Tunelaje de Landau- Zener

FACULTAD DE FISICA
TUNELAJE DE LANDAU-ZENER EN ARREGLOS PERIÓDICOS
DE GUÍAS ÓPTICAS EN PRESENCIA DE DEFECTOS
PUNTUALES
POR
GREGORIO MARTINEZ LETELIER
Informe de práctica presentada a la Facultad de F´ısica de la
Pontificia Universidad Católica de Chile, para
optar al grado académico de Licenciado en F´ısica.
Supervisor : Dr. Luis Morales (PUC Chile)
Correctores : Dr. Edward Arévalo (PUC Chile)
Dr. Miguel Orszag (PUC Chile)
Julio, 2014
Santiago, Chile

Esta memoria va dedicada a mi madre.

Agradecimientos
En primer lugar quiero agradecer a mi profesor gu´ıa Luis Morales por su disposición,y
tiempo que dedicó en ensenãrme las herramientas necesarias para enfrentar este proyecto.
Un agradecimiento a mis ayudantes Isabel Muños y a Ariel Ignacio Norambuena, los cuales
me ayudaron a escribir esta memoria.
Quiero agradecer además a P´ıa Homm y Piero Ferrari, quienes fueron muy importantes en
todo mi proceso de formación, además de grandes amigos y consejeros. Al profesor Rafael
Benguria por su apoyo incondicional. A Arrito por su apoyo durantes mis anõs de carrera.
A los profesores Manuel Elgueta y Jose Lopéz quienes me apoyaron en matemáticas durante
mis años de Universidad.
Un especial agradecimiento a mi familia que siempre me ha apoyado y acompañado en
todo. A los que ya han partido de este mundo que se que me están acompañando desde el
cielo. Finalmente un agradecimiento a Cristian D´ıaz que me sacó de muchos apuros.
i

Resumen
En este trabajo analizamos un modelo que sirve para el estudio de las transiciones
no adiabáticas en arreglos periódicos de gu´ıas de onda con presencia de defectos.
El modelo se basa en el uso de la ecuación de Helmholtz en la aproximación
paraxial, lo cual conduce a la llamada ecuación Schrödinger óptica no lineal para
ondas electromagnéticas.
La relevancia de este trabajo radica en el estudio de la analog´ıa existente entre
procesos ópticos clásicos y procesos cuánticos de áreas como materia condesada.
En particular, partiendo de la ecuación de Schrödinger óptica, obtenida dentro de
la aproximación paraxial, se formuló el problema análogo a un sistema cuántico
de dos niveles que evoluciona a través de un Hamiltoniano de Landau-Zener con
un parámetro de control a que modela la rapidez con que cambia el ´ındice de
refracción del medio en el cual se propaga la onda.
Usando el resultado de Landau-Zener para la probabilidad de transición en un
sistema cuántico de dos niveles, se obtuvo anal´ıticamente el coeficiente de trans-
misión asociado a la probabilidad de que la onda electromagnética que se propaga
en una gu´ıa periódica, pase de la banda inferior a la superior en términos de la
brecha entre las banda, el parámetro de control y el número de onda.
iii

Abstract
In this work we analyse a model used to study the non adiabatic transitions in
periodic waveguides arrays with the presence of defects. The model is based on
the Helmholtz equation for the paraxial approximation, leading to the equation
known as no lineal optic s Schrdinger for electromagnetic waves.
The relevance of this work is based on the study of the analogy between classical
optical processes and quantum processes areas as condensed matter. Particularly,
starting from the optical Schrdinger equation, obtained into the paraxial approxi-
mation, the analogous problem was formulated to quantum system of two levels,
that develops through a Landau-Zener Hamiltonian with control parameter a,
that models the rapidity which changes the refraction index of the medium in
which the wave propagates.
Using the Landau-Zener result of the transition probability for a two-level quan-
tum system, is obtained analytically the coeﬃcient of transmission associated
to the probability that the electromagnetic wave which propagates in a periodic
guide, is transmitted from the lower band to the upper band, in terms from the
gap between the bands, the control parameter and the wave number.
iv

Índice general
1. Introducción 1
1.1. Gu´ıa de ondas ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Análogos óptico - mecánico cuántico 6
2.1. Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Oscilaciones de Bloch fotónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Transiciones de Landau-Zener 11
3.1. Evolución Adiabática y No-adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Transición de Landau-Zener para un sistema de dos niveles . . . . . . . . . 13
4. Transiciones entre bandas de energ´ıa 17
4.1. Ecuación de Helmholtz Paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1. Hamiltoniano para la ecuación de Helmholtz Paraxial . . . . . . . . 19
4.2. Modelo F´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1. Defecto puntual: Cambio local del ´ındice de refracción . . . . . . . . 24
4.2.2. Aproximación de dos modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3. Coeficiente de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. Análisis del coeficiente de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5. Conclusiones 31
Bibliograf´ıa 32

Cap´ıtulo 1
Introducción
Desde la antigüedad el hombre se ha dedicado a estudiar la propagación de la luz y de
como sacarle provecho; de hecho, los griegos usaban espejos para transmitir información
a través de la manipulación óptica de la luz solar. Ya en 1792, Claude Chappe diseñó un
sistema de telegraf´ıa óptica [1], que mediante el uso de un código, torres y espejos distri-
buidos a lo largo de los 200 km que separan Lille y Par´ıs, consegu´ıa transmitir un mensaje
en tan sólo 16 minutos. Hoy en d´ıa, el uso de la luz guiada, confinada en gu´ıas de ondas
corresponde a un área de la F´ısica de un gran relevancia debido a su uso en la transmisión
de información a través del uso de la luz. Podemos mencionar entre otros avances, la pro-
pagación de la luz en fibras ópticas y su alcance en la sociedad moderna reflejándose en
las telecomunicaciones, en particular en el internet.
1.1. Gu´ıa de ondas ópticas
La primera gu´ıa de onda fue propuesta por J.J Thomsom en 1893, al año siguiente
fue verificada experimentalmente por O.J. Lodge. Posteriormente en 1897 Lord Rayleigh
y Jorge Fernández Quesada hicieron el análisis matemático de los modos de propagación
de un cilindro metálico hueco.
1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCI ÓN
Una gu´ıa de onda es un medio material que sirve como soporte para que se propaguen
ondas [2], las cuales pueden ser ondas electromagnéticas o mecánicas como el sonido. En
particular una gu´ıa de onda óptica es un material dieléctrico donde puede propagarse
paquetes de ondas electromagnéticas con distintas longitudes de ondas, incluyendo luz
visible. [2]. Las gu´ıas de ondas ópticas pueden clasificarse según su forma geométrica [4]
(planas, circulares, cil´ındricas, rectangulares, etc) tal como se puede observar en la siguiente
figura
Figura 1.1: Tres tipos de estructuras geométricas para gu´ıas de onda.
Una gu´ıa de onda posee una estructura básica formada por un núcleo y un revestimiento,
construidos con distintos ´ındices de refracción. Para lograr un confinamiento eficiente, es
decir, que el paquete de luz se propague a lo largo del eje del núcleo se requiere una relación
entre ´ındice de refracción del núcleo y el ´ındice de refracción del revestimiento que cumpla
la condición de reflexión interna total (ver Figura 1.2 para mas detalle)
Luz Nucleo
Revestimiento
Revestimiento
Figura 1.2: Propagación de la luz a lo largo del núcleo de la gu´ıa de ondas. Debido a que nnúcleo >
nrecubrimiento se puede garantizar, debido a la Ley de Snell, que un porcentaje muy pequeño de la
luz escape a través del revestimiento y por ende, la luz se propagará mayoritariamente a lo largo
del núcleo.
2

