Ejercicios Resueltos de Momentos de Empotramiento Perfecto por Método de Doble Integración

1. Por: Yanapa Chura H. Glimel
MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION
JULIACA – PERÚ
2020
GY
PROBLEMAS RESUELTOS

2. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
2
CONTENIDO
CONTENIDO ...................................................................................................................................... 2
CARGA UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA.............................................................................................. 3
CARGA TRIANGULAR ....................................................................................................................... 11
CARGA PUNTUAL............................................................................................................................. 21
CARGA PUNTUAL HACIENDO UN SOLO CORTE...................................................................................... 34
CARGA PARABOLICA UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA ........................................................................ 42
CARGA DE ENJUTA PARABOLICA UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA ........................................................ 55
CARGA DE ENJUTA PARABOLICA DE GRADO “n” UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA ................................. 66
CARGA PUNTUAL............................................................................................................................. 78

3. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
3
CARGA UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENDO PERFECTO
METODO DE DOBLE INTEGRACION

4. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
4
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑊𝐿 … … … … … … . … … . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO

5. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
5
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑝 = 𝑊𝑥 … … … … … … . … … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑥2
2
= 0 … … … … . . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 − 𝑊𝑥
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑥2
2
= 0
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑥2
2
… . . … … … … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝

6. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
6
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑥2
2
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑥2
2
…………..(8)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑥2
2
) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥3
6
+ 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥3
6
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥3
6
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
+
𝑊𝑥4
24
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 …...(10)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA

7. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
7
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
+
𝑊(0)
4
24
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) +
𝑊(0)
3
6
+ 𝐶1
𝐶1 = 0
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥3
6
……...(11)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
+
𝑊𝑥4
24
……….(12)

8. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
8
SI X=L, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
+
𝑊𝑥4
24
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿4
24
𝑅 𝐴 𝐿3
6
−
𝑀𝐴 𝐿2
2
=
𝑊𝐿4
24
4𝑅 𝐴 𝐿3
− 12 𝑀𝐴 𝐿2
= 𝑊𝐿4
4𝑅 𝐴 𝐿 − 12 𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … . . (13)
SI X=L, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥3
6
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑊𝐿3
6

9. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
9
𝑅 𝐴 𝐿2
2
− 𝑀𝐴 𝐿 =
𝑊𝐿3
6
3𝑅 𝐴 𝐿2
− 6𝑀𝐴 𝐿 = 𝑊𝐿3
3𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … … . . (14)
DE LAS ECUACIONES (13) Y (14) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
4𝑅 𝐴 𝐿 − 12 𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
3𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
{
(−1) ∗ [4𝑅 𝐴 𝐿 − 12 𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
(2) ∗ [3𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
{
−4𝑅 𝐴 𝐿 + 12 𝑀 𝐴 = − 𝑊𝐿2
6𝑅 𝐴 𝐿 − 12𝑀 𝐴 = 2 𝑊𝐿2
2𝑅 𝐴 𝐿 = 𝑊𝐿2
𝑅 𝐴 =
𝑊𝐿
2
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑅 𝐴 EN LA ECUACION (14)
3(
𝑊𝐿
2
)𝐿 − 6𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
3(𝑊𝐿)𝐿 − 12𝑀𝐴 = 2 𝑊𝐿2
3𝑊𝐿2
− 12𝑀𝐴 = 2 𝑊𝐿2
12𝑀𝐴 = 3𝑊𝐿2
− 2 𝑊𝐿2
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
12
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑊𝐿2
… … … … … … . … … . . (2)

10. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
10
𝑊𝐿
2
+𝑅 𝐵 = 𝑊𝐿
𝑅 𝐵 = 𝑊𝐿 −
𝑊𝐿
2
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
−𝑀 𝐵 + (
𝑊𝐿
2
) 𝐿 −
𝑊𝐿2
2
+
𝑊𝐿2
12
= 0
−𝑀 𝐵 + (
𝑊𝐿
2
) 𝐿 −
𝑊𝐿2
2
+
𝑊𝐿2
12
= 0
𝑀 𝐵 = −
𝑊𝐿2
2
+
𝑊𝐿2
2
+
𝑊𝐿2
12
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
12
POR LO TANTO TENEMOS
𝑅 𝐴 =
𝑊𝐿
2
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
12
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
12

11. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
11
CARGA TRIANGULAR
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

12. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
12
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
… … … … … … . … … . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 − (
𝑊𝐿
2
) (
2
3
(𝐿)) − 𝑀𝐴 = 0
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”
HALLAMOS LA CARGA “w” EN FUNCION DE “W”

13. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
13
DEL GRAFICO POR RELACIONES TENEMOS LO SIGUIENTE
𝑤
𝑥
=
𝑊
𝐿
𝑤 =
𝑊𝑥
𝐿
… … … … … … … … … . . (∗)
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑝 =
𝑤𝑥
2
… … … … … … . … … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 + (
𝑤𝑥
2
) (
𝑥
3
) − 𝑀 𝑃 = 0

14. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
14
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑤𝑥2
6
− 𝑀 𝑃 = 0 … … … … . . (6)
EN LAS ECUACIONES (5) Y (6) REMPLAZAMOS EL VALOR DE LA
ECUACION (*)
𝑤 =
𝑊𝑥
𝐿
… … … … … … … … … . . (∗)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑝 =
𝑤𝑥
2
… … … … … … . … … . . (5)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑝 = ((
𝑊𝑥
𝐿
)(
𝑥
2
))
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑝 =
𝑊𝑥2
2𝐿
… … … … … … … … … … … . . (7)
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑤𝑥2
6
− 𝑀 𝑃 = 0 … … … … . . (6)
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 + ((
𝑊𝑥
𝐿
)(
𝑥2
6
)) − 𝑀 𝑃 = 0
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑊 𝑥3
6𝐿
− 𝑀 𝑃 = 0 … … … … … . (8)
DE LAS ECUACIONES (7) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 −
𝑊𝑥2
2𝐿
DE LA ECUACION (8) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑥3
6𝐿
− 𝑀 𝑃 = 0
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑥3
6𝐿
… . . … … … … . . (9)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀 𝑝
𝐸𝐼

15. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
15
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑥3
6𝐿
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑥3
6𝐿
…………..(10)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (10)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑥3
6𝐿
) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥4
24𝐿
+ 𝐶1 ……...(11)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (11)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥4
24𝐿
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥4
120𝐿
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
+
𝑊𝑥5
120𝐿
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 …...(12)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA

16. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
16
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
+
𝑤(0)
5
120𝐿
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) TENEMOS
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) +
𝑊(0)
4
24𝐿
+ 𝐶1
𝐶1 = 0

17. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
17
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥4
24𝐿
……...(13)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
+
𝑊𝑥5
120𝐿
……….(14)
SI X=L, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (13) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
+
𝑊𝑥5
120𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿5
120𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿4
120
𝑅 𝐴 𝐿3
6
−
𝑀𝐴 𝐿2
2
=
𝑊𝐿4
120
20𝑅 𝐴 𝐿3
− 60𝑀𝐴 𝐿2
= 𝑊𝐿4
20𝑅 𝐴 𝐿 − 60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … . . (15)

18. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
18
SI X=L, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (13) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
+𝑀 𝐴 𝑥 +
𝑊𝑥4
24𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑊𝐿4
24𝐿
𝑅 𝐴 𝐿2
2
− 𝑀𝐴 𝐿 =
𝑊𝐿4
24𝐿
12𝑅 𝐴 𝐿2
− 24𝑀𝐴 𝐿 = 𝑊𝐿3
12𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … … . . (16)
DE LAS ECUACIONES (15) Y (16) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
20𝑅 𝐴 𝐿 − 60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
12𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
{
(−2) ∗ [20𝑅 𝐴 𝐿 − 60𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
(5) ∗ [12𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
{
−40𝑅 𝐴 𝐿 + 120𝑀 𝐴 = −2𝑊𝐿2
60𝑅 𝐴 𝐿 − 120𝑀 𝐴 = 5𝑊𝐿2
20𝑅 𝐴 𝐿 = 3𝑊𝐿2

19. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
19
𝑅 𝐴 =
3𝑊𝐿
20
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑅 𝐴 EN LA ECUACION (15)
20 (
3𝑊𝐿
20
) 𝐿 − 60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
3𝑊𝐿2
− 60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
60𝑀𝐴 = 3𝑊𝐿2
− 𝑊𝐿2
𝑀𝐴 =
2𝑊𝐿2
60
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
30
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
… … … … … … . … … . . (2)
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
3𝑊𝐿
20
+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
2
−
3𝑊𝐿
20
𝑅 𝐵 =
7𝑊𝐿
20
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+ 𝑀𝐴 = 0
−𝑀 𝐵 + (
7𝑊𝐿
20
) 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+
𝑊𝐿2
30
= 0
−60𝑀 𝐵 + 21𝑊𝐿2
− 20𝑊𝐿2
+ 2𝑊𝐿2
= 0
60𝑀 𝐵 = 21𝑊𝐿2
− 20𝑊𝐿2
+ 2𝑊𝐿2
60𝑀 𝐵 = 3𝑊𝐿2

20. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
20
𝑀 𝐵 =
3𝑊𝐿2
60
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
20
POR LO TANTO TENEMOS
𝑅 𝐴 =
3𝑊𝐿
20
𝑅 𝐵 =
7𝑊𝐿
20
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
30
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
20

21. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
21
CARGA PUNTUAL
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑃 … … … … … … . … … . … . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑃𝐿
2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “𝑥1” Y “𝑥2” EN LOS PUNTOS
“a” Y “b”

22. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
22
 PARA EL TRAMO DEL CORTE “a” TENEMOS LO SIGUIENTE
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO
∀ 𝑥1 ∈ 0 ≤ 𝑥1 ≤
𝐿
2

23. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
23
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑎 = 0 … … … … … … . … … . . … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑎 = 0
−𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑎 = 0 … … … … … … … . . . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑎 = 𝑅 𝐴
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑎 = 0
𝑀 𝑎 = −𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀𝐴 … . . … … … … … … . … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑎
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑎 = −𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀𝐴

24. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
24
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑎
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀 𝐴 …………..(8)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫(−𝑅 𝐴 𝑥1 + 𝑀 𝐴) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥1
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥1
2
2
+ 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2 …...(10)
 PARA EL TRAMO DEL CORTE “b” TENEMOS LO SIGUIENTE
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

25. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
25
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO
POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (11)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴 − 𝑃−𝑉𝑏 = 0 … … … … … … … … . . (12)
−𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀𝐴 + 𝑃(𝑥2 −
𝐿
2
) − 𝑀 𝑏 = 0
−𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀𝐴 + 𝑃(𝑥2 −
𝐿
2
) − 𝑀 𝑏 = 0 … . . . (13)
DE LAS ECUACIONES (12) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
∀ 𝑥2 ∈
𝐿
2
≤ 𝑥2 ≤ 𝐿

26. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
26
𝑉𝑏 = 𝑅 𝐴 − 𝑃
DE LA ECUACION (13) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀𝐴 + 𝑃 (𝑥2 −
𝐿
2
) − 𝑀 𝑏 = 0
𝑀 𝑏 = −𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀𝐴 + 𝑃 (𝑥2 −
𝐿
2
) … . . … … … . . (14)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑏
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (14) TENEMOS
𝑀 𝑏 = −𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀𝐴 + 𝑃 (𝑥2 −
𝐿
2
)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑏
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀 𝐴 + 𝑃( 𝑥2 −
𝐿
2
) …………..(15)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (15)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶3
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑥2 + 𝑀 𝐴 + 𝑃( 𝑥2 −
𝐿
2
)) 𝑑𝑥 + 𝐶3
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3 ……...(16)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (16)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶3) 𝑑𝑥 + 𝐶4

27. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
27
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3
𝐸𝐼𝑦 = ∫
(
−
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3
)
𝑑𝑥 + 𝐶4
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
2
+
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
3
6
+ 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 …...(17)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA
 PARA EL TRAMO I TENEMOS LO SIGUIENTE
SI XA=X1=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥1
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥1
2
2
+ 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2 …...(10)
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
SI XA=X1=0, 𝜽 𝒙 𝟏
=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS

28. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
28
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1 ……...(9)
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) + 𝐶1
𝐶1 = 0
 PARA EL TRAMO II TENEMOS LO SIGUIENTE
 POR PRINCIPIO DE CONTINUIDAD SE TIENE
SI X1=X2=L/2 ENTONCES 𝜽 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰 = 𝜽 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰𝑰 ENTONCES IGUALANDO
LAS ECUACIONES (9) Y (16) TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1 ……...(9)
𝐸𝐼( 𝜽 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰) = −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3 ……...(16)
𝐸𝐼( 𝜽 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰𝑰) = −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3
−
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3

29. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
29
−
𝑅 𝐴 (
𝐿
2
)
2
2
+𝑀 𝐴 (
𝐿
2
) + 𝐶1 = −
𝑅 𝐴 (
𝐿
2
)
2
2
+𝑀 𝐴 (
𝐿
2
) +
𝑃((
𝐿
2
) − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3
𝐶1 = 𝐶3
SI X1=X2=L/2 ENTONCES 𝒀 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰 = 𝒀 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰𝑰 ENTONCES
IGUALANDO LAS ECUACIONES (10) Y (17) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥1
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥1
2
2
+ 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2 …...(10)
𝐸𝐼 𝒀 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰 = −
𝑅 𝐴 𝑥1
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥1
2
2
+ 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
2
+
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
3
6
+ 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 …...(17)
𝐸𝐼 𝒀 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰𝑰 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
2
+
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
3
6
+ 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4
−
𝑅 𝐴 (
𝐿
2
)
3
6
+
𝑀 𝐴 (
𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶1 (
𝐿
2
) + 𝐶2 = −
𝑅 𝐴 (
𝐿
2
)
3
6
+
𝑀 𝐴 (
𝐿
2
)
2
2
+
𝑃((
𝐿
2
) − 𝐿
2
)
3
6
+ 𝐶3 (
𝐿
2
) + 𝐶4
∀ 𝑥1 = 𝑥2 =
𝐿
2

30. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
30
𝐶1 (
𝐿
2
) + 𝐶2 = 𝐶3 (
𝐿
2
) + 𝐶4
𝐶1 (
𝐿
2
) + 0 = 𝐶1 (
𝐿
2
) + 𝐶4
𝐶4 = 0
POR LO TANTO LOS VALORES DE LAS CONSTANTES SON
𝐶1 = 0
𝐶2 = 0
𝐶3 = 0
𝐶4 = 0
POR LO TANTO LA ECUACIONES ORIGINALES OBTENIDAS SERIAN LAS
SIGUIENTES
 PARA EL TRAMO I TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1 + 𝐶1 …………………………….…...(9)
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥1
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥1
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥1
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥1
2
2
+ 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2 …………………..……...(10)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥1
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥1
2
2
 PARA EL TRAMO II TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
+ 𝐶3 ……………......(16)
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
3
6
+
𝑀 𝐴 𝑥2
2
2
+
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
3
6
+ 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 ………....(17)

31. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
31
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
3
6
+
𝑀𝐴 𝑥2
2
2
+
𝑃 (𝑥2 −
𝐿
2
)
3
6
ANALIZANDO EN EL TRAMO II TENEMOS
SI X2=L/2, 𝜽 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰𝑰 = 𝟎 TENEMOS LO SIGUIENTE
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑥2
2
2
+𝑀 𝐴 𝑥2 +
𝑃( 𝑥2 − 𝐿
2
)
2
2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 (
𝐿
2
)
2
2
+𝑀 𝐴 (
𝐿
2
) +
𝑃(
𝐿
2
− 𝐿
2
)
2
2
0 = −
𝑅 𝐴 (
𝐿
2)
2
2
+𝑀𝐴 (
𝐿
2
)
𝑀𝐴 (
𝐿
2
) =
𝑅 𝐴 (
𝐿
2)
2
2
𝑀𝐴 (
𝐿
2
) =
𝑅 𝐴 𝐿2
8
𝑀𝐴 =
𝑅 𝐴 𝐿
4

32. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
32
SI X=L, 𝑳 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑰𝑰 = 𝟎 TENEMOS LO SIGUIENTE
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑥2
3
6
+
𝑀𝐴 𝑥2
2
2
+
𝑃 (𝑥2 −
𝐿
2
)
3
6
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀𝐴 𝐿2
2
+
𝑃 (𝐿 −
𝐿
2
)
3
6
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀𝐴 𝐿2
2
+
𝑃𝐿3
48
0 = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
(
𝑅 𝐴 𝐿
4 ) 𝐿2
2
+
𝑃𝐿3
48
0 = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑅 𝐴 𝐿
3
8
+
𝑃𝐿3
48
0 = −8𝑅 𝐴 𝐿3
+ 6 𝑅 𝐴 𝐿
3
+ 𝑃𝐿3
2𝑅 𝐴 = 𝑃
𝑅 𝐴 =
𝑃
2
REMPLAZANDO TENEMOS
𝑀𝐴 =
𝑅 𝐴 𝐿
4
𝑀𝐴 =
(
𝑃
2
) 𝐿
4
𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑃 … … … … … … . … … . … … … . . . (2)
𝑃
2
+𝑅 𝐵 = 𝑃
𝑅 𝐵 =
𝑃
2
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑃𝐿
2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
−𝑀 𝐵 +
𝑃
2
𝐿 −
𝑃𝐿
2
+
𝑃𝐿
8
= 0

33. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
33
𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
8
POR LO TANTO TENEMOS
𝑅 𝐴 =
𝑃
2
𝑅 𝐵 =
𝑃
2
𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
8

34. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
34
CARGA PUNTUAL HACIENDO UN SOLO CORTE
ESTE TIPO DE EJERCICIOS TAMBIEN SE PUEDE HALLAR HACIENDO UN
SOLO CORTE INCLUYENDO TODAS LAS CARGAS QUE EXISTA EN LA VIGA
ASI COMO MOSTRAREMOS
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑃 … … … … … … . … … . … . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑃𝐿
2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)

35. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
35
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO

36. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
36
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑎 = 𝑃 … … … . . … … … … . … … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑎 + 𝑃 〈𝑋 −
𝐿
2
〉 = 0 … … … … . . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 − 𝑃
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑎 + 𝑃 〈𝑋 −
𝐿
2
〉 = 0
𝑀 𝑎 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 + 𝑃 〈𝑋 −
𝐿
2
〉 … . . … … … … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑎
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑎 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 + 𝑃 〈𝑋 −
𝐿
2
〉
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑎
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 + 𝑃〈 𝑋 −
𝐿
2
〉 …………..(8)

37. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
37
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 + 𝑃〈 𝑋 −
𝐿
2
〉) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉2
2
+ 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉2
2
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉2
2
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉3
6
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 …...(10)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS

38. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
38
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉3
6
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
+
𝑃〈(0) − 𝐿
2
〉3
6
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉2
2
+ 𝐶1
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) +
𝑃〈0 − 𝐿
2
〉2
2
+ 𝐶1
𝐶1 = 0
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉2
2
……...(11)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉3
6
……….(12)
POR SER UN VALOR NEGATIVO NO SE
CONSIDERA, SOLO SE CONSIDERA SI EL VALOR
ES MAYOR QUE CERO.

39. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
39
SI X=L, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉3
6
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑃〈 𝐿 − 𝐿
2
〉3
6
𝑅 𝐴 𝐿3
6
−
𝑀𝐴 𝐿2
2
=
𝑃𝐿3
48
8𝑅 𝐴 𝐿3
− 24𝑀𝐴 𝐿2
= 𝑃𝐿3
8𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀𝐴 = 𝑃𝐿 … … … … … … … . . (13)
SI X=L, 𝜽 𝑩 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝐿
2
〉2
2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑃〈 𝐿 − 𝐿
2
〉2
2

40. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
40
𝑅 𝐴 𝐿2
2
− 𝑀𝐴 𝐿 =
𝑃𝐿2
8
4𝑅 𝐴 𝐿2
− 8𝑀𝐴 𝐿 = 𝑃𝐿2
4𝑅 𝐴 𝐿 − 8𝑀𝐴 = 𝑃𝐿 … … … … … … … … . . (14)
DE LAS ECUACIONES (13) Y (14) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
8𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀𝐴 = 𝑃𝐿
4𝑅 𝐴 𝐿 − 8𝑀𝐴 = 𝑃𝐿
{
(−1) ∗ [8𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀 𝐴 = 𝑃𝐿]
(3) ∗ [4𝑅 𝐴 𝐿 − 8𝑀 𝐴 = 𝑃𝐿]
{
−8𝑅 𝐴 𝐿 + 24𝑀 𝐴 = − 𝑃𝐿
12𝑅 𝐴 𝐿 − 24𝑀 𝐴 = 3 𝑃𝐿
4𝑅 𝐴 𝐿 = 2𝑃𝐿
𝑅 𝐴 =
𝑃
2
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑅 𝐴 EN LA ECUACION (14)
4𝑅 𝐴 𝐿 − 8𝑀𝐴 = 𝑃𝐿
4 (
𝑃
2
) 𝐿 − 8𝑀𝐴 = 𝑃𝐿
8𝑀𝐴 = 𝑃𝐿
𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑃 … … … … … … . … … . … . . (2)
𝑃
2
+𝑅 𝐵 = 𝑃
𝑅 𝐵 =
𝑃
2

41. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
41
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑃𝐿
2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
−𝑀 𝐵 + (
𝑃
2
) 𝐿 −
𝑃𝐿
2
+
𝑃𝐿
8
= 0
𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
8
POR LO TANTO SE OBTIENE LAS MISMAS RESPUESTA
𝑅 𝐴 =
𝑃
2
𝑅 𝐵 =
𝑃
2
𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
8

42. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
42
CARGA PARABOLICA UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

43. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
43
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
4𝐿𝑊
6
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
2𝐿𝑊
3
… … … … … … . … … . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
2𝑊𝐿
3
(
𝐿
2
) + 𝑀𝐴 = 0
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”

44. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
44
HALLAMOS LA ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐴𝑋2
+ 𝐵𝑋 + 𝐶
TENEMOS LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
 SI X=0 ENTONCES Y=0
 SI X=L/2 ENTONCES Y=W
 SI X=L ENTONCES Y=0
REMPLAZANDO LAS CONDICIONES EN LA ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐴𝑋2
+ 𝐵𝑋 + 𝐶
0 = 𝐴(0)2
+ 𝐵(0) + 𝐶
(0)𝐴 + (0)𝐵 + 𝐶 = 0………………………………..(𝑎)
𝑌 = 𝐴𝑋2
+ 𝐵𝑋 + 𝐶
𝑊 = 𝐴 (
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) + 𝐶
𝐴 (
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) + 𝐶 = 𝑊……….………………….(𝑏)
𝑌 = 𝐴𝑋2
+ 𝐵𝑋 + 𝐶
𝐴𝐿2
+ 𝐵𝐿 + 𝐶 = 0… … … … … … … … … … … … … … … … … . (𝑐)
TENEMOS UNA ECUCION DE TRES VARIABLES
(0)𝐴 + (0)𝐵 + 𝐶 = 0………………………………..(𝑎)
𝐴 (
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) + 𝐶 = 𝑊……….………………….(𝑏)
𝐴𝐿2
+ 𝐵𝐿 + 𝐶 = 0… … … … … … … … … … … … … … . … … … . (𝑐)
{
(0)𝐴 + (0)𝐵 + 𝐶 = 0
𝐴 (
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) + 𝐶 =
𝐴𝐿2
+ 𝐵𝐿 + 𝐶 = 0
𝑊

45. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
45
{
(1) ∗ [ 𝐴(
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) + 𝐶 = 𝑊]
(−1) ∗ [𝐴𝐿2
+ 𝐵𝐿 + 𝐶 = 0]
{ 𝐴(
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) + 𝐶 = 𝑊
−𝐴𝐿2
− 𝐵𝐿 − 𝐶 = 0
{ 𝐴(
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) = 𝑊
−𝐴𝐿2
− 𝐵𝐿 = 0
{
(1) ∗ [ 𝐴(
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) = 𝑊]
(
1
2
) ∗ [−𝐴𝐿2
− 𝐵𝐿 = 0]
{
[ 𝐴(
𝐿
2
)
2
+ 𝐵 (
𝐿
2
) = 𝑊]
[−
𝐴𝐿2
2
−
𝐵𝐿
2
= 0]
{
𝐴 𝐿2
4
+ 𝐵 (
𝐿
2
) = 𝑊
−
𝐴𝐿2
2
−
𝐵𝐿
2
= 0
𝐴 𝐿2
4
−
𝐴𝐿2
2
= 𝑊
−
𝐴𝐿2
4
= 𝑊
𝐴 = −
4𝑊
𝐿2
−
4𝑊
𝐿2
∗
𝐿2
4
+ 𝐵 (
𝐿
2
) = 𝑊
−
4𝑊
4
+ 𝐵 (
𝐿
2
) = 𝑊
𝐵 (
𝐿
2
) = 2𝑊
𝐵 =
4𝑊
𝐿
POR LO TANTO TENEMOS LOS SIGUIENTES VALORES

46. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
46
𝐴 = −
4𝑊
𝐿2
𝐵 =
4𝑊
𝐿
𝐶 = 0
ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐴𝑋2
+ 𝐵𝑋 + 𝐶
𝑌 = −
4𝑊 𝑋2
𝐿2 +
4𝑊 𝑋
𝐿
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO

47. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
47
HALLAMOS EL AREA Y EL CENTRO DE GRAVEDAD EN LA POSICION X
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = ∫ 𝑑𝐴
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = ∫ (−
4𝑊 𝑋2
𝐿2
+
4𝑊 𝑋
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [−
4𝑊 𝑋3
3𝐿2
+
4𝑊 𝑋2
2𝐿
]
0
𝑋
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [−
4𝑊 𝑋3
3𝐿2
+
4𝑊 𝑋2
2𝐿
] − [−
4𝑊03
3𝐿2
+
4𝑊02
2𝐿
]
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [−
4𝑊 𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊 𝑋2
𝐿
] − [0]
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = −
4𝑊 𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊 𝑋2
𝐿
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (−
4𝑊 𝑋2
𝐿2 +
4𝑊 𝑋
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
∫ 𝑋 (−
4𝑊 𝑋2
𝐿2
+
4𝑊 𝑋
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= ∫ (−
4𝑊 𝑋3
𝐿2
+
4𝑊 𝑋2
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
∫ (−
4𝑊 𝑋3
𝐿2
+
4𝑊 𝑋2
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= [−
4𝑊 𝑋4
4𝐿2
+
4𝑊 𝑋3
3𝐿
]
0
𝑋
∫ (−
4𝑊 𝑋3
𝐿2
+
4𝑊 𝑋2
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= −
𝑊 𝑋4
𝐿2
+
4𝑊 𝑋3
3𝐿
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (−
4𝑊 𝑋2
𝐿2 +
4𝑊 𝑋
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (−
4𝑊 𝑋2
𝐿2 +
4𝑊 𝑋
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
−
𝑊 𝑋4
𝐿2 +
4𝑊 𝑋3
3𝐿
−
4𝑊 𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊 𝑋2
𝐿

48. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
48
𝑋̅ =
−
𝑊 𝑋4
𝐿2 +
4𝑊 𝑋3
3𝐿
−
4𝑊 𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊 𝑋2
𝐿
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴−𝑉𝑝 = −
4𝑊 𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊 𝑋2
𝐿
… … … … … … . … … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
) (𝑋 −
−
𝑊𝑋4
𝐿2 +
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
) (
𝑋 (−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) +
𝑊𝑋4
𝐿2 −
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) = 0
(−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
) (𝑋 −
−
𝑊𝑋4
𝐿2 +
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) = (−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
)(
−
4𝑊𝑋4
3𝐿2 +
2𝑊𝑋3
𝐿
+
𝑊𝑋4
𝐿2 −
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
)
(−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
) (𝑋 −
−
𝑊𝑋4
𝐿2 +
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) = −
4𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
𝐿
+
𝑊𝑋4
𝐿2
−
4𝑊𝑋3
3𝐿
(−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
) (𝑋 −
−
𝑊𝑋4
𝐿2 +
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) = −
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿

49. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
49
REMPLAZAMOS EN LA ECUACION DE MOMENTO EN EL PUNTO “p”
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (−
4𝑊𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊𝑋2
𝐿
) (𝑋 −
−
𝑊𝑋4
𝐿2 +
4𝑊𝑋3
3𝐿
−
4𝑊𝑋3
3𝐿2 +
2𝑊𝑋2
𝐿
) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (−
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿
) = 0 … … … … … … … … . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 − (−
4𝑊 𝑋3
3𝐿2
+
2𝑊 𝑋2
𝐿
)
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (−
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿
) = 0
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 + (−
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿
) … . . … … … … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 + (−
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿
)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 −
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿
…………..(8)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)

50. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
50
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 −
𝑊𝑋4
3𝐿2
+
2𝑊𝑋3
3𝐿
) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 −
𝑊𝑋5
15𝐿2
+
𝑊𝑋4
6𝐿
+ 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 −
𝑊𝑋5
15𝐿2
+
𝑊𝑋4
6𝐿
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 −
𝑊𝑋5
15𝐿2
+
𝑊𝑋4
6𝐿
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
−
𝑊𝑋6
90𝐿2
+
𝑊𝑋5
30𝐿
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 …...(10)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
−
𝑊𝑋6
90𝐿2
+
𝑊𝑋5
30𝐿
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

51. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
51
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
−
𝑊(0)
6
90𝐿2
+
𝑊(0)
5
30𝐿
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 −
𝑊𝑋5
15𝐿2
+
𝑊𝑋4
6𝐿
+ 𝐶1
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) −
𝑊(0)
5
15𝐿2
+
𝑊(0)
4
6𝐿
+ 𝐶1
𝐶1 = 0
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 −
𝑊𝑋5
15𝐿2
+
𝑊𝑋4
6𝐿
……...(11)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
−
𝑊𝑋6
90𝐿2
+
𝑊𝑋5
30𝐿
……….(12)

52. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
52
SI X=L, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
−
𝑊𝑋6
90𝐿2
+
𝑊𝑋5
30𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
−
𝑊𝐿6
90𝐿2
+
𝑊𝐿5
30𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
−
𝑊𝐿4
90
+
𝑊𝐿4
30
𝑅 𝐴 𝐿
6
−
𝑀𝐴
2
=
𝑊𝐿2
45
15𝑅 𝐴 𝐿 − 45𝑀𝐴 = 2𝑊𝐿2
… … … … … … … . . (13)
SI X=L, 𝜽 𝑩 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 −
𝑊𝑋5
15𝐿2
+
𝑊𝑋4
6𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 −
𝑊𝐿5
15𝐿2
+
𝑊𝐿4
6𝐿
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 −
𝑊𝐿3
15
+
𝑊𝐿3
6
𝑅 𝐴 𝐿2
2
−𝑀𝐴 𝐿 =
𝑊𝐿3
10
5𝑅 𝐴 𝐿−10𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … … . . (14)

53. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
53
DE LAS ECUACIONES (13) Y (14) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
15𝑅 𝐴 𝐿 − 45𝑀𝐴 = 2𝑊𝐿2
5𝑅 𝐴 𝐿−10𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
{
(−1) ∗ [15𝑅 𝐴 𝐿 − 45𝑀 𝐴 = 2𝑊𝐿2
]
(3) ∗ [5𝑅 𝐴 𝐿−10𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
{
−15𝑅 𝐴 𝐿 + 45𝑀 𝐴 = −2𝑊𝐿2
15𝑅 𝐴 𝐿−30𝑀 𝐴 = 3 𝑊𝐿2
15𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
15
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑀𝐴 EN LA ECUACION (14)
5𝑅 𝐴 𝐿−10𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
5𝑅 𝐴 𝐿 − 10 (
𝑊𝐿2
15
) = 𝑊𝐿2
5𝑅 𝐴 𝐿 = 𝑊𝐿2
+ 10 (
𝑊𝐿2
15
)
5𝑅 𝐴 𝐿 =
25𝑊𝐿2
15
𝑅 𝐴 =
𝑊𝐿
3
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
2𝐿𝑊
3
… … … … … … . … … . . (2)
𝑊𝐿
3
+𝑅 𝐵 =
2𝐿𝑊
3

54. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
54
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
2𝑊𝐿
3
(
𝐿
2
) + 𝑀𝐴 = 0
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
−𝑀 𝐵 + (
𝑊𝐿
3
) 𝐿 −
𝑊𝐿2
3
+
𝑊𝐿2
15
= 0
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
15
POR LO TANTO SE OBTIENE LAS MISMAS RESPUESTA
𝑅 𝐴 =
𝑊𝐿
3
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
15
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
15

55. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
55
CARGA DE ENJUTA PARABOLICA UNIFORMEMENTE DISTTRIBUIDA
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

56. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
56
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
… … … … … … . … … … … … . . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿
3
(
3𝐿
4
) + 𝑀𝐴 = 0
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
4
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

57. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
57
HALLAMOS LA ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐾𝑋2
TENEMOS LA SIGUIENTE CONDICION:
 SI X=L ENTONCES Y=W
REMPLAZANDO LAS CONDICIONES EN LA ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐾𝑋2
𝑊 = 𝐾𝐿2
𝐾 =
𝑊
𝐿2
POR LO TANTO TENEMOS LOS SIGUIENTES VALORES
𝐾 =
𝑊
𝐿2
ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐾 𝑋2
𝑌 =
𝑊𝑋2
𝐿2
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

58. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
58
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO
HALLAMOS EL AREA Y EL CENTRO DE GRAVEDAD EN LA POSICION X
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = ∫ 𝑑𝐴
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = ∫ (
𝑊 𝑋2
𝐿2
) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [
𝑊 𝑋3
3𝐿2
]
0
𝑋
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [
𝑊 𝑋3
3𝐿2
] − [
𝑊03
3𝐿2
]
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [
𝑊 𝑋3
3𝐿2
] − [0]
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 =
𝑊 𝑋3
3𝐿2
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (
𝑊 𝑋2
𝐿2 ) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
∫ 𝑋 (
𝑊 𝑋2
𝐿2
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= ∫ (
𝑊 𝑋3
𝐿2
) 𝑑𝑥
𝑋
0

59. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
59
∫ (
𝑊 𝑋3
𝐿2
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= [
𝑊 𝑋4
4𝐿2
]
0
𝑋
∫ (
𝑊 𝑋3
𝐿2
) 𝑑𝑥
𝑋
0
=
𝑊 𝑋4
4𝐿2
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (
𝑊 𝑋2
𝐿2 ) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
𝑊 𝑋4
4𝐿2
𝑊 𝑋3
3𝐿2
𝑋̅ =
3𝑋
4
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝑅 𝐴−𝑉𝑝 =
𝑊 𝑋3
3𝐿2
… … … … … … … … . . . … … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊 𝑋3
3𝐿2 ) (𝑋 − 𝑋̅) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊 𝑋3
3𝐿2 ) (𝑋 −
3𝑋
4
) = 0

60. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
60
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊 𝑋3
3𝐿2 ) (
𝑋
4
) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
= 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
= 0 … … … … … … … … . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 −
𝑊 𝑋3
3𝐿2
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑥 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
= 0
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
… . . … … … … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
…………..(8)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1

61. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
61
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑋4
12𝐿2
) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋5
60𝐿2
+ 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋5
60𝐿2
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋5
60𝐿2
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋6
360𝐿2
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 …...(10)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋6
360𝐿2
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
+
𝑊(0)
6
360𝐿2
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0

62. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
62
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋5
60𝐿2
+ 𝐶1
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) +
𝑊(0)
5
60𝐿2
+ 𝐶1
𝐶1 = 0
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋5
60𝐿2
……...(11)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋6
360𝐿2
……….(12)

63. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
63
SI X=L, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋6
360𝐿2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿6
360𝐿2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿4
360
𝑅 𝐴 𝐿
6
−
𝑀𝐴
2
=
𝑊𝐿2
360
60𝑅 𝐴 𝐿 − 180𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … . . (13)
SI X=L, 𝜽 𝑩 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋5
60𝐿2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑊𝐿5
60𝐿2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑊𝐿3
60
𝑅 𝐴 𝐿2
2
−𝑀𝐴 𝐿 =
𝑊𝐿3
60
30𝑅 𝐴 𝐿−60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
… … … … … … … … . . (14)

64. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
64
DE LAS ECUACIONES (13) Y (14) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
60𝑅 𝐴 𝐿 − 180𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
30𝑅 𝐴 𝐿−60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
{
(−1) ∗ [60𝑅 𝐴 𝐿 − 180𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
(3) ∗ [30𝑅 𝐴 𝐿−60𝑀 𝐴 = 𝑊𝐿2
]
{
−60𝑅 𝐴 𝐿 + 180𝑀 𝐴 = − 𝑊𝐿2
90𝑅 𝐴 𝐿−180𝑀 𝐴 = 3𝑊𝐿2
30𝑅 𝐴 𝐿 = 2𝑊𝐿2
𝑅 𝐴 =
𝑊𝐿
15
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑀𝐴 EN LA ECUACION (14)
30𝑅 𝐴 𝐿−60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
30 (
𝑊𝐿
15
) 𝐿−60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
60𝑀𝐴 = 2𝑊𝐿2
− 𝑊𝐿2
60𝑀𝐴 = 𝑊𝐿2
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
60
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
… … … … … … . … … … … … . . . (2)
𝑊𝐿
15
+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
3
−
𝑊𝐿
15
𝑅 𝐵 =
4𝑊𝐿
15

65. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
65
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
4
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3
−𝑀 𝐵 + (
4𝑊𝐿
15
) 𝐿 −
𝑊𝐿2
4
+
𝑊𝐿2
60
= 0
−𝑀 𝐵 +
4𝑊𝐿2
15
−
𝑊𝐿2
4
+
𝑊𝐿2
60
= 0
𝑀 𝐵 =
16𝑊𝐿2
− 15𝑊𝐿2
+ 𝑊𝐿2
60
𝑀 𝐵 =
2𝑊𝐿2
60
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
30
POR LO TANTO SE OBTIENE LAS MISMAS RESPUESTA
𝑅 𝐴 =
𝑊𝐿
15
𝑅 𝐵 =
4𝑊𝐿
15
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
60
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
30

66. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
66
CARGA DE ENJUTA PARABOLICA DE GRADO “n” UNIFORMEMENTE
DISTTRIBUIDA
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

67. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
67
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝐹𝑌 = 𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
… … … … … … . … … … … … . . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 − (
𝑊𝐿
𝑛 + 1
) ((
𝑛 + 1
𝑛 + 2
) (𝐿)) + 𝑀𝐴 = 0
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
𝑛 + 2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

68. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
68
HALLAMOS LA ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐾𝑋 𝑛
TENEMOS LA SIGUIENTE CONDICION:
 SI X=L ENTONCES Y=W
REMPLAZANDO LAS CONDICIONES EN LA ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐾𝑋 𝑛
𝑊 = 𝐾𝐿 𝑛
𝐾 =
𝑊
𝐿 𝑛
POR LO TANTO TENEMOS LOS SIGUIENTES VALORES
𝐾 =
𝑊
𝐿 𝑛
ECUACION DE LA PARABOLA
𝑌 = 𝐾 𝑋 𝑛
𝑌 =
𝑊𝑋 𝑛
𝐿 𝑛
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

69. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
69
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO
HALLAMOS EL AREA Y EL CENTRO DE GRAVEDAD EN LA POSICION X
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = ∫ 𝑑𝐴
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = ∫ (
𝑊𝑋 𝑛
𝐿 𝑛
) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
]
0
𝑋
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
] − [
𝑊0 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
]
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 = [
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
] − [0]
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 =
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (
𝑊𝑋 𝑛
𝐿 𝑛 ) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
∫ 𝑋 (
𝑊𝑋 𝑛
𝐿 𝑛
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= ∫ (
𝑊𝑋 𝑛+1
𝐿 𝑛
) 𝑑𝑥
𝑋
0

70. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
70
∫ (
𝑊𝑋 𝑛+1
𝐿 𝑛
) 𝑑𝑥
𝑋
0
= [
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 2)𝐿 𝑛
]
0
𝑋
∫ (
𝑊𝑋 𝑛+1
𝐿 𝑛
) 𝑑𝑥
𝑋
0
=
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 2)𝐿 𝑛
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑋 (
𝑊𝑋 𝑛
𝐿 𝑛 ) 𝑑𝑥
𝑋
0
𝐴 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
𝑋̅ =
∫ 𝑋̅ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 2)𝐿 𝑛
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
𝑋̅ =
(𝑛 + 1)𝑋
(𝑛 + 2)
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (4)
𝑅 𝐴−𝑉𝑝 =
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
… … … … … … … … . . . … … . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊𝑋 𝑛+1
(𝑛 + 1) 𝐿 𝑛) (𝑋 − 𝑋̅) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊𝑋 𝑛+1
(𝑛 + 1) 𝐿 𝑛) (𝑋 −
( 𝑛 + 1) 𝑋
( 𝑛 + 2)
) = 0

71. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
71
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊𝑋 𝑛+1
(𝑛 + 1) 𝐿 𝑛) (
( 𝑛 + 2) 𝑋 − ( 𝑛 + 1) 𝑋
( 𝑛 + 2)
) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊𝑋 𝑛+1
(𝑛 + 1) 𝐿 𝑛) (
𝑋
( 𝑛 + 2)
) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 + (
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝐿 𝑛) = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝐿 𝑛 = 0
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝐿 𝑛 = 0 … … … … … … … … . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 −
𝑊𝑋 𝑛+1
( 𝑛 + 1)𝐿 𝑛
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑃 +
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝐿 𝑛 = 0
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑋 𝑛+2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝐿 𝑛
… . . … … … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑃 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 +
𝑊𝑋 𝑛+2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝐿 𝑛
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝

72. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
72
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝐿 𝑛 ………..(8)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 +
𝑊𝑋 𝑛+2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝐿 𝑛) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛 + 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛 + 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋 𝑛+4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) 𝐿 𝑛 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 …...(10)
5. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA

73. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
73
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋 𝑛+4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) 𝐿 𝑛 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)3
6
+
𝑀𝐴(0)2
2
+
𝑊(0) 𝑛+4
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)𝐿 𝑛
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛 + 𝐶1
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)2
2
+𝑀 𝐴(0) +
𝑊(0) 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛 + 𝐶1
𝐶1 = 0
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛 ……....(11)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋 𝑛+4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) 𝐿 𝑛 ……….(12)

74. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
74
SI X=L, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑊𝑋 𝑛+4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) 𝐿 𝑛
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿 𝑛+4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) 𝐿 𝑛
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿3
6
+
𝑀 𝐴 𝐿2
2
+
𝑊𝐿4
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
𝑅 𝐴 𝐿
6
−
𝑀𝐴
2
=
𝑊𝐿
2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
2𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀𝐴 =
12𝑊𝐿
2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
… … … … . . (13)
SI X=L, 𝜽 𝑩 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑊𝑋 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑊𝐿 𝑛+3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) 𝐿 𝑛
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴 𝐿2
2
+𝑀 𝐴 𝐿 +
𝑊𝐿3
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)
𝑅 𝐴 𝐿2
2
−𝑀𝐴 𝐿 =
𝑊𝐿3
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

75. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
75
𝑅 𝐴 𝐿
2
−𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
𝑅 𝐴 𝐿−2𝑀𝐴 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
……..(14)
DE LAS ECUACIONES (13) Y (14) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
𝑅 𝐴 𝐿−2𝑀𝐴 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
2𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀𝐴 =
12𝑊𝐿
2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
{
(−2) ∗ [ 𝑅 𝐴 𝐿−2𝑀 𝐴 =
2𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)
]
(1) ∗ [2𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀 𝐴 =
12𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
]
{
−2𝑅 𝐴 𝐿+4𝑀 𝐴 = −
4𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)
2𝑅 𝐴 𝐿 − 6𝑀 𝐴 =
12𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
−2𝑀𝐴 =
12𝑊𝐿
2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
−
4𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)
𝑀𝐴 = −
2𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)
(
3
( 𝑛 + 4)
− 1)
𝑀𝐴 = −
2𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)
(
−𝑛 − 1
( 𝑛 + 4)
)
𝑀𝐴 =
2( 𝑛 + 1) 𝑊𝐿2
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
𝑀𝐴 =
2𝑊𝐿2
( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑀𝐴 EN LA ECUACION (14)
𝑅 𝐴 𝐿−2𝑀𝐴 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
𝑅 𝐴 𝐿 − 2 (
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
) =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

76. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
76
𝑅 𝐴 𝐿 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
+ 2 (
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐴 𝐿 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
(
1
(𝑛 + 1)
+
2
(𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐴 𝐿 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
(
(𝑛 + 4) + 2(𝑛 + 1)
(𝑛 + 1)(𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐴 =
2𝑊𝐿
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
(
3𝑛 + 6
(𝑛 + 1)(𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐴 =
6(𝑛 + 2)𝑊𝐿
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
𝑅 𝐴 =
6𝑊𝐿
(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
… … … … … … . … … … … … . . . (2)
6𝑊𝐿
(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
+𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
−
6𝑊𝐿
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
(1 −
6
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
(
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) − 6
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
(
𝑛2
+ 7𝑛 + 12 − 6
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
(
𝑛2
+ 7𝑛 + 6
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐵 =
𝑊𝐿
𝑛 + 1
(
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 6)
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
)
𝑅 𝐵 =
( 𝑛 + 6)𝑊𝐿
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 −
𝑊𝐿2
𝑛 + 2
+ 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)

77. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
77
−𝑀 𝐵 + (
( 𝑛 + 6)𝑊𝐿
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
) 𝐿 −
𝑊𝐿2
𝑛 + 2
+
2𝑊𝐿2
( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
= 0
𝑀 𝐵 =
( 𝑛 + 6)𝑊𝐿2
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
−
𝑊𝐿2
𝑛 + 2
+
2𝑊𝐿2
( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
𝑀 𝐵 = 𝑊𝐿2
(
( 𝑛 + 6)
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
−
1
𝑛 + 2
+
2
( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
)
𝑀 𝐵 = 𝑊𝐿2
(
( 𝑛 + 6)( 𝑛 + 2) − ( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4) + 2
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)( 𝑛 + 2)
)
𝑀 𝐵 = 𝑊𝐿2
(
𝑛 + 2
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)( 𝑛 + 2)
)
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
( 𝑛 + 3)( 𝑛 + 4)
POR LO TANTO SE OBTIENE LAS MISMAS RESPUESTA
𝑅 𝐴 =
6𝑊𝐿
(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
𝑀𝐴 =
2𝑊𝐿2
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
𝑅 𝐵 =
(𝑛 + 6)𝑊𝐿
(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)

78. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
78
CARGA PUNTUAL
SOLUCION
1. HACEMOS EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
2. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … . . … . . (1)
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑃 … … … … … … . … … … . … . … . . (2)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 − 𝑃𝑛 + 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)

79. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
79
3. HACEMOS UN CORTE A UNA DISTANCIA “X” EN EL PUNTO “p”
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜
 SE PUEDE TRABAJAR CON CUALQUIERA DE LOS LADOS YA SEA
DERECHO O IZQUIERDO, EN ESTE CASO TRABAJAREMOS CON EL LADO
IZQUIERO

80. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
80
4. POR FISICA DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO OBTENEMOS LAS SIGUIENTE
ECUACIONES
∑ 𝐹𝑋 = 0 , ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0
𝐹𝑋 = 0 … … … … … … … … … … … … … … . . . . … . . (4)
𝑅 𝐴−𝑉𝑎 = 𝑃 … … … … … … . … … … … . … … . … . . . (5)
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑝 + 𝑃〈𝑋 − 𝑛〉 = 0 … … … … . . (6)
DE LAS ECUACIONES (5) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
𝑉𝑝 = 𝑅 𝐴 − 𝑃
DE LA ECUACION (6) PODEMOS OBTENER LO SIGUIENTE:
−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 − 𝑀 𝑝 + 𝑃〈𝑋 − 𝑛〉 = 0
𝑀 𝑝 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 + 𝑃〈𝑋 − 𝑛〉 … . . … … … … . . (7)
RECORDANDO LA TEORIA TENEMOS
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
REMPLAZANDO EN LA ECUACION (7) TENEMOS
𝑀 𝑝 = −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀𝐴 + 𝑃〈𝑋 − 𝑛〉
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑝
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 + 𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉 …………..(8)
HACIENDO LA PRIMERA INTEGRACION DE LA ECUACION (8)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= ∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1

81. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
81
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫(−𝑅 𝐴 𝑋 + 𝑀 𝐴 + 𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉) 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉2
2
+ 𝐶1 ……...(9)
HACIENDO LA SEGUNDA INTEGRACION DE LA ECUACION (9)
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (∫ 𝑀 𝑝 𝑑𝑥 + 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉2
2
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = ∫ (−
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉2
2
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉3
6
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 …...(10)
6. ANALISAMOS LAS CONDICIONES DE FRONTERA
SI X=0, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (10) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉3
6
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
3
6
+
𝑀 𝐴(0)
2
2
+
𝑃〈(0) − 𝑛〉3
6
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
POR SER UN VALOR NEGATIVO NO SE
CONSIDERA, SOLO SE CONSIDERA SI EL VALOR
ES MAYOR QUE CERO.

82. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
82
SI X=0, 𝜽 𝑨 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (9) TENEMOS
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉2
2
+ 𝐶1
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴(0)
2
2
+𝑀 𝐴(0) +
𝑃〈0 − 𝑛〉2
2
+ 𝐶1
𝐶1 = 0
POR LO TANTO TENEMOS LAS NUEVAS ECUACIONES
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉2
2
……...(11)
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉3
6
……….(12)
SI X=L=m+n, Y=0 ENTONCES EN LA ECUACION (12) TENEMOS
𝐸𝐼𝑦 = −
𝑅 𝐴 𝑋3
6
+
𝑀 𝐴 𝑋2
2
+
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉3
6
𝐸𝐼(0) = −
𝑅 𝐴( 𝑚 + 𝑛)3
6
+
𝑀 𝐴( 𝑚 + 𝑛)2
2
+
𝑃〈 𝑚 + 𝑛 − 𝑛〉3
6

83. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
83
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)3
6
−
𝑀𝐴(𝑚 + 𝑛)2
2
=
𝑃〈𝑚 + 𝑛 − 𝑛〉3
6
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)3
− 3𝑀𝐴(𝑚 + 𝑛)2
= 𝑃𝑚3
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛) − 3𝑀𝐴 =
𝑃𝑚3
(𝑚 + 𝑛)2
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛) − 3𝑀𝐴 =
𝑃𝑚3
(𝑚 + 𝑛)2
… … … … … … … . . (13)
SI X=L=m+n, 𝜽 𝑩 =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟎 ENTONCES EN LA ECUACION (11) T
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴 𝑋2
2
+𝑀 𝐴 𝑋 +
𝑃〈 𝑋 − 𝑛〉2
2
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑅 𝐴( 𝑚 + 𝑛)2
2
+𝑀 𝐴( 𝑚 + 𝑛) +
𝑃〈( 𝑚 + 𝑛) − 𝑛〉2
2
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)2
2
−𝑀𝐴(𝑚 + 𝑛) =
𝑃𝑚2
2
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)−2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)−2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
… … … … … … … … . . (14)
DE LAS ECUACIONES (13) Y (14) OBTENEMOS UNA ECUACION DE DOS
VARIABLES
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛) − 3𝑀𝐴 =
𝑃𝑚3
(𝑚 + 𝑛)2

84. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
84
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)−2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
{
(−2) ∗ [ 𝑅 𝐴( 𝑚 + 𝑛) − 3𝑀 𝐴 =
𝑃𝑚3
( 𝑚 + 𝑛)2
]
(3) ∗ [ 𝑅 𝐴( 𝑚 + 𝑛)−2𝑀 𝐴 =
𝑃𝑚2
( 𝑚 + 𝑛)
]
{
−2𝑅 𝐴( 𝑚 + 𝑛) + 6𝑀 𝐴 = −
2𝑃𝑚3
( 𝑚 + 𝑛)2
3𝑅 𝐴( 𝑚 + 𝑛)−6𝑀 𝐴 =
3𝑃𝑚2
( 𝑚 + 𝑛)
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛) =
3𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
−
2𝑃𝑚3
(𝑚 + 𝑛)2
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛) =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
(3 −
2𝑚
𝑚 + 𝑛
) 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐿 = 𝑚 + 𝑛
𝑅 𝐴 =
𝑃𝑚2
𝐿2
(3 −
2𝑚
𝐿
)
REMPLAZAMOS EL VALOR DE 𝑅 𝐴 EN LA ECUACION (14)
𝑅 𝐴(𝑚 + 𝑛)−2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
𝑃𝑚2
𝐿2
(3 −
2𝑚
𝐿
) (𝑚 + 𝑛)−2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)2
(3 −
2𝑚
𝑚 + 𝑛
) (𝑚 + 𝑛) −
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
(
𝑚 + 3𝑛
𝑚 + 𝑛
− 1)
2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
(
𝑚 + 3𝑛 − 𝑚 − 𝑛
𝑚 + 𝑛
)
2𝑀𝐴 =
𝑃𝑚2
(𝑚 + 𝑛)
(
2𝑛
𝑚 + 𝑛
)
𝑀𝐴 =
𝑃𝑛𝑚2
(𝑚 + 𝑛)2
𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐿 = 𝑛 + 𝑚

85. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
85
𝑀𝐴 =
𝑃𝑛𝑚2
𝐿2
HALLAMOS LA 𝑅 𝐵 Y 𝑀 𝐵 REMPLAZANDO EN LAS ECUACIONES (2) Y (3)
RESPECTIVAMENTE
𝑅 𝐴+𝑅 𝐵 = 𝑃 … … … … … … . … … … . … . … . . (2)
𝑃𝑚2
𝐿2
(3 −
2𝑚
𝐿
) +𝑅 𝐵 = 𝑃
𝑅 𝐵 = 𝑃 −
𝑃𝑚2
𝐿2
(3 −
2𝑚
𝐿
)
𝑅 𝐵 = 𝑃 −
𝑃𝑚2
𝐿2
(
3𝐿 − 2𝑚
𝐿
)
𝑅 𝐵 = 𝑃 −
𝑃𝑚2
𝐿2
(
3𝐿 − 2(𝐿 − 𝑛)
𝐿
)
𝑅 𝐵 = 𝑃 −
𝑃𝑚2
(𝐿 + 2𝑛)
𝐿3
𝑅 𝐵 =
𝑃𝐿3
− 𝑃𝑚2
(𝐿 + 2𝑛)
𝐿3
𝑅 𝐵 = (
𝑃
𝐿3
) (𝐿3
− 𝑚2
(𝐿 + 2𝑛))
𝑅 𝐵 = (
𝑃
𝐿3
) (𝐿3
− 𝐿𝑚2
− 2𝑛𝑚2)
𝑅 𝐵 = (
𝑃
𝐿3
) (𝐿3
− 𝐿(𝐿 − 𝑛)2
− 2𝑛(𝐿 − 𝑛)2)
𝑅 𝐵 = (
𝑃
𝐿3
) (𝐿3
− 𝐿3
+ 2𝐿2
𝑛 − 𝐿𝑛2
− 2𝐿2
𝑛 + 4𝐿𝑛2
− 2𝑛3)
𝑅 𝐵 = (
𝑃
𝐿3
) (3𝐿𝑛2
− 2𝑛3)
𝑅 𝐵 = (
𝑃𝐿𝑛2
𝐿3
) (3 −
2𝑛
𝐿
)
𝑅 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
)
−𝑀 𝐵+𝑅 𝐵 𝐿 − 𝑃𝑛 + 𝑀𝐴 = 0 … . . … . … … . . . (3)
−𝑀 𝐵 +
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 − 𝑃𝑛 +
𝑃𝑛𝑚2
𝐿2
= 0
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 − 𝑃𝑛 +
𝑃𝑛𝑚2
𝐿2
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 −
𝑃𝑛
𝐿2
(𝐿2
− 𝑚2)

86. Resistencia de Materiales Método de Doble Integración
Yanapa Chura H. Glimel Ingeniería Civil UNA PUNO
86
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 −
𝑃𝑛
𝐿2
(𝐿2
− (𝐿 − 𝑛)2)
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 −
𝑃𝑛
𝐿2
(𝐿2
− 𝐿2
+ 2𝐿𝑛 − 𝑛2)
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 −
𝑃𝑛2
𝐿2
(2𝐿 − 𝑛)
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
((3 −
2𝑛
𝐿
) 𝐿 − (2𝐿 − 𝑛))
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3𝐿 − 2𝑛 − 2𝐿 + 𝑛)
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(𝐿 − 𝑛) 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐿 = 𝑛 + 𝑚, 𝑚 = 𝐿 − 𝑛
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(𝑚)
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑚𝑛2
𝐿2
POR LO TANTO TENEMOS LO SIGUIENTE
𝑅 𝐴 =
𝑃𝑚2
𝐿2
(3 −
2𝑚
𝐿
)
𝑅 𝐵 =
𝑃𝑛2
𝐿2
(3 −
2𝑛
𝐿
)
𝑀𝐴 =
𝑃𝑛𝑚2
𝐿2
𝑀 𝐵 =
𝑃𝑚𝑛2
𝐿2