórmula (6), es decir:
Sea u =l +T¡l-tx2 => du = .X^X *.-(2)
Vl+.v2
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
f ..... .A
^
A......fu ll2du = 2u1
'2+c =2
^
1WT+
*2 +c
W T
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:

IntegralIndefinida 11
3 i- _ 2
Sea u =1+x-Jx , de donde du =--Jx dx entonces -s/jcdx =—du
2 3
Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene:
r -Jxdx 2 [du 2, . . 2, /-.
------ 7
= = - — = —ln |m| +c= —ln 11+W * | +<
J 14- yJ r 3 * u 1 3
© ¡
1+x4x 3 J m 3
t'are,gJ +xln(x2 +l) + l
dx
+ xl
Solución
En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:
r +xln(x2+1) + 1 re*m * , f -
> x í/x f dx
I ----------:----T
--------------------------------------------------- — '* = I ------T dx+ ln<*‘ + ,>---
J l + X~ J 1 + X 1 1 + X" •’ l + X "
Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir:
f +xln(x2 +1) +1 ln2(x2+l)
-------------- ^------'— dx= +-- --------+arctgx +c
J 1+x" 4
x2+3
x‘ (x' +9)
Solución
En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era
expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de
integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en
forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está
calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral,
se hace de la siguiente manera.
x 2+3 = x 2+ —
(x2+ 9 -x 2) = —x2+—(x2+9)
3 3 3
ahora reemplazando en la integral dada se tiene:

r x 2 +3 _ 1 f 2x2 +(x2 +9) _ 1 f. 2x2 x 2+9
J x V + 9 ) 3J jr2(x2+9) ~ 3 J r ( x 2 +9) + jt (jc2 +9)
l r r 2dx rdx1 l r2 x l n
= T[ I-T—r + I— ] = r t r arctg-— ]+c
3 J jr + 9 J jr 3 3 3 x
f—
JWv7
dx
x(x' +1)
Solución
En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:
1= (x7 +1) - x 1, ahora reemplazamos en la integral dada:
f f = f ^ A ' A - f ^
J x(x7 +1) J x(x7 +l) J x(x7 +1) J x(x7 + l)
r dx _ r x dx (aplicando la fórmula 7)
J x J x 1 +1
= ln |x |- y ln |x 7 -h11
-i-c
:*
5> V cpn r —
cosjcdr
sen" x - 6sen* + 5
Solución
cosjc dx r cosjc dx f cosjc dx
Í cosx dx _ r cosjc dx r
sen2jc-6senjc + 5 J (sen2jc-6senx + 9 )-4 J (senjc-3)2 - 4

En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz
cuadrada de una expresión cuadrática.
Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:
Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados.
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
O -r= r=
3 V -* 2-6 x -6
Solución

En la expresión completamos cuadrados: - x2-6 jc-6 = 3 -( x2 +6+9) = 3 -(jc+ 3)2
ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (1)
t dx t dx /*+3,
- .vr-_,-r= = = = arcsen(—-=-)+c
3 4 - x 2 -6 x -6 J ^ 3 -(x +3)2 V3
Solución
Completando cuadrados en la expresión 5- 2x + x 2 se tiene:
5-2jc +jc2 =x2 -2x + 1+4 = (jc-1)2 +4, ahora reemplazando en la integral y
aplicando la fórmula (2)
f . - - f - ^ = = - ^ =
^-r = ln lx -l +V5-2x +x2 |+c
J V5-2x + jc2 J ,/(x -l)2+4
® J - A -
J W l-ln x
Solución
dx
i / * . . . . a)
W l-ln 2 x V l-ln2jc
Sea u = lnx =
=
> d u - — ... (2)
x
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
— . *** = f . = arcsen(w)+c = arcsen(lnx) +c
x s lí^ iñ ^

Integrai Indefinida 15
Solución
A la integral dada escribiremos así: ? v „
f senx eosx dx= )_ f 2senx.eosx ^ 4'ÉO - £ (1)
V2-sen* v 2 .12-(sen’ .t)2
Sea w= sen2x => d&=2senxeosxdx ...(2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
r sen.yeosx , 1 r du 1 , « v 1 ,sen2x x
, = dx =— . = —aresení—
¡=)+c = —arcsen(— )+r
J V2-sen4x 2 J 2 ^ 2 ^2
J-

/
.Y
2-2 x -l <
ÍT
Solución
Completando cuadrados: jc2—
2jc—
1= (a —
l)2—
2 , reemplazando y aplicando la
fórmula (5) se tiene:
J Vx2- 2 x -l dx = J-^(x-l)2 -2 dx
x—
1
-y/x2-2 x -l -lnlx-1+ V x2- 2 x - l +c
© Ja/2 ax -x 2
Solución
Completando cuadrados: la x -x 2 = a 2-(x -o )2.
Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1).
r dx r dx ,x ~ a.
I = - = —
¡ = = = = aresenf------)+c
J -Jlax-x1 J -Jo2 -(x — ' 2
o)

Q J (8x-3 )dx
~<J2x-4x2-5
Solución
Cuando se tiene éste tipo de integrales, en el numerador se pone el diferencial de la
cantidad subradical, luego se resta ó suma una cantidad de tal manera que, resulte la
misma expresión, es decir: d(12x - 4x2- 5) = (12- 8jc)dx
r (&v-3)rfr r ( 1 2 - 8 x - 9 )dx _ ^.r (2-% x)dx ^ r dx
*J2x-4x2 - 5 Vi2 x -4 x 2 - 5 ^ jl2 x -~4x^-5 ^|l2x^A x2
^-5
= —
2-/l2x-4jEZ-5 -f—f . = =
2
-
» T T
h x-2}
=-2'yj2x~4x2-5 +^arcsen(—y ~ ) +c
O J
V2 +x2 —v
/ 2—
jc2
—dx
4 ^ .
Solución
A la expresión, separamos y simplificamos
-/2 + jc2 - ^ 2 - x 2 _ -v/2+ x 2 —n/2—
jc2 _ -/2 + .t2 —s/2—
jc2
V 4 - x 4 -^(2 + jc2) ( 2 - x 2) ^¡2+ xI ^ Í2 ^ 7 2
V2+X2 V2-X2
"
-^2+x 2-j2 -x 2 ^¡2+x2-j2 -x 2 -j2 -x 2 ^2 + x2
Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:

= arcsen(-^=)—
ln|x +1/ 2 +x3 +c
■n
1(x2+¡fríP +1
Solución
2
Al integrando divide, numerador y denominador entre x
/■ 2 u j ----(1------------------------T*1
*
(x -1)dx _ r r
r (x -îjfflr _ f jr f____
' (x2+lh/x4+l •'(x 2+lh/xî + I (vJ.Iv Ü + J_
* V X2
Ahora hacemos la sustitución: w= x +— => ¿« = (1— ^-)rfx
* x2
1 2 2 1 ? 1 7 «
w=x +— => u - x +-— +2 => * +■
— = « -2
„ 2 2
* X X
enseguida reemplazamos en la integral
f (x“ - l )dx r du 1
fu|1
,x+1.
---------- = — , ■= —
;=arcsec—
==+c - —
¡=arcsec(-==-----)+c
J (x2+ lh /7 7 7 J w
^ / ^ 2 -J2 -fi J2 J ï x
Í
x2 +17
10) I — = d x
Vx2 +9
Solución
r x2 +17 . f(x2 +9) + 8 . f x2 +9 , _f dx
I , dx= — , - ■ - dx= dx +S -
,--=
■
Vx2 +9 Vx + 9 Vx2 +9 -/x2+ 9
= fVx2+9dx +8f —
J -vx2+9
= —
[xVx2+9 + 251n|x + -/x2 + 9 |+c
2

1,5.3 TERCERAS FÓRMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN,-
En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para
esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
| sencidam -m sw | c u"§$
Jíg&ifc ~-ífí:|€OSí¿:|^ £?)
=ífe|^e£f+ tg(^+
Jeosecuutu ~ in[cosecu-c tgu | = In)tg~ |+c
( ? ) | ses- u.du:
- :
f e f x ^ ^ ^ u M i^ - c X g u +&
J smtt. tg « ;é íN :^ # ^ t■ ^pj) J w s e p m ^ ^
Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas
Calcular las siguiente integrales.
Jsen(x2 -4x +5).(jc-2)rfx
Solución
Sea w= jc2 - 4 jc+ 5 => du =2(x-2)dx , de donde
(x -2) =^y reemplazando en la integral dada
f -ivj f du eos u cos(x2 -4x +5)
I sen(jr -4x +5).(x-2)dx= I senu.— = -------- +c = ----------------------+c
^ 2
i 2
* 2
J cos(sen x +x 2).(2x+ eos x)dx

Solución
Sea u = sen x +x 2 => d u - (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada
J cos(sen x +x 2)(2x + eosx)dx =J eosu.du =sen u +c = sen(senx +x 2)+c
©
tg(V*2 +4)x
dx
J x 1 +4
Solución
Sea u =-/x2 +4 => du =—
¡ ^ ^ = . reemplazando en la integral dada:
V*2+4
[ tg(Vjc2 +4) X
<
^L= = f tg u.du = ln |sec u +c =ln|sec(Vx2 +4)|+c
J V x 2 + 4 J
(7) Jetg(ln.r)-^
Solución
dx
Sea u = ln r => d u - — , ahora reemplazando en la integral dada:
x
Jc tg(lnx) — = | c tgu.du = ln |sen w| +c = ln |sen(lnjc)| +c
( 5) J sec(3x +5)dx
Solución
Sea u =3x + 5 => du = 3dx => rf*= ^ , ahora reemplazando en la integral dada.
f sec(3x + 5)dx = fsecm
.— = —ln |sec u -1
-tgu | +c = —
ln |sec(3x + 5) + tg(3x + 5) | +c
* J 3 3 3

x) +c
® [secasen +
J 2-4x
Solución
c r j 2'Jx +c.oS'Jx .
Sea u = senV* +x =
> du = -------- ¡=------dx
2-Jx
Ahora reemplazando en la integral dada:
Jsec(sen^[x +x)( ^ ^ )dx = J sec 2u.du = tgu +c = t g ( s e n +x)
(7 ) | secasen x ) tg(-Vseñx)^Jcigx^fcosxdx
Solución
f— eosxdx JctgW cosx
Sea w- Vsen x =
> du =—= = = ----------------dx
2vsen.v 2
De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:
| sec(-Vsenjc) tgí^sen x)^/c tgWcos x rfx
= 2J sec k.tgw.dw= 2sec w+ c = 2secasen x) + t
© fv r+ eos 8xdx
Solución
Se conoce que: eos24x = l + cos8x = 2cos2 4 x, ahora reemplazando
en la integral dada:
a
/2 sen 4x
JV1 + cos8xí& = JV2 eos24xí/x = a
/2 Jcos 4x.dx = -+£■

1.5.
En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto
consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
( 1 ) Jsenhw.rf.v = coshí* + é (¿p J coshfe^f« = senhw -i c
(”
Í ) J tgiiu.du = ]nl'cosh» | +¿ (7 ) jc i0 ü .M ± ínjséah»} #
( 5) Jsec/?’?«*/ igliw+f (g) | cmechhi-du = -ttgh
?) J cosecte./. tghí<uíw = cosec/«/ +<:
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas.
© í sec hx.dx
Solución
r > , 1 2le
Como sec hx =
coshx ex +e~x e2x+ l'
Hacer: u =ex => du =exdx, reemplazando en la integral dada:
í sec hxxix =2 f—
^----d x - l [ =2arctg(w)+c =2 arctg(e*) + c
J J e~x +1 J u~ +1
J(3senh7,v-8cosh7x)rfx
Solución
J (3senh7x - 8cosh7x)rfx = 3jsenh7x.<lc-8j cosh lx.dx = - C
° ^ — - ^ 5 ^ L +C
(T) J 5tghA
.sec h2x.dx

Solución
Sea u = tgh x => du =sech2x ¿y, reemplazando en la integral dada, y por la
fórmula 9) de la primera parte se tiene:
cu ,-tgh.r
f5Ighse c/r* dx= 5“du= — +c = - -----+c
i i ln5 ln5
© j cosh2x.dx
Solución
€'X+€ X 1
cosh2x.dx = (---------- )2 = —(e2* +e 2jr+2), reemplazando en la integral dada
2 4
i i 2x
ícosh2x.dx =— [(e2x +e~2x +2)dx = —[—
----— +2x] +c
J 4 J 42 2
1 1 x
- —(senh 2x +2x)+c =—senh 2x +—+c
4 4 2
© i
senh jc.coshjc.dx
Solución
senh5x
J senh4x cosh x.dx =J (senh x)4cosh x.dx -
(ó ) jV*.cosh{e*)senhfc* )dx
Solución
| ex cosh(er)senh(e' )dx = J senh(^x).cosh(er)£xdx =
+ C
senh2e*
■
+
•c
----- ' 2
du
(7) ísenh(-v/x)-^r
J v x