1.1. GUÍA DE ONDAS ÓPTICAS
Además es relevante su estructura material (vidrio, pol´ımero, semiconductor, dieléctri-
co) y propiedades f´ısicas como su ´ındice de refracción (de paso o gradiente), el cual se
puede explicar en la siguiente figura
salto
Figura 1.3: Índice de refracción de salto y de gradiente para un sistema f´ısico que consiste de dos
medios (rojo y azul) que poseen distinto ´ındice de refracción.
Una ventaja de usar estas estructuras para la propagación de ondas electromagnéticas
es que hace su transmisión eficiente ya que se reducen las perdidas de energ´ıa asociadas
a la disipación térmica por efecto Joule. Por otra parte, su construcción es mucho más
simple que la de otros dispositivos usados para transmitir ondas electromagnéticas, como
por ejemplo, el cable coaxial.
Una de sus principales limitaciones es que el ancho w de estas estructuras debe ser del
orden de la longitud de onda λ de la onda que queremos propagar, es decir w ∼ λ, y por
ejemplo, si quisiéramos transmitir una onda electromagnética cuya frecuencia es ν = 10−1
MHz, se requerir´ıa la construcción de una gu´ıa de ondas con un ancho w ∼ λ = c/ν = 1
3

CAPÍTULO 1. INTRODUCCI ÓN
Km !, lo cual no es factible.
Otra caracter´ıstica ventajosa de estos sistemas ópticos es que se puede construir gu´ıas
espaciadas con cierta periodicidad donde el´ındice de refracción presenta un comportamien-
to periódico. [26] A estas estructuras se les da el nombre de arreglos periódicos de gu´ıas de
ondas y son útiles puesto que permiten un mejor control sobre el flujo gu´ıado de luz. Un
ejemplo de un arreglo periódico se muestra en la siguiente figura
Figura 1.4: En esta imagen se observa un arreglo periódico de gu´ıas de ondas que consiste en
crear una periodicidad en el ´ındice de refracción a partir de la unión de dos materiales con ´ındice
de refracción distintos (n1, n2).
La propagación de un paquete de onda en un medio de refracción modulado periódi-
camente, puede imitar la dinámica de una part´ıcula cuántica en un potencial periódico.
Esta función potencial restringe el movimiento de esta part´ıcula a una región del espacio,
lo cual se verá más adelante en el desarrollo de este informe.
Potenciales periódicos poseen invarianza de traslación rompiendo el espectro de onda
lineal, lo cual da lugar a la formación de bandas de energ´ıa y brechas prohibidas entre dichas
bandas. En este sentido, la modulación del ´ındice de refracción en sistemas ópticos permite
establecer paralelos sorpredentes con otros sistemas f´ısicos donde parámetros espaciales
son periódicamente modulados.
En particular, la propagación de ondas electromagnéticas en arreglos periódicos de
cristales fotónicos han suscitado un gran interés debido a la similitud con problemas de
F´ısica del estado sólido, tales como por ejemplo, oscilaciones de Bloch, tunelaje de Landau-
Zener en cristales semiconductores, etc.
En esta l´ınea, se basa la presente memoria, la cual aborda un ejemplo de analog´ıa entre
4

1.1. GUÍA DE ONDAS ÓPTICAS
fenómenos clásicos que involucra la propagación de ondas electromagnéticas y fenómenos
de naturaleza cuántica presentes en la f´ısica del estado sólido. Esta se organiza de la
siguiente manera. En el Cap´ıtulo 2 se hace una breve introducción a ciertas analog´ıas entre
la óptica clásica y la mecánica cuántica. En particular, se discute la analog´ıa existente
entre oscilaciones de Bloch de f´ısica del estado sólido y las oscilaciones de Bloch fotónicas
para gu´ıas ópticas. El Cap´ıtulo 3 introduce los conceptos sobre transiciones de Landau-
Zener. En primer lugar se discute la diferencia entre evolución adiabática y no-adibática,
en particular se ve la derivación del llamado Teorema adiabático. Además se ejemplifica
con el análisis de un modelo efectivo de dos niveles, para as´ı concluir con la probabilidad
de transición de Landau-Zener. El cap´ıtulo 4 detalla el sistema f´ısico a analizar, el cual
consiste en la propagación de gu´ıas de ondas en una red óptica periódica. En esta parte, se
utiliza la aproximación paraxial como una herramienta útil para poder resolver la ecuación
adimensional de Schrödinger. Por otra parte, con la ayuda de la fórmula de Landau-Zener,
se halla el coeficiente de transmisión asociado a la probabilidad de transición entre bandas,
lo cual conlleva a fenómenos f´ısicos de gran interés para esta área de la F´ısica. Finalmente
en el Cap´ıtulo 5 se conluye con un breve análisis de los resultados y posibles l´ıneas de
investigación.
5

