000 ECUACIONES_DIFERENCIALES_Y_SUS_APLICACIO ESPINOZA RAMOS.pdf

ECUACIONES DIFERENCIALES
Y SUS APLICACIONES
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍAS
6ta EDICION
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
L I M A - P E R Ú

IMPRESO EN EL PERÚ
01 - 0 9 - 2 0 0 4
óta EDICIÓN
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Hecno ei depósito legal en la
Biblioteca Nacional del Perú
con el numero N° 2007-12590

PROLOGO
Teniendo en cuenta que el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es muy
importante en la formación de los estudiantes de Ciencias e Ingeniería, debido a que con
frecuencia aparecen en el estudio de los fenómenos naturales.
Esta obra que presento en su 6ta Edición está orientada básicamente para todo estudiante
de Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en
fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos.
Esta 6ta Edición está cuidadosamente corregida, aumentada y comentada tanto en sus
ejercicios y problemas resueltos y propuestos con sus respectivas respuestas. La teoría expuesta es
precisa y necesaria para la solución de los diversos problemas abordados.
La lectura del presente libro requiere de un conocimiento del cálculo diferencial e
integral; el libro empieza con un capítulo sobre los conceptos generales de las ecuaciones
diferenciales, se continúa con diferentes métodos analíticos para resolver una ecuación diferencial
de primer orden y primer grado, acompañado con algunas aplicaciones importantes, se abordan las
ecuaciones diferenciales de orden n, homogéneas y no homogéneas con sus respectivas
aplicaciones, también se estudia los operadores diferenciales; asimismo, se trata del sistema de
i
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes en diferentes
métodos de solución, así mismo se estudia las ecuaciones diferenciales por medio de series de
potencias utilizando el teorema de FROBENIUS, se ha incluido el capítulo de las ecuaciones en
diferencias y sus aplicaciones en economía, por último se considera algunas tablas como
identidades trigonométricas e hipérbolas, sumatorias, logaritmos, ecuaciones cúbicas y cuarticas,
derivadas e integrales.
Por último agradecer y expresar mis aprecio a las siguientes personas por sus valiosas
sugerencias y críticas.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la UNMSM.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y Tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro - Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la
Universidad Nacional del Callao.
_ * _ _
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo
Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la UNAC.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que puedan
ser guías de su prójimo

INDICE
C A P I T U L O I
1. CONCEPTOS BASICOS Y TERMINOLOGIA.
1.1. Introducción 1
1.2. Definición 1
1.3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 2
1.4. Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria 3
1.5. Grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria 4
1.6. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria 5
1.7. Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13
1.7.1. Ecuaciones Diferenciales de una Familia de Curva 13
1.7.2. Ecuaciones Diferenciales de Problemas Físicos 17
C A P I T U L O I I
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA DE
PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO. 27
2.1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variable Separable 27
2.2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Reducibles a Variable Separable 36
í
2.3. Otras Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 44
2.4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas 46
i
2.5. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas 59

2.6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas 72
2.7. Factor de Integración 87
2.8. Ecuaciones Diferenciales Linealesde Primer Orden 118
2.9. Ecuaciones Diferenciales de Bemoulli 134
2.10. Ecuaciones Diferenciales de Riccati 149
2.11. Ecuaciones Diferenciales de Lagrange yClairouts 153
2.12. Ecuaciones Diferenciales no resueltas conrespecto a la Primera Derivada 160
2.13. Soluciones Singulares 168
I
C A P I T U L O I I I
3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 177
3.1. Problemas Geométricos 177
3.2. Trayectorias Ortogonales 198
3.3. Cambio de Temperatura 206
3.4. Descomposición, Crecimiento y Reacciones Químicas 206
3.5. Aplicaciones a los Circuitos Eléctricos Simples 221
3.6. Aplicaciones a la Economía
• <
i
241
C A P I T U L O I V

i
4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. | 258

I
C A P I T U L O V
5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n
5.1. Independencia Lineal de las Funciones
5.2. El Wronskiano
5.3. Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes
5.4. Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas de Coeficientes Constantes
5.5. Método de Variación de Parámetro
5.6. Ecuaciones Diferenciales de Euler
C A P I T U L O V I
6. OPERADORES DIFERENCIALES
6.1. Leyes Fundamentalesde Operadores
6.2. Propiedades
6.3. Métodos Abreviados
6.4. Solución de la Ecuación de Euler mediante Operadores
C A P I T U L O V I I
1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES
VARIABLES___________________________________
7.1. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
7.1.1. Aplicación al Péndulo Simple
269
270
271
276
288
311
320
330
330
331
332
346
355
365
371

I
8. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
COEFICIENTES CONSTANTES 390
401
9.1. Solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
9.1.1. Solución Entorno a Puntos Singulares
9.1.2. Puntos Singulares Regulares e Irregulares
9.2. Método de FROBENIUS
9.2.1. Casos de Raíces Indicíales
9.3. Dos Ecuaciones Diferenciales Especiales
9.3.1. Ecuaciones de Bessel y Función de Bessel de Primer Tipo
9.3.2. Ecuación Paramétrica de Bessel
9.3.3. Ecuación de Legendre
9.3.3.1. Solución de la Ecuación de Legendre
9.3.3.2. Polinomios de Lagendre
403
429
430
431
436
457
457
462
463
463
466
C A P I T U L O X
473
10.1. Definición
10.2. Orden de una Ecuación en Diferencias
10.3. Ecuaciones Lineales en Diferencias
474
474
474
10.4. Soluciones en las Ecuaciones en Diferencias 475

10.5. Ejercicios Desarrollados 475
10.6. Ecuaciones Lineales en Diferencias de Primer Orden con Coeficientes Constantes 480
10.7. Comportamiento de la Solución de una Ecuación en Diferencias 484
10.8. Ejercicios Propuestos 491
10.9. Aplicaciones de las Ecuaciones en Diferencias en Modelos Económicas 494
10.11. Ecuaciones en Diferencias Lineales y de Segundo Orden con
Coeficientes Constantes 499
10.12. Comportamiento de la Solución 502
10.13. Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden no Homogéneas 505
10.14. Equilibrio y Estabilidad 508

Conceptos Básicos l
CAPITULO I
1. CONCEPTOS BÁSICOS Y TERMINOLOGÍA.-
1.1. INTRODUCCIÓN.-
dx
apropiada. El problema que enfrentamos en este curso, no es, dada una función y = f(x)
encontrar su derivada, más bien el problema es. si se da una ecuación como
dy
— = f x ) , encontrar de alguna manera una función y = f(x) que satisfaga a la
dx
ecuación, en una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales.
En los cursos básicos el lector aprendió que, dada una función y = f(x) su derivada
dy
— = / ’(*) es también una función de x; y que se calcula mediante alguna regla
1.2. DEFINICIÓN.-
Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función
incógnita.
Ejemplos de Ecuaciones diferenciales;
dx

2 Eduardo Espinoza Ramos
® 2<
? <a id 'c o i d co n , ,
x — r + .V — j + z — r- —O, donde a>= f ( x , v , z )
d x d y d z
1.3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.-
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos tipos:
ler. Si la función incógnita depende de una sola variable independiente, en la cual
sólo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama “Ecuación
diferencial ordinaria'’.
Ejemplos: Son ecuaciones diferenciales ordinarias las siguientes ecuaciones:
a) m í L ± = -icx> donde k = nuo2 es una magnitud positiva, m la masa (Ecuación
d r
diferencial del movimiento armónico simple)
í d 2y dy
b) ( ^ x ) — + p (p + )y = 0 (Ecuación diferencial de Legendre)
dx2 dx
2 d 2y dy *
> 2
c) x — ír+ x — + (x “ - p*)y = 0 (Ecuación diferencial de Bessel)
dx*
■ dx
% 4
2
d) (jc - x2 + [y - (ct + P + l).v ]~ -¿afly = 0 (Ecuación diferencial de Gauss)
i r i r
d a dq 1
e) t — r + /?— + —a = 0 (Ecuación diferencial de la corriente eléctrica «donde q es
dt '> dt C
*
la carga eléctrica, R la resistencia, L la inductancia, C la capacitancia).
NOTACIÓN..
A las ecuaciones diferenciales ordinarias se representa mediante el símbolo:
dy d 2y d"y
F(x, y,-¿-,— - ..— 7) = 0
dx dx~ dx"

Conceptos Básicos 3
Donde F indica la relación que existe entre las variables x, y , así como también sus
derivadas
dy d 2y d ny
2do. Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas
son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama “ Ecuación Diferencial
Parcial”.
Ejemplos: Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales.
a) + + = donde co = f(x.y,z) (Ecuación diferencial de Laplace)
d x d y d z
d 2y j d 2y
b)— r = a — r (Ecuación diferencial de la onda unidimensional)
d t 2 d x 2
du i d 2u
c) — = h“— - (Ecuación diferencial térmica unidimensional)
dt d x 2
.. ■,.d2(ú d 20) d 2(0 da) ... . , . , , ,
d) a (— - + — r- + — z-)= — (Ecuación diferencial del calor)
d x 2 d y 2 d z 2 dt
. 2 ,d 2Q
) d 2O
)d 2(0. d 20) /r, ...
e) a (— - + — - + — - ) = — — (Ecuación diferencial de la onda)
d x * d y dz dt
d 2u d 2u
f) — _ + — _ - f y ) (Ecuación diferencial bidimensional de Poissón)
d x d y
1.4. ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.-
El orden d£ una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el orden mayor de su
derivada. *

El grado de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el exponente del mayor
orden de su derivada.
Ejemplos:
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
®
x d 2y dy
e — - + sen x.— = x, es de 2do. orden y de 1er. grado.
dx2 dx
®
d*y d 2y -i dy
— r + 2(— - ) + — = tg*, es de 3er. orden y de ler. grado.
dx5 dx~ dx
( 5 ) — + p(x)y = Q(x), es de ler. orden y de ler. grado.
dx
(— 7>2- 2(— )4+ xy = 0, es de 3er. orden y de 2do. grado.
dx5 dx
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.
©
eos*
© ® (D.y>3= 3*2 - '
4 dy 2d 2y .a d3y S 2 , d 2y ¿ , d 2y d y *
x - — x — r = y
dx dx dx dx dx dx
cosx
*(y" ) 3+ ( / ) 4- y = 0 ^ S ) cosjc.(yM)2+ sen*(y')4 = 1

T
1.6. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.-
dy
Si y = F(x) es una función y f es la derivada de F, es decir: — - F '(*) = /(* ). de
dx
donde:
^7- = f ( x ) ... (a)
dx
La ecuación (a) es una ecuación diferencial ordinaria.
La solución de la ecuación (a) consiste en buscar una función y = G(x) de tal manera que
verifique a la ecuación (a).
Como F es la antiderivada de f, entonces G(x) = F(x) + C. donde C es una constante, es
decir: d(G(x)) = d(F(x) + c) = F'(x) dx = f{ x ) d x
. (P>
Se llama solución completa o solución general de la ecuación diferencial (a).
La solución general (p) nos representa una familia de curvas que dependen de una
constante arbitraria que se llama familia de un parámetro.
En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales, se trata de obtener soluciones
particulares, luego de la solución general de la ecuación diferencial, mediante ciertas
restricciones, llamadas condiciones iniciales o de la frontera, se obtiene la solución
particular.
Nota.- En la Solución General de la ecuación diferencial que llamamos no se
considera las soluciones escondidas es decir que no están todas las soluciones.
Ejemplos:
Verificar que las funciones y { = e* , y 2 = coshx son soluciones de la
ecuación diferencial y ' ^ = 0.
Solución

K
v = coshx => v’ = senh a* => y" = cosh a
'2 '2 ' I
Como / ' - y = 0 =* ex - ex = 0 ( y ' y = 0 => cosh x - cosh x = 0
Verificar que la función y=<p(x) = ex I e~l dt + ex , es solución de la
Jo
o
ecuación diferencial y' - 2xy = 1
Solución
y = <p(x) = ex f e Tdt +ex => y *= cp'(x) - 2xex f e r dt+ l + 2xex
Jo Jo
* , , r x
x~ I - r , 1 , ,._a* /*>„/ I - r J . . .Jt
y 2.vy = 2xe* í e 1 dt +1 + 2xex - 2x(ex I e 1 dt + ex )
Jo Jo
= 2xe't f e r c// + l + 2xex - 2 x e T f e 1 d t - 2 x e x =1 , y ' - 2 x y =
Jo Jo
K
( 3) Verificar si la función Jo (t) = — f 2cos(tsen6)dd, satisface a la ecuación diferencial
w n Jo
j " o{t)+¿ o L H + j 0(t) = o
Solución
K 7
1
o(0 = — f 2cos(/sen0)¿0 => 7'0(/) = - — f 2sen(/sen0)sen0 ¿0
R J o x Jo
= - - í
Jo
/r
í „ m 2
J " q O ) = — I cos(/sen0)sen 0 d O
n
J " o ( t ) + — í “cos(/sen0)sen20 d 6
t x Jo

K
Tí Jo
Tsen(t sen 6) sen 6
K
<16 + cos(/sen0)d0
K
= — f 2cos(t sen9)(l-eos26 ) d 6 - — f
k Jo n Jo
2 f 2sen(f sen0)sen0 d6
t
K n
2 f ^
= — I eos
Tí Jo
cos(f sen 6 )eos“6d 6
~ v
Tí Jo
2 sen(t send)senddd
t
.(1)
K
Integrando por partes I 2cos(ísen0)cos20¿/0 .
Jro
u = eos 6
dv = cos(/sen0)cos0 dd
du = - sen 6 dd
v =
sen(f sen0)
t
cos(/sen0)cos 0 dd =
o t
7
1 r -
r + 2
• ° Jo
cos0.sen(/sen0) f 2sen(/sen0)sen0
t
dd
K
= (0 -0 )+ t ^ sen(>sengjsenerfe
0 t
n
Luego I “ cosí/ send ) eos*
o
s29 d6 = f 2
Jo
2sen(rsen0)sen0dd
t
.. (2)
reemplazando (2) en ( 1) se tiene:
ñ(r) + ^ + 70(f) = - f 2-
t 71 Jo
/r
sen(f sen0)sen0dd
t - í
Tí Jo
2sen(/ sen d )sen d dd
= 0
t
• »
t
© Dada la función F(x)
a
o
e xcoshed d y x > 0, verificar que F satisface a la ecuación
diferencial. xF"(x)+ F '( x ) - x F ( x ) = 0.