Solución
senh^/jc)= 2 í scnh(-Jx )d(*Jx) =2 cosh(J x )+c
OBSERVACION - En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en la
forma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de
resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio
de variable.
1.5.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE,-
TEOREMA.- Si x = (JK
t) es una función diferenciable entonces:
Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función / , esto es que
se cumple:
Demostración
Sea F(x) = J/ (x)dx y definimos G(t) = F(<Kt))
(2)
Lo que es equivalente G(t) = f(4>(l))jp'(t)dt ... (3)
En efecto se tiene: dG(t) _
_ d^F(<
¡>
{t)) = — F(x) , x = <
J>
(t)
di dt dt

dF(x) dx (regja ^ ja ca(jena)
dx dt
= f(x)4'U) pues dFj X^ = f{x)
dx
- f ((¡>(t))$ (/) (lo cual demuestra 2)
Se concluye que:
Sí x = <|)(t) entonces J / (x)rfx = F(x) =F(<
¡>
{t)) - G{t) =J f (t)dt
Ejemplos.- Calcular las siguientes integrales.
J xjx -2 dx
Solución
Sea t = x - 2 => x = t + 2 => dx = dt, reemplazando en la integral
jx lfx - 2 <
¿*= J(/+2)V
r rf/ - J(í4/3+2tlli)dí
= 3 /7/3 + 3 /4,3 +c = i (jf_ 2)7/3 +l( x - 2 ) 4/3 +c
© í # i
V i- *2
Solución
Í
x3á _ f x 2jr dx
sea / = 1—
x* => x2 = l- f => xdx = --y , reemplazando en (1)

1 3/ 7 !/■
> .111 1V 3) f 3
= - t 1- +c =t ' ( — l ) + c = — ---- + í = V 1—JC (-------------------- ) + c
3 3 3 3
Jv5Vi ~v2rfv
Solución
Jx5 Vi- *2dx- J(x2)2Vi- *2x dx...(1)
Sea / = 1—
jr2=> je2 = 1-/ => x dx =- ^ , reemplazando en (1)
J * 5Vi“ -T
2rfx= J(x 2)2Vi“ *2* rfx= J ( l- /) 2Vf
= J ( l - 2 / + r ) - v /7 ( - ^ - ) = | j ( 2 / J' 2 - f 1 / J - t ‘i / 2 )d t
2 f 1 1 1 2 1 7/■
>
=—
r — r ¿— / +c
5 3 7
© I -t H
J W-v -1
= ^(1-V 2)5'2 --(1-A -2)3 2 - I ( l- X 2)7/2 +f
5 3 7
d x
-1
Solución
Sea f2 = v3- l => .v3 =1+/2 => x2f/v= zí_í^ reemplazando en (1)

f dx f x 2dx _ r 21 di
J w * 3-1 _ J 3(i+/2)^ r
2
=-J ----7=—
arctg/+c =—
a
r
c
tg
(
-y
/
jc
3-l)+ c
Solución
d t
Sea i = jr5+1 => x4dx = — , reemplazando en la integral dada:
f_ * . 1 fc ' " d t ^ +c = W +D6' 7+c
30 30
r x t t f * = I f ,
J 5ift sJ
© |^ 2 + ^ 2 +a/2+ 2cos(5^ +4 M '1(2*
Solución
Por la identidad eos2—= ■
*
—C0S-* de donde 1+ eosx = 2 eos2—
^/2+2cos(5^/x +4) = a
/2.^/i +eos(Wx +4) = ^2^2 cos^ * = 2 cos("*^*+ ^)
^¡2+-y¡2+2cos{5-Jx+4) =^2 +2 c o s - ^ ^ -
-^2+-^2 +-^2+ 2cos(5V* + 4) =-^2+ 2 eos = V2^1 + eos ^

pr pr 5-/x + 4 5-J x +4
=V2.v2.cos--------- = 2cos-----------
ahora reemplazamos en la integral dada
J ^2 + +-J2 + 2cos(5^/x + 4) . x V2dx =2Jeos — jc'^dx
5-/x+4 8 rf,v -i/? 16
=> —ífc = — = => .v ~dx = — d:
8 5 " 2-v
/jc 5
J-^2+-j2+-y/2 + 2cos(5-s/x +4)
Fjc 1/2í/x= 2J c o s ífc = — senr +c
32 5Vx + 4
= — sen--------- +c
5 8
Se traía de las integrales de la forma siguiente:
Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y
aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 11, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es
decir:

r dx 1 f dx
*ax2 +bx+c o J b 7 4cfc- ¿ 2
(* +— )“ +----—
2a 4¿r
í z f c - i l -
rf-Y
x a x ^ b x +c f 6 .7 4ac-Zr
I,x+ ü > - + ^ r -
Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4),
primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2ax + b.
Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma:
ax+b =— [2cx+d]~— +b, como se observa que la expresión 2cx + d es la
2c 2c
derivada del trinomio cuadrado, luego reemplazamos en cada una de las integrales.
j
l 1 ¥ U U U LA U 1 V 1 1 1 1 V / W W U U i U U KJ* A U V C 1V i l t U U U I
(ax+b)dx a r (2cx+d) J ,, ad t dx
— ---------=— — 5
---------dx+(b- —- ) —¿
---------
cx~+dx+ e 2c J cx~ + dx+e 2c J cx~+dx+e
cx~ -n
aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (1).
En forma similar para la otra integral
r (ax +b)dx _ 2 l Í 2cx+d + ad r dx
^cx2 +dx +e ^c J Ver2+dx +e ^c J ^Jcx^dx^-e
aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2).
Í dx
— --------------
x~ +2x +3
Solución
Completando cuadrado x 2 + 2x+3 = (x +1)2 + 2

Í dx
— —
r ' —
j r -7 jt+ 10
Solucion
•, 49 49
Completando cuadrado jc‘ - Ix + 10 = (*“ - Ix +— )+ 10-----= (x -
4 4
-_Z_!
f dx r dx 1_ ,' i i , 1_ . j t - 5 ,
-------= ------=----- o = T ln |----5 - 5 - 1+í' = T ln |— ^ l+ f
j jc2 -7 jc+ 1ü / y—
—
)" —
— 3 r - Z + i . 3r ” 2
2 4 22
¿A
Ejemplo.- Calcular la integral - p
J V4x-3-Jc2
Solución
Completando cuadrados 4jc—
3—
Jt2 =1—
(a2- 4 y+ 4) = 1-( y- 2 ) 2
í . = - f -= ^ ^ ^ = =arcsen(v-2) +c
*
JV
4r-3-Jt2 JJl-(*-2)2
dx
Ejemplo.- Calcular la integral f .................*
J V r 2 + 6 r + 13
Solución
Completando cuadrados ,v2 + 6x + 13 = (x+ 3 r +4
í ___ — ____ - f ----- = In|x+3 W-V2 +6~y+13 1
J V *2 +6.V + 13 ^/(v-f3)2 4 4
0 (v -2 )dx
Ejemplo.- Calcular la integral I ---------1 1 —
~ ^ x -lx-* 12
Solución
+r
r-
|
<
n

1 2*-7 + 3 1^ 2x—
7 | 3
2 x 2 - l x +12 2 jc2 - 7 jc+ 12 2(x2- 7 a*+ 12)
se observa que 2x —7 es la derivada del trinomio x 2- lx + 2
f ^ - 2|A = i [ , 2 x ~ 7 —
J a - 7 a + 12 2 J jf - 7 x + 12 2 J a - 7 a + 12
= —In | .y2 - 7.y + 1 2 1+ — [ -------^ — -
2 2 J , 7 i 1
(x — ) —
2 4
x _ 7 _ I
—ln|A2 -7 x + 12| +—.— ln | ---- 1 | +c
2 2 1. 71
1
2(—
) A - - +-
2 2 2
—ln|x2 —
7,v+121+—ln |—
—-+c
2 2 Jc-3
3jc 1
Ejemplo.- Calcular la integral í — ------------ dx
J 4x —4.V + 12
Solución
3 4 3 1
3.y-1 = -[8 a - 4 + - ] = - ( 8 a- 4 ) + -
8 3 8 2
í dx—^ í ^a-4 dx+^ í
1 4x2-4 x + 17 * 8 J 4a
-2 - 4 a+17 * + 4a2 - 4 a + J7
= —ln|4x2 - 4 a + 17|+—í ------P ------
8 8 J . l j .
(x ------) +4
2
1
3 1
= —ln 14x2- 4x +171+— arcig —+c
8 16 2

= —
In I4x2 ~ 4x+171+— arctg(——-) +c
8 16 4
E
je
m
p
lo
.- Calcular la integral í l)dx_
V x 2 +2.V + 2
Solución
se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio
r ( 3 x - l ) d x 3 |
r 2 * + 2 „1r d x
W x 2 + 2x + 2 2 , ‘
1 1 ■
> - - a x q J
V x " + 2 x + 2 r( x + 1)2 +1
= 34 x l + 2 x + 2 - 4 In I x + 1 + -/x2 + 2 x + 2 | + c
(4 —7jc)rfjc
f >
Ejemplo.- Calcular la integral I .
Vx2+2x-8
Solución
4-7x = - - [ 2 x + 2 - — l = --(2 x +2) +ll
2 7 2
se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio
(4-7 x)¿/x 7 f 2x +2rrfx
r (4—Jxjux _ ¡c ¿x +¿ r
3 -Jx2 + 2x-8 2 -*Vx2 +2x-8 ^ ■¡(x+l)2 -9
= -7-y/x2+2x-8 + llln |x + l+ V x 2 +2x-8 |+c

1.5.7. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.-
Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:
© f 3ax1- 2bx ,
7 dx
Vax3-b x 1
Rpta. 2^ax*-bx2 +c
© f a
*eos x.dx
Rpta.
(a sena +cosx - 1)] ,w
J (a*sen a
*+ cosa -1) 1-m
© f dx
Y(l +A2)ln(A+-/l +A2)
Rpta. 2^/ln(x +'/l +x2) +í*
© 1ln(C0SX).tgX.rf* Rpta.
ln2(cosA)
--------------+ c
2
©
f^/l +lnx .
---------- dx
J A
Rpta. —(1+lnx)4'3+c
4
©
f x" Va
Rpta.
2 i „
-----■
%
/n 4 - h v 4 - c
^]a +bxn
V u F C/JV T t
nb
©
f x-arctg(2x) ^
Rpta.
ln(l +4x2) arctg2(2jc)
J 1+ 4x" * 8 4
©
r ¿v
Rpta.
1
(aresenx)3^ - x 2
7
2(arcsenx)~
©
f Ja
Rpta. arctgtO +c
© r a* ln¿/ ,
----- — dx
J l +o2r
Rpta. arctg(tf*)+c
© re*(l +xlnx) ,
------------------rfx
J A
Rpta. ex lnx +c

@
©
©
©
©
@
jt2v(lnjc+ l)rfr
r * v 2
VJC-JC e +x
dx
sen 2x^ + 2cos 2x dx
4x(xi,2 - 4 )}rfv
a +bx2
ax+b
dx
px +q
xdx
VJC2 +1
V* + In y
JC
jrd.Y
y dx
'j6~9x2
ln(x+-/l +*2 )
1 + J T
dx
e'dx
x 2x
Rpta. +c
R p ta .------ p r - e 1 + l n | y | + c
3x^Jx
Rpta. -i(l+2cos2ji-)3/2+ r
Rpta. - ( jt3,2-4 )4 + f
6
Rpta. — nci +bx2 |+t*
2b
_ ¿/x b p -a q . . cj
Rpta. — +—
—:pMn|jt +—l+c
P p~ P
Rpta. (jr2 + l)2 + r
_ _ f— liT y
Rpta. 24 x +—-—+c
Rpta. (x2+8)2 +c
_ I ,3x
Rpta. —arcsen(— )+£
■
a +hex
Rpta. y[ln(x + ^ l+ x 2)]2 +£
Rpta. ^-lna +he* [+r

í
d x
4 + (jc-2y
. 1 x - 2 v
Rpta. —arclg(------)+c
2 2
j
x d x
6+ (3 + 2a2)2
_ 1 3+ 2x2
Rpta. — arctg(— = —) +c
4V6 V6
sen a rfx
COSA*
Rpta. ln |1 —eos x | + c
Rpta- -y—
ln | j —
| +<•
16 x2-X
sec~ x d x
a + h tgx
Rpta. —ln| a+ ¿tgx|+í*
b
í
see2 x d x
6 + 2 t g 2 x
^ 1 ,tg x
Rpta. —= arctg(-T^) + c
2V3 V3
©
©
Je i 2 x i ) d x
Í
dx
7 Í ^
© J
xln" x
2'3~i
ex-2
Rpta. yí?ílr5 )+c
Rpta.
ln.r
3 , 6.
+c
Rpta. - ( - ) " (
1
25 5 In6-ln5
) + c
© I
1 8 ¿ t
9 x 2 - x A
_ 2 1. , jc
+ 3 .
R pta.-------InI----- 1+c
a 3 a - 3
COSA
Rpta. 2V - cos a + c
© f , f
J sen .r^/ctgjc-1
Rpta. (í tgx-1)3 +<