Cap´ıtulo 2
Análogos óptico - mecánico
cuántico
Los recientes desarrollos teóricos y experimentales sobre analog´ıas óptica cuántica prue-
ban que el estudio de la similitudes y la transferencia de ideas y conceptos entre temas
aparentemente no relacionados en el campo de la f´ısica son muy productivos en el avance
de la enseñanza, en la investigación y la ciencia.
Similitudes entre las ondas ópticas y las ondas mecánicas han sido destacadas en muchas
ocasiones a través del tiempo y esto se remonta a los primeros desarrollos de la f´ısica
cuántica..
2.1. Contexto histórico
La analog´ıa entre la óptica geométrica y la dinámica de part´ıculas Newtonianas expre-
sadas por la similitud formal entre el principio variacional de los rayos ópticas de Fermi,
fue el punto de partida para el nacimiento de la mecánica de ondas después que De Broglie
publicara en 1923 su hipótesis sobre las propiedades ondulatorias de la materia [5]. Los
efectos de onda tales como la interferencia y la difracción tan conocida en las ondas de luz
fueron tomadas de la óptica y aplicadas exitosamente para el explicar el comportamiento
ondulatorio de las part´ıculas como el electrón. Luego del desarollo de la mecánica cuántica
6

2.2. OSCILACIONES DE BLOCH FOT ÓNICAS
y la disponibilidad de fuentes de laser coherente a mediados de los 60, la transferencia de
ideas y conceptos de la ondas mecánicas a la óptica ocurren continuamente hasta nuestros
d´ıas. Por ejemplo, el advenimiento de la integración de fibras ópticas a partir de los años
70, varios formalismos cuánticos tales como métodos integrales de operación y transmi-
sión fueron adoptados masivamente para estudiar la propagación de la luz en estructuras
dieléctricas de gu´ıas de ondas no homogéneas.
En la década pasada, estudios experimentales y teóricos han visto un importante re-
surguimiento particularmente en el área de las analog´ıas ópticas-cuánticas [6], las que han
llamado gran interés. Entre las analog´ıas ópticas-cuánticas podemos mencionar algunos
ejemplos tales como: control coherente de tunelaje entre redes fotónicas [7, 8], la localiza-
ción de la función de onda en el modelo rotor cuántico pateado [9], propagación de ondas
en sistemas cuánticos no-herm´ıticos [10], colapso y resurgimiento de la función de onda [6],
tunelaje de Landau-Zener [11], entre otras.
Una analog´ıa de interés para este trabajo y que discutiremos a continuación es la
llamada oscilación de Bloch fotónica.
2.2. Oscilaciones de Bloch fotónicas
Las oscilaciones de Bloch se atribuyen comunmente a oscilaciones de electrones en un
cristal, sometido a un campo eléctrico uniforme E [18]. A continuación mostraremos la
derivación anal´tica para la ecuación de movimiento de un electrón en presencia de un
campo eléctrico
En un medio periódico la función de onda electrónica se puede escribir usando el Teorema
de Bloch, el cual establece que el autoestado de un electrón viene dado por
ψk(r) = eik·r
uk(r) (2.1)
donde r es la posición del electrón y p = k es su momentum.
7

CAPÍTULO 2. AN ÁLOGOS ÓPTICO - MEC ÁNICO CU ÁNTICO
El Hamiltoniano de este electrón es Hk =
2
2m (−i + k)2
+ U(r), donde U(r) posee
la periodicidad de la red. Si el electrón incrementa levemente su cuasimomento k, en q,
entonces a primer orden en Taylor se obtiene una corrección a su espectro dada por
εn(k + q) = εn(k) + εn(k) · q + .... (2.2)
Por otro lado, para el Hamiltoniano se tiene que
Hk+q = Hk +
2
m
q · (−i + k) +
2
2m
q2
= H0 + H (2.3)
donde la perturbación a primer order en q esta dado por H =
2
m q·(−i +k). Recordemos
también que
εn(k + q) = εn(k) + d3
rψ∗
nH ψn, (2.4)
donde el valor esperado de la perturbación es
d3
ru∗
n,kH un,k = q · ψn(k) | −i | ψn(k) . (2.5)
Al igualar los términos de primer orden de la expansión de Taylor de las ecuaciones (2.2)
y (2.3), y conociendo el operador velocidad ˆv = −im , se llega a
ˆv =
1
εn(k). (2.6)
Si sobre este electrón actúa un campo electr´ıco uniforme E, entonces su ecuación de mo-
vimiento semiclásica es
dp
dt
= −eE, (2.7)
donde p = k, y con solución para k(t)
k = k(0) −
e
Et. (2.8)
Por otro lado, la energ´ıa para un potencial periódico se puede expresar como εn(k) =
n cos(k · a), donde a es el parámetro de la red el cual hace referencia a la distancia entre
8

2.2. OSCILACIONES DE BLOCH FOT ÓNICAS
las celdas unitarias en una estructura cristalina. As´ı se llega a
ˆv = −
n
sin(k · a)a, (2.9)
donde la posición promedio del electrón es
r(t) = dt ˆv (t) =
na
E · a
[cos(k(t) · a) − cos(k(0) · a)] . (2.10)
Puesto que k(t) es lineal en el tiempo, queda demostrado que el electrón oscila bajo la
influencia de un campo eléctrico externo. Un aspecto interesante de este fenómeno es que
sólo es válido en un régimen de pequeños valores de la intensidad del campo eléctrico. Para
mayores valores tiene lugar un nuevo proceso conocido como tunelaje de Landau-Zener que
será discutido en el próximo cap´ıtulo.
Ahora analizaremos las oscilaciones de Bloch en critales fotónicos. Cristales fotónicos
son estructuras donde el ´ındice de refracción var´ıa periódicamente. Esta periodicidad hace
que el sistema posea invarianza de traslación rompiendo el espectro de onda lineal, dando
lugar as´ı a la formación de bandas de energ´ıa y brechas prohibidas entre dichas bandas. Por
tanto, la propagación de la luz en cristales fotónicos queda limitado a ciertas frecuencias.
Como consecuencia, modificaciones del espectro de energ´ıa pueden dar lugar a interesan-
tes fenómenos incluyendo una reflexión total del paquete de onda. En este contexto vale
destacar como al propagar un haz de luz sobre un arreglo de gu´ıas de ondas curvadas [6],
la intensidad del campo eléctrico del haz de luz puede describir oscilaciones transversales a
su dirección de propagación, tal como se muestra en la figura [13]. Aqu´ı la amplitud de la
curvatura juega el mismo rol que hace el campo eléctrico sobre un electrón en un cristal.
Por tanto, estas oscilaciones de Bloch fotónicas ocurren sólo para un régimen de pequeñas
curvaturas de las gu´ıas de ondas. Similar efecto al de una gu´ıa curvada puede generarse
a través de la presencia de un defecto en el ´ındice de refracción, lo cual se abordará en
Cap´ıtulos posteriores.
9