8 Eduardo Espirtoza Ramos
» •
• t
Solución
i * •
F(x) = f e~xaKhed6 => F'(jr) = - f ^"xcoshe cosh 0 d0
Jo Jo
u
o
F"(x)= | é,-J
C
“sh0 cosh20 de
0
mdo «Qe
aF"(a)+ F'(a) - a
F (a) = a e-^ “ h0cosh20 ¿ 0 - e_ACOshe cosh0 d6
Jo Jo
oo
<rrcosh6de
o
00 O
O
O
A I e-*coshfl (cosh2e - )dO - e~xm* e cosh0 d6
o Jo
o
o
- tcoshflsenh20 d e - f e_lcosh6 cosh e de ... (1)
Jo
Integrando por partes I e ' t c t ) s h t í senh20 dO
Jo
u = senh 6
dv = e-XC0Shestnhe de
du = cosh0 dB
^-ACOshfl
X
senh20 d e = - ' ^ - — . r +l- f > “- c o s h 0 .0
Jo A / O X Jo
o
o
= - (O- 0) + - <rrcoshe cosh 0 de
Luego f e>~m>shesenh20 t / 0 = - f e“ vcoshS cosh 0 dd ...(2)
Jo *Jo
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
a F " ( jc ) + F U ) - jc F ( jO = * < - f e ' x c o s h e c o s h e d 6 )~ f e~ACOShíí c o s h 0 d e
•*Jo Jo

00 m0c
e ~ A C O S h e c o s h Q ¡ W _ ^ - j r C O Ü I » c o s h Q d 6 = ( )
0 Jo
xF"(x) + F '( x ) - x F ( x ) = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS.
® i f *sen/
Verificar que la función y = x I — —<//, satisface a la ecuación diferencial
Jo *
dv
x — = v +Asen*.
í/jc
© Comprobar que la función y = ex í <
?' dt + cexn satisface a la ecuación diferencial
Jo " ¿
dv v+.2
— - v = e
dx
^3) Dada la función H(a) = f C° Sat^ f a * q% probar que H(a) satisface a la ecuación
' -1 V i- 7
diferencia! H"(a) +- H '(«) + H(a) = 0.
O
Verificar que la función y - arcsen (x y), satisface a la ecuación diferencial
xy'+y = y'y[-x2y2 v
( 5) Comprobar que la función A= y í sen rd t, satisface a la ecuación diferencial
Jo
1
v = jtv + v" sen**
Comprobar que la función }’= C|V+C2a satisface a la ecuación diferencial
Jo '
a sen a.v' - a eos a. / + v eos a*= 0 .
Sea h{x) — T x > 0, hallar los valores de “a" tal que la función f definida por
Ji z . u
/(.v) = -------- satisface a la ecuación diferencial A"y"+(3A- A")y’+(1 - x - 3 e ~ x )dy = 0
x
Rpta. a = ±V3
i ^
ah (a-)

10 • Eduardo Espinoza Hamos
Verificar que la función x = y + Ln y, satisface a la ecuación diferencial
w"+v,3-v ’2= 0. .
Dada la función H(a)= j , a * 0 probar que H(a) satisface a la ecuación
J-i v i - r
diferencial H "(a) + - - H a ) + H(a) = 0
a
@ Si a: ( ; ) = f ( f - s ) e {t~s)esds , calcular el valor de: a'm(/) + 2 a '(/) +.v(r)
Jo
^ í ) Probar que la función v = — í R{r)senhk(x-t)dt< satisface a la ecuación diferencial
k Jo
y ' - k ' y = R(x)
© Probar que la función y = C]x + C2x j ^—
dt, x > 0, satisface a la ecuación diferencial
J x t
. v 2 v " - ( j r 2 + a ) v ' + ( a + 1 ) v = 0 .
®
f , ^
Dada la función y = C,L« a + C ,a
*| ------- , x > 1, satisface a la ecuación diferencial
1 - J, L
n
(t)
x 2 ln 2 A .y "-jrIn A * .y '+ (ln .r+ l)y = 0 .
®
f k ' V V »
Demostrar que la función 0(a) = j T V " para x > 0, satisface a la ecuación
diferencial jc20 "(a) + (3 a - x 2)<l>'(x) + ( - x - e 2x)0(x) = 0 .
i
© Dada la función y ln y = .v+ J ef dt, satisface a la ecuación diferencial y
(1+ ln y)y* '+y'2= 2xy.ex~.
© Demostrar que la función y = (jc+ /jr +1)*, satisface a la ecuación diferencial
(1 + A ’ ) v' *‘¥XV,~’k “ V = 0 .
> r ~ A- A*

^ ? ) Probar que la función x(t) definida por; jc
(í )= í — , satisface a la
Jo ( r + r r
ecuación diferencial t x'+ 3x(t) + - r - r = 0
(1+ r )
Demostrar que la función f(a ,b ) = j e 0
3
1~h* dx, satisface a la ecuación diferencial
Jo
db~ db da
K
(l9 ) Probar que —= I 2cos(/nxn sen0)cos" OdB, satisface a la ecuación diferencial
w * Jo
*
é
y" + m 2 n 2x z^r 2 y = 0
t
(20) Probar que y = f a S€n z + ^ cos z satisface a la ecuación diferencial
w Jo x + z
d y a b
— T + > = -+ —
dx x x
(2l) Verificar que las funciones yx =y[x, y2 =x~u 2, x > 0, satisfacen a la ecuación
diferencial 2x2y " + 3 x y '-y = 0 .
Verificar que las funciones y x = x 2 , y 2 =x~2 ln x , x > 0, satisfacen a la ecuación
diferencial x 2y" + 5xy' + 4y = 0 .
£
(3) Demostrar que la función y = j2log(sen20 + x2cos20 ) ¿ 0 , satisface a la ecuación
Jo
2 . . . . . x +
diferencial (1+ x) y" +(l + x )y f +y = /rlog( ).
( 3 ) Dada la función u = f e*rcosfl(A + Z?log(xsen26))d0 satisface a la ecuación diferencial
Jo
d 2u du 2
x-7— + q xu =0
dx2 dx

(25) Demuestre que la función y = í —-— " . , satisface a la ecuación diferencial
w Jo ( i + z 2r ‘
jry” -2 n y ’+jcy = 1.
m 0 0
26J Si //( /) = e~x eos(tx)dx, para todo t e R, probar que H'(t) +—H(t) = 0
Jo 2
«pe ^í ^
(27) Si G(f) = j e x d x , t>0» probar que: G '(0 + 2G(/) = 0
28) Verificar si la función v = C ,e/?arcscn* + C ^ ~ frarcscní es la solución de la ecuación
diferencial ( l - x 2)y"-.xy,- 6 2y = 0 .
♦
(29) Verificar que (y ')2 = [l + (y ')2]3 es la solución diferencial de las circunferencias de
radio r = 1
30; Demostrar que: y - e (C ,+ C 2 e dx) es la solución de la ecuación diferencial
y " -2 * y ’- 2 y = 0 .
(3Í) Probar que la función y ( 0 = | sen( t - s ) f ( s ) d s es una solución en I de
Jo
y"(0 + y(0 = f ( 0 f que satisface y(0) = y'(0) = 0 , donde f es una función continúa
sobre el intervalo I , el cual contiene al cero.
32) Demostrar que y ( / ) = | ------------f ( s ) ds es solución de y <R)( 0 = / ( 0 con
y(0) = y'(0) = ...= y <n l) (0) = 0 donde f es continúa sobre un intervalo I que contiene
al cero.
® f ^ 1 dy e*r
Comprobar que y = 2 I e 5 ds + c es solución de -=-■= —¡=
Jo * dx 4 x .

1.7. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS.-
Las ecuaciones diferenciales aparecen no sólo a partir de las familias de curvas
geométricas, sino también del intento de describir en términos matemáticos, problemas
físicos en ciencias e ingeniería.
Se puede afirmar que las ecuaciones diferenciales son la piedra angular de disciplinas
como la física y la ingeniería eléctrica, e incluso proporcionan un importante instrumento
de trabajo en áreas tan diversas como la biología y la economía.
Veremos la obtención de ecuaciones diferenciales que se origina de diversos problemas
los cuales pueden ser geométricos, físicos o por primitivas.
Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial
mediante la eliminación de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la
constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se
resuelve el sistema formado con la ecuación original.
1.7.1. ECUACION DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS.-
constante en un miembro de la ecuación y derivando. También se puede eliminar la
Ejemplos.
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = Cj c o s ( j c + C2).
Solución
y = C, cos(jc+.C2) => / = -C j sen(x + C 2)
y” = - C | cos(jc+ C 2)
donde
y " = -C | cos(x + C2)
y = Cj cos(.r + C2)
=> y* +y = o
V Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = A sen x + B eos x
Solución ,#3

y = A sen x + B eos x y'= A c o s* -f? se n *
y '1= - A sen x - B eos x
de donde
y "= - A sen x - B eos x
y = A sen * + 5 eos x
y m +y = 0
Otra manera de eliminar las constantes es, considerando el sistema siguiente:
y = - A sen x + B eos x
y' = A cos*-Z?sen*
y"= - Asen x - B eos jc
- y + A sen*+ Seos x = 0
- y ' + A c o s* -flse n * = 0
- y " -A se n * -/? c o s * = 0
Este sistema de ecuaciones en dos incógnitas A y B tienen la solución sí y sólo sí:
©
sen* eos*
y eos * - sen *
y" -s e n * -e o s*
= 0 y" +y = 0
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y =Cx
e~x +C2e
Solución
-3*
y = Cx
e~x +C2e
-3x
exy =Cx+C2e 7x derivando exy'+exy =-2C2e
- 2*
3jt 3jt
e3Xy'+e3Xy =-2C2
3y'+y"+3y +y' =0
3 e 3xy'+e 3Xy' '+3e3* y + e 3Xy ' = 0
y'*+4y'+3y = 0
3* 3x 3jt
Otra manera es:
-3*
y = C,e~ + C 2e
y ' = -C,£,_Jt - 3C2€_3jI
y" =C,e-x+9C2e-3
x
-y +C,*--*+ C2
e~3
x = 0
-y' -Cx
e~x- 3C2
e~3
x = 0
-y" +Ce~x+9C7
e~3
x = 0
el sistema tiene solución sí y solo sí:
-y e~x e~3
x -y 1 1
-y' -e’ x -3e~3
x = 0 =* e * x -1 -3 = 0
- y ' e~x 9e~3
x -v " 1 9
de donde y" + 4y' + 3y = 0

© Encontrar la ecuación diferencial v u j u jv iu v iu ii g v iiv iu i v j
circunferencias de radio fijo r, con centro en el eje x, siendo “a” arbitrario.
Solución
v*’ 7 *
>
( x - a ) " + y = rm - a = ¡r2 - y2 derivando se tiene:
1-0— ^ yy
©
de donde r 2- y 2 = y 2y'2 (1-fr- )y 2 = r 2
Encontrar la ecuación diferencial de la familia* de parábolas las que tienen sus vértices
en el origen y sus focos sobre el eje y.
Solución
De acuerdo a los datos del problema, la gráfica de estas parábolas es:
La ecuación de ésta familia de parábolas es
x 2 = 4 py .(1)
donde el vértice es v(0,0) y el foco F(0,p).
Como el parámetro es P entonces lo eliminamos
2..»
— = 4p, derivando se tiene — = 0
y y2
simplificando
©
xy'=2y ecuación diferencial pedida
Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencia en el primer cuadrante,
tangentes a las rectas x = 0 e y = 2x
Solución
De los datos del problema, el gráfico es:

Sí c (h,k) el centro => r = h por ser tangente
el eje Y.
r 2 - d 2(c, p) - d 1(c, p) - ( a - h ) 2 ( b - k ) 2
2 _/„ , (U i,2
r —( a - h ) + ( b - k )
pero p(a,b) € L: y = 2x => b = 2a
Luego r 2 = ( a - h } 2+ ( 2 a - k ) 2 ... (1)
Además la ecuación de la circunferencia de radio r, centro c (h,k) es:
(x —h)2 + (y - k ) 2 = r 2 ...(2)
Ahora derivamos la ecuación (2) se tiene; ( x - h ) + (y —k)y' = 0
Como en el punto p(a,b) es tangente a la recta y = 2x
= = 2entonces (a - h) + 2 (2a - k) = 0 => 5a = h + 2k
X = Q
h + 2k 2 /t . . .
a - y b - —{h + 2k) «.(3)
5 5
Reemplazando (3) en (1) h2 = - h ) 2 + ( - ( h + 2 k ) - k ) 2
5 5
l2 , 2 k - 4 h x2 1 ~ k ^2 • ,vr- j
h = ( ) + (---------) , simplificando
5h2 + 2 0 k h - 5 k 2 = 0 =* h 2 + 4 k h - k 2 = 0 =» h = ( J s - 2 ) k ó => k =
( x - h ) 2 + ( y — ^ — )2 = h 2
y¡5-2
h
■J5-2
(4)
La expresión (4) es la ecuación de la familia de circunferencias, para hallar la ecuación
diferencial, eliminamos el parámetro h de la ecuación (4) para esto derivamos:

h
2(x - h) + 2( v — ¡=— ) v’= O despejando h tenemos:
V 5 -2 '
, (yÍ5-2)(x + yy')
h = ----- = --------------- reemplazando en (4)
s f S - 2 + y ’
( S - 2 ) { x + y y ' ) 2 (y/5-2)(x+yy') , ,(y Í5 -2 X x +yy')s
[X~ V 5 - 2 + / J ^ ( V 5 - 2 ) ( V 5 - 2 + / ) , _ ( J 5 - 2 + / *
Simplificando se tiene: (x -(-j5 - 2 ) y ) 2(l + y '2) = [(V5 - 2 ) U + yy')]2
1.7.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PROBLEM AS FÍSICOS.-
Las ecuaciones diferenciales de problemas físicos provienen de diferentes fuentes, tales
como la mecánica, eléctrica, química, etc.
Ejemplos:
Se sabe que los objetos en caída libre cercanos a la superficie de la tierra tiene una
aceleración constante g. Ahora bien, la aceleración es la derivada de la velocidad y esta a
su vez, es la derivada de la distancia S. Luego, si se toma como dirección positiva la
d 2s
dirección vertical hacia arriba, tenemos que la fórmula.— =- = —
g es la ecuación
dt
diferencial de la distancia vertical recorrida por el cuerpo que cae. Se usa el signo menos
puesto que el peso del cuerpo es una fuerza de dirección opuesta a la dirección positiva.
( ¿ ) Una masa m de peso w se suspende del extremo de una varilla de longitud constante L.
Suponiendo que el movimiento se realiza en un plano vertical, se trata de determinar el
ángulo de desplazamiento 0, medido con respecto a la vertical, en función del tiempo t,
(se considera 0 > 0o a la derecha de op y 0 < 0o a la izquierda de op). Recuérdese que
el arco s de un círculo de radio L se relaciona con el ángulo del centro 0 por la fórmula
s = L 0.
d^? d
Por lo tanto, la aceleración angular es: a = — ^ = L — —
dt2 dt1

por la segunda ley de Newton: F = tna = mL
d 2d
d r
En la figura vemos que la componente
tangencial de la fuerza debida al peso w es mg
sen 0, si no se tiene en cuenta la masa de la
varilla y se igualan las dos expresiones de la
fuerza tangencial se obtiene:
i d2e a
mL — —= - mg sen 0
d r
+ —sen 0=0
dt L
Una lancha que pesa 500kg. se desliza por un plano inclinado a 5o. Si la fuerza
de rozamiento que se opone al movimiento es 20kg. y la resistencia de aire expresado en
kilogramos equivale a 0.05 veces la velocidad en centímetros por segundo, hallar la
ecuación del movimiento.
Solución
En la figura mostramos a la lancha sobre un
plano inclinado; tomemos los siguientes
datos:
F = Componente de peso en la dirección del
movimiento.
Fr = Fuerza de rozamiento
Fa = Resistencia del aire
De acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene:
Suma de fuerzas en la dirección del movimiento = (masa) x (aceleración)
Luego se tiene: F - F R- F a=m .a ...(1)
donde F = 500 sen 5o = 43.6, FR= 20

Fa = 0.05v, siendo v = la velocidad, a = aceleración, m = la masa.
981
ahora reemplazamos en la ecuación ( 1)
4 3 .6 -2 0 -0 .0 5 v = entonces 23.6-0.05v = a
981 981
... (2)
como
dv
a = — que al reemplazar en (2)
dt
©
se tiene: + 0.05v = 23.6 que es la ecuación diferencial del movimiento.
981 dt
Considere el circuito simple conectado en serie que se muestra en la figura y que consta
de un inductor, un resistor y un capacitor. La segunda Ley de Kirchoff dice que la suma
de las caídas de voltaje a través de cada uno de los componentes del circuito es igual a la
tensión E(t) aplicada. Si llamamos q(t) a la carga del capacitor en un instante cualquiera,
entonces la corriente i(t) está dada por i = Él
dt
, ahora bien, se sabe que las caídas del
voltaje son:
ó ’
En un inductor = L — =
dt dt"
En un capacitor =
En un resistor = iR = R
dq_
dt
en donde L, C y R son constantes llamadas induetancia, capacitancia y resistencia
respectivamente.
Para determinar q(t) debemos por lo tanto, resolver la ecuación diferencial de segundo
orden que se obtiene mediante la Ley de Kirchoff, es decir:

Según la Ley de enfriamienio de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia al
aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire.
Obtener la ecuación diferencial respectiva.
Solución
Consideremos los siguientes datos:
T = Temperatura de la sustancia en el instante t
Ta = Temperatura del aire
dT
— = La velocidad a la que se enfría una sustancia
dt
dT
de la condición del problema se tiene: — = - k ( T - T ), k ) 0
dt
que es la ecuación diferencial pedida donde k es la constante de proporcionalidad.
El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir el
tiempo.
EJERCICIO S PROPUESTOS.-
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias:
(a - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 en el plano xy, siendo a, b y r constantes arbitrarias.
Rpta. xy'' - 2ny + xy = 1
( 2) Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides, _v2 =
a - x
Rpta. 2 x 3y ’= y ( y 2 + 3a2)
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las rectas con pendientes y la
intercepción con el eje x iguales. Rpta. y'2= xy'—y'
© Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuyas pendientes y sus
intercepciones con el eje Y son iguales. Rpta. ydx - (x + 1) dy = 6

©
©
Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma algebraica de las
intercepciones con los ejes coordenados es igual a k. Rpta. (xy’- y X y -1) + ky' = 0
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides y 2 = -- -a — -
a - x
©
Rpta. (jc4 -4 jc 2y 2- y 4)dx+4x3ydy = 0
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias
(jc- a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2, de radio fijo r en el plano xy siendo a y b constantes
arbitrarias.
©
n a ✓ii <2 3 2 112
Rpta. (1 + y ) = r y
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada.
a) y = x 2 + C ,e x +C2e 2x Rpta. y"+y'-2y = 2(1 + jt - x 2)
b) y = Cxx + C 2e~x Rpta. (x + 1)y"+xy'-y = 0
c) y = r + C |í x +C2e 3* Rpta. y' ’44/+3.y = 4 + 3jc
d) y ~ C xe 2x cos3x +C2e2x sen3x Rpta. /'-4 /+ 1 3 ;y = 0
e) y = Aelx + Bxe2x Rpta. y " - 4 y ' + 4 y = 0
f) y = exl (Cj + C2 fe~x~dx Rpta. y"-2xy'-2y = 0
g) y = Ae^* + Be
i
Tx Rpta. 4x*y"+6x2y '- y = 0
h) y
‘ c 'x S ‘
í
2
3
- . + C 2x
2 .
Rpta. y " - x y ' + x y = 0
,2
i) (ax + b)(ay + b) = c, a. b, c constantes arbitrarias. Rpta. (x - y)y' '+2y'+2y' = 0

j) y = eosh>
x+ C2e ax senb x %
a, b parámetro. Rpta. y"-2ay'+(a2 + b 2 )y = 0
k) y = A (eos x + x sen x) + B (sen x - x eos x), A, B constantes
Rpta. xy"-2y'+xy = 0
d 2x t
1) x = A sen (cot + p), coun parámetro, no debe ser eliminado, Rpta. — + (0"x - 0
di
m) y - A ex+y + Be~x+y , A y B constantes arbitrarias Rpta. (y - l)y ,f+y = (y - 2)y’
n) = Aj + x 2 + Bx Rpta. (1 + )y"+xy'-y = 0
Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por
el origen. Rpta. (a
*
2 + y 2 )y,f+2[y'2+l](y - .vy') = 0
@ Encontrar la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen.
Rpta. xv’- y = 0
^ l ) Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el
origen y cuyos centros están en el eje X. Rpta. 2xv y'= y* - x *
n i ) Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje
Y.
0 Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en el origen y
cuyos focos están en el eje X. Rpta. 2a> '= y
Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y 2 - 2x
0 Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen su centro sobre
el eje X. Rpta. y,2 + vy,'+l = 0
0 Hallar la ecuación diferencial de la familúi de parábolas con el eje focal paralelo al eje X.
2 ..im o..» -."2
Rpta. y,¿ y,M= 3y,yM

^ 7) Obtenga la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices y focos están en
el eje X. Rpta. yy,,+ y '“ = 0
© Obtenga la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por (0,-3)
y (0,3), y cuyos centros están en el eje X.
© Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos
(2,2) y (-2,2). Rpfa. (a 2 - y2 - 2 x y -8 )— —(jc2 - y2 - 2 x y + 8) = 0
dx
Hallar la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva y 2 = - j r .
@ Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y = -x
Rpta. (a - y)yM
[ 2 - (A - y)y” ] = 2y'[l + y '2 ]2
(22) Por un punto p(x,y) de una curva que pasa por el origen, se trazan dos rectas paralelas a
los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichos ejes. Hallar la
ecuación diferencial de la curva, de modo que ésta divida al rectángulo formado en dos
regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.
Rpta. 3Ay'= y 1
(23) Hallar la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábolas x 2 = 2y + 1 .
Rpta. 2xy' - y'2 - 2y -1 = 0
© Hallar la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola y 2 - x
Rpta. y '(4a*- y '2 ) = 4 y + 2y'
^ 5) Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y = f(x) tal que la ley que
incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto
fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a, 0).Rpta. xyy'2 t(x 2 - y 2 - a 2)y'= xy
é •

4
(2ó) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad:
“El área de la región encerrada por la curva, los ejes coordenados x e y, y la coordenada
del puntop(x,y} de la curva es igual a ( x 2 + y 2)" Rpta. 2yy'+ 2x—y = 0
27) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente
propiedad: “Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas
tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje y es
X~V
n
igual a - , donde y 0 es la coordenada del punto en que la tangente corta el eje y.
Rpta. y'2 (l + .v )-y y '+ l = 0
(28) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente:
“Si por el punto p(x,y) de una curva, en el primer cuadrante, se trazan las rectas tangente
y normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con el eje 0X y N el
punto de intersección de la normal con el eje 0Y, entonces el área del triángulo TON es
igual al — , donde 0 es el origen de coordenadas. Rpta. ( x ~ - y )/= jc v
29) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente
condición: “Si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las
rectas tangente y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta
normal con la recta y = x y B es la intersección de la recta tangente con la recta y = x
entonces el segmento AB tiene longitud y¡2 . Rpta. (>,,2- l ) 2 = U‘- v ) 2(y,2+ l)2
(5o) Hallar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides r = a(l - sen 0)
Rpta. (1 - sen 0) dr + r eos 0 d0 = 0
Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides, r = a (sec 0 + tg 0).
dr
Rpta. — = r sec 0
de

(32) Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales:
, senh x n cosh x A „
a) y = A + <A.B constantes
J3
b) tg h (4 + -^) = -n/3 tg(—
—a
-+ C ), C constante.
4 2
c) ±(* + c) = 1
Jk - y 2 -karc.cosh(—),k fijo y c arbitrario
x “■
b
d). y = acosh( a , b constantes arbitrarios.
a
e) y = C je“ + C 2e “ +C$xe*' , C ,, C2 , C3 constantes.
(33) Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 1,
con centros en la bisectriz del prrtner y tercer cuadrante.
Rpta. ( j r - j o ’ a + y ) 2 = a + / ) 2
34) Hallar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje paralelo al eje y, y
tangente a la recta y = x . Rpta. y '2 = 2 y y "-2 x y M
+ 2 y '- l
^ 5 ) Hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un punto cualquiera M
* forme un ángulo 0 con el eje OX y que verifique 9-<¡> = — siendo $ el ángulo que OM
4
forme con el eje OX.
^ ó ) En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como un hombre que
desciende en paracaídas) encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad
instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encdhtrar la ecuación diferencial de
la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera. Rpta. - ; + - v = g
dt m

37 Un circuito en serie contiene un resistor y un
inductor, tal como se muestra en la figura.
Determine la ecuación diferencial de la
corriente i(t) si la resistencia es R, la
inductancia es L y la tensión aplicada es E(t).
i •
Rpta. L — + Ri = £(r)
dt
©
38 Un circuito en serie contiene un resistor y un
capacitor, tal como se muestra en la figura,
encuentre la ecuación diferencial para la carga
q(t) del capacitor si la resistencia es R, la
capacitancia es C y el voltaje aplicado es E(t).
39 ¿Cuál es la ecuación diferencial de la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae
verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de
la velocidad instantánea?
. dv k
Rpta. — + — V = g
dt m

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 27
CAPITULO II
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
A las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado,
representaremos en la forma:
La ecuación (1) nos indica la relación entre la variable independiente x, la variable
dependiente y, y su derivada —
dx
De la ecuación diferencial F(x, v,— ) = 0, despejamos la derivada — ; es decir en la
dx dx
i
forma siguiente:
2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE
SEPARABLE.-
Si de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado que es:
d
9
dx
= g (x,y), podemos expresar en la forma:
... (2)
donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación
(2) se le denomina "ecuación diferencial ordinaria de variable separable" y la
solución general se obtiene por integración directa, es decir:

donde C es la constante de integración.
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
( ! ) (y2 +xy2) ^ + x 2 - x 2y = 0
dx
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos en la forma:
y 2(* + l)¿/y -hjc2(1 - y)dx = 0 , separando las variables
y2 x 2dx r v2 f x 2dx
— dy + ------- = 0, integrando se tiene: I —
— d + I = C, de donde tenemos:
-y 1+ a* J 1- y ' J 1+ a
. (a + y ).(a - y - 2) + 2Ln x+x-=k
i- y
a^1 + y 2 + yVl + x 2y ' = 0
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así:
>/l + y 2dx + yyj1+ x2dy = 0, separando las variables
adx y . _ . , f xdx f ydy _
+ —
j=á==dy = 0, integrando se tiene: | , + | - jí--. = C,
f xdx f
J +J
Vl + A2 7 T + J 2" J Vl + A2 J -y/*
donde tenemos 1 V1+ x2 + yjl + y 2 = C
e* secyí¿x + (l + é’JC
)secy tg y<¿v = 0 , y = 60° si x = 3
Solución

e x sec y dx + (1+ e x) sec y tg y ¿y = O, separando la variable.
+ tg ydy = 0, integrando. | ------- + I tgydy - C, de donde se tiene:
Ln( ) = Lnk =* 1+ ex = k eos y
eos y
k
Cuando a = 3, y = 60° => 1+ e = — => k = 2(1+ e )
2
l + e* = 2 (l+ e 3)cosy
(4) y Ln y dx + x dy = 0, y | x=, = 1
Solución
y Ln y dx + x dy = 0, separando las variables se tiene:
— + ^ = 0, integrando ambos miembros.
x yLny
f dx C dy
I K I = C, de donde tenemos:
J a J yLny
Ln x + Ln(Ln y) = C => Ln(x . Ln y) = C, Levantando el logaritmo: x Ln y *
=k
Cuando x = 1, y = 1 L n l = k => k = 0
x Ln y = 0 => Ln y = 0 => . y = 1
U*y2 - y 2 + x - ) d x +(x2y - 2 x y + x 2 + 2 y -2 jc + 2)dy = 0
Solución
(av 2 - y " + x —)dx + (a 2y - 2xy + a 2 + 2y - 2a + 2)dy = 0 , agrupando
[ y 2 ( A - l ) + ( A - l ) ] í ü + [ A 2 ( y + l ) - 2 A ( y + l ) + 2 ( y + l)]¿/y = 0

(y 2 +1)(jc—l)¿v + (.t2 —2.v+2)(y+ l)<iy = 0 , separando las variables
(x-)dx (y + i)dy
+
j r - 2 . t + 2 y "+ l
- 0, integrando ambos miembros
£
-1 )dx
2x +2 + 1
<J = C, de donde tenemos:
- L n
2
x ~ - 2 x + 2
1 ,
+—Ln
2
v +1 + «re. tg y = C,
ln((x“ - 2 * + 2)(y* + l)) + 2arctg y = C .
ln((jc - 2 a + 2 )(y" + l)) = C -a rc tg y , levantando el logaritmo
(x2 - 2 .v + 2 ) ( y 2 + 1) = ke-2ua* v , de donde se tiene: .*. ( a 2 - 2 A + 2 ) ( y 2 + l)e2lg v = k
I.
©
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
tg x. sen “ y.dx + eos * x.c tg ydy = 0 Rpta. c t g “ v = t g ' A + C
© * y - y = y Rpta. x -
cy
]l + y 2
© 4
, ^ d ■
> 2
l + .r — = x y +x
dx
Rpta. 2>A + *3 = 3L/i(y + l) + C
© e2x~ydx + e y~2xdv = 0 Rpta. e4x+2e2 y =C
© ( A ~ y - A “ + y - ) d x +(xy +2 x - 3 y - 6 ) d y = 0
x
Rpta. ^ + 3.v+ y + L /!U -3 )l0( y - l ) 3 = C
© ex*y sen.v¿iv + (2y + l)e ' dy = 0 Rpta. e r(sen A -co sA )-2 e
- V - V
= c

© 3?* tg y dx + ( - e x )sec‘' y dy= O Rpta. tg y = C(l-é>*)3
©
v,dv ,
ey(— + 1) = 1
dx
Rpta. n{ey - ) = C - x
© y'=l + .x+y2 + .xy2 Rpta. are. tg - jr — = C
@ y - x v ,= a(l + x~y) Rpta. y =
a + cx
1+ av
© (l + y 2)dx = ( y -y ] l + y 2)(1 + x 2)v 2 dy Rpta. Ln
^ +y
V+ yj^ + y
+c
© (l-3 ')« >
> '+ - 7 — = 0
xLnx
e'
Rpta. C + — -L n(Lnx)
y
© < rvo + y’) = i Rpta. e x = C (l - e v)
© e x vdx + e y xdy = 0 Rpta. e 2x+ e 2 y = C
© (1+ y + y 2)dx + x(jc2 —4)dy = Ot
1 j r - 4 2 2v + l
Rpta. - L n (— — ) +—=arc.tg( ' ) = C
8 j r V3 >/3
® y'= 10jr+v, a > O, a * l Rpta. 10jr+10~)’ = C
© dy x
dx y(l + j r )
Rpta. 3 y 2 -21n(l + ;c3) = C
© dy x - e
- X
dx y + e)
Rpta. y 2 - j r 2 + 2(ey —e X) = C
dy _ a x +b
dx ex+ d
, a,b,e,d e R Rpta. y = — +
ax be - ad
Ln cjt + d| + £

20
dy _ ay + b
dx cv +d
, a.b.Cyd e R Rpta. x = — + Ln ay + b + k
y(x2dy + y 3dx) = A'Vy Rpta. 3x2y - 2 x 2 + 3 y 2 = k x 2y 3
22 (jc
v
' - H = (jc2_y2 + jc2 + y 2 -fcl)c/y Rpta. InU 2 + 1) = y 2 - 2y+ 41n | k (y +1) |
@ a 3*"* +2v d x - y ^ e x 2y dy - 0, Rpta. 25(3*2 - l)*3jr + 9(5y2 + l)e 5' = C
24 aJv + y¡ + y 2dx = 0 Rpta. .v( v + Jl + y 2) = k
dy _ ( y - O U - 2 ) ( y + 3 )
dx (a —1)( y —2 )(a + 3)
Rpta. (.v-l)(y + 5)5 =Jk(^-l)(jc + 3)5
26
*
> j j ? i j
.v 'v - 4x = (x V" - 9 V ' ) —
dx
Rpta. x + —Ln
4
A —3 y - 2
= y + Lti
a + 3 y + 2
+ k
27 (x —y~x)dx + ( y - x ~ y ) d y —0 Rpta. (a-~ - l)(v“ —1) = A
28
^ ^ 4 A
y“(l-A “)2dy = aresenA dx en el intervalo-1 < x < 1 Rpta. 2 y ‘ -3(arcsenx) = C
AT’= VÑV Rpta. y = sen (ln Ix I + C)
30 xydx + (jc2 + )ey dy = 0 Rpta. Ln^jx^ + 1+
© (x + 1)(y - 1)dx + (x - 1)(y + 1) dy = 0
~x+y
Rpta. (jc-l)(y -1) = ke 2
32 (ey + l)cos A¿lr + e v(sen x+)dy = 0 Rpta. (sen a + 1)(<?*V+1) = k
33
2 dy ,
x y + v — = 6 a
’ ' dx
(34) y Ln x . Ln y. dx + dy = 0
Rpta. A'2 + y 2 +12y + 72 ln 16 - y |= C
Rpta. Ln (Ln y) + x Ln x - x = C