©
(x2-2x + l)5
l - x
senh xdx
dx
(1+ coshA)
(]n.i+I)e'lnxi/r
dx
7 l 2
a x~ -b
ascnx cosx dx
1+senx
dx
x - cos X
e hxdx
l- e hx
x2dx
.3 v2
(a +bx )
x3- l
x4-4x+
dx
dx
x 2-4v+ 8
18dx
x2 + 4x-5
, sec 2x i ,
(----------)~dx
l + tg2x
Rpta.
1
2(1+cosh x)
+c
Rpta. xx +i
_ 1 . , ax-b .
Rpta. — -ln|---~+c
lab ax +b
Rpta.
a
Ina
+ c
Rpta. In | x - cos x | + c
Rpta. ^ -ln |l-e bx | +c
Rpta. -
1
3b(a +bx )
Rpta. -^-ln|A'4 -4a + 1|+c
_ 1 fx-2
Rpta. —arctg(-——) +c
2 2
Rpta. 3In | —
—- | +c
x +5
Rpta. -
2(1+tg 2x)
+c

4dx
V -4x2-20a -9
Rpta. 2arcsen(^^) +t-
I
aretgV* d*
Vx + 2x2+x3
Rpta. arctg2V*+c
© i dx
cos2A-Jl + tg-V
Rpta. 2^/l + tgjr+c
© J
2x - Varcsenx
V i-* 2
dx Rpta. - l 4 - x 2 (aresenx) -n
j
lnxdx
x(l+ln~ x)
d v
1 ?
Rpta. —ln|l + ln~ x|+c
2j
t
©
dx
í —
J <
?
2'+ i
Ílnx-1 .
--- y— dx
ln x
Rpta. ln|e +é~x |+c
Rpta. +c
lnx
j
g 'W
( g W ) 2
dx Rpta.
g(x)
■
+c
x ln x -(l +x2)arctgx
x(l +x2)ln2x
dx
_ arctgx
Rpta. ---- — +c
lnx
i
1-xlnx
X
í?
dx
_ lnx
Rpta. ---- + c
/
x r(xln2x +xlnx-1)
ln2x
dx Rpta. ---- +c
lnx
© iV i-* 2
Vl-X2
aresenx-x
(aresenx)'
dx Rpta. +c
aresenx

@
©
©
©
g(x).g'(x)
■Ji+gHx)
dx
ex~e dx
ln(2x)
dx
ln(4x)x
2 + x + 3arctg3x
1+ jr
sen~Jx cos^x
dx
£
ln(2x) + In2jt
dx
3x
dx
In %
*—
dx
e€ e€ ^X
dx
x dx
(1+a
*
4)arctg3a
*
2
sznlxdx
cos'' x + 4
ex sen(4er +2)dx
(x + 2) dx
^/x3 + 6x2 + 12x+ 4
Rpta. ^l +g 2(x) +c
Rpta. e€ +c
Rpta. In x —
In 2. Ln | x In x
1 3
Rpta. —ln(l + x2) + 2arctgx + —arctg4x + c
2 4
Rpta. -cos2
Rpta. Z irr |2 x |+ ^ln 3|x|+~-ln2.1n|x|+c
Rpta. e€ + c
1
R p ta .---------- —- +c
4arctg“ x
Rpta. -ln|cos x + 4|+c
Rpta. - Z cos(4^' + 2)+c
Rpta. —'vx3+6x2+12x + 4+6*

©
©
®
V3-t4 +4.v3+6x2+12jf+9(.v3 +x~ +x +)dx
Rpta. -j^(3x4 +4x3 +6x2 +12a+9)5 + c
x 3+x + 5
x 2+l
dx
4+4 l ^ x :
a
/3-3jc2
dx
Rpta. — + 5arctgx+r
J 3
Rpta. -^-(x + 4arcsenx) +c
(x +l)(x2 +l)ln(x2 +l) + 2x2 Vj _ 4 7
----- ----------------—-e ' dx Rpta. xe ln(l +jc2)+ c
x 2 +l
dx
x(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx
3+xln(l +x 2)
1+x2
dx
xdx
(x-2)dx
4 x 2-4x + 13
/ 1 1 ^
T T—rr)^
x~ -a~ x~ —
u
sen x-xlnx. eosj
c
dx
a sen' a*
lnxrfv
(1-ln2x)x
Rpta. |ln |ln |ln J |lnx|||+c
1 ?
Rpta. 3arctgx +—ln~(l+x~) +c
4
Rpta. yarcsen(jc2)+c
Rpta. ^'x2-4x + 13 +c
Rpta. —ln | —----- —| +c
2 x -k~
_
_ lnx
Rpta. — -fe
senx
Rpta. ~ y in |l- ln 2x|+c

©
©
©
©
©
x idx
V T v
e'dx
e2x -6e' +13
sec2xdx
-Jtg2x +4tg.t + l
1
------
Vl+-v2
dx
exé ~ e 2x
dx
Vs- 4 x -* 2
dx
Vis +2 X - X 1
dx
jc
V* -9 In2a
*
rf.v
V*- £
^
2a+3e'
senj
c
dx
V2- COS2 A
dx
Vs- 6a -9a-2
dx
42x-9x- -1
Rpta. arcscn(x4)+c
1 ex -3
Rpta. —arctg(--------)+c
2 ^
Rpta. In | tg.v+ 2+Vtg2x + 4tgx + 11+r
Rpta. iVl + J
C
2 -31n|x +V*2+1 |+c*
Rpta. -arcseii(e *) +£
•
Rpta. arcsen(* j ^ )+¿
Rpta. arcsen(^Z) +c
Rpta. Z arcscn(lnx 2)+c
2ex -3
Rpta. arcsen(—
Vi7
i .3.V-2
Rpta. - a r c s e n ( — ^ - ) + c
3 V2

s cos x dx
V -2-sen2x+3senx
Rpta. arcsen (2 sen x -3 ) + e
Í 2
dx
V9x2-6x + 2
Rpta. —ln |3 x -l W 9x2 6x +2 |+c
3
3dx
r óa,
J T T t
TI
^4ln2x +9
Rpta. —ln^ lnx+^ T n2 v+ 9 |-fc*
2
i
3xdx
í J
C
4 +6.V" +5
Rpta. y ln |x 2 +3+V*4 + 6x2+5 |+c
rfx
+J?x+#
Rpta. ln |x +'y +'Jx2 + px+g I+c
íoo; f ,
J Vl +tf'r +e2*
Rpta. ln|e' +—+-Jl+ex + e2jt |+c
2
© í
dx
V -26-16x-2;r
Rpta. —
p^arcsen(—pr-)+c
V2 V3
[102
j
lnxdx
rVl+ 41nx-ln2
Rpta. - V l-41nx-ln2x - 2 arcsen(^+^ *)+c
V5
103
eos xdx
Vsen2x +senx +1
Rpta. ln12senx +1 + l^sen2x +senx + 11+c
104J
see x <íx
J *
^tg2x+tgx +1
Rpta. ln|2tgx + l +2^tg2x + l +2-s/tg2x+tgx+l |+c

-x)dx
a/4 .v 2 - 1 2 v + 7
©
108
109
©
©
©
©
©
©
©
Rpta. -ln |2 .v -3 +V4.t2 -12.V+ 7 - - ^ 4 x 2-12.Ï + 7 +<
4 4
4dx
eos W l-sen 2 a-+ 2 eos- v
Rpta. 41n|(tg2 x -I) +- J t g 2 a* - 2 tg y +3 |+r
e o s " A'(tg~ A' + l)
(sen y-feos a )'
dx Rpta.
1
[see A - t g A
1
sec X+ tgX
(8a -3) dx
dx
Vi2jl—
4 r2-5
*
Ja2 +/>2x2
eos ax ¿
7
a
^[a2~+s
+sen_¿
7v
'sjl—
x - x 2dx
tJx2 + x dx
Vx2 - 2 y+ 2
2
1+ tu v
•+t
Rpta. In Isee x + tg x | - ln |see x | + e
Rpta. - 2-/i 2 y - 4 x 2 -5 +—aresenf + 1
2 2
Rpta. —ln|/?A+^]a2+b2x 2 | +c
b
1 /7 ^
Rpta. —Inlsenav +V*?" +sen~ tfx|+t
a/ a 2 + 2 A'+ 5 dx Rpta. * 2 + 2x + 5 + 21n| a + 1+ Vy^ + 2 x + 5 |+ ¿
2 y + 1 r ----------— 9 2 a + 1
Rpta. -------V 2 - a —y “ + —aresení--------)+ (
4 8 3
Rpta. V-V2 + v - ln | 2 a +1 + 2Vx2 + x |
Rpta. -—- ^ v 2 —
2 y + 2 +—ln| y - I + V - y "
* -2x +2 | + r

©
©
1119
120
©
123
125
126
127J
.128
V-*2-2.V-3 d x
V6a - x 2 d x
d x
Rpta. V-v2- 2a - 3 - 2ln |a -1 +Vv2- 2x - 3 | + í -
„ . a -3 r T 9 /a- 3
Rpta. ------V6 x-x +—arcscn(—-—)+<
3
■ yfx- 1 +~<]x + 1
f/t
-Jlx+l—<
Jx
Rpta. - j ( ( * + l ) 2 —(.v —1 ) 2 ) + c
Rpta. 2(^/2x+l +-s/x)-2(arctg-/2jc+1+arctgV*)+ c
v2sL
-n
i 1(sen Y+ Acosx inr)¿/vRpta. —x2sen' +t*
In3x
jtln5jt
€?*+4
dx
2 V+3
¿7
,v
ln(2 lnjr+^ln
A 3 - 8
2e -fe
3eT-4^
Rpta. I n — . l n l l n S . v l + l n j c + c
1
Rpta. —— In 11+ 4 ^ ' | +c*
4 - -
Rpta. —
+1)2 -4(4x + 1)2 +f
3
Rpta. i(A ---i-ln(2'+ 3))+ í
3 ln2
Rpta. ^jlnx+^Jlna +...+*
r 8
Rpta. — + j ln |x 3-8|+f
Rpta. ln|V3tJ2r -4^3-4^ 2* |+r

129 f —
f^ X- Rpta. 2a r c t g -1 +c
J -Je*-l
1^130) Rpta. 2-Je* + 2 - 4 arctg(—
g ~ ) +c
(¡3l) f 4 = ^ Rpta. - ( í '’
r - l) 3,2-2(<?r +l),' 2+í-
^ J Vi+fr 3
® r lnxrfx _ „ l
—---------- R p ta .------- ----------- r +c
J y3n n r -13 ?r-íln >-_l2
lnaí/x 1
---------- - R pta.------- ^
-----
x J(lnx-l) 2x~(lnx-l)'
^ J ^ / +x V - r - l
Rpta. t>
aiclg* +—ln2(1+x2)+ aretex+c
4
(134) Jsen(o +bx)dx Rpta. - cos^ + ^ +c
(135) J sen(lnx) ^ Rpta. -cos(lnx) +c
(oó) Jx cos(2-x2)dx Rpta. —
^sen(2-v2)+c
(Í37) Jsen' 4xcos4xífa Rpta. -en^ ~ - +c
139)
@ J tg|)sec2(^)dx Rpta. 4 tg 4(v) +í'
4 3
r sen x cosx d n x 1 /---- r—
■... R p ta .------(/eos2x+c
Veos2x -sen 2x ^

140J
©
142
144)
145
146J
147J
148
149J
150J
151
152
cos(sen x + 2.v)(cosx +2)dx
tg(senx + 5) eosx dx
see2(cos(ln jc)) sen^lnx^¿x
eos(sen x) eos x dx
sen■fx
dx
■fx
lg-Jix +1
dx
V3x+T
, dx
ítg(lnx)—
JC
tg^/ínx
dx
dx
x~Jhx
cos“(1-4jc
)
eos1xdx
1-senjc
dx
1+cos 10a
'
dx
4+5 eos“jc
dx
Rpta. sen(sen a
*+ 2 a ) +c
Rpta. ln|sec(senjc +5)|+c
Rpta. -tg(coslnx) + c
Rpta. sen(sen jc) + c
Rpta. -2cosa/jc+c
4 +5sen“ x
Rpta. —ln|sec v 3 jc + 1 |
Rpta. ln|sen(lnx)|+c
Rpta. 2In |secVlnjc [+c
Rpta. - “ te(l-4jc) +c
4
™ a
. eos~ x
Rpta. sen a ----------+c
1 ^ tlíX
Rpta. -aretg(^-^-) +c
6 3
I ,3 tg jc %
Rpta. —arctg(—^—)+c
6 2

153
1154
155
157
158
159
161
163
164
165
-s/l +senx dx
1+ tgx
sen 2x
dx
•>
/]+ cos 2x dx
Vl - cos 2x dx
■
y
jl+ cos 8x dx
-s/l - cos8x dx
senVcosjc.-Jtgx.senx dx
cos 6x + 6cos 4x +15 cos x +10
cos 5x +5cos3x+10 cos x
x2cosh(x3+3)dx
dx
senhx.cosh2x
e2x cosh x dx
e xsenhxdx
senh3x.cosh2 x dx
Rpta. - 2a
/1-sen x +c
1 tgx
Rpta. —In | cos ec2x-c tg 2x | +
2 2
Rpta. V2senx +c
Rpta. - a
/2 cosx + c
V2
Rpta. -^-sen4x + c
O . a
/2
R p ta .------cos4x +c
Rpta. 2cosVcosx +c
dx Rpta. 2senx +c
_ senh(x3 +3)
Rpta. ----- --------- +c
x, 1
Rpta. ln|tghy| +
coshx
+c
e3x ex
Rpta. ---- +— +c
6 2
lx
€ X
R p ta.-------—+c
4 2
+c