CAPÍTULO 2. AN ÁLOGOS ÓPTICO - MEC ÁNICO CU ÁNTICO
Guias de
ondas
Guias de
ondas
x x
Figura 2.1: a) Imagen muestra dos paquete de ondas moviéndose a lo largo del eje de propagación
de la gu´ıa, z. En a) El paquete oscila transversalmente al eje x describiendo oscilaciones de Bloch.
En b) el paquete de onda se expande y comprime periódicamente a lo largo de z.
10

Cap´ıtulo 3
Transiciones de Landau-Zener
En este cap´ıtulo se analiza las transiciones de Landau-Zener, que corresponden a cruces
no-adiabáticos entre niveles de energ´ıa, los cuales pueden ocurrir cuando un sistema cuánti-
co está sujeto a una fuerza externa. En este proceso el sistema se encuentra inicialmente en
un estado cuántico | ψ0 el cual evoluciona ya sea adiabática o no adiabáticamente hacia
otro estado cuántico final que llamaremos | ψt . En otras palabras, el sistema está sujeto
a una perturbación que depende de un parámetro λ, llamado parámetro de control. Se
estudia el caso con dependencia temporal, es decir, λ → λ(t).
11

CAPÍTULO 3. TRANSICIONES DE LANDAU-ZENER
3.1. Evolución Adiabática y No-adiabática
Supongamos que tenemos un sistema cuántico de dos niveles que evoluciona bajo la
acción de un Hamiltoniano dependiente del tiempo que denotaremos por H = H(λ(t)),
donde λ(t) es el parámetro de control de nuestro sistema, el cual es función del tiempo.
Los autoestados y autoenerg´ıas instantáneos de este sistema satisfacen la ecuación de
autovalores
H | ψn(λ) = En(λ) | ψn(λ) , n = 1, 2 (3.1)
En general la función de onda | Ψ para el estado inicial se puede escribir como
| Ψ =
n=1,2
cn(t)eiθn(t)
| ψn(λ) , ψn(λ) | ψm(λ) = δnm (3.2)
donde θn(t) es la llamada fase dinámica y está dada por
θn(t) = −
1 t
0
En(λ) dτ, λ = λ(t), (3.3)
Los coeficientes cn(t) satisfacen la ecuación
˙cn(t) = −cn ψn(λ) | ˙ψn(λ) −
m=n
cm(t)
ψm(λ) | ˙H | ψn(λ)
Em(λ) − En(λ)
ei(θm(t)−θn(t))
. (3.4)
De la ecuacion anterior se puede inferir que si
ψm(λ) | ˙H | ψn(λ)
Em(λ) − En(λ)
1, es decir las varia-
ciones del Hamiltoniano en el tiempo son muy pequeñas en comparación con las diferencias
entre las bandas de energ´ıa (ver [14] para detalles sobre el Teorema de adiabaticidad), en-
tonces la evolución del sistema se reduce simplemente a
˙cn(t) = −cn ψn(λ) | ˙ψn(λ) , (3.5)
Esta es la llamada aproximación adiabática, la cual se puede lograr haciendo variar
lentamente el parámetro de control en el tiempo donde ˙H = ∂H
∂λ
˙λ. En particular cuando
˙λ ≈ 0, se tiene que, ˙H = ∂H
∂λ
˙λ ≈ 0, obteniendose la Eq.3.5. De esta ecuación se infiere que
los modos de la función de onda en la base de los autoestados instantáneos del Hamiltoniano
12

3.2. TRANSICI ÓN DE LANDAU-ZENER PARA UN SISTEMA DE DOS NIVELES
están desacoplados y por tanto evolucionan simplemente adquiriendo fases, de modo que
| Ψn(t) =| ψn(t) eiθn(t)
eiγn(t)
, (3.6)
donde θn(t) es la fase dinámica y γn(t) es la llamada fase geométrica dada por
γn(t) = −
t
0
ψn(λ) | ˙ψn(λ) dτ, conλ = λ(t) (3.7)
En caso de que la condición
ψm(λ) | ˙H | ψn(λ)
Em(λ) − En(λ)
1 no se satisface, entonces estamos en
presencia de un proceso no adiabático donde pueden tener lugar transiciones entre bandas
de energ´ıas. Una clara ilustración de estas diferencias en la evolución del sistema cuando
var´ıa el parámetro de control λ se muestran en el siguiente esquema [15]
Figura 3.1: Evolución Adiabática y No-adiabática.
3.2. Transición de Landau-Zener para un sistema de dos ni-
veles
Consideremos un sistema cuántico de dos niveles con un parámetro de control λ tal que
el Hamiltoniano se puede escribir de la siguiente forma
HLZ =

 1(λ) ∆/2
∆/2 2(λ)

 , ∆ ∈ R (3.8)
13

donde el término no diagonal representa una brecha (gap) dado por ∆ y los términos
diagonales var´ıan con el parámetro λ y están dados por
1(λ) = 0 + α1(λ − λ0), 2(λ) = 0 + α2(λ − λ0), (3.9)
donde α1 y α2 son factores de proporcionalidad entre las bandas de energ´ıa 1 y 2 para
∆ = 0 y el parámetro de control, respectivamente. Para λ = λ0 se alcanza el mayor
acercamiento entre las bandas (ver Fig.3.2).
El Hamiltoniano dado en (3.8) está escrito en una base que llamaremos base diabática, la
cual está formado por los estados {| 1 , | 2 }, de modo que
(HLZ)ij = i | HLZ | j , | i , | j ∈ {| 1 , | 2 }, (3.10)
Los autovalores del Hamiltoniano (3.8) son
E1,2 =
1
2
1 + 2 ± (α1 − α2)2λ2 + ∆2 , (3.11)
donde ± indican los estados 1, 2, respectivamente. Las autoenerg´ıas dados en (3.11) repre-
sentan curvas hiperbólicas en términos del parámetro λ, mientras que las energ´ıas 1,2(λ)
representan l´ıneas rectas en términos del parámetro λ. Por otra parte, para ∆ = 0 o
λ → ±∞ los autoestados del Hamiltoniano de Landau-Zener coinciden con los estados
diabáticos (no-adiabáticos) | 1 , | 2 (ver detalles en figura 3.2).
Para un sistema de Landau-Zener de dos niveles se tienen las siguientes condiciones
asintóticas para los estados diabáticos (no-adiabáticos) y adiabáticos:
| φ1(−∞) = | 1 , | φ2(−∞) =| 2 (3.12)
| φ1(∞) = | 2 , | φ2(∞) =| 1 (3.13)
Consideremos ahora que él parámetro de control var´ıa en el tiempo de acuerdo a λ(t) = vt,
donde v es la rapidez de cambio. Si asumimos ahora que la función de onda | ψ inicialmente
se prepara en el estado | ψ(t → −∞) =| φ1(−∞) =| 1 , se puede hallar la probabilidad
14