(xy + 2x + y + 2) dx + (x + 2x) dy = O Rpta. V*2 +2x(_y+ 2) = k
36 e y (l + x 2)dy - 2jc(1 + e y )dx = O Rpta. l + e y =C(l + x ¿)
dy 1+ cosa
dx sen y
Rpta. 2 y -se n y - A - s e n a = C
38
dy x2- x y - x + y
dx xy-y*
Rpta. y = ( a - 1) +k
xdx - Vi—x4dy = A
'2yjl + x*dy Rpta. y = —
1 1-A
+ C
2 Vl + A
( + y 2)dx = (y -y ¡ l + y2 )(1 + x 2)3l2dy Rpta.
Vl+A2
= Ln
cVT
i+V
T+ V
® yy = sen a.e
x+2v *+2v
Rpta. 2y = 2e (eos a - sen a) + k
42 ( 4 a + Ay )dx--(y + x “y)dy = 0 Rpta. (1 + a 2)(4 + y 2) = k
® ( a + aVy )¿y + yyfydx = 0 Rpta. — = + lnAy = c
V?
®
rfy _ x 2y ~ y
dx y + 1
; y(3) =1 Rpta. a —3a —3 y —3 ln| y |= 21
45
dy 3x2 - 6 x 2y 2
dx
; y(3) = i
y - x y
Rpta. U 3 - ! ) 4 = k ( 2 y 2 - )
II. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial, mediante las condiciones
dadas:
©
K K
sen 2x . dx + eos 3y dy = 0, y(—) = —
2 3
Rpta. 2 sen 3y - 3 eos 2x = 3

© y’-2 y .c tg x = 0 , y{~) = 2 Rpta. y ~ 2 sen x
©
dy x x
dx y 1+ v
. y(0) = l Rpta. 3y + 2 y =3x +5
© jc(y6 +1)dx+ y 2(x4 +1)dy - O, y(O) = 1 Rpta. 3arc.tgx2 + 2arc.tgy3
©
1- eos 2x , _ A
------------+ y = 0, y(—) = 0
1+ seny 4
Rpta. V2 sen jc+ sen y - eos y = 0
© y 2y ' - x 2 = 0 , y (-2) = -2, Rpta. y = x
© x*dy + xydx = x 2¿y + 2y d r , y (2) = e Rpta. jcy = 2(jc—
© ^ - = x y l + x 2r 112, y(0) = 1
dx
Rpta. y = (3-2yjl + x 2 )-1/2
(5 ) y'senx = y ln y , y(^) = e
X
tg—
Rpta. y = e 2
(l +e x )y.y'=ex-, y(0) = 1
2/2
Rpta. 2ey =¡e( + ex)
©
©
©
(Ay2 +x)dx + ( x 2y - y ) d y = 0 , y (0) = 1 Rpta. 1+ y 2 = — 1
—
- x
(4x + xy2)dx + (y + x 2y)dy = 0 , y (1) = 2 Rpta. (l + ;t2)(4 + y 2) = 16
xdx+ ye~ xdy = 0 , y (0) = 1
u
Rpta. y = [2(l-jc)ejr- l ] í
(m ) yey y ' = x - l , y(2) = 0
@ y '+ 6 y .tg 2 * = 0 ,y (0) =-2,
Rpta. e y = x 2 - 2x + l
Rpta. y = -2 eos 2x

y'jiinjc-y = 0, y (2) = Ln 4 Rpta. y = 2 Ln x
© (1+ e * ) y y ' = e y (0) = 0
) + ex
Rpta. (l + y)^"^ = Ln( ) + l - x
® 1 7
2xdx + x 2dy = -dx* v(— —) = —
' Ln x 2
dr sen 9 + e2r sen 9 k , _
— = --------------------- , r(—) = 0
d9 3er +er co$9 2
4 dy + y d x = x~dy, y (4) = -1,
@
© dy = x (2ydx - xdy), y( l ) = 4
(22) Hallar y si:
a) f ydx = K (y 3 -/?3)
J a
b) ydx = K ( y - b )
Rpta. 2y +1 = 2e
n
Rpta. 2arctg(*r) + arctg(cos0) = —
Rpta. (2 + Jt)y4 -3 x + 6 = 0
Rpta. _
v = 2x2 +2
Rpta. 3Ky" - 2 x = 3Kb - 2 a
i.x-a)
Rpta. y = e K
c) | ydx = K ( y 2 - b 2)
a
y dx = K ( y - b )
d ) J
w t
- í
Ja
f) f x 2dy = xi ( y - b )
Ja
y dx = K(y ~b )
-i
Rpta. y = (2 /0 ( x - a ± 2 K b )
Rpta. y ( x - a ----- ) + / í = 0
b
Rpta. x —a = 2ÁTln(—)
Rpta. (2y-3¿>)x2 = - a 2b
8 ) íJe
.6 . 2 2 l .2
x y dx = x' ( y ¿ - b ) Rpta. (6y2 - l b 2)x6 + a 6b 2 = 0

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIRLES A
VARIABLE SEPARABLE.-
Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente
donde a, b y c son constantes, no son de variable separable.
Para resolver estas ecuaciones diferenciales, se transforma en una ecuación diferencial de
variable separable, mediante la sustitución; z = ax + by + c, de donde - = a ) ,
dx b dx
que al reemplazar en la ecuación (1), se obtiene una nueva ecuación diferencial, que es de
variable separable.
1 dz dr
es decir: —(— - a ) = f(z). de donde — = a +b f ( z separando la variable
b dx dx
dz
= dx ecuación de variable separable.
a +bf(z)
Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
Q ) U + y)2y’= a 2
Solución
dy dz
Sea z = x + y=> — = — -1 , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
dx dx
(— -1 ) = separando la variable —
------- = dx, integrando ambos miembros
dx z +a~
í # T = f
J z +a~ J
dx + C => z - aarc. tg(—) = x + C , de donde
a
x + y y
.*+ y -a.arctg( ) = x + C, simplificando se tiene: jc+ y = atg(—+ k)
a a

V = eos2(ax + by + c ) , a , b constantes positivas y diferentes
Solución
dz 1 dz
Sea z = ax + by + c — = a +by de donde y 1= —(— - a ) , reemplazando en la
dx b dx
ecuación - ( — - a ) = eos2 z => — = a + ¿ c o s 2 z ,
b dx dx
separando las variables se tiene: ----------- , = dx, integrando se tiene:
a +b eos" z
Í 2 = fí/r+ <:=> i"
J a + b eos z J J a
dz t
= x + k
sen z + (a + b) eos z
2 Tjdz . 1 l a
1 f sec zíu f . . - / i v i
— I ---------------—= x + k => — arctg J tg(av + ¿v + c) = a*+ &
f lj tf 2, , a + ft y¡a(a+b) Va + b
© > '+ i=
(x + y ) rrt
( j r + y y + U + y ) '
Solución
Seaz = x + y =* y ’= ——- - l * reemplazando en la ecuación diferencial se tiene
dx
m
- - 1 + 1 = — ----- =* — = — -------, separando las variables
dx zn + zP dx zn + zp
zn + zp
zm
dz = dx, integrando se tiene:
+ z p f znm+1
= I dx + C = * ------------ 1--------------= x + C
m 1 n - m + 1 p ~ m + 1
(x + 3')"'m+l (* + yK '"'*1
------------------ H------------------= x + C, n - m * - 1, p - m * - 1
n - w + 1 p - m + 1

( 4) x y 2(xy'+y) = a 2
Solución
dz
x z
Z d r
Sea z = xy y = — ^ v '= ^
— reemplazando en la ecuación diferencia dada
y ' xA
/
72 {X1 Z) -
— [x — —------ + —] = a 2t simplificando z}dz - a 1xcix
X x 2 X
1 1
Z J X* 1 1 ^ *
>
integrando se tiene: — = « + C => 2 jry =3a~x~ + K
(lnjc + y 3)¿jc-3.xy2£/v = 0
Solución
Sea z = L /u + y 3 => — = —+ 3y2.y ’, dedonde 3xy2y' = x — -1, reemplazando en la
dx x dx
d* d*
*
ecuación diferencial se tiene: z - ( x — -1) = 0 => (z + l)-.v — = 0, separando las
dx . dx
variables. — - = 0, integrando se tiene: Ln x - Ln(z + 1) = Ln C => x = C(z + 1)
jc z+ 1
z + l = k x => ln jt+ y 3 + l = fct donde k = - /. y 3 = k x - n x -
( ^ ) (6x + 4y + 3) dx + (3x + 2y + 2)dy = 0
Solución
La ecuación diferencial expresaremos en la forma: (2(3x + 2y)+3)dx + (3x+2y + 2)dy = 0
Sea z = 3x + 2y => dz = 3 dx + 2 dy => dy = ~ ( d z - 3 d x )
dz 3dx
reemplazando en la ecuación diferencial (2jc+ 3)dx+ (z + 2X---------- ) = 0

©
simplificando y separando la variable se tiene dx + Z
-* ^ dz = 0,
integrando ambos miembros z + 2 L n z + x = C de donde:
.*. 4x + 2y + 2Ln (3x + 2y) = C
eos (x + y)dx = x sen (x + y) dx + x sen (x + y)dy
Solución
Sea z = x + y => dx = dz - dy , reemplazando enla ecuación diferencial se tiene
eos z dx = x sen z dx + x sen z (dz - d x ), simplificando y separando la variable.
— = tg z dz integrando se tiene: x co s(x + y) = C
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
( l ) — = cos.(.v+v) Rpta. y = 2 arc.tg (x + C) - x
dx
y’= se n 2(jc -y + l) Rpta. tg (x - y + 1) = x + C
dy x + y
dx * + y + 2
Rpta. y + Ln Ix + y + 1 I= x + C
y' ln | x - y |= 1+ ln | x - y | Rpta. (x - y) Ln Ix - y | = C - y
( ? ) y 1= (jc+ y)2 Rpta. x + y = tg (x + C)
^ ) (x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3) dy = 0 Rpta. x + 2y + Ln | x + y - 2 | = C
^ ) (l + x 2y 2)y + (A y -l)2A y=0 sug : xy = z Rpta. y 2 =ke
i
X V ---
XV

40 Eduardo Espmoza Ramos
© 6 ~ 5 . *»._4 ..3 2 ,.3
(x - 2 x + 2* - y + 4x~y)dx +(xy - 4 x )dy = 0 ,
sug : y = xz
3 3
Rpta. - — x 2 +2x+-^-—~ — = C
3 3jc3 x
® V ' = y ~ x+l
y-A* + 5
Rpta. (y —jc) “ + 10y-2,v = C
© ye*'3 ¿r + ( y ‘ - 2xe " y )dy = O
í / V *
A
Rpta. Iny + e v =C
© y = sen(jc-y) Rpta. x + C = ctg (—
—- + —)
2 4
© y’=(8JC + 2y + l) Rpta. 8x + 2y + 1 = 2 tg (4x + C)
© (jr2y 3 + y + .*-2)¿v + (x3y 2 = 0 Rpta. 3*2 -12A*+2A3y 3 + 6*y = C
© (1- xy eos jcy)d!x- a ‘ eos xy dy - 0 Rpta. Ln x - sen xy = C
© l-t2 se n (^ -)-2 y co s(-^ )K v + Acos(-Y)í/y = 0 Rpta. .rsen(-rp) = C
JC
" X" X x~
e yy' = K(x +ey ) - l sug: Z = x +e y
k-X
Rpta. y = ln(Ce - x )
©
I
x2yy' = -lg {x 2y 2)-xy>2 sug: z - x 2y 2 Rpta. sen(x~y ) = ke
© y=flu* + 6y + c , a, b, c € R
¿
A
®
2..2 +l)dx +2x2d y= 0 Rpta. — -— + —Ln x = C
- x y 2
20 (xy - 2xy lnfcy + y ln y)dx + (2 jT ln y + .*).// = 0
sug: z = x Ln y Rpta. I x 1 + (2xln y + 1)2 =C

(21) (2x + 3y - 1)dx + (4x + 6y - 5) dy = O Rpta. x + 2y + 3 Ln (2x + 3y - 7) = C
(22) (2x - y)dx + (4x - 2y + 3) dy = O Rpta. 5x + lOy + C = 3 Ln | 10x-5y+ 6
(2) (6x + 3y - 5)dx - (2x + y)dy = O Rpta. 3x - y = C + Ln (2x + y - 1)
( 2 ) (x3y4 + y 5x3 +a:3y 2 + x 3y5 + y 7 + y 5)í¿Jt-(x4y 3 +x 6y +xy6)dy = 0
„ A x3 1 y 2 x -v3 _
Rpta. — + jr
-
- + - + — r = C
3 2x2 2x2 y 3y
( 2 ) Mediante una sustitución adecuada reducir la ecuación diferencial.
p(xmy n)ydx+Q(xmy tt)xdy = O, a una ecuación diferencial de variable separable.
3) (2+ 4a*2<Jy)y dx+x*y[y dy = O Rpta. x3y * = C
( 2 ) y(xv + 1)dx + x(l + a*
v + x 2y 2)dv = O Rpta. = LnKy
N
-x *
yvmvz
¿x y
( 2 ) (y - xy2)dx - (x + x 2y)dy = O Rpta. Ln(-) - x y - C
29) ( y - x y 2 + x 2y 3)<ix+(x3y 2 - x 2y)dy = 0 Rpta. 2l nx + x 2y 2 -2 x y = K
(30) — = *+ SUg; x + y = u, x y = v Rpta. x 2v2 -1 = Af(x+ y)2
1+ a y
dv e-V
2v-ACé>'
Rpta. y 2 = x e y + C
(a + y) Rpta. x - y - Ln |sen (x+y)+ cos(x+y)|= C
^ dx
2 ) — = ---------- --------------2 Rpta. (2x + y + 3) Ln 12x+y+3 I= x + C
dx L/i(2x+y+3)+l

dV >
} ^ ry
34) — = a “ + v -1 , sug: z - x + 2 a + v Rpta. 2x + x m+ y + l = Ke
dx
^ 5 ) (a'2- y 4)— = A) su g :x = uv Rpta. 2 y s = -3a 2 + K y 2
dx
3ó) (3x - 2y + 1)dx + (3x - 2y + 3) dy = O Rpta. 5(x+y + C) = 2 Ln |l5x - lOy + 111
(37) y f= —tg2(jc+2y) Rpta. 4y - 2x + sen (2x + 4y) = C
2
^ 8 ) v1= y¡2x + 3y t Rpta. .6,j2x + 3y -4L n(3y¡2xf3y + 2 )-9 jc= C j
39) .v1= -Jy + sen x -co sA ,J sug! z = J y + s e n x Rpta. yfy~+ senx = —+ C
(40) y/x+ y + l y ' = y¡x+ V -] *'-'■-
Rpta. u2 +2
m
-m
V
h
2—1
+ L
h m
+ yfu2- l = 4 a +C; m = a + v
(íl) (a + y—2+ —)í/a + (2 —a —y)¿y = O Rpta. 21nx-4x + 4y-(A + y)2 = ¿
A
*
(42) (2a - 2y + Ae* )¿¿x-(2A-2y- l)</y = O Rpta. ( a -D e* + (a - y 2)+ y = C
43) [sen x - tg (x -2y)] dx + 2 tg (x - 2y) dy = O Rpta. - eos x + Ln eos (x - 2y) = C
© (1 - Ay + a*2y 2 )¿/.t + (A3y - a 2)dy = 0 Rpta. 21n x + a 2y 2 - 2x> = C
45) ( v*arc. sen /— y4arc.tgVx)dA +rfy= 0
1+ A
Rpta. Va are.tg Va - L//Vi + a + Ln(——-)+ ^ - ^ = C
v 6y
(4ó) 2 vv'= y 2 + jc2 - 2 a Rpta. y 2 -ce*T- a 2