(lóó) J— (lne+lnx.lne*)í/x Rpta. ex lnx+c
f x2/3+x4esen3,r cos3x +x3 , _ , 3 -7/3 esen3jr
-------------------------------- dx Rpta. — x + - - - -
J x4 7 3
168
172
1174
f O-*) , „ 1 1 1
----- — d x R pta.------- r +^ ------+c
J x 4 3x x2 x
(l69) J x^4 +x 1dx
© í
r2e - e -3 , _ , , r
I —--------------- dx Rpta. x +ln(í? —
3) +c
J -Jo*
e - 2e - 3
Rpta. -^(4 +x2)3' 2 +c
^ 7 0 ) J 4 l a x - x 1 d x Rpta. arcscn -——
+ ° - J l a x - x 2
(x2+2x)dx _ 1 3 , 7 ,.7/3
Rpta. —(x +3x*+l) +c
& 3 + 3 x 2 +1 2
f * 1 .
I . Rpta. —arcsen(— )+c
J -/n „4 2 3
V9-X4 2 ^
(l73) J6x.e J rfx Rpta. -3t,r +c
f (6-2x)rfx a
/8-4 x- 4 x2 7 2x + l
175) I . = Rpta. ------------------+—arcsen—----
J V 8-4x-4x2 2 2 6
+ c

Integra! Indefinida 47
178J
179
180
©
182
183J
184
185J
186
©
188
189
( v + 3 )d
scns veos Vdx
dx
5v- -20.V + 23
dx
dx
a/ - 5 - 1 2 a - 3 a-2
dx
VW9 - v
a d
5 + r 4
dx
2.x + x +1
rfx
6 - 12-4v
-Ja: -hl x2
■ic'dx
dx
vin y
Rpta. V
-v
"
*+2x +2 lnI y->
-l+Vv2+ 2x (+i
_ sen6 X
Rpta. --------+t
1 V 5 (v -2 )
Rpta. —
=arciu----- — +c
VÎ5 - V3
1 v-1
Rpta. — arctg(—^ ) + r
V3 *
v3
I r v+ 2
Rpta. —
=arcsenv3(—^ ) +<
‘
a
/3 a
/7
Rpta. 2arcsen(-~) + c-
1 t 2
Rpta. —p^arettz^r+ r
2^5 ^
2 4 x + 1
Rpta. -=arci u— +
a/7 - V7
1 , , a- 3 - ^ 3 9 ,
R p ta .-----= - ln I ---- ----
2 -J 3 9 v - 3 + a / 3 9
1 />A-
Rpt&. —
aresen— +<:
b a
Rpta. 2^' 2 +r
Rpta. In(lni) +£

190
©
192
193
©
195
196)
©
I98J
199J
200
In v
dx
_ In-
Rpta. ------ +t
xn( +x~)dx
Rpta. -^[ln(l + v2)]2 +r
1+x-
dx
■Jx{±^fx)
(21n v+ l)rfx
x[ln' x + Ina ]
x dx
(2 —
7v)
Rpta. 21n(l+Vv) +r
Rpta. ln(ln~ x+ ln r) + t*
1 4-7x
Rpta. — ( . )+t
49 J l^ T x
V2x-3 dx
(2x-3)r 3+1
Rpta. 2[(2v 3)-----------------( 2 a 3 > — + — r — 3 - ^2,v-3 + a r c t g -3 ]+<
x^[x +] dx
xv2-5x rfv
dx
a
/x+1- Vx
v 2 a/1 + x r/v
xv4 +x dx
2 7
Rpta. -j(x + l)* “ —
—(x + 1)3 2+ r
Rpta. — (2-5.v)5 2 (2-5.t)3,2 +c
125 75
Rpta. y[(.v + l)3 2+,v3' 2]+c
Rpta. ~ (1+x)7' 2 + l')5 2 + 2 +í’
Rpta. ~ (a +4)5' 2 -^(.v +4)3' 2 +c

íntegrai Indefinida 49
© J;x5dx
Rpta. | [ (9+X
8 )8' - y ( 9 +x2)5' 3 + y (9 +jc2)2' 3]+ e
+x*
202
J
dx
(1+VTTjc)1' 2
Rpta. y(l+ V Í+ ^),/2(V Í+ 7-2)+ f
(2Ô
3) Jx2(x+ 3)n r/v
(x+3)14 6(x + 3)1
3 . 3(x + 3)1
2
R p ta.------------------- :-----+------------ +í
14 13
Rpta. —ln(t,T+2)--[e2* -4 + c
x -5x+9
[205) f *~ ----- ¿v
J X 2 -5x+6
Rpta. x+ 31n—
——
+c
x -2
206)
JX 2 -3x~8
X2 -2x + l
dx
10 , ,
Rpta. x +-------ln |x -l|+ c
X —1
207J
j
X2 +1
(x +2)2
dx Rpta. .y - 4 In I.V+2 Ì --------+c
x +2
20H)
I *
J v~
(4x+ 5W
a

x' + 2x + 2
Rpta. 21n|x" +2. +2| +arctg(x + l)+c
209;
{3x-5)dx
X -8 a+42
Rpta. —In IV2-8x + 42| +-¡Z=arctg(^=^) +í-
2 -s/26 -V2 6
© f -
5x +3
+ 4x +4
rfv Rpta. 51n|x + 2| +-------+c
x+ 2
211
j
(x- + l)rfx
(X 3 +3x-7)'
Rpta.
_____1_
3(x3+3x-7)
•+£•

® M * 2+ l)ln(x2+ I)+ 2.ver arctg-v ^ ln(x2+ l)g>
J x 2+l x2+l
Rpta. e* ln(x2+1) arctgx+c
© r r(l + x2)cosx +(l +x +x2)senx %1. _ . , r. 7
J [-------------- — ------ ------- e }dx Rpta. e Vl +x~ sen x + 1
214
217
218
f (x +l)(x2+l)ln(x2 + l) +2x2 , v| 2 , ,
-----------------------------------e dx Rpta. xe ln(l + x )+t
3 x '+ l
© fr2(x2 +x+l) + (2x3+6x2+5x +2)lnx x , _ r 7
[—----------- --------- í-----e*dx Rpta. xVl + x+x-í?Mnx +<
J 2vx2+x +l
[21ó) Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresión
dada:
a) f(x3 íx3fx)dx+ f"{x))dx Rpta. x3(l + f(x)) + f ”(x)
dJ dx J
b) J(x/(x))'djr Rpta. x f(x)
c) J(4/"(x) + 5/'(x))rfx Rpta. 4 f(x ) +5f(x)
d) J“(íx/(x))"+x/,(x) +f(x))dx Rpta. /(x) +x(/(x) +/ ’(x))
e) J(x /'(x ) + /(x))rfx Rpta. x f(x)
rsenxí;,g2* ] lR:,-
--------—
— dx Rpta. —e g +c
J eos x 2
f 4arctg2x+2x2+l + 5x+2 , _ 4 3 5 . , ?
I -------------------------dx Rpta. 2x +—arctg x +—ln|x~ +1| +
<
*
J l +x~ 3 2

2 1 9
220)
222
223J
225
226
227J
228J
229
230
i-’ +lh/4 - 2 i2-y"
( 4.V+ 4 d x
d x
d
se n v. s c n (c u s x ) d x
scc a . u x. c o s(se c jc )d x
V i + v + V i - A ' 2
v r ^ 7
V v ^ i - V ^ i
r/v
V 7 ~
dar
d*
(v + 4)dv
( A - + 8 a* ) 4
r + 3
+ 2*
2 y + 5
+2.V+ 5
d*
dv
1
Rpfa. ^-(4-2v 2- v 4)2 +r
16
3
ii
Rpta. — Ijl-2) 3 +c
1
1
i
Rpta. -2(1 +— )2 +i-
3a
Rpta. T V i 3 +3 a 2 + 1
Rpta. eo s (e o s x ) + c
Rpta. se n (se e x ) + c
+<
Rpta. aresenx + ln |A
' + Vi + *2 | +c
Rpta. ln | 1 + — i-1 -fe
x +4x^ +1
Rpta. l n | x | ------~ r + c
4a
Rpta. +r
5(x 2 + 8 a ) 4
Rpta. Vv2 + 2 jc + 2 lnx + 1+ Vv2 +2 a' | + c
Rpta. lnjx2 +2x + 5| + y a rc tg ^ Z +(

231,
j
( 6 - 2 y )dx
4 y - 4 a *
j __________ -j ^ “+1
Rpta. —VH-4 v -4 v : +—arcsciK V
^+ )+r
232
J
It - e - j
2i -i
C - 1c —J
dx Rpta. v+ln 11*‘ - 3 1+c
© Í7 ÍT
dx Rpta. J_ ^ ln |jc2+l|+c-
234
r -¡2 x~ +1 - +1
Rpta. _
v——
~ ^ 2 +1 +- ^ l n |'Jl.x +'jlx* +1 |
2 42
+<
•
235)
J
v ' + i-V en3> eos3 a + A3
_ 4
sen x
dx Rpta. ln v+ --------—
-X 5 +£*
3 7
1.5.8. ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.-
Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama
“Ecuación Diferenciar’ usaremos la técnica de antiderivada para resolver una
ecuación diferencial de la forma:
donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho.
La solucion de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una
función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación
(1) es la integral indefinida.
v
(.v
)=J/(jrW
.v+
< ... (2)
dx
Ejemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — = i
- o,
rfi
Solución

La solución general de la ecuación diferencial dada es: y(x) = j 2xdx + c = x 2 +c
NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer
junto con una condición inicial de la forma y(x0) = y {) y con estas
condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la
ecuación (1), por lo tanto la combinación.
de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con
condición iniciar’.
dy
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x +1, y(0) = 3
dx
Solución
La solución general es: y(x) = J (2x + l)dx +c - x 2 +x +c como y{0) = 3 es decir:
cuando x = 0, y = 3, que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c
entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jt2 + x + 3
OBSERVACION.- El método indicado para resolver una ecuación diferencial
puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación
diferencial con respecto a x.
f (— )dx = f (2x + )dx => y(x) =x2 + x + c
J dx J
También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:
La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:

h(y)dy = g(x)dx
así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son
“Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por
integración directa.
~ J g{x)dx+c
¿y ^ ^ ^
Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — -------- ------
dx y“
Solución
La ecuación diferencial — = —
— ^ ——, se escribe con diferenciales
dx y~
V2dy =x2^x* -3 d x , quedando las variables separadas
ahora integrando ambos miembros para obtener la solución
3 3
y 2dy- í x2-y]x3- 3 dx + c => — = —(x3-3 )2 + c
J J 3 9
3
3>’2= 2(x3- 3)2 +9c que es la solución general.
OBSERVACION.- Las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en
diversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento
rectilíneo en Física, en Química. Biología, psicología, Sociología, Administración,
Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo,
aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante.
ISS. MOVIMIENTO RECTILINEO^
Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento
de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si
la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X),
bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda
descrito por su “función de posicion” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.

íntegra! Indefinida 55
A
0 . ... ^
x(t) posición en el
instante x
La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X.
La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función
de posición.
A
0
1
►
r
x(0) = x0
t = 0
velocidad x'(0)
Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.
En una situación típica, se tiene la siguiente información:
a(t): la aceleración de la partícula
x(0) = x0 Su posición inicial.
v(0) = v0 Su velocidad inicial.
Para determinar la función de posición de la partícula x(t).
Primeramente resolveremos el problema con condición inicial.
correspondiente a la función velocidad v(t).

Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial.
dx
dt
... (P)
para la función de posición x(t) de la partícula.
1.5.10. ACELERACCION CONSTANTE.-
La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (p) es
más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de:
dv
— = a (a es una constante)
dt
de donde v(t) =ja d t +cl =at +cl
para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(/)=¿*/ + v0
como jc
*(/>= v(/) una segunda antiderivada se tiene:
*(/) = | v(t)dt + c2 = + v0)dt + c2
para x(0) =x0 entonces c2 =x0
Luego
(1)
(2)
(3
)
NOTA.- Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la
aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.
Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado
los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él
automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración
constante de 20pies/seg1 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba
el auto cuando se comenzó a frenar?