3.2. TRANSICI ÓN DE LANDAU-ZENER PARA UN SISTEMA DE DOS NIVELES
Figura 3.2: Niveles de energ´ıa y tipo de evolución en un sistema de Landau-Zener de dos niveles.
Las curvas hiperbólicas E1,2(λ) corresponden a los autoestados instantáneos del Hamiltoniano de
Landau-Zener, cuyo asintótico está delimitados por las l´ıneas rectas segmentadas correspondientes
a los niveles de energ´ıa 1,2(λ).
de transición no adiabática de terminar en el estado | 2 , para el caso en que λ → ∞. La
expresión matemática para dicha probabilidad es [16, 17]
P|1 →|1 (t → ∞) = | 2 | φ(t → ∞) |2
= 1 − exp −
π∆2
2 |˙1 − ˙2|
= 1 − exp −
π∆2
2 v|α1 − α2|
= 1 − P|1 →|2 , (3.14)
donde P|1 →|2 = PLZ es la probabilidad de transición de una banda a la otra, la cual
es conocida como transición de Landau-Zener [16, 17].
De la análisis de la expresión PLZ se puede derivar varios escenarios. Por ejemplo, si fijamos
∆, la probablidad de transción va depender que tan rápido o lento se var´ıe el parámetro
de control λ. En este caso los comportamiento extremos de la evolución están dados por:
Evolución adiabática: Ocurre cuando v π∆2
2 |α1 − α2|
. Para este caso, la función
15

de onda cambia siguiendo la banda de energ´ıa.
Transición no-adiabático: Tiene lugar cuando v π∆2
2 |α1 − α2|
. Para este caso,
la función de onda evoluciona de manera tal que permanece en el estado inicial no-
adiabático | 1 .
Este criterio nos permite fijar la rapidez v con la cual se debe variar el parámetro de control
λ(t) con el fin de lograr un óptimo resultado.
16

Cap´ıtulo 4
Transiciones entre bandas de
energ´ıa
4.1. Ecuación de Helmholtz Paraxial
A continuación se quiere estudiar la propagación de un haz de luz en un arrreglo
de gu´ıas de ondas. En rigor las ecuaciones de Maxwell y sus derivaciones proporcionan el
marco teórico para una completa descripción de la propagación de ondas electromagnéticas
en medios transparentes. Sin embargo en muchos casos las ecuaciones derivadas de este
análisis resultan complicadas de procesar y simular. Es por eso, que bajo determinadas
condiciones se busca simplificar el estudio usando un marco teórico apropiado. En esta
dirección apunta el uso de la aproximación paraxial.
Consideremos una onda clásica dada por la función Ψ(r, t) que satisface la ecuación de
onda
2
Ψ(r, t) −
1
c2
∂2Ψ(r, t)
∂t
= 0. (4.1)
donde c es la velocidad de propagación de la luz en el vac´ıo. La función Ψ(r, t) puede
espresarse en forma compleja, con la ayuda de otra función U(r, t), tal que
Ψ(r, t) = Re [U(r, t)] , (4.2)
17

CAPÍTULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERGÍA
donde la función U(r, t) satisface la misma ecuación de onda (4.1). Por conveniencia escri-
bimos U(r, t) en forma polar,
U(r, t) = a(r)ei(ωt+ϕ)
, ω, ϕ ∈ R (4.3)
donde ω es la frecuencia, ϕ es la fase constante y a(r) es la amplitud de la onda. Insertando
entonces (4.3) dentro de la ecuación (4.1) se obtiene
2
a(r) + k2
a(r) = 0, k2
=
ω2
c2
, (4.4)
donde la ecuación (4.4) es la llamada ecuación de Helmholtz. Con el fin de simplicar el
análisis se propone el siguiente antsatz
a(r) = A(r)e−ikz
. (4.5)
Este corresponde a una onda que se propaga a lo largo del eje z con una amplitud depen-
diente de r. Reemplazando (4.5) en la ecuación (4.4) se obtiene
2
A(r) − 2ik
∂A(r)
∂z
= 0. (4.6)
Adicionalmente para mayor simplicación asumimos que la amplitud de la onda var´ıa sua-
vemente a lo largo del eje z, approximación comunmente conocida como paraxial [21]. Esto
puede ser expresado algebraicamente como
1
k
∂2A(r)
∂z2
∂A(r)
∂z
, Aproximación paraxial. (4.7)
As´ı mismo se puede definir un Laplaciano transverso que sólo dependa de las coordenadas
x e y, es decir, 2
⊥ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 . Usando entonces la ecuación (4.6) y la aproximación
paraxial (4.7) se obtiene
2
⊥A(r) − 2ik
∂A(r)
∂z
= 0, (4.8)
la cual se conoce como “Ecuación de Helmholtz Paraxial”.
18

4.1. ECUACI ÓN DE HELMHOLTZ PARAXIAL
4.1.1. Hamiltoniano para la ecuación de Helmholtz Paraxial
Para obtener el Hamiltoniano, se parte de la ecuación de Helmholtz (4.4)
2
Ψ(r) +
ω2n2(x, y)
c2
Ψ(r) = 0, (4.9)
donde n(x, y) es el ´ındice de refracción del medio donde se propaga la onda, el cual depende
débilmente de z por lo que se asume que sólo depende de x e y. Considerando un ansatz
de la forma Ψ(r) = ψ(r)eik0z, y reemplazandolo en la ecuación (4.9) se obtiene
2
⊥ψ(x, y) +
∂2ψ
∂z2
+ 2ik0
∂ψ
∂z
− k2
0ψ +
ω2n2
c2
ψ = 0, (4.10)
lo cual puede reescribirse como
−
1
2k0
∂2ψ
∂z2
− i
∂ψ
∂z
=
1
2k0
2
⊥ψ(x, y) +
k0
2
−1 +
ω2n2
k2
0c2
ψ. (4.11)
Definiendo n0 = k0c
ω como el ´ındice de refracción del sustrato la ecuación (4.11) puede ser
expresada como
−
1
2k0
∂2ψ
∂z2
− i
∂ψ
∂z
=
1
2k0
2
⊥ψ(x, y) +
k0
2
n2(x, y)
n2
0
− 1 ψ, (4.12)
donde n(x, y) se refiere al ´ındice de refracción de la gu´ıa de onda.
Por otro lado, la aproximación paraxial permite despreciar el término ∂2ψ
∂z2 quedando
i¯λ
∂ψ
∂z
= −
¯λ2
2n0
2
⊥ψ(x, y) +
n0
2
1 −
n2(x, y)
n2
0
ψ, (4.13)
donde ¯λ = λ
2π = n0
k0
. De esta forma podemos definir un Hamiltoniano semejante al de la
ecuación de Schrödinger [19]
H = −
¯λ2
2n0
2
⊥ +
n0
2
1 −
n2(x, y)
n2
0
, (4.14)
19