@
@
y'+sen ( x + y ) = 0 Rpta. tg (x + y) = x + C
y '= (* + y )ln (x + y ) - l Rpta. l n | x + y | = ce
2(x2y + y 1+ x4y2)dx + x3dy = O Rpta. x2(x2y + ^/l + x4y2) = C
50 2 3 r ¿y
y arc.tgx + y arc.secv*" +1 + ^ =0
dx
® xy(x¿y + y ¿/x) = 6 y 3d y , cuando x = 2, y = 1 sug. z = xy Rpta. y 2( x 2 - 3 y ¿) = 1
(52) x 2(x¿x+ y ¿y) = (x2 + y 2)dx, cuando x = 1, y = 2
sug. z = x 2 + y 2 Rpta. (X "+ y )(10-9x) = 5x
dx + ¿/y = (x + yXl + —)2(x d y - y dx)
x
sug. z = x + y, G) = —
x
Rpta. (2y + cx)(x+y) + x = 0
© (x 2 + y 2)(x dy + y dx) - xy(xdy + y dx) = 0
sug. z = x 2y 2 , (0= xy Rpta. x 2y 2 = C ( x 2 + y 2)
55 2,2 3 . 3
y (x + 2 )é£x + (x ' +y ) ( y d x - x d y ) = 0
1 X V
Rpta. — -----+ -Z— -L nx = C
x y 2x
56 (6x - 3y + 2)dx - (2x - y - 1) dy = O Rpta. 3x - y + C = 5 Ln I2x - y + 4 |
^ - (A+ y - 3 r “ 2{x + y -3 )
dx
Rpta.
1
x + y - 4
= x + C
Él =-2 +e2x~y+l
dx
Rpta. x +e- 2x -y + l _
= c
0 x dy = y (xy + eos re) dx 60
dy = 2jf —3y + 4 2
í/x 3 x - 2 y —1

44 Eduardo Espinosa Ramos
(óí) ( - x 2y)dx +x 2(y-x)dv = 0 sug. z = x - y Rpta. y2-2 xy +2x2+—= k
w x
(62) y’=(8jt + 2y)2 + 2(8.r + 2y) + l Rpta. are tg (4x + y) = 4x + k
23. OTRAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS^
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
cosy' = 0
*
Solución
Como eos y' = 0 => y ' = árceos 0 = y (2n +1)
^ = y (2 n + l) =* dy = y (2 n + l)dx, integrando
| d y = |^ < 2 n + l)d* + / f , de donde se tiene: y = —(2n + l ) * + w e z
J J 2 2
© e1' =1
Solución
£ y = 1 , tomando logaritmo se tiene y' = 0 , — = 0 => y = C, C constante
dx
® l n / = x
Solución
lny'=j: => y ~ e x => dy - e xdx
M
integrando </>-= exdx + C de donde se tiene: y - e x + C
A
:2y ’cosy + l = 0, y —
» ; x —
» +®°
Solución

©
©
©
©
©
©
©
1 dx
jry 'c o s y + 1= 0 =* cosy.y'+ — = 0 de donde c o s y 4 y + — = 0, integrando
x~ x~
eos y Jv + í ^ = c de donde se tiene: sen y - —= C , como y —
> cuando x —>+°°
J j c ' * 3
_ 16/r 1 ,16/r
C = sen , por lo tanto: sen y — = sen (------)
3 .v 3
© tgV’=A
Solución
Como tgy*=x =» y=arctgjc + «7c, n e z
M
dy = (arc.tg x + n n) dx, integrando d y = (are. tg jc + n7t)dx + C de donde se tiene
y = x a r c .i g x - ^ L n ( +x 2) + n n x + C
EJERCICIO S PROPUESTOS
e v =*x Rpta. y = x (Ln x - 1) + C
tg y' = 0 * Rpta. y = jc n x + C
e y = e4vy' + 1, y es acotada para x —> + Rpta. y = 0
sen v'= jc Rpta. y = x a r c . s c n x - I - x 2 + n;rjc, ne z
x 2 y ' + c o s 2 v = 1, y - » ^ ^ , c u a n d o a* — > - h » Rpta. v = a r c . t g ( — + —^=-) + 3 ; r
3 ' X y j 3
(.v+ l)v'= y —1, y es acotada, para x —
» + Rpta. y = 1 *
v '= 2a(7í + y ) , y es acotada, para x —
»«> Rpta. y = -n

x 3y '- s e n y = l f y —
>5 71, x —
>*> Rpta. y = 2art'.tg (1-------) + —n
2x‘ 2
v = ln(— ) Rpta. y = - Ln (C - x)
dx
^O ) (1 + A2)y '--^co s2 2y = O, y — a —
>-«»
| ^
Rpta. y = —are. tg ( y + arc.tgx) + —n
a. Función Homogénea: Diremos que la función f (x,y) es homogénea de grado
k x e y , sí y solo si, cumple con la condición siguiente:
| f(K x,ky) = Xkf ( x , y )
Ejemplo: Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas
/ ( a, y) = A2y - 4 y 3 es homogénea de grado 3 en x e y
(T ) / ( a , v) = v2 tg X es homogénea de grado 2 en x e y.
^ v
m
0 n x , y ) = ^ ~ -7 es homogénea de grado 1 en x e y
*2- v2
®
a — y
/ ( a ) = ------- 1
— es homogénea de grado cero en x e y
a y
/ ( a , y) = A 2 + sen a . eos y , no es homogénea.
^ ) f ( x , y ) = ex , no es homogénea.
b. Ejercicios Propuestos:
Determinar si las siguientes funciones son homogéneas o no

® f ( x ,y ) = e y ® f ( x , y ) = (x2 + y 2)i
® f(x,y) = x - 5 y + 6 ( 4) f( x , y) = jcsen—-y s e n —
X V
3.v - 4y
f(x,y) = x Ln x - y Ln y
j.t
( ? ) f ( x , y ) = (x2 + v2) e y +4xy
® f ( x , y ) = x3- x y + y3.
© f(x,y) = x Ln x - x Ln y
®
/ U , y) = *arctg(—) + y arctg(-)
x y
c. Definición:
Diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer
grado de la forma:
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y,
Ejemplo: Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinaria son homogéneas
( ^ (jc3 - y 3)dx+ y2xdy = 0 © dy
x — - y+2xe
dx
( 3 ) (je3 + y 2yjx2 + y2)d x-xvyjx2 + y 2dy = 0
([ x ^ -y * “ y arcsen(—))<¿c = jccos(— )d y
d. Solución de una Ecuación Diferencial Homogéneas.
Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea.

entonces: M(A x, Xy) = AKM(x,y) y N(Ax, Xy) = XKN(x,y) ... (2)
esto es porque la ecuación diferencial (1) es homogénea, haciendo; A = — en la
jc
ecuación (2) se tiene:
Af(l,^) =-j¡rMUv) => M (x,y) = xkM ( A
X x x
M { x , y) = jca M (1,—) = x KM(,u) = x Ky / ( u ) , donde u = —
x x
k y
e s decir: A/(jc, v) = jt (p(u), w = — ...(3)
x
l,^ ) = 4riV(.v,y) => N (x, y) = xKN {],—)
x xK
N(x,y) = x KN ( , ( - ) ) = x KN(l,u) = x KN(l,u) = x K^ ( u ) , u = -
X x
¡c y
es decir: N(x, y) = a: |/(m) , u = — ... (4)
*
como y = ux => dy = udx + xdu ... (5)
reemplazando (3), (4), (5) en (1) se tiene:
x kip(u)dx +x Kp(u)(udx +xdu) = 0, simplificando
tp(u)dx + f(u) (udx + xdu) = 0, agrupando y separando la variable se tiene:
dx if/{u)
— + ---------------- (¡u = {j^ qUe es una ecuación diferencial de variable separable
x <p(u)+uyf(u)
Análogamente se hace para A = — , u = —
y y

e) Ejercicios Desarrollados
^1) ( x 2 + 3xv + y 2 )d x - x 2d y = 0
Solución
Sea y = ux =$ dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial
(a “ + 3 x 2y + x 2u~)dx —x 2(udx + xdu) = Q , simplificando
x 2(u2 + 2u +1)dx - x * d u - 0, para x * 0 se tiene:
(u2 + 2u +1 ) d x - x d u - 0 de donde separando la variable — ----- — -r- = 0, integrando
x (m+1)
se tiene: í — - | — — - r = C, de donde Uve +
J x J (w+ l)“ y + *
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos así:
(y + yjy2 ~ x 2 )dx- xdy - 0 —(1)
Sea y = ux => dy = udx + xdu ... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
(ux + yju2x 2 - x 2 )dx - x(udx + xdu) = 0, agrupando se tiene:
xJu2 -1 d x - x 2du =0, para x * 0 y además u * ±1, se tiene: — — - = Q,
* 77^7
integrando | — - | ^ - = k y efectuando y simplificando: 2Cy = C 2A2 + l
f dx f di
J - “J

(x - y Ln y + y Ln x)dx + x(Ln y - Ln x)dy = 0
Solución
A la ecuación diferencial podemos escribir en la forma
( x - yln(—))dx + .vln(—)dy = 0 ... (1)
x x
Sea y = ux => dy = udx + xdu ... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
(x - ux Lnu)dx + x Ln(u) (udx + xdu) = 0, agrupando y simplificando
. •
dx
dx + x Ln(u)du = 0. separando la variable: — + ln u du - 0,
x
ÍM
integrando I — + I Ln(u)du = C,
efectuando y simplificando (x - y) Lnx + y Lny = Cx + y
(x - y arctg(—))dx + ,varctg(—)dy = 0
x x
Solución
Sea y = u x =$ dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
(x - ux arctgu)dx + x arctgu (udx + xdu) = 0,
simplificando y separando las variables se tiene: — + arctg u du = 0, integrando
x
f — + | are. tgudu = LnC => Lnx + uarc. tg w- —Ln( 1+ u2) = LnC
J x J 2
2
y v x + y4
" ?
Como m= — entonces 2y.arctg(—) - x n ( ---- j -
—)C“
x x x

©
A
V
V
xe dx + ye *dy = O
Solución
Sea y = ux ^ dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:
i i
xeudx + uxe14(u dx + x du) = 0 agrupando y simplificando (e u + um
eu)dx + xueadu = 0 ,
separando la variable.
dx ueildu
- + - ¡ —
= 0* integrando. Lnx = -
2 .u
eu +u~e
entonces Lnx
fx te'dt
Ja - ■
> ,
el + r e
1
4
te'dt
i
a 7 t
ex +1 e
como u ——
x
©
v y v
(y cos(—) 4*x sen(—))dx = eos(—)¿/y
X X X
Solución
Sea y = ux dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene
(ux eos u + x sen u)dx = x eos u (u dx + x du).
Agrupando y simplificando, se tiene: sen u dx = x eos u du, separando la variable
dx
= c tg u du integrando
•JH c tgudu + Lnk Lnx = Ln sen u + Lnk
x = k sen u, como u = —
x
y
x = k sen —
x
f. EJERCICIO S PROPUESTOS.
I.
©
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
(4,r~ + x y - 3 y “ )<¿x + (-5A-“ + 2jty + y “ )í/y = 0
Rpta. ln x+ —ln ^ - i + l . n - - 2 - A ln —+ 2
3 X 4 X 12 X
= c

©
¿y _ y , Qiyix)
d x x < p y l x )
Rpta. .v = k ( p { ~ )
x
© *y ' = 2 ( y - V ^ ) Rpta. 16 av = (y + 4 a —ca“ )
©
y
(acos£c(—) - x)dx+ A
* dv = O
A
Rpta. lnJfcx = cos(—)
A
©
V *
A y ' = y + 2 x e *
y
Rpta. ] n ( x " k ) = e
v t y
d = ( — - c o s é ' c " — ) d x
A A
2 V
Rpta. 2 v - Asen(—=-) + 4a ln a = k x
x
© 2 ( 2 a 2 + v 2 ) d x - a v ¿ / v = 0 Rpta. a 4 = c 2 ( 4 a 2 + y 2 )
©
A- v*= 4 r - + 7 A
y + 2y Rpta. a “(y + 2a) = c ( y + a )
© y d x = ( a + - J y 2 - a2) d y Rpta. arcsen(—) = n{kv)
v
d x _ _ v ( 2 a V 3 )
d x a(2a3- 3 y*1)
2.r
Rpta. y = ta€
© A J v - y d x = ^ a 2 4 - y 2 í / a Rpta. y + ^ a 2 + v 2 = c a 2
®
_v(a2 + . y > ’ - 2 y 2 )¿ÍA + A ( 3 y 2 - x y - x 2 ) d y = 0 Rpta. 2 y 2 ln(“ -) + 2 . r y + A¿ = c v
A"
»
1
at V v + (a 3- y 3Wa = 0 Rpta. y 3 = - 3 a 3 ln a + ca3
®
^ — *
“
>
( 6 a “ - 7 y ” ) d x - 14 a t d y = 0 Rpta. 2a ' - 7 a v 2 = c
®
2 x
9
V =
i 2 2
3a - v
Rpta. c ( y 2 - A 2 ) = y 3

Rpta. y + yjy2 - jc2 = cjc3
ax + 2bxy + cv +y'(bx +2cxy +f y ) = 0 Rpta. f y +3cxy +3bx y + ax =k
@ y dx + (2-Jxy —x)dy = O Rpta. /—+ Lny = c
© (jc^jc + y2 - y 2)dx + jcy¿y = O Rpta. jc Ln|jc| + yjx2 + y2 = cjc
( x + ( j c - y ) e * )í¿c + xexdy = 0 Rpta. jc(l + e*) = ¿
V V
(jc+ y sen(—))dx - jcsen(—)dy = O
JC *
Rpta. ln jc+ cos(—) = c
x
® * V = y3+3xy2 + 4x2y + x 3 Rpta. v =
'Jc —2Lnx
—JC
23 (2xy + x 2)y'= 3y2 +2xy Rpta. y + xy = ex
24 — = —+ sen(—)
dx jc jc
y y
Rpta. eos ec(—) - c tg(—) = kx
JC JC
25 2 . 2
2xv‘(jc“ + y ) = y(y + 2 jc¿) Rpta. y2 = cxex ,y
26 jc2y’= 3(jc2+ y 2) arctg(-) + jcy
JC
Rpta. y = jctg(Jkx )
27 jcy‘*rfy-(jr + y J )dx = 0 Rpta. y 3 = jc3(31n jc+ c)
©
y dy y
jcsen(—)— = y sen(—) + jc
jc dx JC
Rpta. cos(—) + In(cjc) = O
JC
29
S
dx x V jc2
Rpta. y +y¡y2 -jc = fcc2

® y 2dx + (x ^ jy 2 - x 2 - xy)dy - O Rpta. y (a - 2 c ) + c “ a = 0
® 2 x 3 — + ( y 3 ~ x 2y ) = 0
dx
Rpta. x y 2 - c ( x 2 + y 2)
x 2y ' - y 2 +xy = x 2 Rpta. y =
c —Lnx
+ A
® x 2y'= y 2 + 3xy + 2A2 Rpta. y = x tg (Ln x + c) - x
(x sen(—) - y cos(—))dx + x cos(—)dy - O Rpta. x sen(—) = k
X X X x
35 yjx2+ y 2dx - x(x + y¡x2 + y 2)dy = O Rpta. ex - yjx2+ v2 = xLn(y¡x2 + y 2 - x)
36 a — = y(ln v - ln x)
dx
Rpta. ln(—) = 1 + ca
x
3 7 y dx + jc(ln(—) - 2)dv = O
A
*
Rpta. v = r(l + L/i(—))
y y y y y
( a c o s ( — ) + ysen(—))y dx + (ACOs(—) - ysen(—))x dy = O Rpta. Aycos(—) = c
X X X X X
®
y y
(a + yex )dx —xexdy = O Rpta. y = x Ln (Ln |x| + C)
y(ln(—) + )dx —x in(—)dy = O
x x
Rpta. ln a - — ln2(—) = c
2 x
®
j 2 2
dy x - y
dx x~ + y
o . , f ( u 2 + l ) d u
Rpta. lnx + c = I u =
J 1-n-M —
m
y
X
© J J 7 ? ) d x - xyyj
n * , 2 , 2.3/2 3 j , , 3.
Rpta. ( a + y ) = a L/i(fcx )
®
d y
— = —+ are.tg (y /x )
dx x
Rpta. ln a = í — — — + c , u = —
J arctg u x

fy
(44) y¡xy dx = ( x - y + y[xy)dy Rpta. y]x- y (yfx - y/y) = ke 'ly
x dy | 3x2 - y 2 , 2 , 2,2
y dx 3y 1 - x
45; — T + T~2— Rpta. (x + y ) - k x y
y
® v dv V -sen(—)
jccos(—)— = }?cos(—)-jc Rpta. x = ke x
x dx x
.3 „ 2 ..3
® O Rpta. , ’ + , ’ = ^ U + > + 0
y dx 2 y * - x y l - x r
(3 ) “ y2 “ yarcsení—))dx + jcarcsen(—)dy - O Rpta. ln jc + —(arcsen(—))2 ~ k
(49) (x tg(—) + y)dx - x dy = O Rpta. sen(—) = kx
X X
50) (yjx + y + y j x - y )dx + x - y - y j x + y ) d y = O Rpta. yjx+ y + y ] x - y = c
»
(Si) (2x tg —+ y)dx = x dy Rpta. x 2 = k sen(—)
(4x2 + 3xy + y 2)dx + (4 y 2 +3xy + x 2)dy = 0 Rpta. ( jc 2 + y 2 ) * ( x + y )2 - c
( S ) x — - y = ----- Rpta. —arctg(—) = L n k J x 2 + y
* arctg(—) x *
JC
(54) xy'In —= x+_yln — Rpta. lnjc = —(ln(—)-l)* fc
JC JC JC X
y y y
(jc + sen(—))dx - x sen(—)dy = O Rpta. ln x + eos —= c ,
X X
(56) y(x2 + x y - 2 <
y2)¿lc + jc(3)>2 - x y - x 2)dy = 0 Rpta. 2y2 ln(-^-) + 2jcy + jc2 - c y 2