Solución
Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del
auto, elegimos el orden de modo que xt) =0 cuando t = 0.
x = 0
v =v0
En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del
tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = -20 pies/seg2 y no
a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante.
dv c
— = -20, integrando se tiene v(t) = ~ 20dt + cx= -20/ 4
*cx
dt J
aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican
que cx=v0, luego la velocidad del automóvil es: v(t) = -20/ + v0
al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2= 0 por lo tanto, la función
El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que
x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores
en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene:
x
desaceleración constante: a = -20
inicio
t = 0
x = 160
v = 0
como
del automóvil es: x(l) ~ -10/2+
—
20/ + V
q—0
—
10/" +v0/ = 160
.(1)
.(2)
de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2)
—
10/- + 20r ^!60 => r = 1 6 = > t = 4

v0 = 20(4) = 80 pies/ seg
Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era
v0 = 20/ - 20(4) = 80 pies!seg
1.5.11. MOVIMIENTO VERI ICAL CON ACELEíÍACION GRAV1TACIONAL
CONSTANTE.*- . •,• .. . •
.,. . . -
Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta
seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una
partícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi
es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta
1 0
constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies / seg~ o 9.8 mi seg~.
Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a
la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí
trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de
coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba
como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula
consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = — , entonces la
dt
aceleración de la partícula es: a= ~^¡= ^ pies!seg1
v{t) = Jarf/ + c = J - 32dt + c = -32/ + c = -32/ + v0 ... (1)
>•(/) =^v(t)dt +k - j (-32/ + v0)di + k =-16/2 + v0/ + k , para t = 0, y(0) = >’
o
V
{
) =0 +k =
> k =>n por lo tanto >(/) = -16/2+ v{)t + >
*
0 ... (2)
Aquí y« es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en
pies/seg. y t el tiempo en segundos.

Ejemplo.- Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una
poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48
segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la
velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza.
Solución
Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo
correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la
dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies.
Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no
tenemos la información sobre la velocidad inicial
v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que
v(í) - 32/ + v0
son < 7 7
y(t) = -16/“ v0/ + >’
0 = -1 6 r + v0/
Cuando t = 4 8 seg. se tiene y = 0 de donde
0 = -16(4 8 ) 2+ 4 8 vü => v0 = 1 6 (4 8 ) = 7 6 8 piesíseg
para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de
t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando
su velocidad se anula - 3 2 / + v„ =0 de donde / = — = 2 4 en este instante, la flecha
3 2
ha alcanzado su altura máxima de ym
ax = >‘( 2 4 ) = - 1 6 ( 2 4 ) 2 + 7 6 8 ( 2 4 ) = 9 2 1 6 pies.
Ejemplo.- Se lanza una pelota verljcalmente hacia arriba desde el techo de una
casa de 6 5 pies de altura y la velocidad inicial es 4 8 pies / seg. ¿Cuánto
tiempo lardará la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará?
Solución
Y
v a l o r e s p o s itiv o s
h a c ia a r r ib a
a(t) = -g
t = 0 s u e lo
y(0) =y„ =o
v (0 ) = v0

B VA =48 pies!seg
t y(0 V
0 64 48
6 4
a =—
32 pies/seg~
se sabe que v(t) =ja dt =j-3 2 d t+ c
v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48
48 = 0 + c entonces c = 48
Lueeo v(t) = -32t + 48
Además y(t) =J v(t)dl +k => y(t) = J (-32/ + 48)dt +k
y(() = -16/2 + 48/ + k como t = 0. y(0) = 64
64 = 0 + 0 + k entonces k = 64
Lueeo +48Í + 64 (2)
Calculando el tiempo transcurrido /AC que demora en llegar la pelota al suelo y esto
ocurre cuando y = 0 de donde -16/2 + 48/+ 64 = 0 => /2 - 3 / - 4 = 0
(t —
4)(t + 1) = 0
es tAC =4 seg
t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo
1.5.12, EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
©
dy i
Resuelva la ecuación diferencial — = ( jc - 2) donde y(2) = 1.
dx
Solución
La solución general de la ecuación diferencial dada es:

v(x) = í (x —
2)*dx +k= —-— i-k como y(2) = 1
J 4
(2 2)2 (x 2)2
v(2) = 1= ---------- + k de donde k = 1 por lo tanto la solución es y = -----------+ 1
(T) Hallar la solución general de la ecuación diferencial xJ + y 2 + v.Vl + x2— = 0
w dx
Solución
A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales
x.^l + y 1dx + yrjl + x2dy =0 separando las variables
xdx ydy _ . 4
,r x , f yd
_ = + _ = = 0, integrando J - — - » *
VI + -v -^
/l + v* Vi +x V1+-v
de donde +-Jl + >'2 = A
'
Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xy2)dx + (y + x2>*)rf>’= 0
Solución
A la ecuación diferencial expresamos en la forma:
x.(4 + y 2)d + v*(l + x2)dy = 0, separando las variables
xdx vdy .
—+ —
—— = 0, integrando
i + x 4+>-2
f * ■
+ f ^ = lnfr de donde —ln(l + x2)+~ln(4 + >'2) = lnA'
J 1+ x2 J 4 + / 2 2
InVl + x2^ 4 + >‘2 = InA' de donde Vi + x2^1 + >’2 = £
/. (l+ x 2)(4 + r) = c

Hallar la solución general de la ecuación diferencial x dy + i/l + y 2dx = 0
Solución
jcdy + + y 2dx = 0, separando las variables
. ^ + — = 0, integrando ambos miembros
V1+r x
j*-^=¿L= + J — =k de donde In| y + -yjl + y2 | +lnr = lnr
lnx.(>* + */] + y 2) =lnc por lo tanto x,(y + ^1 + y 2) = c
© Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3y dy = 0,
./n 7
1
y y
Solución
sen 2x dx + eos 3y dy = 0 , integrando ambos miembros
Jsen2xdx+ Jcos3yrf>’= ¿ dedonde _ C
Q
s2x + sen3> = ^
.71 ^ 71 _
7T7T
como y(—) = — es decir para ,x= —, y= —
' 2 3 2 3
C
O
S7T sen7r , 1 „ , fl 1
---------+ -------- k => —+ 0 = A
' => Ar=—
2 3 2 2
cos2,t sen3>- 1
----------- h----- - = — dedonde 2 sen 3y—3 eos 2x = 3
2 3 2
© La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 3*Jx , si el
punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.

Solución
dy i—
Por la condición del problema: mLf - — = 3^x de donde
dx
dy - ?>4x dx integrando J dy - J ?>4x dx +c
3
_
y =2x2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces
2
4 = 292 +e =>4 = 5 4 + c= > c = -50 /. y =2x4x-50
Q La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar
una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto (y ,2)
Solución
dy
De la condición del problema se tiene: mLr =— = eos x
dx
De donde dy = eos x dx, integrando j d y - j eos x dx +k
y = sen x + k, como la curva pasa por el punto (y ,2) entonces
2 = sen—+A
r => 2 = I + k de donde k = 1 y = sen x + 1
2
^8) En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x); Dxy = 6x - 2 , y en el punto
(1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva.
Solución
Dxy =| D¿ydx+k = J(6jc-2)dx+k =3x2 -2x+k
mLt =Dxy |(|<
2
)= 8 entonces 3 -2 + 4 = 8 => k = 7

y = J Dxy dx +c = J(3x2 - 2x + 7)rfx+ c
v = y3- x2+ Ix +c , como la curva pasa por el punto (1,2) se tiene:
l = l - l + 7 + 6 c = -6 /. v = x* - x 2 + 7x-6
Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula
desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la
aceleración de la partícula en t segundos.
a) a(t) = 5—2t, V(2) y x = 0 cuando t= 0 expresar V(t), x(t) en términos de t.
Solución
dv
a(f) =— = 5 -2 1 => dv = (5 —2t) dt, integrando
di
F(/) = 5 / - r + c para V= 2 cuando t = 0 => c=2
por lo tanto r ( tf* 5 t- Í 2+2
V(t) =^ - =5 t - r +2 dedonde dx =( 5 t- r +2)dt
dt
f f i 5/2 /3
Jd x - J (5 /-r2+2)dt+k =
> x(t) =—----—-i-2
/+A
rcomox= 0cuando t= 0
0 = 0—0 + 0 + k entonces k = 0 .%
: 0 )
2 3
7 7
b) a(t) = 3 t-t~, V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t.
6
Solución
a ( t ) = ~ ~ 3 t - t 2 dedonde dV =(3t-í2)dt
dt

jd l' = |( 3 / - r )dt +c => v(/) = —
*— ^r +c
2 3
1 „ 7 7 3 l
como l = 1. F = —se tiene —= -------- +c => c = 0
6 6 2 3
K</) = — = - ----— de donde dx =( - — — )dt
dt 2 3 2 3
1 1 7
como X( 1) = 1 entonces 1=------- +A k= —
2 12 12
~ í t 1
x(t) —
--------- +—
2 12 12
La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es
v{t) =t^] +t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante
/j =a/8 hasta el instante í2 =-v/24
Solución
Sea X(t) la posición de la partícula en el instante t entonces X'(t) = v(/) = tA¡l +t2
La distancia recorrida desde el instante tx hasta el instante í2 es:
X(t2) -X (ti) =X(-J24)-A'h/8) (1)
como X'(t)=v(t) =
> X(l) = J v(i)dt +c
______ 1 3
A'(o = J/.v i+ í2< a= -(i+ /2) 2 +c

fc6 Eduardo Espinoza Ramos
A<V24) = - (l +24)- +c =— +c : A'(V8) = -(1 +X)2 + i= — + c
3 3 3 3
125 1 27
©
,— r~ 125 27 98
como A'(-s/24)-A'(Ví<)=(— +í )-(— +í )= —
3 3 3
Sí el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h
mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantener?
Solución
528 pies
mi 528 X8 .
K'‘ = 2 0 T - 3 6 Ó T T '’“i,' ’‘*
„ mi 528 220 . ,
= JóW =~3~ *
>le'> Xeg
se conoce que 1 milla = 5280 pies
además V(i) =jadi+ c de donde V(t) = at + c
cuando t = 0, V = — => — = 0+t => c - —
3 3 3
—(1)
además
ás x(f) =jy (t)d i+A-, reemplazando x(l) = j (a! +— )dl+k=---- +— +A
2 3
cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces
at2 88/
+
2 3
... (2)
220
ahora encontramos la aceleración cuando V = —
— , t = ?
x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)

220 88 132
-----=at+— => I = -----
3 3 3a
528 = - ( — )+— (— ) => 9a(528) = 20328
2 3 3a
20328 77 , i
a - -------- => a - — pies/ seg~
9(528) 18
(l2) Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al
carro una aceleración negativa constante de lOpiesIseg2. ¿Cuánto tardará el coche
en detenerse? ¿Qué distancia recoiTerá antes de parar?
Solución
V - 50 mi = 220 pies
VA VB A ' h 3 seg
VB =?
•y
o - -20pies / seg"
además V(t) = j -20 dt -te = -20/ +c
220 220 220
cuando t - 0, V ----- de donde -----= 0+ c => c - -----
I - : 3
f * ?20
además *(/) J V{l)dt+k - j (-20/ f +
1 2'il
x(/) = -10/~ — , juanúo t = * '<= 0
(1)
7?0/
0 = -0 + 0 + k Je dorde k = tí entona:.; jc
(/) = -10/" +-----
3

para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0, t = ? en
220 1
1
la ecuación (1)0 = -20/ +---- entonces t = —seg
3 3
Luego la distancia recorrida es cuando / = —seg en (2):
3
11 11 , 220 11 1210 .
•v(—) = -IO(—)- + - ( —)= — - pies
j 3 3 3 3
(b ) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de 20 pies/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad
llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará?
Solución
VA —20pies/ seg TAC = ?
/
/ V TiB = ? a = -32 pies/ seg.
i
> »
4 ------ Vf = ? porque se opone el movimiento
!
B
dV_
dt
como a= — =~32 => V(l) =j-3 d l+ c
V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0
20 = -0 + c => c -2 0 luego V(t) = -32t + 20
V(t) =— =-32t +20 => dx = (-32t + 20)dt integrando
dt
J<¿t = J(-32r +20)<*+A x(t) =-l6t2 +20t+k
x = 0 cuando t= 0 0 = -0 + 0 + k => k = 0
Luego se tiene x(t) =-16t2+20/

Tab es el tiempo que demora en llegar al suelo,para estox = 0 =>-16/2 +20f = 0
t = 0, / = —,el tiempo que demora encaer es —seg yla velocidad con quellega
4 4
5 pies
al suelo es V = —
32(—
)+20 = -20 —
— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad
4 seg
con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir —seg
2 8
11.5.13. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS -
® Hallar la solución general de la ecuación diferencial.
a)
dy x~
dx v(l +.v3)
Rpta. 3y2—21n(l +*1) =c
b) f i 7 7 ^ =x 2v+x2
dx
Rpta. 2^--x* = 31n(j?+ l) + c
. dy , 2 ?
c) — = 1 x + v -i-xy
dx
Rpta. arctgy-jt------- c
d)
dy _ e * +x
dx y+ey
Rpta. y 2 - x 2 +2(ey - e x) =c
e) ( x - y 2x)dx+ (y-x1ytd, - 0 Rpta. (x2-l)(y 2-1) =k
f) {x +x^jy )dy+y-fyax ~ •' Rpta. — +lnxy =c
<y
g) ey(l+x )d -jí:(1+e"kfx = 0 Rp.a. l +ey =c(í+x2)
h) (ey +1) --íx éD-e- 'senr+Dtfy-Q Rpta. (senjc + lXe-*’+l) =k