as´ı la ecuación (4.13) puede escribirse como
i¯λ
∂ψ
∂z
= Hψ, (4.15)
donde ¯λ juega el rol de y z del tiempo t.
Asumimos ahora que el ´ındice de refracción var´ıa poco en y, es decir, sólo depende de su
valor en x. Por tanto el Hamiltoniano se puede escribir como
H = −
¯λ2
2n0
∂2
∂x2
+
n0
2
1 −
n2(x)
n2
0
, (4.16)
donde se define la función V (x) = n0
2 1 − n2(x)
n2
0
. Ahora bien, dado que la diferencia entre
n0 y n(x) es pequeña, entonces el término n0 + n ≈ 2n0, por lo cual se obtiene
V (x) =
1
2n0
(n0 + n(x)) (n0 − n(x)) ≈
1
2n0
2n0 (n0 − n(x)) = n0 − n(x), (4.17)
as´ı, el Hamiltoniano queda de la siguiente manera
H = −
¯λ2
2n0
∂2
∂x2
+ n0 − n(x) = −
¯λ2
2n0
∂2
∂x2
+ V (x), (4.18)
donde V (x) corresponder´ıa al de un potencial sobre el cual se mueve una part´ıcula.
4.2. Modelo F´ısico
Hoy en d´ıa arreglos de gu´ıas de ondas de ondas son muy factibles de fabricar en el
laboratorio [26]. La propagación de un haz de luz en un arreglo discreto de gu´ıas de ondas
puede describirse a través de un Hamiltoniano como el de la Ec.4.18 usando una aproxi-
mación de largas longitudes de onda. En particular la periódicidad del arreglo de gu´ıas se
puede imitar empleando un potencial V (x) con ´ındice de refracción periódico [26]. Para
V (x) = −2w sin2
x la descripción de la propagación de un haz de luz en la approximación
paraxial queda determinado por la ecuación
i
∂ψ
∂z
+
1
2
∂2ψ
∂x2
+ 2w sin2
xψ = 0, (4.19)
20

4.2. MODELO FÍSICO
donde w representa la amplitud del potencial armónico. Aqu´ı se ha asumido ¯λ = 1 por
simplicidad.
Para el análisis de la propagación de una onda es importante conocer el espectro de energ´ıa.
Para ello la función de onda se propone como ψ(x, z) = eiβz ˜ψ(x), donde β es la constante
de propagación. Puesto que el potencial V (x) representa una red periódica, esto permite
que las soluciones estacionarias de la Ec.4.19 puedan escribirse como funciones de Bloch
[18]
˜ψn,K(x) = eiKx
φn,K(x), (4.20)
donde K es el llamado cuasimomento y las funciones φn,K(x) tienen la periodicidad del
potencial, es decir, φn,K(x + L) = φn,K(x). L es el per´ıodo del potencial. Aqu´ı el ´ındice n
es un entero positivo que etiqueta la banda de energ´ıa.
Por otro la lado la periodicidad φn,K(x) nos permite escribir estas funciones en series
de Fourier,
˜ψn,K(x) = eiKx
l
aK
l ei2lx
, (4.21)
donde l ∈ Z.
Con lo antes dicho, y de acuerdo a la teor´ıa de Bloch [29], la esctrutura de bandas de
eneg´ıas puede determinarse del problema de autovalores
−β
(n)
K aK
l = HaK
l , (4.22)
donde
Hm,l = −
1
2
(2m + K)2
− w δm,l + w
[(δm,l+1 + δm,l−1)]
2
, (4.23)
de cuya diagonalización se pueden obtener los autovalores β
(n)
K . Aqu´ı cabe destacar que
β(n) = −E(n), donde E(n) corresponder´ıan a las energ´ıas de un potencial cuántico.
La figura 4.1 nuestra las bandas de energ´ıas de la cual se deduce que sólo existen
dos bandas de energ´ıa correspondientes al potencial periódico. El resto son parábolas que
permanecen invariantes antes los efectos de la modulación del potencial. Estas parábolas
21

0 1 2
Κ
-10
0
β
0 0.5 1 1.5 2
K
β
Figura 4.1: Panel izquierdo: Bandas de energ´ıas, constante de propagación β vs K. Panel derecho:
Region amplificada del espectro de energ´ıa la cual muestra las dos bandas exclusivas al potencial
per´ıodico. La amplitud del potencial es w = 0,25. En el panel derecho se muestran curvas con
distintos colores para β. Verde: Valor exacto. Azul: Resultado anal´ıtico Ec.4.26. Las curvas son
simétricas con respecto a K = 1, donde sólo se plotea la mitad del espectro a modo de comparar.
corresponden a el estado de movimiento de una part´ıcula libre. El cálculo númerico de las
bandas fue realizada con ayuda del programa Mathematica [30].
Tratemos ahora de encontrar con cierta approximación un resultado análitico para estas
dos bandas de energ´ıa y sus autofunciones. Para ello asumimos el ansatz
ψ = Ae−ix
+ Beix
ei(βz+κx)
, (4.24)
x
n(x)
Figura 4.2: Potencial −V (x) vs x. Perfiles del cuadrado de la intensidad de la luz correspondientes
a las bandas superior e inferior dentro del potencial, respectivamente.
22

y lo sustituimos en la Ec.4.19. Despreciando términos superiores a e±ix e igualando los
términos del mismo exponente obtenemos el sistema de ecuaciones acopladas
−β