57) (x3 + y 2^ x 2 + y2 ) d x - x y ^ x 2 + y 2dy = O Rpta. (x2 + y2)2 = x3 lncx3
(£5) (2xsen —+ 2 x tg —- y eos—- y sec2—)dx + (xcos—+ xsec2—)dy = 0
^ x x x x x x
59
©
Rpta. x2(sen —+ tg —) = c
x x
dy x 2 + xy + y
dr 2
x
y
Rpta. arctg—= lnx + c
x
>/*2+y
(60) x ( x 2 + y 2)dy = y(x2 + y-^x2 + y 2 + y2)dr Rpta. y +y jx 2 + y2 = c x 2e y
(óí) ry3rfy = (2y4 + x 4)dx Rpta. kx* = x 4 + y
4
dy xy
X
Rpta. ( x - y ) e y =c
'J 7
dx X‘ - x y + y
Q R p t. -3 ,)» = .« ,- 2 * ) '’
v -x dx 6x~ -8 x y + y
i
( 3 ) x ^ - = y - y j x 2 + y2 Rpta. y + ^x2+ y2 = c
✓-n d -
(ó5) x-^- = y + 2xe~ylx Rpta. ^^=111 Alt2
( 3 ) Demostrar que (x + y )fl+z>( x - y ) ° **=/; es la solución de la ecuación diferencial
(ax - by) dx + (bx - ay) dy = 0
( 3 ) (x -y )(4 x + y)dx + x (5 x -y )d y = 0 Rpta. x(y + x)2 = c (y -2 x )
(3) (3x2 - 2 x y - 3 y 2)dx = 4xy dy Rpta. (y -x )(y + 3x)3 = cx 3

@
y y V C “ ÍJÍ^ + V ^ )
(x - y arctg —)dx + x arctg —dv = O Rpta. 2y arctg —= x ln -------
JC .V X X
(y3 - x 3 )dx = xy(xdx + ydy) Rpta. 2 x 2 ln(jc+y) = cx2 + 2 x y - y
(7l) 4x2 + .ry -3 y 2 + (-5jc2+ 2xy + y 2) — = O Rpta. ( y - * ) 8(y -2 jc)9 = c(y + 2jc)
dx
@ x3y — = jc4 +3jc2_v2+ y4 Rpta. y 2 = - * 2<
1+ — ^ )
73
5
(yfxy - x)dx + ydy = O Rpta. ln jc + —- 2J — =
x Yx
(74) xy— = 2x2 + 3xy + 2y2 (75) (3jcy + y 2)dx + ( x 2 +xy)dy = 0
IL Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas
( y - VA
'~ + y 2 ) d x - x d y = 0 , y(V3) = l Rpta: jc 2 = 9 - 6 y
y
(*y' -y)arctg(—) = jc , y ( l) = 0 Rpta: J x 2 + y2 - e x arctg(—)
^ JC JC
..2
© Rpta: y = -x
dx y ¿ + 2x y - x
( 4) x — = xex + y , y(l) = 0 Rpta: ln jc+ e * = 1
dx
V
2
( s ) ~ r ~ 1Xy y2 ’ y (n = 2 Rpta: xy (y - x) = 2
dx 2x y - x 2
( ó ) (xcos2(—) - y ) d x + x dv - O, y(l) = — Rpta: tg(—) = ln(—)
jc 4 jc x

© y 2dx + (x2 +3xy + 4 y 2)dy = 0, y (2)= 1 Rpta: 4 (2y + x) Ln x = 2y - x
© y(A* + y “ )¿a + a ( 3 a ~ - 5 y ‘ )¿/y = 0 1 y (2) = 1
5 * > 2 . 3
Rpta: 2y -2 A fcy + 3 a = 0
(3x2 - 2 y 2)y’= 2 x y , y(0) = -l Rpta: a2 = 2 y 2(y + l)
@ (a 2 + 2 x y - 2 y 2)dx + ( y 2 + 2 x y ~ 2 x 2)dy = 0 , y (0) = 3 Rpta: y 2 - xy + a 2 = 3(y + a)
(y - 3 a )dy + 2xydx = 0 , y ( 0 ) = 1 Rpta: y 3 = y 2 - x 2
, y + ACO&2(—)
T ~ - - ^ > = 7
dx x 4
Rpta: l + lnA = tg(—)
A
^ = sec(- ) + ( - ) , y(2) = n
dx x x
Rpta: y = x are.sen (Ln 2x -1 )
® (a 3 + y 3)dx ~ x y 2dy = 0 , y (1) = 0 Rpta: y 3 = 3 A 3 l n x
® ( 3 a 2 + 9 a y + 5 v 2 ) < /a - ( 6 a 2 + 4 A y ) ¿ y = 0 , y ( 0 ) = - 6 Rpta: 3 a 4 + 4 ( y 2 + 3 a - 3 a 2 ) = 0
® (a 2 —3y 2)a + 2Ay dy —0 , y (2) = 2, Rpta: y = A J l -
3 a
Y
® (a4 + y 4)dx = 2x*ydy , y (1) = 0 Rp , . ;
Lnex
® (a2 + y 2M + A
>’¿/y = 0 , y ( l ) = -l
4 . ~ 2 ..2
Rpta: x + 2 a y “ = 3
3 , . 3
(a‘ + y )dx = 2xy d y , y (2)= 1 Rpta: v3 = a3 (7>/2ax)
4
¿ = 4 + ¿ + ( M y(¡) = 2
dx x x
n
Rpta: arctg(— ) —2 ln | a | = —
2a 4

©
dy “
x — = xe - '+ y , y( 1) = O
dx
Rpta: y = -x ln | 1 - Ln x
22 (jc4 + 6 x 2y 2 + y 4)dx + 4xy(x2 + y 2)dy = O, y (1) = O Rpta: * 5 +10x3y 2 + 5jry4 = 1
23
dy_
dx
i*)
2xye v (-)
V
, . t- r (-)
y + y “e y + 2jc~e -
v
Rpta: y = k(l + e y )
24 (2xy + y ~ ) d x - 2x d y - 0 , y = e,x = e Rpta: 2x + y Ln x = 3y
25) (x - 3y sen —)dx + 3xsen—dy = O, y(l) = —
x jc 4
(2ó) Resolverla ecuación diferenciál (2jc2 + 3xy + 2 y 2)dx- xydy = O de tal modo que la
solución pasa por el punto P(1,0).
27 x y ^ = y i - x y(l) = 2
dx
@ = cosh(—), y(l) = 0
dx x
29) y dx +[ycos{—) —jcJ¿/v = 0 , y(0) = 2
2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A
HOMOGENEAS.-
Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:
dy _ ax +by + c
d* a ’jt + fc’y + c'
No son homogéneas, porque tanto en el numerador como en el denominador aparecen
dos constantes c y c ', estas constantes se pueden eliminar mediante una traslación,
transformando a la ecuación (1) en una ecuación diferencial homogénea, para esto
consideremos las ecuaciones:

... (2)
donde el punió d*. intercepción es (h, k). Si trasladamos el origen de coordenadas al punto
(h,k) las ecua» iones de (2) se transforman en:
az'+b(ú = 0 a n'z + b' io = 0 y haciendo el cambio x = z + h, y = ü) + k
de donue dx = d/. dy = dw, se tiene de (1)
el(O _ iiZ + tHO
dz a 'z + b'<o
a +b<T> a,
= / ( ---------* - ) = F ( - )
a'+b™) z
Z
••• (3)
que es una ecuación diferencial homogénea.
Cuando Z, njc+bv +c = 0 9 L2 : í/'.v + fc‘v + c' = 0 son paralelos no se aplica este
método, sin embanco se tiene:
a _ a
~b~~b'
a = Xa b = X b de donde se tiene:
d r / </A+¿>V + C
* . jP/A ( í / ’.V+ ¿7’ v) + c . / . .
7 " = / ( - r — Ti :>= f<— ■, " . >=
d.r a v+ b y + r o jt + b y + c
Que es una ecuación diferencial reducible a variable separable.
► X

Observación:
Otra forma de transformar a una ecuación diferencial homogénea, las ecuaciones
diferenciales que no son homogéneas, es mediante la sustitución de la variable y = Z " ,
ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado,
atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a -1 a la
derivada f . Ademds ,e puede íramforma, a homogénea medíame susúmeíones
adecuadas de acuerdo al problema.
Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
(x - 4y - 9) dx + (4x + y - 2) dy = 0
Solución
§ea Lx : jc-4_v-9 = 0 a L2 : 4 ;e + y - 2 = 0 , como LxK L 2
»
=> 3p (h, k) e Lj n L2 , y para esto resolvemos el sistema
f * - 4 y - 9 = 0
< => x = 1, y = -2, es decir P( 1,-2)
[4jc+ y - 2 = 0
Consideremos x = z + h, y = co + k de donde
x = z + 1, y = o t)-2 , además dx = dz, dy = dw
reemplazando en la ecuación diferencial dada: (z - 4co)dz + (4z + co) dto = 0 ... (1)
Sea z = uo) => dz = udto + codu ... (2)
reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene:
2 d(ú u —4
(u + l)dco+(w -4)(údu = 0 , separando la v a ria b le b— — du = 0, integrando
(o 1
f d (0 t u —4 -i t
I — + I —
-— d u - C => na)’ (u~* l)-8 a rc tg u = k -..(3)
J ú) J m
‘ +1

©
z x —1
Como z = u co => u = — = ------- reemplazando en (3)
co y + 2
ln[(x - I)2 + (y + 2)2]- 8 a r c t g ( ^ ^ ) = k
y + 2
dy _ x + 3 y - 5
dx x - y - 1
Solución
Sean L, : x + 3 y - 5 = 0 a ¿ 2 : x - y - l = 0 , como entonces:
B p (h,k) e Li n L2 , y para esto resolvemos ebsistema.
x + 3y - 5 = 0 Íjc= 2
=> ] =* P( 2,1) >
jc - y -1 =0 [y = 1
Consideremos x = z + 2, y = 0) + 1, dx= dz, dy =dco ...(1)
a la ecuación diferencial dada expresaremos así:
(x + 3y - 5) dx - (x ~y - 1) dy = 0 ...(2)
«
reemplazando (1) en (2) y simplificando:(z + 3 (0) dz- (z - co) dco = 0 ... (3)
es una ecuación diferencial homogénea:
Sea o) = u z => dco = u dz + z du, de donde al reemplazar en (3) y separando la
ui • dz ( u -)d u .
variable, se tiene: — + —------------= 0 , integrando
z u + 2u +1
+ 2m+ 1 * + y - 3
4xy2dx + (3x2y —)dy = 0
Solución
Sea y = z a => dy = a z a_ld z , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
4x z 2ad x + (3x2z 20-1 - z * ~ l )adz = 0 ...(1)

Luego 2 a + 1 es el grado de 4x z “
2 a + 1 es el grado de 3jc2z 2“h
a - 1 es el grado de z a_l
y para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse
2 a + l = a - l = > a = - 2 , como y = z a => y = z ~2 => dy = - I z ^ d z
4x z~*dx ■
+ (3jc2z ~ 2 - l)(-2 z" 3 )dz - 0 , de donde
4xz dx - 2(3a 2 - z 2)dz = 0 , que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea z = u x => dz = u dx + x du, reemplazando en la ecuación diferencial homogénea se
tiene: 4 x 2u d x - 2 ( 3 x 2 - u 2x 2)(u dx + xdu) = 0
de donde simplificando y separando la variable se tiene
2
dx u - 3 . .
— + —
? du = 0, integrando se tiene:
* * uó - u
— —
du = C => Ln x + 3 Ln u - Ln (u" - 1) = C
Í V ^ M=
J IT -K
como u = Z , y = z 2 se tiene: y(l-A :2y)2 = K
x
(y 4 - 3 x 2)dy = - x y d x
Solución
Sea y = za , a e R => ¿y = a z a' lí/z
reemplazando en la ecuación diferencial dada: x z adx + (z5a 1—3jc2za ')a í/z = 0 ...(1)
para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse

1 - -
Como y = za => y = z U2 => d y ~ ~ z 2dz *..(2)
reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene: 2x z d x + {z2 - 3 x 2)dz = 0 ... (3)
Sea z = ux => dz = udx + xdu ... (4)
reemplazando (4) en (3) simplificando y separando la variable
dx
— +
x
m2 - 3 , . [dx f « 2 - 3 . ^ , w3 . ^
—:-----du = 0. integrando I — + 1 —
:----- du = C => ln x + ln(—
-— ) = C
u J X J u -w u -1
como u = Z , y = Vz se tiene: x 2 = y A+ K y fi
x
y eos x dx + (2y - sen x) dy = 0
Solución
Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:
ydz + ( 2 y - z ) d y = 0 .-.(1)
Que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea y = u z dy = u dz + z du ... (2)
reemplazando (2) en (1), simplificando y separando la variable se tiene:
dz 2u -1
— +
z
'■^Ádu = 0. integrando f — + f ^ -,~du = C, de donde 2y Ln y + sen x = 2 cy
2u J z J 2u2
( ó ) (2x2 + 3 y 2 - 7 ) x d x - { 3 x 2 + 2 y 2 - S ) y d y = 0
Solución
u s x =* du = 2x dx, v » y m=> dv = 2 jy
reemplazando en la ecuación diferencial dada.