(T) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales.
v *• , 3 2 „ 3v4 2 9
a) ~~ =3x + - T ,y ( l) = l Rpta. y =—---------+ —
dx x - 4 x 4
b) ~ = J -----y(2) = -l Rpta. y = 2-fx+2 —
5
dx -yjx + 2
J
c) v” —
~
— x2 =0, y{-2) =-2 Rpta. y=x
dx
d) (4x+*>•2)rfx+ (>•+x2 = 0, y(1)-2 Rpta. (1■
+x 2)(1+ y 2) = 16
i
e) ^ l = x y y . y(3) = 1 Rpta. jc3-3jc-3>-- 3 ln | >
•|= 21
dx .v+1
f) ÉL^ ' - t o - y ' ^ 3)b1 Rpta. (x3-1)4 =264(2.v2-J)
dx y - x 3y
g) — -2jrtgx =0 , v(~) = 2 Rpta. y = 2sen 2jr
dx ' 2
h) x(y6 +l)dx+y2(x4 +l)dy =0, y(0)=l Rpta. 3arctg2+ 2arctgy 3= —
j
2
»
© Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad
inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la
aceleración de la gravedad, determinar:
a) Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra el suelo.
b) La velocidad con la cual chocara contra el suelo.
c) A que altura se elevara la piedra en su ascenso.
Rpta. a) 8 seg. b) 128pies/seg. c) 256 pies

© Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene
555 pies de altura
a) ¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo?
b) ¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo?
Rpta. a) —V555 seg b) 8^555 pieslseg
4
& En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en el
instante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del
mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la
función velocidad V(t) y la función de posición x(t).
Rpta. V(t) = -32t - 20 , .v(/) = -16/2-2 0 /+10
(ó) Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo
esta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg.
a) ¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo?
b) ¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?
Rpta. a) 3.4 seg. b) 99 pie / seg.
Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97
pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire?
Rpta. 144 pies f 6 seg.
Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la
profundidad del pozo? Rpta. 144 pies.
parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1base del
edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo?
Efrain arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la
Rpta. 5 seg. , 112pies/seg.

© Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40
pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo.
a) Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial,
exprese v en términos de x
b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y
sigue ascendiendo?
Rpta. a) v2 = -64jc +1600 b) 24 pies/seg.
(ll) Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad
de la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xrt, donde el sentido positivo es a
la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento,
determine su posición y segundos más tarde.
Rpta. — cm a la derecha del origen.
2n
( l^ Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura
máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial? Rpta, 120 pies/seg.
( l ^ Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de
400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que
velocidad golpea al suelo?. Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg.
14) Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160
pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? Rpta. 400 pies
(ls) Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100
km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantenerse? Rpta. 1.62 m
seg

(íé) El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta
tangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta. y ~ x 2-3x +2
^ 7) En cualquier punto (x,y) de una curva D2y =l- x 2, y una ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2- x. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta. 12y - 6a*2—
x 4 - 20x + 27
(l?) Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva
D2y - 2- 4x. Encontrar una ecuación de la curva.Rpta. 3y =3x2 - 2x3+ 2x +c
(l?) Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto
(excepto en x = 0) se biseca por el eje X. Rpta.y 2+ 2x2 = 6
(20) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 - 4x y
el punto (1,-1) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta. y =10x-2x2-9
IA METODOS DE INTEGRACION -
Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de las
funciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por
sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en
fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de
seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales
con la combinación de CHEBICHEV.
l& f INTEGR>M-íON;Dfc£AS ÍPSÍCÍON^
Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:

J sen*jcife* Jctg1
*xdxy
Jscn^ xcos"xáx s jVfg'* xcose^xás
Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes:
a) Para el cálculo de las integrales de la forma:
m j:
¡sen*xrf*, eos" '
: J J
Se presentan dos casos:
ler. Caso.- Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades
siguientes:
■
- u;. "at ... ■
.....,ajal;v.wjj;.u■
■
..q»¿yvt•
I —
eos2x 1+^
2 ■ 2
2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de
este caso expresaremos en la forma:
J sen*xá x- J scvT1xsenxdx
| eos* xdx~ 1
Luego se usa la identidad sen2x +cos2x = l
Ejemplos de aplicación de este criterio.
Calcular las integrales siguientes:
Jsen23x¿¿T
Solución
Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad

sen23x =----- —
— , luego al reemplazar en la integral dada se tiene:
i
f * 1 f,, ^ , 1 , sen 6x v jc sen 6x
sen“ 3xdx =— (1- eos 6x)dx = —(x------ )+c -----------------+ c
i 2 i 2 6 2 12
Observación: En forma práctica se puede calcular las siguientes integrales:
Ejemplo:
i
, cos(20x)
sen(20x)rfx = ----------- -+c
20
I
.^ iwñfrg) '
J v ft
Ejemplo: J cos(l &x)dx= sen| ^ ^ +c
En forma similar ocurre en las integrales de las demás funciones trigonométricas.
( 2) Jeos4 2xdx
Solución
rf( 1
Observamos que el exponente de la función es par, entonces usaremos la identidad:
2 _ 1+ eos 4x ,
eos 2x =-----------, por lo tanto:
|eo s4 2xdx - 1 (l +c°s 4*)2 = i. J(i + 2 eos4x +eos24x)dx
1 r„ , , l + cos8x, .
= — (1+ 2 eos 4x +------------)dx
4 J 2
1 r,3 , , cos8x. . 1 ,3x sen4x sen8x_
= - (-+2cos4x +------- )dx = - ( — +----------------------+-)+c
4J 2 2 4 2 2 16

Jsen34x¿£c
Solución
Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
escribiremos así:
Jsen34xdx =Jsen24x.$en4xdx =J(l-co s24x)sen4xrfx
= Jsen4x¿/x-Jeos24jc.sen4xdx =•
eos 4x eos34x
12
+ c
Observación.- En forma práctica se puede integrar las siguientes funciones.
Ejemplo:
/■
sen192x.cos2xdx =
sen20 2x
40
-+c
Ejemplo: J eos293x.sen 3x dx =- ~ ~ ~ — +c
En forma similar ocurre en las integrales de las demás expresiones trigonométricas.
Q ) J c o s 5 3 jc *£c
Solución
Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
expresamos asi:
Jeos53xdx =Jcos43x.cos3xdx =J(l-se n 23x)2 eos3xdx

J(l-2 sen 23x+sen4 3x)cos3xdx
=J cos3x dx - 2J sen23x. cos3jcdx+ | sen43x.cos 3x dx
í
s e n 3 x 2 s e n 3 3jc s e n 5 3 x
-+-----------he
15
b) Para el cálculo de las integrales de la forma
Se presentan los siguientes casos:
ler. Caso.- Si n es un número entero par positivo, a las integrales dadas se
expresan así:
Luego se usan las identidades siguientes.
1* ig2x 1¿ct¿2x ~m$ec2x :
2do. Caso.- Si n es un número enterQ positivo impar, a las integrales dadas se
expresan en la forma:
Luego se usan las identidades siguientes.

Ejemplos de aplicación de este criterio
Jtg24
xdx
Solución
Observamos que el exponente de la función es par, entonces de acuerdo al criterio
establecido expresamos:
Jtg24xdx =J(sec24x-1)dx = - x +c
j c t g 4 4xdx
Solución
En forma similar al ejemplo anterior, por tener el exponente par; a la integral
expresaremos asi:
Jctg44xdx =Jctg24xrtg24 x d x - Jctg24x(cosec2
4
x-l)rfx:
= Jctg24x.cosec24 xdx-Jctg24xdx
ctg34
x r 2a iv^ ctg34
x ctg4x
= -----5------- (eoscc 4x-l)dx =------- -----+—-— +x +c
12 J 12 4
© J tg6 5x dx
Solución
Observemos que el exponente de la función es par, entonces a la integral expresamos
así:
J tg6 5xdx =Jtg 45x.tg2 5xdx =J tg4 5jc(sec25 x -l}dx
= Jtg 4Sx.sec25 x -J tg45xdx = ^ ^ - J t g 25x(sec25x-l)rfx

Integral indefinida 79
tg55x r 2 r 2
25
- Jtg25asee15xdx+jtg25xdx
tgs 5x tg35x r. 2 r . . . tg55x tg35a tg5x
=—
------- ----- + (S
ec 5x-l)dx =—------------- +—
-----x+c
25 15 J 25 15 5
© Jtg35xrfx
Solución
Observamos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
expresamos así:
Jtg35xdx =Jtg25x.tg5xdx =J(sec25x-l)tg5jcrfx = _ ln1sec5x|^
(¿) Jc tg53xdx
Solución
Como el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos en la
forma:
Jctg53xdx- J^tg43xjctg3xdx =j (cosec23x-l)2ctg3x dx
=J(eosec43x - 2eosec23x+1)ctg3xdx
- Jeosec33x.eosec3x.ctg3xdx - 2Jctg3x.eosec23jcdx +Jctg3xdx
eosec43x ctg23x In |sen 3x
= -------------- + —-------+ —1
-------- L+ c
12 3 3
c) Para el cálculo de las integrales de la forma.
sen” xcos** a h
Se presentan los siguientes casos:

ler Caso. Si m ó n, es decir, cualquiera de los exponentes es un número
entero positivo impar y el otro es cualquier número, se procede de
la siguiente manera.
i) Suponiendo que m es un número impar y n es cualquier número, entonces a
la integral expresamos así:
Luego se usa la identidad: sen2x +eos2x = 1
i¡) Suponiendo que n es un número entero impar y m es cualquier número, se
procede de la siguiente manera.
Jsenmx<:os" x-¿tx~ J sen"1x.cos”"1x. eosxdx
*
} 9
Luego se usa la identidad: sen" x +cos~ x = 1
2do. Caso. Si m y n los dos exponentes son números enteros positivos pares,
se usan las identidades siguientes:
y con estas sustituciones la integral Jsenmx.cos" xdx se transforma en
integrales de la forma J sen"xdx, las cuales han sido estudiadas
anteriormente.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.

Solución
Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:
J eos3 jc.sen4 x d x - Jcos2 x.sen4 x.cosxdx = J (l-se n 2 x)sen4 xcosxdx
= fsen4xcosxdx- fsen6xcosxdr =—sens x - —sen7x +c
J J 5 7
© í sen3 xcos2 xdx
Solución
r 7 2 , fl-c o s 2x l +cos2x I r ..^
J sen“ x eos xdx =J ---- ------.-----------dx= —J(l-co s 2x)dx
I r 2 ^ , 1 fl-cos4x _ 1. sen4x^
= — sen 2x d x - — ---------------------------dx=—(x-)+c
4 i 4 J 2 8 4
Jsen5 x.cos2 x¡dx
Solución
Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:
J sens x.cos2 xdr = J sen4 x.cos2 x.sen xdx = J (1-cos2 x) 2 eos2 x.sen xdx
= J (l-2 c o s 2x + cos4 x)cos2 xsenxdx
= Jcos2 x se n x d x -2 jeos4 xsenxdx +Jcos6 xsenxdx
eos3x 2eos5 x eos7 X
--------+ ---------------------+ c
© Jsen4x.cos2xdx

Solución
Como los dos exponentes son pares, entonces se usan las identidades:
2 1 - c o s 2 jc 2 1 + c o s 2 jc
sen x = ----------- ; eos x =-----------
2 2
f 4 2 , f,l-C0S2jtv2 /l + C0s2-Xv.
sen jc.eos jcrfx = (------------ ) (-----------)dx
j ¿ 2 2
= ^ J (1 - eos22jc)(1 - eos 2x)dx - ~ J sen22x( - eos 2x)dx
1r f 2 n . f 2o l rfl-cos4jc , sen32x..
= —
[ Isen 2xdx- sen 2jc
.cos2jc¿jc
] = —
[I------------ ¿ x -— — ]+c
8 J J 8 J 2 6
1 rjcsenx sen32x,
= - [ ----------------------- ]+c
8 2 8 6
Jcos7x.sen3xdx
Solución
Observamos que los exponentes son impares, entonces a la integral dada expresamos
así:
Jeos7x.sen3xdx~ Jcos7 x.sen2x.senxdx = Jcos7jc(1 + c o s 2 r )senxdx
o ir)
f 7 f 9 , COS JC COS X
= eos x.senxdx —I eos x.senxdx = ------------------------- +--------+c
J i 8 1
0
J sen23x.eos4 3jc dx
Solución
Como los exponentes son pares, entonces usaremos las identidades:
l-C O S Ó J C l + COSÓJC
sen“3x = ----------- ; eos~ 3x = -----------
2 2

r t . f / l “ c o s 6 j c v/1 + c o s 6 x v ? ,
J sen“ 3x.cos 3xdx = J (----------- )(----------- )"dx
=—f (1- cos26jc)(1+ cos 6x)dx = —Í sen26jc(1+ cos 6x)dx
8 J o J
l r f • > , . f f * , , n l r r l- c o s l2 r . sen3 6jc,
= —
[J sen- 6xdx +j sen- 6xcos6xdx] = —
[ j ----- ----- dx+— —— ]+c
1 ,x sen 12x sen36x
8 2 24 18
)+ f= T T -
jr sen 2x sen36x
16 192
-+
144
■+c
d) Para el cálculo de las integrales de la forma
;i J"tg" xsec“ xd$ ; Jrtg ”x C0StíCm
JC
<
5
Ír
Se presentan dos casos:
ler. Caso. Cuando n es un número positivo impar y m es cualquier número, a
las integrales escribiremos en la forma:
I
Íig* jt-sec" xdx~ J$0* xsecm§xAgx^socxdx
Ictg”xcmecmxdx - c tgn~J
Luego se usa las identidades siguientes.
2do. Caso. Cuando m es un número entero positivo par y n es cualquier
número, entonces a las integrales se escribe así:
Luego se usa las identidades siguientes.