A
B

 =


[(κ − 1)2]/2 − w w/2
w/2 [(κ + 1)2] − w




A
B

 ,
de donde se obtiene la ecuación secular
[(κ − 1)2]/2 − w + β w/2
w/2 [(κ + 1)2]/2 − w + β
= 0.
A partir de esta último ecuación secular, obtenemos la siguiente relación de dispersión
λ2
− (κ2
+ 1)λ +
(κ2 − 1)2 + w2
4
= 0, (4.25)
donde λ = −β + w. Hallando las ra´ıces de Ec.4.25 obtenemos para β
β±(κ) =
±
√
w2 + 4κ2 − 1 − κ2
2
+ w. (4.26)
Las autofunciones respectivas se puede facilemente derivar de sustituir los autovalores
en la ecuación secular y obtener los valores para A y B. Después de un poco de algebra se
obtiene
ψ± =
2κ ±
√
w2 + 4κ2
w
e−ix
− eix
ei(β±κ)z+κx)
, (4.27)
donde ψ+ (ψ−) corresponde a la banda superior (inferior). Notese que para κ = 0,
β+ − β− = w, lo cual corresponde al máximo acercamiento entre las bandas inferior y
superior. Esto significa que hay un corrimiento o detuning entre el parámetro κ propuesto
en nuestro ansatz y el quasimomento de la red periódica K, es decir K = κ+1. Mas allá de
este detuning, podemos comprobar que la relación de dispersion obtenida anal´ıticamente
concuerda perfectamente con el resultado exacto del cálculo de las bandas tal como muestra
la Fig.4.1.
Por otro lado, a partir de las Ecs.4.27 se obtiene para κ = 0, es decir K = 1, las
amplitudes de los modos estacionarios de las bandas superior e inferior, |ψ+| = 2 sin x
23

y |ψ−| = 2 cos x, respectivamente. La Fig. 4.2 muestra las curvas correspondientes a los
cuadrados de las intensidades de la luz en las dos bandas, donde además aparece ploteado
el potencial periódico. De comparar las curvas es fácil inferir que la intensidad de la luz en
la banda superior está concentrada entre los centros de las gu´ıas de ondas, mientras que la
intensidad de la luz en la banda superior se concentra sobre las gu´ıas de ondas.. De ah´ı que
preparar la función en una banda sea relativamente fácil al diseñar un haz de luz con una
intensidad |ψ+| o |ψ−|. As´ı mismo a la salida del arreglo óptico se puede determinar en
que banda se encuentra o si corresponde a una superposición, al proyectar la función de
onda a la salida del arreglo ψout sobre uno de estos estados, | ψout|ψ± |2. Esto último nos
permite determinar si hay transiciones entre bandas de energ´ıa en caso de que hubiesen.
4.2.1. Defecto puntual: Cambio local del ´ındice de refracción
En lo siguiente nos interesa analizar la transición que experimenta un paquete de onda
entre bandas de energ´ıas originadas por la presencia de defectos puntuales aislados en un
arreglo periódico. El defecto puntual que analizaremos a continuación corresponde a un
salto en el ´ındice de refracción [20]. Cambios en el ´ındice de refracción puntual puede
lograrse de mútiples maneras. Una forma sencilla de lograr dicho cambio sin alterar la
estructura periódica de forma permanente, es a través de la aplicación de un campo eléctrico
local. Dentro de la aproximación de largas longitudes de ondas la descripción del salto en
el continuo es remplazado por una rampa de pendiente −α y altura A, tal como se muestra
en la figura 4.3 [20].
En este nuevo escenario, es conveniente para un posterior análisis separar el potencial
en partes: uno que representa un salto y otro periódico representa el arreglo periódico de
gu´ıas de ondas. Con esto podemos reescribir la ecuación adimensional de Schrödinger
i
∂ψ
∂z
+
1
2
∂2ψ
∂x2
+ W(x) + 2w sin2
x ψ = 0. (4.28)
24

Banda Inferior
Banda Superior
Figura 4.3: Ilustración de la combinación de dos gu´ıas de ondas con un salto en el ´ındice de
refracción , la amplitud del “salto” es A el cual aparece reemplazado por una rampa de pendiente
−α.
El término W(x) da cuenta del salto en el potencial cuya expresión está dado por
W(x) =



0 si x < 0,
−αx si 0 < x < A/α
−A si x > A/α,
,
A : altura del salto
α : pendiente
, (4.29)
A continuación estudiaremos la transición entre la banda de arriba y la banda de abajo
donde está salto representado por una rampa (0 < x < A/α). Mediante una transformación
de la forma ψ → ψ(x, z)eizW(x), de la ecuación (4.28) se obtiene
i
∂ψ
∂z
+
1
2
∂
∂x
− izα
2
ψ + 2w sin2
x ψ = 0, (4.30)
donde α representa la rapidez con que cambia el momento en la Ec.4.30. Como resultado
si se toma un punto inicial en la banda inferior es posible demostrar la existencia de una
transición a la banda superior mediante el control de la amplitud del defecto (ver Fig. 4.4).
De hecho, del análisis de esta Fig.4.4 se infiere que para que ocurra una transición desde
la banda inferior a la banda superior, la amplitud del salto debe satisfacer la condición
∆β + w < A < ∆β + w + d, (4.31)
25

0 1 2
K
β
0 1 2
K
β
0 1 2
K
β
A
A
Estado Inicial
Estado Final
d
Figura 4.4: Esta figura nos muestra el potencial de salto en la parte superior además de las dos
bandas y el tunelaje en términos del gap w, la amplitud del salto A, el ancho de la banda superior
d.
donde ∆β = βK=1 − βK=Kinicial
. La cota inferior se refiere al m´ınimo valor necesario que
debe tener A para alcanzar la banda superior. En cambio, la cota superior indica el valor
máximo para la amplitud del salto a partir del cual, la banda inferior queda por debajo de
la amplitud de la barrera y tiene lugar una reflexion total.
En la próxima sección se analiza cual es la probabilidad de esta transición.
4.2.2. Aproximación de dos modos
Como las transiciones entre bandas ocurren alrededor de los puntos donde se evitan las
bandas, podemos obviar el resto de las bandas de energ´ıas y concentrarnos alrededor del
punto K = 1. Por lo que en buena aproximación la función de onda puede escribirse como
superposición de los modos de las bandas inferior y superior.
Proponemos entonces para la función de onda el siguiente ansatz [32]
ψ(x, z) = a(z)eiKx
+ b(z)ei(K−2)x
. (4.32)
26