(2 m + 3v —7)— —(3m + 2 v —8)— = 0 , de donde
2 2
(2 u + 3 v - 7) du - (3u + 2 v - 8) dv = 0 ... (1)
Sean L, : 2u + 3v - 7 = 0 a L-> : 3w+ 2v - 8 = 0
como L, L2 ^ 3 p (h,k) e L, n ¿ 2 y para esto resolvemos el sistema siguiente
2« + 3v - 7 = 0
3w + 2 v - 8 = 0
w= 2
v = l
p(2,l)
Sean u = z + 2, v = ü) + 1 reemplazando en (1)
(2z + 3(0) dz - (3z + 2(0) d(0= 0 ... (2) que es homogénea.
Sea (ú = zn =* d(o = z dn + n dz, reemplazando en(1), simplificando y separando la
. . . ^ d z 2/t + 3 f _ .
variable se tiene: 2 — + —
= dn = 0, integrando
z n - 1
2 ^ +
z
f e a * . *
J « —
i
L n z 2 ( n 2 -1)+—L n
2
n - 1
n + 1
£0 2 i
como n = —,£ü = v - l = y -1 , z = u - 2 = x" - 2
z
y 4 - jc4 + 4jc2 - 2y ” - 3 ¿ L n
v-
■
>
i
•
>
N
>
+
= K
2 y + x*~ - 3
EJERCICIO S PROPUESTOS.»
I. v Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
©
d y _ x + y + 4
d x jc—
y - 6
Rpta. arctg(^ + ^ ) = L n J (x -l)2 + (y + 5)2 + C
jc-1
© (x - 2y + 5)dx + (2x - y + 4)dy = 0 Rpta. y - j c - 3 = t f ( x + y - l )

®
dy _ a + y —1
dx x - v +1
Rpta. arctg(—
—-) = L n J x 2 + ( y - ) ~ + C
*
©
( a + v 3 ) + 6 jty 2 y ' = 0 Rpta.
3 ex 1/2- x
3
3 * + y - 2 + / ( * - l ) = 0 Rpta. (x - l)(3 x + 2 y - 1) = K
©
dy 2 y - x + 5
dx 2 a - v - 4
w
Rpta. (jc + y + 1) 3 = K ( y - x - 3 )
©
(-4 x + 3 y - 7 )d x - (x + 1)d y = 0 Rpta. y - 2x —3 = C(jc + 1)3
©
(2 x + 3 y)d x + (y + 2 )d y = 0 Rpta. ( 2 jr + y - 4 ) 2 = * ( y - x - l )
©
(6x + 4 y - 8 )d x + (x + y - 1)d y = 0 Rpta. ( y + 3 .* - 5 ) 2 = C (/ + 2 x - 3 )
(3 x + 5 y + 6 )d x = (7 y + x + 2 )d y Rpta. (7 y + 3 jc + 6 )7 ( _ v - .t- 2 ) 4 =k(x+2)
(3 y - 7 x + 7 )d x - (3 x - 7 y - 3 )d y = 0 Rpta. U + y - l ) 5 U - > - l ) 2 =C
®
(2 x - 4 y )d x + (x + y - 3 )d y = 0 Rpta. ( v - 2 a + 3) 3 = C ( y - ^ + l ) 2
® (x - y + 3) dx + (3 x + y + 1)d y = 0 Rpta.
2x+2
y = - x + cex+y_l
®
d 2 v - .v
+ w
dx 2x - v
Rpta. | y - x |= c | y + x |3
®
dv 4.v + 3 v + 1 5
tlx 2 x + y + 7
Rpta. | v + j: + 4 || v + 4a + 1 3 |2 = ¿
® (x - 4 y - 9 )d x + (4 x + y - 2 )d y = 0 Rpta. In((a*- 1)2 + (y + 2)2) - 8 arcta(—— - ) = C
v + 2
@ (x - 4y - 3 )dx - (x - 6y - 5)dy = 0 Rpta. ( j c - 2 y - l ) 2 = C { x - 3 y - 2 )

(l8) (x - 3y + 2)dx + 3(x + 3y - 4)dy = ORpta. l n [ ( A - l ) 2 + 9 ( y - l ) 2]-2arctg(
x -
3 ( y - l)
) = C
© (x + 2y - 1)dx - (2x + y - 5)dy = O Rpta. (x - y - 4) = C (x + y - 2)
(20) (x + y - 4)dx - (3x - y -4 )d y = O
» y (4) = 1 Rpta. 2 (A + 2 y -6 ) = 3 (A -y )ln (-—- )
(2l) (2x - 3y + 4)dx + 3 (x - l)dy = O, y (3) = 2 Rpta. 3 (y -2 ) = -2(A -l)ln(
22
)
dy _ x - y + 2
dx x + y -1
*
>
, 1
Rpta. ( 2 y - 3 ) “ + 2(2y-3(2jc + l) + (2 .* + lr = K
dy _ 2x + 3y + l
dx x - 2 y + l
Rpta. ln
w ( 2 z - w
= arctg
[ 2 z + m
J
2z2 + 2aw> + w2
1 5
w = y - - , ’ = * + -
@ (4x + 3y + 2)dx + (5x + 4y + 1)dy = 0 Rpta. 41n(.v+ y-l) = JC+ 5 + C
x + y - 1
0 (x - 2y + 3)dy + (2x + y - 1)dx = 0 Rpta. x 2 +.yy - y 2 -x + 3 .y = C
0 (x - y + 4) dy + (x + y - 2)dx = 0 Rpta. x 2 + 2 x y - y 2 - 4 x + 8y = C
© (4x + 3y - 7) dx + (3x - 7y + 4)dy = 0 Rpta. 4 x 2 + 6 x y - 7 y 2 - l 4 x + 8y = C
1
0 dy 2jr + 3y + l
dx 3a —2y —5
Rpta. ln |(x - l ) 2 + ( y + l) 2 |-3 a rc tg (^ ^ -) = C
a - 1
0 (5x + 2y + 1) dx + (2x + y + 1) dy = 0 Rpta.
r
5a*
2 + 4xy + y 2 + 2A+ 2y = C
0 (x - 2y - 3) dx + (2x + y - 1) dy = 0
-
Rpta. nC(x2 + y2^ 2 .v + 2 y + 2) + 4arctg(^-^-) + C *
v+ 1
jc—1

© (2x - y - 1) dx + (3x + 2y - 5) dy = O
Rpta. Ln^Jy2 + Jty -3 y -3 jr + 3 + -^rtfrc.tg *—- = C
V3
dy - ( X+y )2
4x-4
4 * -4
v - / d i
( 3 ) (9x + 7y - 5) dx + (5x + 4y - 3) dy = O
Rpta. x = +ce x~Ay 2
Rpta. ln |l4 y 2 +12xy+9*2 - 4 4 y - 6 x + 4 1 |- - ^ ^ - a r c t g ( ^ ^ ( —
—- + —
)) = C
15 14 x + l 7
( 3 ) (4x + 1l y - 4 2 ) dx + (1 l x - 9 y - 3 7 )dy = O Rpta. 4*2 + 2 2 x y -9 y 2 -84jc-74y = C
dy _ 6jc+ y -12
dx 6 jc-y -1 2
Rpta. (y -2 * + 4)4 = C (y -3 jt + 6)3
¿/y _ x + y -1
dx jx—y —
1
Rpta. (jc—1) + y = Ke
2 . . 2 _ ^ 2arc'S(¿ ¡ )
( 3 ) (4x + 3y + 2) dx + (5x + 4y + 1) dy = O Rpta. 4 1 n |x + y -l| =
jr+ y -1
+ C
38
dy _ 1 ,-r+ y - l 2
dx 2 x+ 2
v —
3
Rpta. 2 arctg( ) = In(jc+ 2) + K
jr + 2
39 (2x - 3y + 4) dx + 3 (x - 1) dy = O, cuando x = 3, y = 2
Rpta. 3 (y -2 ) = -2 (* -l)ln (— )
II. , Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
y Jdx + 2(jc2 - x y 2)dy = 0 Rpta. y =;clncy
® U + y 3Wx + (3y 5 - 3y2x)dy = O Rpta. arctg(— ) = —ln | jc2 + y6 | +c
x 2

(> '+ j V - O ’4 + 1 )<£* + 2 x dy = 0 R p ta . y jx 2y 4 + 1 = c y 2 + l
©
d 3 a 2 v + v 2 .
- r = ------=
=
— — ; v(l) = 2
dx 2 x + 3xv
«
r
R p ta . A3y 2 + x y 3 = - 4
© (1 - xy 2 )dx - 2 a 2 y dy = 0 R p ta . a v 2 = ln A + C
©
dx
x 2 (1 - a v) — + (1 + av - x 2 v 2 ) = 0
dx
R p ta . A 2 y 2 - 2 A y - 2 1 n a
© (2 v 2 - 3 a )dx + 2 x y dy = 0 R p ta . a V - a 3 = c
+
© ( y 2 - 3 x 2y )d x + x * d y = 0 R p ta . y ( A - c ) = A 3
© 2 ( x y 2 + )dy + y 3d x = 0 R p ta . av 2 + 2 ln v = c
• *
@
-> dy 7
( 1 - A ~ y )— + 2 .w fc = 0
dx
R p ta . 1 - 2 a 2 v = c v 2
* *
© y (3 - x y ) d x + x (2 - x y ) d y = 0 R p ta .
^ rv
x v ' - c e ^
© (a + 2 a 2 y )d y + (2 y + 3 x y 2 )dx = 0 R p ta . a 2 v (1 + a v ) = c
©
2 %d „ •y ~
( a 2> + A )-7 - + (A y- - y ) = 0
dx
R p ta . y = cxe'™
© ( a 2 - 2 y 3)dA + 3 x y 2d v = 0 R p ta . y 3 = A 2 ( c - ln a )
© ( A + y 3 )dA + 6 x y 2dy = 0 R p ta .
1
——— + Kx~ ^
3
©
dy y j x + y + ^ J x - y
dx ^ j f + y - ^ A - y
R p ta . * + ■J.v2 - y 2 = c
© (2 + 3 a t 2 )d v - 4 a 2 y dy = 0 sug. y = v a '1 R p ta .
5
2 + 5 x y 2 = ex*

@
dv 2v Jt3 v.
— = — + — + x tg í-^ ) sug. v = v.v
dx x y x 1
-
“
> y v •*
Rpta. v" eos -+ y sen = e x
x
@ ~ - — ,+ (xug.x = up.y = i'*)
dx 2x v - 2 v
Rpta. —Ln
2
X 6 + V* + are.tg (— ) = c
^ *
>
v“
20 (x + v)2(x d v - v¿/x) + [v 2 - 2 x 2(x + x)2](dx +d) = 0, sug. z = x + y , u = —
x
Rpta. ( y ~ x 2 -xy)(x + y)J = c(y + 2x‘: +2xy)
©
dy_
dx
- 1 O
3x~y+y~
2x3 + 3xy
; y(l) = -2 Rpta. x 3y 2 + xy3 = - 4
22 (y 2 - l n x y x + xy3í/v = 0 , sug. x = e ‘ y = yJz
Rpta. (3 —^ 3 ) L n y2 +(1 —> Í3 )L i í x + (3 + V3)L/i v2 + (l + V3)L/i a = c
23 x 2 y d x - (a3 + y 5)¿y = 0 , sug. x = uy Rpta. 3y5 - 2 x 3 =cy
@ x ( x + >
¡y)dx + 2%
Jy dy = 0. sug.y = u2 Rpta. lnx f 4 f — j
Jo 4r
2J r
= c
+ r+ 1
(3 tg x -2 c o s y )s e c 2 x¿/x+tgxsen y ¿y = 0 Rpta. cosy tg2 x = tg3 x + c
26 Pruébese que con la ayuda de la sustitución y = ux, podemos resolver cualquier ecuación
de la forma y n f ( x ) d x + H ( x %y ) ( y d x - x d y ) = 0 donde H (x,y) es fynción homogénea en
x e y.
27 ( x V + A 4 V4 + x 4v + x 2v4 + V4 + V5 )í¿U'--(X3 V2 + A3 + X
V
’4 )d = 0
Rpta. x4 v3 + 3 a 2 v 3 - 3 v 3 - 3 y 4 + 3x2 v2 + x 4 = Kxy3

28) (jc3y 4 + x 5y $ + x 5y 2 + x 3y 5 + y 5 + y 7 ) ¿ * - ( x 4 y 3 +x*y + xy6 )dy= O
^ x 1 y" x x
Rpta. — + x ------r ------- + “*+ — r = C
3 2*2 2 x 2 y 3y
29) Demostrar que la ecuación diferencial — = --------------------- Sepuede transformar en
^ y ^ 'fA 'x + fi'v " ')
una ecuación diferencial homogénea, haciendo el cambio de variable u = y m.
30) Demostrar que la ecuación diferencial — = —
— (Ay + Bx ) ^ se puede transformar en
¿ 'v + 5 'x m
0
una ecuación diferencial homogénea, haciendo el cambio de variable u = y m.
® ^ - = -^1— sug.z = y 2, Rpta. x = Ke x
dx 2xy
^32) — - - +_* , swg.z = x3 Rpta. 3 y 2 - 6 y x 3 - x 6 = c
dx y - x *
(33) ( 2 x y - 4 x * ) d x - ( 2 y - x 2)dy = 0 Rpta. y 2 - x 2y + x4 =,c
x
y +
(34) 3— = — r~—
— Rpta. x 2 + 2xy3 - 3 y 6 = c
W ¿ r 3y - x
35) (4xy2 - 6 y ) + (4y2 -3x)dy = 0 , sug. z = y 2 Rpta. x2 -3 x 7 2 + 2 y = C
® R p « . = ,
Jx jcy“ + l y y
y f ) ' Rpta. l x + y f S - , 1 = c
dx x - 2 yvx
i

@ (2* - y 4)¿c - 4y 3(* +12 y 4)</y = 0 Rpta. x 2 - x y 4 - 6 v 8 =c
0 (xy2 + y ) d x - x d y = 0 Rpta. x 2y + 2x = cy
(x —y 2 )dx + 2 xydy = 0, Rpta. x e y2/x = K
(3*5 + 3.r2y 2 )dx + (2y3 - 2 a 3y)dy = 0 Rpta. ln(x3+ y2)-2 a rc tg -^ - =
2.6. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS.-
a) DIFERENCIAL TOTAL:
Si / : R 2 R , es una función diferenciable en ( x , y ) e R 2 , entonces la
diferencial total de f es la función df, cuyo valor está dado por:
df(x,y) = ---- 1-------dx + ----=
-------dy
d x d y
b) DIFERENCIAL EXACTA:
Una expresión de la forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, se denomina exacta si
existe una función / : D e / ? 2 —
»/? tal que:
Es decir, que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de x e y se
llama diferencial exacta.
c) DEFINICIÓN:
Consideremos la ecuación diferencial.
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Si existe una función z = f (x,y) tal que:
d f ( x , y) d f ( x , y ) Kr/
- = Af(*,y) a = N(x,y)
... (a)
d x d y
diremos que la ecuación (a) es una ecuación diferencial exacta

d) TEOREM A:
La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial
M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0, sea exacta, es que:
I
Ejemplo: La ecuación diferencial ordinaria.
(ex sen y - 2 y senx)dx + (ex eos y + 2cosjc)dy = 0 es exacta porque
x ~ dAÍ(jc,y) r
M (x, y ) = e sen y - 2 y sen jc => ----------------= e eos y - 2 sen x
dy
dyV(jc, y)
y ) = e x eos y + 2 eos jc — —-— = ex eos y - 2 sen jc
de
A A A d N ( x ty)
de donde — -
d y d x
e) Solución de una Ecuación Diferencial Exacta
Consideremos la ecuación diferencial exacta.
| M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 | ... (1)
Entonces existe una función f (x,y) tal que
AJ/ v d f ( x , y )
■' ■ = M { x ,y ) --- y —
^ -------= N (x9y) .-.(2)
d x a y
reemplazando (2) en la ecuación (1) se tiene:
= = 0 . . ( 3 )
a x d y
por otra parte, si z = f(x,y) entonces su diferencial total es:

_ ( 4 )
d x d y '
Luego al comprobar (3) y (4) se tiene: dz = 0 => z = c, es decir f (x,y) = c
Que es la solución de la ecuación diferencial.
C o m o — = A/(jc
, y) integramos con respecto a x.
. y) = J
f ( x , y) - M (a-,y) + g ( y ) ... (a)
donde g (y) es la constante de integración, que es una función que depende sólo de
la variable y, puesto que la integración es con respecto a x, derivando la ecuación
(a) con respecto a y es decir; ^ / ( aO ) _ J a / ( v, y)dx + g '( y)
d y d v
Como d v) entonces se tiene: N(x, v) = | M ( x 9y)dx + g ‘(v)
d v
de donde g '(y ) = N ( x . y) - J M (jc, y)dx] 'integrando
d í ...
dy
g (y )= í [ ^ V ( ^ y ) - ^ j A f ( j : t y)£Íar] dy+ /wj....(j3) ... (P)
Reemplazando (p) en (a) se tiene la solución general de la ecuación diferencial í 1);
^ y
en forma análoga se hace para el otro caso cuando se to m a — = N (x , y) y se
d v
0
integre con respecto a la variable y.
f) Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(T ) (2xy 2 + 2 y)dx + (2a 2y + 2x)dy = 0
Solución

M (.v, v) = 2xy + 2y
N(x* y) = 2x~y + 2x
d M ( x ,y )
d y
« *
d N ( x ,y )
d x
= 4xv + 2
de donde
d M ( x , y ) d N ( x ,y )
= 4av + 2
d y d x
por lo tanto la ecuación diferencial es exacta;
d f ( a , v)
entonces 3f (x,y), tal que ------- -— = Af ( a , y ) , de donde
d x
f l f ( Y f
:— = 2 x y 2 + 2y, integrando respecto a x se tiene: / ( x , y ) = I (2 x y 2 + 2y)<¿v + g(y)
d x J
2 . 2
f(x<y) = x y +2.vy + g(y) derivando respecto a y.
5 ^ - v2 = 2 , V 2* - S W . pero como ¿ 4 ^ = A/U, V)
d y d y
se tiene N(x, y) = 2A“y + 2a.+ g'(y)
2a"_v + 2x + g ’(y) = 2x fcy + 2x => g'(y) = 0 ^ g(y) = c
f ( x , y) = x ‘ y~ + 2 xy + c x 2 v 2 + 2xv = K
© (ex sen y - 2 y sen x)dx + (ex eos y + 2 eos x)dy = 0
Solución
M (x, y) = ex sen y - 2y sen x
N (a, y) = ex eos y + 2 eos x
d M ( a , y)
d y
d N ( a , y)
d x
= ex co sy -2 sen A
= e* co sy -2 sen A
de donde 7) = dN(A,y) ^por |Q tanto |a ecuac¡5n diferencial es exacta, entonces
d y d x
d f ( x y)
existe una función f(x,y) tal que -------------= M ( a , y ) . Luego tenemos
<?/(*, y)
d x
d x
= ex sen y - 2y sen x , integrando respecto a x.