2x • 1+ctg2x -sec.2* -
j
Observación:
1) Cuando n es un número entero positivo impar y m es un número entero positivo
par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos.
2) Si n es par y m es impar se aplica el 1er. caso.
Ejemplo de aplicación de éste criterio.
J sec42x. tg22x dx
Solución
Observemos que el exponente de L
asec 2x es par, entonces a la integral escribiremos
asi:
J sec42x. tg22x dx = J sec2 2x. tg2 2x.sec2 2xdx = J (1+ tg22x)tg22x.sec22x dx
= f tg22jc.sec22xdx + f tg42x.sec22xdx = ÍM__?£+Jll2^L+C
J J 6 10
(^ J^/tgjc.sec6 xdx
Solución
Como el exponente de secx es par, entonces a la integral dada escribiremos así:
J^/tgjc.sec6x d x - J tg1/2 jc.sec4x.sec2xdx = J tg1/2 jc(1+ tg2x)2sec2xdx
= Jtg 1/2 x.sec2xrfx+2jtg5/2 x.sec2xdx + Jtg 9/2 x.sec2x¿x
2tg3/2x 4 tg?/2 x 2 u/2
= —5 5 -------+— tg1
1 z JC+C
3 7 11 6

® I tg33x.sec33xdx
Solución
Como el exponente de la tg 3x es impar, entonces a la integral dada escribiremos asi.
J tg33x.sec33xdx =Jtg 23x.sec23x.tg3x.sec3xdx
= J (sec23x - 1)sec23x. tg3a*.sec 3xdx
- J sec43x.tg3x. sec3*dx - J sec23x.ig3jc.sec 3xdx
sec53x sec33x
_ ------------------------------------------------------ + c
15 9
( 4 ) J c tg' x.eos ec4x dx
Solución
Como el exponente de la cosec x es par, entonces a la integral escribiremos asi:
Jc tg 5x.cos ec*xdx =Jc tg 5x.cosec2x.cosec2xdx
= Jctg5x(l +ctg2x)cosec2xdx
- J c tg 5x.eosec2xdx+ J^tg 7x.cosec2xdx
ctg6x ctg8x
6 8
NOTA. Cuando en las integrales se observa que no se adapta a los casos estudiados,
es conveniente transformarlo a estos casos, utilizando las identidades
trigonométricas.

© J
Ejemplo.- Calcular las siguientes integrales.
dx
>s4x
Solución
sen2xcos4x
r dx r sen2x + cos2x , r , 1 1
J 2 4 ~~ J ? 4 J ^ 4 + 7 2 ^
J sen x.cos x J sen- xcos x J eos x sen“ xcos x
Í dx r ¿/x r 4 _ rsen~x +cos a
— 4^ + ------ 2----------5 = J seex ¿ x + ------- j------- —
eos x J sen xcos“x J J sen x.cos~ x
= f (1+tg2x)sec2xdx+ f (— ^—+ — í-—)dx
J J eos“ x sen2x
= Jsec2 tg2 JC-sec2 xdx + Jsec2 xrfx+Jcosec2xrfx
te3x tg^ J
C
tg x + -^ —+ tgx-ctgx +c = 2 tg x + -^ ctgx+c
© i
dx
Vsenx.cos3x
Solución
f -J
• see2jc r /x |r see2xrfx
Vsenx.cos3x see2jc-J sen x.cos3x / 4 3
Vsenx.see x.cos x
f s e c ^ f e f 1/2 , r -
I i------------ I i—*- I JUaC
C XM
A y fe
J Vsen x.see x J J
eos x dx
Vsen7 2x.cosx
© í i E T
“ ¿X.tusX
Solución
dx
X + C

Integra! Indefinida 87
r eosx dx f
Vsen7 2x.cosx 4^/2 Vi
cos X¿/x 1 r sec5x.cos x dx
" U 7 ? J Z J 7 3 p T
sen7x-cos* x 4^2 - sec- x </sen ■x.cos' x
1 r sec4xdx 1 r (l + tg~ x)sec~ xdx
1 r sec x dx _ I r
4V2-J 3|tg7x " 4V2 J tg7/1 x
4^2
n=[J tg 7 3x.sec2xdx+Jtg 1,3 x.sec2xf/tj
1 r 3 -4/1 3 *>/1 1 , 3 4/1 3 i/i ,
-[--tg x +-tg - x]+c — 77= ( ~c tg * +- tg Jt)+r
4^/2 4 4V2 ' 4
1.41 EJERCICIOS PROPUESTOS.»
© i sen x dx
n 3x sen 2x sen 4x
R p ta.------------- +-------- +c
F 8 4 32
2 3 1 5
Rpta. senx — sen x +—
sen x +c
F 3 5
© /
eos43xdx
„ 3.v sen 6x sen12x
Rpta. — +—- — +-----:— +c
8 12 96
( 4) J sen6 2x dx
„ A 1 ,5jc .3sen 8x sen 4r
Rpta. —(----- sen 4x +----------+----------)+c
8 2 16 12
Jsen5x/2dx r . ^ T , X s 4 3 /* v 2 5 , 1 ,
Rpta. - 2cos(—
)+—eos (—
)— eos (—
)+ c
2 3 2 5 2
(ó) J(sen23x+ cos3xi2d
„ Ix sen 12x . sen13x
Rpta. — +---------+2--------- +c
v 8 96 9
Jcos63xríx
_ 5x sen6x sen36x senl2x
Rpta. — +—--------- r—:
— +----—
— +C
16 12 144 64

©
©
©
©
©
©
@
j c c o s 3 ( x 2 )dx
(sen2x + cosx)2dx
tg6 xdx
ctg* xdx
tg3xdx
ctg*(3x)dx
c tg32xdx
tgz(x +)dx
ctg52xdx
ctg3(^)dx
tg53x dx
ctg4 2xdx
tg5x dx
1 2 ^ 3 2
Rpta. —sen* — sen x +c
2 6
Ix sen4x 2sen3x
Rpta. — +--------+----------- -c
8 32 3
1 1 3
Rpta. —tg * “ ^*8 jc—
tgjc +jr+c
tf£2 X
Rpta. ------ +ln|cosx|+c
Rpta. -^-ctg33x+jctg 3 x +x +c
_ ctg~2x In Isen 2x1
R pta.-------------------------- L
+c
Rpta. tg(x +l)-x + c
-
cosec42x ctg22x ln|sen2x|
R pta.--------------+— -------f—!---------- +c
F 8 2 2
Rpta. - ^ c tg 2(y)-31n|senyl+c
Rpta. — see43 x -—tg23x+—ln|sec3x|+c
12 3 3
Rpta. „ £ S i í . - £ i ¿ 2 £ +c
Rpta. "6C X - tg2x+ ln | see x | -fe

3 ) senx cosj<dx
(22) J -
n
/cosjc sen3xdx
r* . ^ 7/? 2 3,7
Rpta. —eos ~x— eos ~x +c
7 3
(23) J*Veosa
*sen5xrfx
J rnt _
eos2x ^/cosa*
Rpta. eos4' 3x +-co s10/1 x ——eos16' 3x+c
4 5 16
Rpta. •
—
eos 4 3x +—
-eos2 3x+c
4 2
25) J sen7 5x.eos35xdx Rpta.
sen* 5x _
_sen1
{
) 5x
40 50
■
+c
© senx.eos5xrfx r» * n í— —,senx 2 3
1 5
Rpta. 2Vsenx(— ------ sen v+— sen x) +c
3 7 11
¿7) Jsen5xeos2x dx
. cos7x 2 5 cos3x
R p ta .------------------------- +—eos x -- +c
7 5 3
28) Jsen3xeos3x dx
sen4 x sen6x
Rpta. ------------------ +c
(29) J sen4(^)cos2(^)rfx
„ ^ xsenx.eosx sen x
Rpta. — —
------- -----------------+c
16 16 24
sen4 veos4xdx Rpta. — (3*-sen 4x + - sen 8 )+c
128 8
(3l) | sen1(—)eos7(~}dx Rpta. -co sIH(—) - —eos3(—
)+£
■
5 2 4 2
(32)J sen33x eos 3jtdx
„ . eos*' 3.v eos6 3x
R p ta .-----------------— +c
24 18
a I H S/"> *
■ 1
ill
Rpta. 2vsen x — sen ~x +—sen x +c
5 9

34) Jcos4 2x sen3 2x dx Rpta. ——eos5 2x+— eos7 2x +c
10 14
Jsen2 x eos5 xdx Rpta.
sen3x 2 5 sen7*
3 5
— sen x +---------»c
(3£) J sen5 2x.eos3 2x dx
1 . 1 i
Rpta. —
sen ¿x-----sen 2x +c
2 16
dx Rpta.
1
3eos3 x
-secx +c
*
(38) Jsee4 x^jc tg3x dx Rpta. -2-^rtgx +y-/tg3 x +1
(39) J tg5 xVeos3 x t/r
2 ^ ^ ^ ^
Rpta. —see ~x-4sec x - —eos ~x +c
5 3
Í
cos X
sen4 x
dx Rpta. cosecx-yCOS€?c3x-fc
j
sen3 x
eos4 x
dx Rpta. Vsecx(—eos2 x + 3)+c
r see x
tg4x
dx 1 1
Rpta. - c i g x — ctg x +<
*
3
© Ísen' m .
----1— dx
COS 7D
C
1 1 ^
Rpta. —[-tg m r+-tg nx]+c
k 3 5
© Jí tgxeos9 xdx Rpta. 2^fséñx— sen5' 2 x +—sen9' 2 x+c
5 9
4?) J tg34x.see9
>2 4xdx Rpta. — see13/2 4 x - ^
26 18
•fe

© f tg53x.sec9/2 4xdx
J
©
r sen53x ,
----- dx
J cos3x
© íx 2 eos32x3dx
© i sec72x.tg2xdx
J
© i tgxjsec x dx
J
i tg7x.see4xdx
f(secV ¿ *
J tgx
® i ctg3x.eosc t4x dx
©
V i
1ctg x.coset"xdx
J
© i ctg3xcosec5xdx
© i tg22x.cos22xdx
©
rsec4x ,
1 dx
3 tg x
©
r sen4x ,
1 , dx
J eos* x
c tg64.x c tg* 3x c tglu 3jc c tg123x
K pta.----------------------------------------------------f c
18 8 10 36
„ 1. ■ , . eos23x eos43x
Kpta. —ln sec 3x1+----------------------+ c
3 3 12
„ , sen2x3 sen32x3
Rpta.----------------------- +c
18
_ 4 sec7 2x
Kpta. --------- +c
14
Rpta. 2-Vsecx +c
» * tg'” x *
Rpta. —-----+—— +c
10 8
„ 4 ctg3x
R pta.------------ctgx+c
ctg4x 1 6
Rpta. —---------ctg x+c
4 6
1 ^ 1 }
Rpta. — cosec x+—eosec x+c
5 3
„ ^ eos ec7x eosec5x
R pta.------------ +-----------+c
1 sen4x
Rpta. —(x---------- )+c
2 4
Rpta. -ctgx+tgx +c
_ sen2x 3x
Rpta. tgx +——
------ 2~+c

59) Jsec42xdx
_ 4 tg2x tg32x
Rpta. —— +—------+c
(óo) J see6xdx
2 1 <
¡
Rpta. tgx +ytg x +—tg x+c
J see3x.tg3 vdx
1 <
5
1 3
Rpta. —
sec x — see x +c
5 3
(62) Jc tg5x.cosec4x dx
_ Ctg X 1 6
R pta.-------------- c tg x +c
8 6
© i t g 4 a . see3xdx
_ . 1 <
i 7 j tgx.secx ln|secx + tgx|
Rpta. —tgx.sec x -----tgx.sec x+—--------- +— ----------í+c
6 24 16 16
MJ f , ¿
J ---- 5
sen x.eos x
Rpta. - 2-y/í-t g X + y t g X-y/t g X + c
J(l + cos3x)3 2rfx Rpta. 2-y/2(^sen(-^)-^sen3(^))+í-
sen3x
t/ 4
Veos x
rfx Rpta. —
eos5 3x +—p L = +c
5 3-n/cosx
Ísen(x + 7r/4)
sen x.cosx
. -721 1+senx,
Rpta. — Ln|tgx.----------|+c
2 1- eosx
© 1
eos3x
1-senx
dx
1 7
Rpta. sen x +—sen“ x+c
© eos3x-s/scn2x
Rpta. ^y-(tg: x +5)-Jlgx +c

