El documento presenta una discusión entre un profesor y sus estudiantes sobre los conceptos de mensurable, conmensurable e inconmensurable. El profesor guía a los estudiantes a través de preguntas para que lleguen a las definiciones correctas. Se explica que dos objetos son conmensurables si pueden medirse con la misma unidad o escala, mientras que son inconmensurables si su relación es irracional y no tienen una medida en común. Al final, los estudiantes logran entender la diferencia entre números racionales e irracionales y cómo esto

1. LA INCONMENSURABILIDAD
P (profesor). ¿Alguien puede decirme el significado de la palabra mensurable?
E1 (Estudiante1). Que se puede medir.
P. ¿Podrías darme un ejemplo?
E1. Algo que se puede medir, la estatura de las personas…
P. ¿Y cómo realizarías esta medida?
E1. Utilizaría un metro.
E2 (Estudiante 2). O la cinta de una modista.
P. Cuando hablas del metro haces referencia al instrumento de medida, que se llama
cinta métrica y cuya unidad es el metro. Es bueno aclarar esto.
De acuerdo con lo que acabas de decir, ¿Habrá algo que no se pueda medir usando este
tipo de escalas o comparaciones?
E1. Este, las cosas muy pequeñas.
P. ¿Me podrías decir cuáles son estas cosas muy pequeñas?
E2. Las que no vemos a simple vista.
E1. Los microbios o los gérmenes.
P. Sí es cierto, no podemos medir lo que ustedes llaman las cosas muy pequeñas, entre
las que están los virus, las bacterias, los granos de arena, las partículas de polvo,
etcétera, con este tipo de escala, es decir utilizando el metro como unidad de medida,
pero sí hay otras escalas con las que podemos medirlas.
¿La distancia de la tierra a la luna la podemos medir con un metro?
E2. No. Sería difícil.

2. P Así es. Necesitamos otra unidad de medida y distintos instrumentos para lograrlo.
¿Me podrías decir si existe algo que no pueda ser medido físicamente, es decir utilizando
nuestros órganos de los sentidos?
E1. La alegría o la tristeza, creo que no se pueden medir así.
P. Definitivamente no las podemos medir de esta forma.
Entonces queda claro que mensurable es aquello que se puede medir y medir se refiere
a comparar una cantidad con su unidad o patrón correspondiente, para saber cuántas
veces la unidad o patrón está contenido en la primera. Ahora bien: ¿Qué significa
conmensurable?
E1. Que se puede medir.
P. Pero si esto es cierto, significaría lo mismo que mensurable. ¿Podrías ser más
específico?
E1. La palabra“con”debe agregarle algo más. Pero no lo sé.
E2. Creo que además de que se pueda medir hay otra cosa.
P.¿Existen objetos distintos que pueden ser medidos con la misma escala o patrón?
E1. Sí. Claro.
P. ¿Qué clase de objetos?
E1. Uno largo y otro corto.
P. ¿Podrías darme un ejemplo?
E2. La estatura, si yo mido a mis compañeros puedo saber quién es más alto que otro.
P. Muy bien, entonces, ¿qué significa que dos objetos sean conmensurables?
E1. Que los puedo comparar.
E2. Son aquellos que tienen una medida común.

3. P. ¿Hay alguna duda sobre lo que acabamos de decir?
E3 (Estudiante 3). No entiendo, me puede explicar de nuevo.
P. Les defino lo qué es conmensurabilidad. Es la presencia de una unidad común de
medida que permite una medición directa y exacta entre dos magnitudes o variables.
E3. Profe, mi estatura y mi gusto musical son conmensurables.
E2. ¿Cómo los puedo comparar?
E1. No hay manera de comparar una cosa con la otra, porque no hay medidas que las
puedan relacionar.
P. Podemos decir entonces que la estatura de la persona con respecto a su gusto
musical son inconmensurables.
En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos números
conmensurables. Es decir:
Dos números reales, a y b, que no sean cero, son conmensurables sólo cuando la razón
a/b es un número racional. (Se escribe en el tablero). Ahora:
Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.
E3. No entiendo. ¿Puede repetir profe?
P. Ok. ¿Quién puede definir lo que es un número real?
E2. Los números reales son el conjunto de todos los números.
P. ¿Y cuáles son esos números?
E1. Los números racionales y los irracionales.
P. ¿Qué son números irracionales?
E3. No tienen que ver con las fracciones, eso es lo que recuerdo.
E2. Si, pero también con la repetición de algunos números decimales.

4. P. Los irracionales tienen que ver con estos aspectos, pero, ¿De qué manera los
relacionamos para definir los números irracionales?
E1. Bueno yo recuerdo que los números racionales tienen que ver con las fracciones, es
decir que los irracionales no son fracciones.
P. Con lo que acaba de plantear el compañero, me pueden decir: ¿Cuál es la diferencia
entre racionales e irracionales?
E2. Que los números irracionales no se pueden escribir como fracciones.
P. ¿Lo dicho anteriormente sobre la repetición de los números decimales como se
relaciona con lo que acabas de decir?
E3. La parte decimal sigue hasta el infinito sin repetirse.
E2. Un número irracional no puede representarse como una fracción y su parte decimal
sigue para siempre sin repetirse.
P. ¿Cómo podemos plantear esto de otra forma?
E1. Que un número irracional no se puede escribir en forma de razón o cociente y los
decimales que aparecen no siguen ningún patrón.
P. ¿Qué tiene que ver esto con la inconmensurabilidad?
E2. Que cuando la razón entre dos números a y bda como resultado un número irracional,
entonces se dice que estos dos números son inconmensurables.
P. Es una buena afirmación. Hoy han entendido el concepto de inconmensurabilidad en
las matemáticas. ¡Felicitaciones!

5. REFERENCIAS
ACOSTA, C. La pregunta socrática como facilitadora del desarrollo del pensamiento.
Psicología desde el Caribe. Universidad del Norte, N° 1: 7 – 20, 1997.
Gustavo Sanabria