X, y ) = J (ex
/(x ,y ) = I (*Jtsen y -2 y sen x )d v + g(y)
f (x , y) = e sen y + 2y cosx + g( y), derivando respecto a y.
d f ( x %
y) * -* ^ v d f ( x , y )
— ------= e cosy + 2cosx + g (y), c o m o --------------= 7v(x,y)
o y d y
entonces N(x, y) = ex eos y + cosx + g ’(y)
ex eosy+ 2cosx + g'(y) = ex cosy + 2cosx => g'(y) = 0 =
*■ g(y) = c
Luego f { x , y ) = eJ
Cseny + 2ycosx + c ex seny + 2ycosx = K
(2jcv3 + ycosx)dx+(3x2y 2 + sen x)dy = 0
M (x, y) = 2xv3 + y eos .v
N (x , y) = 3x“y" + sen x
Solución
d M ( x , y ) ~
--------------=o,xy +cos x
d v
d N ( x ,y ) ¿
------------ = 6xv + eos x
<?x
, <?A/(x, y) ¿JV(x,y) * - • ,
de donde ----------— = ----------— , por lo tanto la ecua9ion diferencial es exacta, entonces,
d y d x
existe una función f (x,y) tal que ------—— = A/fx, y )' Luego tenemos:
<?x v .‘ *
-
¿ / U y ) , .
-------------= 2xy + ycosx, integrando respecto a x ...
d x
'.y) = J
/( x , y) = |(2xy + ycosx)¿/x + g (y ), de donde
2 1
/(■**y) = x y' + y sen x + g(y), derivando respecto a y
<?/(*»>) = 3JC
2y2 + sen.Y+ g ’(v ), como = W(x,y)
a y <?y

entonces N(x, y) = 3x 2y 2 +sen a + g '( y ) ; de donde
..2..2 'y i
3a y " + s e n x + g , (y ) = 3A‘ y “ + s e n A g ( y ) = 0 => g(y) = c
1 i
te
Luego / ( a, v) = a v * + ysenA + c a 2y 3 + ysenA = K
@
A* 1 1
(—. . - 4----i— )dx + (
yjx2 + y2 * .V yjx2 + y 2 y y
+- ~ ) d y = 0
Solución
Aí(x,y) =
y¡x2 + y 2 * y
W U y ) =
1 *
+ ----
V -r + y2 y y
<
9 A/(a, y)
<
9 y
(9 * U y )
-Ay 1
(a + y **) * y~
- ay 1
( a 2 + y 2 )3/2 y 2
j j j d M ( x , y ) d N ( x , y ) . . w ...
de donde ------------- = -------------- , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces
d y d x
existe una función f (x,y) tal q u e — = M (a, y ) . Luego tenemos:
d x
d f ( x , y ) x 1 1 .
+ —+ —, integrando respecto a x.
d x <Jx2 + y 2 x y
f ( x , y ) = + - + - ) < f r + g ( y )
J J x 2 + y 2 x y
V
I i X
x + y “ +Ltix + —+ g ( y ) , derivando respecto a y.
y
d f ( x , y ) y ^ d f ( x , y ) kll
— 7------= i , — ^ + « ( v ) como — ------- = N ( x , y )
¿y V*2+y2 y ¿y
y jc
entonces N(a, y) = --------- — - + g ’(y); de donde
y¡x2 + y2 y

+ y 2 y 2
~ ^ + g y ) =
yjx2 + y 2 y y
+ - - A r => g 'U ) = 0 g(y) = ln y + c
V
i X
x" + y" + Lnx + —+ Lnv + c
y
yjx2+ y 2 + Lnxy + —= K
y
© (sen y + ysen.v + —)dx + {xcos v -c o s x + —)dy = 0
* y
Solución
M (jc, y) = sen y + y sen x + —
x
y) =xcos v- eos x +—
V
d M (x, y)
d y
d N ( x ,y )
d x
= eos y + sen x
= eos v + sen jc
. , , d M ( x t y) d N ( x %
y) . . ,.r . .
de donde -----:------- = -------------- , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces
d y d x
existe una función f (x,y) tal que d / f o > ) __ yy
d x
. d f ( x t y) 1 ,
Luego tenemos — -—— = sen v + y sen x + —, integrando respecto a x.
d x ' x i
f(x< y) = (sen y f y sen x + - )dx + g{y)
f(x,y) = x sen y - y eos x + ln x + g(y), derivando respecto a y
d f ( x , y ) _ jrC0Sy _ c0SJt + g»(yj Como = N ( x , y ) , entonces
d y d y
N(x, y) = .veos y -c o s x + g ' ( y ) , de donde
1
x c o sy -c o sjr+ g (y) = x co sy -co s.v + —
v
g'(y) =— => g(y) = ln y + c

Luego f (x,y) = x sen y - y eos x + L nx + L ny + c
x sen y - y eos x + Ln xy = K
©
y x
(------^ + are. tg y)dx + (------- + are. tg x)dy =0
1+ j r l + v-
Solución
v
M (x, y) = — '
— + arc.tg y
1+ x
x
N U* -V
) = ------7 + arc' l§ v
1 + v“
d M ( x , y )
d y
d N ( x ,y )
d x
1 1
+ —
1+ j r 1+ v2
♦
1 I
+
1+ v2 1+ x 2
i j j d M ( x ,y ) d N ( x . x ) . . w ... . .
de donde -----;— — = -----:— — , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces
d y d x
existe una función f (x,y) tal que — — = M ( jc ,y ).
d x
d f ( x , y ) v
Luego tenemos: — ----- — = ——- + arctg y integrando respecto a x
d x 1+ *“
f ( x + arc.tg y)dx + g(y)f efectuando.
f (x,y) = y arc.tg x + x are. tg y + g (y), derivando respecto a y.
d f ( x , y) x d M ( x , y ) d N ( x ,y )
= arc. tg jc•+
■
------- + #(> ’) .Como —
d y 1+ r d y d x
entonces N (jc, y) = arctg x + ------ + g ’(y), de donde
i + r
arctg jc + * + g '(y ) = * „ + arctg jc => g'(y) = 0 => g(y) = c
1+ v2
Luego f (x,y) = y arc.tg x + x arc.tg y + c .*. y arc.tg x + x arc.tg y = K

g. EJERCICIO S PROPUESTOS.
I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales en caso de ser exactas:
(2xy - tg y)dx + ( x 2 - x sec 2 y)dy = 0 Rpta: x 2y - x tg y - K
© (sen x sen y - xe y )dy = (e y + eos x eos y )dx R pta: x e ' + eos y sen x = K
(y + y eos xy) dx + (x + x eos xy) dy = 0 Rpta: xy + sen xy = K
( 5 ) (—+6x)dx + (Lnx~2)d = 0 Rpta: v ln x + 3x2 - 2 y = K
x
( 5 ) (eos 2y - 3.v2y 2 )dx + (eos 2y - 2x sen 2y - 2jc3y )dy = 0
„ sen2v ^ ^
Rpta: -------- + A*cos2y-;ty * = c
e*(x2e x + e J
C+ xy +y)dx +(xex + y)dy = 0
v v2 e2x ,
Rpta: xve + — + — (2x“ -2jc + 3).í = c
F 2 4
(1 + y 2 + jn»2)¿x + (* 2y + y + 2xy)<£x = 0 Rpta: 2 * + y 2(l + jc)2 = c
© (3jt^ tg y - ^ ~ ) d x + (.v3sec2 y + 4y3 + )¿y = 0 Rpta: .v3 tg y + y4 + = c
X' X X ’
(2.v + * t 'V~)dx = * )dy Rpta: x*y + x 2 - y 2 =cxy
x ' y xy“
®
sen 2x . , . sen jr , _ _ A sen‘ * r + y‘
(---------+ *)¿t +( y ------- -—)í/y = 0 R p ta :---------+ ------- — = c
v v v 2
(Í7) ( ^2!— + 2 x y - —)rfx + (VT+jr2 + X2 - Lnx )dv = 0
Rpta: yvi + x2 + x2y - yLwx = c

© ( y - x 3)c¿x+ (x + y3)¿/y = 0 Rpta:
a 4 4
4xy - a + y = c
(y + y eos xy) dx + (x + x eos xy) dy = 0 Rpta: xy + sen xy = c
© (x-1)'1ydx +[Ln(2x - 2) + —
y
dy =0 Rpta: y Ln |2x -2| + Ln y = c
© (3x2+6xy2)dx + (6a2y + 4y 3)¿y=0 Rpia:
-» 1 4
x' + 3a y* + y* = c
© (9jc2+ v - 1 ) - ( 4 v - D — = 0
dx
Rpta: 3a3 + x y -A -2 y 2 = c
©
(y sen x - sen y) dx - (x eos y
1
+ eos x) dy = 0 Rpta: x sen y + y eos x = c
©
(3x2+ 3xy2)¿x + (3A2.v-3y'! + 2 y)dy = 0 Rpta:
3 3 2 ■
* 3 ?
r + - r f - f + ^ =c
— dv + (2 Ln5 y + —)dx = 0
y x
Rpta: Ln x + 2x Ln y = c
©
K2 2
e (dy + 2xydx) = 3a dx Rpta:
2 ^
yí> = a' +c
®
e 2x (dy + lydx) = x 2dx Rpta:
a 2 * 3 ,
3ve = A + C
r
© y 3sen 2 x d x - 3 y 2 eos2 xdy = 0 Rpta: y3(1+ eos 2 a ) = c
© (ye ** eos 2x - le xy sen 2x + 2x)dx + (xe xy eos 2x - 3)dy = 0
Rpta: e ™ cos2x + x 2 -3 y = c
(24) (ax2 + 2bxy + cy2)dx + (bx2 +2cxy + y 2)dy = 0 r Rpta: ox3 +3bx2y + 3cy2+ y 3 = c
(25) (jc2 + ye2y )dx+(lxy +x)e2ydy = 0 Rpta: x 3 + 3xye2y = K
(26) (sen x + sen y) dx + (x eos y + eos y) dy = 0 Rpta: (x + 1) sen y - eos x = K

8 2
©
©
©
®
©
©
©
©
©
©
©
©
©
Eduardo Espinoza Ramos
e x(y* + x y 3 + l)Jx + 3 y 2 ( A £ * ~ 6)dy = 0 Rpta: xexy* + e x ~ 6 y 3 - c
4 x * - e * y(y + x)>') = 0 Rpta: x A-e** =c
, ydx x 1+ xy ?J[
d x - r - r + ^~rdy Rpta: Ke~
I - A " y ” 1—x" y ” -xy
(3a 2 + 6 a v - y 2)dx + {3x2 - 2 x y + 2 y 2)dy = 0 Rpta: a*3 + 3a 2 y —xy~ + y 3 = c
+ y X + V
l l n ( A - y ) + ------]dx + [ln (A -v ) —]dy = 0 Rpta: (x + y) Ln (x - y) = c
x - y x - y '
V X
(—+ Lny)dx -f (—+ Lnx)dv = 0 Rpta: y Ln x + x Ln y = c
x y
sec.v(tgx íg y + y sec.v)í/.v + (sec x.sec" y + tgAWy = 0 Rpta: sec x. tg y + y ig x = c
(1+ tg(xy))¿¿x + (sec(xy). tg(xy) + a sec”( a t) ) .( a dy + y ¿ a ) = 0
Rpta: x + sec (xy) + x tg (xy) = c
(5a4 - 9 x 2y 2 + 5y4)¿A+ 2xy(10y2 - 3 x 2)dy = 0 Rpta: a 5 - 3 x 3y 2 +5xy4 = K
x
(1 + Lnxy )dx + (1 + ~)dy = 0 Rpta: x Ln (xy) + y = K
V
(ye* + e y )dx + (e* + xey ) d y - 0 Rpta: ye* + x e y = K
1 1 1 1 xy v
>•( -)dx + x ( - +--------- - ) d v = 0 Rpta: — + —-— = K
2 ( x - y ) ' 2 ( x - y ) - 2 x - y
>•(«■” + y)dx + x(exy + 2y)dy = 0 Rpta: + .vy 2= K
2
—dy-{-^— + x )¿ v = 0 Rpta: y 2- a 3 = ca
x 2x 2

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
(xy " - y)dx + x(xy -1 )dy = O Rpta: Ln(Kxy) = -
1
.w
(42) (eos x. eos y - ctg x) dx - sen x.sen y dy = 0 Rpta: sen x eos y =Ln(K senx)
2 ydx+3xdy =
dx dy
* v 3 V 4
n a . ^ 3
Rpta: A"y = —+ e
(2x + y eos xy) dx + x eos xy dy = 0 Rpta: a" +sen(Ay) = c
45 (2xy +1 + ln x)dx + x~dy = 0 Rpta: x (xy + Ln x) = K
(2ye2x + 2aeos y)dx + (e2x - a 2 sen y)dy = 0 Rpta: ye2' + a 2 eos y = c
2.x . 2
© (2xy + a 3)dx + (a 2 + y 2 )dy = 0
A4 V3 2
Rpta: — + — + a y = e
4 3
( 2 x e v + y 2e x +2x)dx + ( x 2e y +2yex )dy = 0 Rpta: x 2e y + y 2e x + x 2 - c
{ex sen y - 2y sen x)dx + (e* eos y + 2 eos x)dy = 0 Rpta: ex sen y + 2y eos y
50 (ye*3 eos 2a - 2e'*-v sen 2a + 2x)dx 4-(xe*v eos 2 a - 3 )dy = 0
.rv xx
Rpta: eAy eos 2a + v“ - 3v = <
51 (2av‘ + 2v)¿/a + (2a"v + 2x)dy = 0 Rpta: a"y “ + 2xy = c
52
O
(a“ + y “ + 2x)dA + 2*vdy = 0
v3
Rpta: ^ + xy2 + a 2 = c
53 3
(a‘ - 3 a t ” + 2)<¿y —( 3 a " y —y~)</v = 0 Rpta:
a 4 3a 2 y2
♦ z _ ..
V
1
= c
54
2xdx v2 - 3 a 2
— + T ~ dy = 0
y v4
Rpta: A ” - v ‘' = c >
3
*
55 v-l
v a ~ dx + A ln A ¿V = 0 Rpta: a v = r

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