©
©
©
@
®
eos X
dx
sen4x.cos4x
sen x
i
dx
cosx
senh3xdx
tgh6 x.see/j4xdx
c
*tgh4xdx
e'dx
cosh x +senh x
tgh4xdx
c tgh5xdx
senh2x.cosh3 xdx
dx
^3 ----- - ^
Rpta. — -Jtg5x(5tg2x+ ll)+ c
4 l +3tg24x
Rpta. - - ( ----- —---- )+c
3 ig 4x
Rpta. —C
°-
SX (cos2x-5)+ c
1 ?
Rpta. -jcoshxícosh2x-3) +c
Rpta. x—
ctghx—- ctgh3x+c
3
1
(cosh2ax +senh2ax)dx Rpta. — senh(2¿/x) + c
2a
senh x. cosh" x
Rpta. x + c
Rpta. v
'- tghjc- —tgh3x + c
3
Rpta. ln| senhx|-—
-r tgh2 x-~-ctgh4x +c
*
_ senh1x senh5 v
Rpta. --------- +------ —-+c
H 3 5
Rpta. ln | tgh—| +see hx+c

» 4
(S )J( lg3.v.cosec43xdx Rpta. — °S<^ - +c
© Jtg33x.see4 3.v dx Rpta. +1
CN r <¡, i , , „ . eos* 3x eos6 3x
K4J Icos 3x.sen 3x dx R p ta.----------------------- •
-c
^ J 24 18
(ss) J*(x~ —
6A')sen~(—
— 3x~)dx Rpta. •“ (—— 3x2)—- s e n ( — bx2)+c
2 3
1.6.3 OTRAè INTÉGRALES TRlGQ^p^ÊTRIÇAS,-
Se trata de las integrales de la forma:
• I _
Para el cálculo de éste tipo de integrales se usan las fórmulas siguientes:
sen(m.Y)cos(«L*)==—(sen(w+ tt)x + sen(w- ttfx)
sen(wv)sen(«) « ~ (cosífít'-n)x~cos(m +n)x)
■
; cos(m)cos(«A:) §
Las fórmulas mencionadas se deducen de las identidades:
sen(w + n)x =sen mx eos wx+sen nxeos mx ... (1)
sen(w - n)x =sen mx eosnx - sen nx eos mx ... (2)
eos(m + n)x = eos mx eos nx- sen nx sen mx ... (3)
cos(w-/i)x = cos/nxcos«x +sen/7xsenmx ... (4)

Ahora sumando (1) y (2) se tiene:
scn(wjr)cos{flut)-=;^(sen(w-+;z)x+sen(w-n)x)
ahora restando (4) y (3) se tiene:
ahora sumando (3) y (4) se tiene:
cm(jnx}cos{tix) —X{w$ m - ti)x+eos{m+n)x)
2
NOTA: En la aplicación de las fórmulas mencionadas se debe tener en cuenta las
identidades siguientes.
sen{-x)~ —
sen*
cos(-A') = COSA'
V x e R
Ejemplos de aplicación.
Calcular las smuientes integrales
© i sen 2 a . sen9xdx
Solución
Como sen 2 x . sen9y = ^ (eos Ix - eos 1Ly ) , reemplazando en la integral:
f n ^ j l f v» 1,sen7x sen 1lxv
sen2 a*.sen9 a*dx = — (cos7x-cosl l.v)rfx = —(----------------------------- )+c
J 2 J 2 7 11
© i eos 2v.eos Ix dx

Solución
Como eos 2x. eos 7a* = ~ (eos5x +eos9x), reemplazando en la integral;
r I r 1 sen 5x sen9x
J eos 2x. eosIx dx = - J (eos5.v+eos9x)dx = - (---- — +— — )+c
2
sen 4y. eos 5y ¿y
Solución
Como sen 4.v.eos 5.x- ^ (sen(4 +5)x +sen(4- 5).y)
= ^ (s e n 9 x - s e n y ) , r e e m p la z a n d o e n la in te g ra l:
Í
1 r 1 e o s 9jc
s e n 4x. e o s 5xdx - — J (s e n 9 y - s e n x)dx = ~ (e o s x ------- — )+ c
© J s e n 3 4 v .e o s 2 7 a dx
Solución
_ *>-, . *7 r
-
¡ A 1 - c o s S .v 1 + e o s 14a- .
C o m o s e n 4 a . e o s “ 7 a = s e n - 4 a . e o s ' 7 a . s e n 4 a ------------- — ----------------- . s e n 4 a
2 2
= — (1 + e o s 14a - e o s Ha - e o s 8 x e o s 14a ) s e n 4x
4
= — ( s e n 4 y: + s e n 4x e o s 14a' - e o s 8a' s e n 4 y - e o s 8 a e o s 14 i s e n 4 y )
4
s e n 1 4YCOS2 7a = - ( s e n 4 v + s e n 4 a e o s 14 y - co sKy s e n 4 r - c o s f tv c o s í4 s c n % ) . . . (1 )
4
se n 4 v e o s 14 y = ~ (s e n 18 y - s e n 10 y)
*er 4 x eos Xv= —(sen 12x - sen 4a )
(s e n 4 > s e n 10 * s e n 1 2 v + s e n 2 6 .v )
..(2)

= ~ [sen 23x - sen 2lx +sen Ix - sen 5]
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
sen34xeos27x =—(sen4x) +—(sen4x-3 sen1Ox-sen 12x+ 2sen 18x- sen26x))
4 4
= — (5sen 4x - 3sen 10- sen 12x +2sen 8x - sen 26x), entonces:
16
| sen34x. cos2lx dx = J(5sen4x - 3sen IOx-sen 12x+2 sen18x- sen26)¿/x+c
1 3cosl0x cosl2x eos26* 5cos4x cos18a

= ---(-----------+--------- +—---- -------------------------- ) +£‘
16 10 12 26 4 9
(i) Jsen(3x+ 6).cos(5x + 10)dx
Solución
Como sen(3x+ 6).cos(5x + 10) = (sen(8x +16) +sen((3x+ 6) -(5x +10)))
= ^ (sen(8x + 16)- sen(2x + 4)) entonces
Jsen(3x + 6).cos(5x+10)dx =~ J(sen(8x +16)- sen(2x +4))dx
cos(8x+16) cos(2x + 4)
- H
-------------- h C
16
© feos x eos25xdx
Solución
Como eos x.eos25x = —cosx(l + cos 1Ox) = —(cos x +cos x.cos IOx)
2 2

1 , eos9*+ eos 11a
1
n.
= — (eosx + ---------------------------- ) = — (2 cos+ eos 9* + cos 1Ijc)
2 2 4
J eos x eos25a d x = —J (2 cosjt +cos9,v+cos 1 x ) d x
1 sen 9a sen 11a,
= —(2 sen jc+ -------------------------- + -) + £
•
4 9 11
( 7) f sen(—- x ) sen(—+ a )d x
v J 4 4
Solución
^ v fn 1 tt cos2x
Como s e n (------ ,v )se n (— + x ) = — ( c o s 2 j c - c o s — ) = ------------
4 4 2 2 2
J sen(—- x ) scn(—+ x ) d x = — J cos2 a d x = —-1
1
— * + <
© ssen x sen 2 x . sen3jc dx
Solución
Como sen 2x. sen 3jc =y (eosjr+eos 5x) , entonces
sen x sen 2 * . sen 3a' = —sen jc(cosx + cos 5x) = —(sen x eosjc+sen x cos 5x)
? 2
= —(sen 2 x - sen 6a:+sen 4 x ) = —(sen 2a' + sen 6a:- sen 4 v)
4 4
J sen x . sen 2x.sen 3a: d x = —J (sen 2a' - sen 4 x +sen 6 x ) d x
1 , cos óx' cos 4jc cos 2 x cos2jc cos 4x cos 6a
= — ( -------------- + --------------------------- ) + c = ---------------+ --------------------------- + c
4 6 4 2 8 16 24

1.6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS,-
© Jsen 8v.sen 3xdx
^ sen5x senllv
Rpta. ——
---------—
— +c
10
© /■
sen 3r. sen 5a dx
_ sen 2x sen 8x
R p ta.------------------ +c
4 16
J sen1x.eos 3x dx
_ 3eos 2a 3cos4y eos 6x
R p ta.--------------------- +— -— +£
16 3 2 48
© j eos 4x. eos 5x dx
•
-
f
c . 1 / sen9xv
Rpta. ~(scnx +—-— )+c
© j eos2x.sen2 4 a dx
n x sen 8y sen2x senóx senlOx
R p ta .------------ +------------a
------------------
4 32 8 48 80
(ó ) J sen—.sen — dx
2 2
_ sen y sen 2x
R p ta.------------------fí
sen 5a .eosx dx
^ eos 6x eos 4x
R p ta .-------------------- +c
F 12 8
© j eos y . eos 5x dx
^ sen 4a
' sen 6x
Rpta. — — + - ■ -
8 12
© j sen 4x.eos7Ydx
_ eos3x eosllx
Rpta. —---------------- +c
F 6 22
f x 3x j
sen —.eos — dx
2 2
^ eos y eos 2x
R p ta.-----------------+ r
(Ti) J eos| .eosy dx
x 3 5x
Rpta. 3sen —+—sen — +c
6 5 6
s> J*
sen 2x.sen 3xdx
_ eos y eos 5x
Rpta. — ------------- +c
2 10
+c

© 1
*( Vsen 2 a - eos 2x)2dx Rpta.
© |*sen 5 a . sena dx Rpta.
© .j*eos 3a . eos 2 a dx Rpta.
© JJ
*sen 3 a . eos 6 a dx Rpta.
© jj*eos 4 a . eos 2 a dx Rpta.
© J|*eos 3 0 a . sen 2 0 a dx Rpta.
© j1
*sen 3 a . eos 5 a dx Rpta.
© J|*sen 2 a . eos 4 a dx Rpta.
© J1
*
sen(4y +7).c o s(5 a +%)dx Rpta.
© j[ c o s ( 9 a - 2 0 ) . c o s(5 a + 2 0 )¿/a Rpta.
© J sen a . sen 3a . sen 5 a dx Rpta.
© Jeos a . eos 3a . eos 5 a dx Rpta.
© Isen 10 a . sen 2 0 a , sen 3 0 a dx Rpta.
x sen4* c o s 2 a 2 , . v3, 7
—+-----------------------(sen 2a) + c
*
2 8 2 3
sen 4 a sen 6x
8 12
sen x sen 5a
+c
2 10
eos 3a eos9 a
6 18
■+c'
-+c
sen 2 a sen 6 a
--------+-------- +c
4 12
eos 1 0a eos 5 0 a
20 100
eos 2 a eos8 a
4 16
eos 2 a eos 6v
~4 12
+r
•+r
+C
'
18
1_sen(4v- 40) sen 14 a ..
—[------------- - +---------]+c
4 2 7
1r eos 9 a eos3a eos 7a
—feosa +----------------------------
4 9 3 7
]+c-
1r sen 3a sen 7 a sen 9 a .
—[senA +------- -f------- +-----—1+c
4 3 7 9
l r eos 6 0 y eos 4 0 a ,
„r----------------------- eos 2 0 a ] + r
8 3 2

J ... -n m j „ ^ l,sen20v sen40.v sen60v,
cos 10a . cos 20 r. cos 30a-í¿v Rpta. —[-------------------------------------------+ --- + ------ +c
4 20 20 60 J
Jsen x.eos 7v.sen 1Ijcdx
r, 1.sen 3
.<
r sen 19r sen 5.r sen 17x,
RPta- ~[— ----- —---- 7— +—77— ]+t
4 3 19 17
Jcosx.sen 7v.cos 1
xdx
_
_ l rcos3x cos5jc cos17,y cosl9x,
Rpta.—[—-— -f— ---------- —--------- —— ]+ c
4 3 5 17 19
(29) J sen(2x + IJ.scnpA' + 2).sen(5x + 3)dx
^ 1 _cos(10.y +6 ) co s(6 jy +4) cos(4y + 2)_
Rpta. - [ ------------------------------------------------- 1+Í-
8 5 3 2 J
© 1
cos(x + 3).cos(3v + 5).cos(5x +7)dx
_ ^ 1rsen(3,v+5) sen(7jr+9) sen(9.v+ 15) .
Rpta. —[------------- +— --------- +— ---------i +sen(.v +l)l+c
4 3 7 9
© Jsen3x.cos 3*dx Rpta. — cos 2a:——ciks 4x + — cos 6x + c
16 32 48
32) J cos2x.sen24x dx
„ x sen 8a' sen 2x sen6.v sen 1().v
Rpta. —--------- +-------------------------------+c
4 32 8 48 80
© Jcosh x. cosh 3x dx Rpta. —
senh4x +—senh 2x +c
8 4
© senh 4jr.senh.rrfr Rpta. — cosh 5jy+—cosh 3-y + í'
10 6
© j senh2jr.cosh5xdx
_ senh 7a' senh3.r senh5.r
Rpta. — —
— +-----------------:— +<
•
28 12 10

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