Insertando este ansatz en la ecuación (4.28), se obtiene
i ˙a(z)eiKx
+ ˙b(z)ei(K−2)x
= −
1
2
iKa(z)eiKx
+ i(K − 2)b(z)ei(K−2)x
− iαt
2
−w a(z)eiKx
+ b(z)ei(K−2)x
+
w
2
e2ix
+ e−2ix
a(z)eiKx
+ b(z)ei(K−2)x
. (4.33)
El desarrollo del segundo término de la Ec.4.33 es
iKa(z)eiKx
+ i(K − 2)b(z)ei(K−2)x
− iαt
2
= −K2
a2
(t)e2iKx
−(K − 2)2
b2
(z)e2i(K−2)x
+ α2
z2
+ 2Ka(z)eiKx
αz + 2(K − 2)b(z)ei(K−2)x
αz +
2K(K − 2)a(z)b(z)e−2ix
+ 2a(z)eiKx
αz − 2b(z)ei(K−2)x
αz. (4.34)
Igualando los términos de la Ec.4.33 con exponentes del tipo eiKx y ei(K−2)x y utilizando
la expansión Ec.4.34 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
i
da
dz
= −αzaeiKx
+
w
2
b, (4.35)
i
db
dz
= αzbei(K−2)x
+
w
2
a, (4.36)
donde se acoplan los modos a(z) y b(z). Haciendo tender K → 1, se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones
i
da
dz
= −αza +
w
2
b, (4.37)
i
db
dz
= αzb +
w
2
a, (4.38)
Este sistema de ecuaciones se puede escribir matricialmente, para ello se define αz = ε0 y
se define la matriz
H =


−ε0 w/2
w/2 ε0

 , (4.39)
y el estado
ψ =


a(z)
b(z)

 , (4.40)
27

de modo que el sistema de ecuaciones acopladas (4.38) se puede reescribir como idψ
dz = Hψ.
De acuerdo a lo visto en secciones anteriores, la probabilidad de transición entre la banda
inferior y superior para el Hamiltoniano efectivo Ec.(4.39) se puede escribir de la forma
P−→+(z → ∞) = e−πw2
2α , (4.41)
donde (−) representa la banda inferior y (+) da cuenta de la banda superior. Notese que
esta fórmula sólo está determinado por los parámetros α y w.
Sin embargo al incluir un defecto (barrera) se debe tener en cuenta que existe parte de
la func´ıon de onda que se refleja y otra que se trasmite.
4.2.3. Coeficiente de transmisión
Ahora calcularemos el coeficiente de transmisión para la intensidad la onda transmi-
tida desde la banda inferior a la banda superior. Para ello definiremos el coeficiente de
transmisión como
T = probabilidad de transición ×
intensidad incidente
intensidad total
= P−→+(z → ∞)
I incidente
Itotal
, (4.42)
donde la probabilidad de transición de Landau-Zener está dada por
P−→+(z → ∞) = e−π w2
4α . (4.43)
Dado que la onda se puede escribir como
Ψ± =
2κ ±
√
w2 + 4κ2
w
e−ix
− eix
ei(β±z+κx)
= C±e−ix
+ D±eix
, (4.44)
donde C± y D± están asociadas a las amplitudes de probabilidad de las ondas planas e−ix
y eix, respectivamente, donde ± etiquetan las bandas superior e inferior. La intensidad
total para la banda inferior está dada por
Itot = |C−|2
+ |D−|2
, (4.45)
28

usando la ecuaci´on (4.44) se obtiene
|C−|2
+ |D−|2
=
2κ −
√
w2 + 4κ2
2
w2
+ 1 =
2κ −
√
w2 + 4κ2
2
+ w2
w2
. (4.46)
Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que la intensidad de la onda incidente se
puede normalizar a uno. As´ı I incidente = 1, con lo cual se obtiene
T =
w2
2κ −
√
w2 + 4κ2
2
+ w2
e−π w2
4α . (4.47)
29

4.3. Análisis del coeficiente de transmisión
El coeficiente de transmisión T(α, w, κ) dado en (4.47) es una función de tres parámetros
α (aceleración), w (ancho del gap) y k (número de onda de tunelaje). Como resultado si
se fija, el número de onda κ o el ancho del gap w se obtienen los siguientes gráficos
(a) Para κ = 0,2
Figura 4.5: En este gráfico se muestra el comportamiento del coeficiente de transmisión en función
de los parámetros α y w, lo cual define la supercie de la figura izquierda. Sobre la superficie se
grafican las curvas asociadas a distintos valores del ancho del gap w manteniendo κ = 0,2. En
la figura de la derecha se puede observar el comportamiento del coeficiente de transmisión para
κ = 0,2 y distintos valores del gap w.
Este gráficos representan la transmitividad (coeficiente de transmisión) de Landau-
Zener para distintos valores de la amplitud del potencial w. Se observa que para
valores pequeños de w la transmisión es mayor.Por otro lado, mientras más ancho
sea el gap, la transmisión es menor.
(b) Para w = 0,5
30

4.3. AN ÁLISIS DEL COEFICIENTE DE TRANSMISI ÓN
Figura 4.6: En este gráfico se muestra el comportamiento del coeficiente de transmisión en función
de los parámetros κ y α, lo cual define la supercie de la figura izquierda. Sobre la superficie se grafican
las curvas asociadas a distintos valores de α, manteniendo w = 0,5. En la figura de la derecha se
puede observar el comportamiento del coeficiente de transmisión para w = 0,5 y distintos valores
de α.
31

Cap´ıtulo 5
Conclusiones
En este proyecto se investigó el problema del tunelaje Landau-Zener para un paquete
de onda que se propaga en una red periódica en presencia de un salto en el ´ındice de
refracción. Es decir, como un haz de luz puede, inducido por un defecto, transitar de una
banda a otra mientras se propaga en un arreglo périodico óptico.
Para este análisis determinamos primeramente las bandas de energ´ıa numéricamente. Pos-
teriormente, con el objetivo de obtener información acerca de las autofunciones derivamos
anal´ıticamente la relación de dispersión, as´ı como las autofunciones. Esto permitió obtener
información sobre la preparación del haz de luz sobre la bandas de energ´ıa. Adicionalmen-
te, usando un método matemático de aproximación se obtuvo un Hamiltoniano efectivo
de donde se derivó una expresión para la probabilidad de transiciones entre bandas de
energ´ıas. Como resultado importante se llega a una expresión para la transmitividad que
está determinado por la amplitud del potencial periódico y del salto en el ´ındice de refrac-
ción, as´ı como también por el número de onda del paquete de onda que se propaga.
Lo abordado en esta memoria puede extenderse a la propagación de un haz de luz en un
medio con propiedades de emisión y absorción.
El estudio de analog´ıas ópticas similares a estas pudieran formar parte de dispositivos
ópticos de las nuevas tecnolog´ıas en el futuro.
32

Bibliograf´ıa
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