Ae4 2-mat.fin2

UUUUUUUUUUUUNNNNNNNNNNNNIIIIIIIIIIIIVVVVVVVVVVVVEEEEEEEEEEEERRRRRRRRRRRRSSSSSSSSSSSSIIIIIIIIIIIIDDDDDDDDDDDDAAAAAAAAAAAADDDDDDDDDDDD CCCCCCCCCCCCEEEEEEEEEEEENNNNNNNNNNNNTTTTTTTTTTTTRRRRRRRRRRRRAAAAAAAAAAAALLLLLLLLLLLL DDDDDDDDDDDDEEEEEEEEEEEELLLLLLLLLLLL EEEEEEEEEEEECCCCCCCCCCCCUUUUUUUUUUUUAAAAAAAAAAAADDDDDDDDDDDDOOOOOOOOOOOORRRRRRRRRRRR
FFFFFFFFFFFFAAAAAAAAAAAACCCCCCCCCCCCUUUUUUUUUUUULLLLLLLLLLLLTTTTTTTTTTTTAAAAAAAAAAAADDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDEEEEEEEEEEEE CCCCCCCCCCCCIIIIIIIIIIIIEEEEEEEEEEEENNNNNNNNNNNNCCCCCCCCCCCCIIIIIIIIIIIIAAAAAAAAAAAASSSSSSSSSSSS AAAAAAAAAAAADDDDDDDDDDDDMMMMMMMMMMMMIIIIIIIIIIIINNNNNNNNNNNNIIIIIIIIIIIISSSSSSSSSSSSTTTTTTTTTTTTRRRRRRRRRRRRAAAAAAAAAAAATTTTTTTTTTTTIIIIIIIIIIIIVVVVVVVVVVVVAAAAAAAAAAAASSSSSSSSSSSS
IIISSSEEEDDD
SOLUCIONARIO SEGUNDO TRABAJO: MATEMÁTICA FINANCIERA II
Elaborado por: Ing. Alfred Dieter Kolb Alvarado M.B.A.
1
Periodo: Octubre 2009 – Marzo 2010
Materia: Matemática Financiera II
Tarea para entregar 1 de 2
EJERCICIOS VAN, TIR, TASA REAL
1.- Indique los conceptos:
- Proyectos convencionales: Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo
que representa la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos
positivos hasta el final de la vida útil. Ejemplo de esto es la compra de una acción o
bono. Los criterios de aceptación TIR y VAN coinciden.
- Proyectos mutuamente excluyentes: Cuando de un conjunto de proyectos se
elige un proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa,
por lo que se deja de lado los otros proyectos, se decide por el que genere un
mayor rendimiento. Puede generar decisiones contrarias del TIR y VAN.
- Costo de oportunidad: Es la tasa o valor que se deja de percibir al no tomar esa
opción de inversión y colocarla en otra. Generalmente se utiliza cuando el dinero es
propio.
- Costo de capital: Es la tasa o valor que se debe cancelar por la utilización del
dinero que fue tomado como un crédito para financiar una inversión en un
proyecto.
- VAN (Valor Actual Neto ó Valor presente neto): Es la suma de los flujos netos
de caja actualizados, menos la inversión inicial. El proyecto de inversión, según
este criterio, se acepta cuando el valor presente neto es positivo, dado que agrega
capital a la empresa.
- TIR (Tasa Interna de Rentabilidad ó Tasa Interna de Retorno): Es la tasa que
hace que el valor presente neto sea igual a cero, o tasa que iguala la inversión
inicial con la suma de los flujos netos actualizados. Según la TIR, el proyecto es
rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de capital, dado que la
empresa ganará más ejecutando el proyecto, que efectuando otro tipo de inversión.
- Payback (Periodo de recuperación de la inversión): Es el tiempo necesario para
recuperar la inversión inicial. Según este criterio, el proyecto es conveniente
cuando el período de recupero es menor que el horizonte económico de la
inversión, dado que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo
total. Existen dos métodos: Payback contable y Payback Discount ó Periodo de
Recuperación Descontado.

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- Payback Contable: Considera los flujos contables para el cálculo del tiempo de
recuperación de la inversión.
- Payback Descontado: Considera los flujos actualizados para el cálculo del
tiempo de recuperación de la inversión.
- IR: Este indicador nos da el número de unidades monetarias que el proyecto
genera por cada unidad monetaria invertida.
- Relación Beneficio – Costo: Este indicador es utilizado en proyectos de carácter
social.
- Tasa real: Cuando existe inflación, la tasa efectiva, no expresa el verdadero
rendimiento de una operación financiera, entonces se convierte en una tasa
aparente, pues parte del rendimiento es consumido por la inflación. La tasa real es
la que expresa el poder adquisitivo de la tasa de interés.
Por lo expuesto anteriormente, las tasas de interés real influyen significativamente
en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamientos, y en
las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad.
El economista Irving Fisher estudió la relación entre la tasa efectiva aparente, la
tasa de inflación y la tasa real, llegando a obtener la siguiente fórmula para
encontrar la tasa de interés real.
r = Tasa efectiva - Tasa de inflación x 100
1 + Tasa de inflación
i – d
r = 100
1+ d Fórmula de Irving Fisher
(La respuesta da en %)
2.- WARNER S.A. está analizando un proyecto de inversión con un costo de
capital del 9.76% a.c.s y el siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.
Año 0 1 2 3 4 5
Flujo de efectivo
(en miles de $)
-100 25 50 50 25 10
a. Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto?
b. Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto?
c. Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto?
d. Calcule el IR e interprete?

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Transformamos la tasa nominal a efectiva anual
j = 9,76% a.c.s.
(1+ 0,0976/2)2
= (1+i) i = 10% anual
a) VAN
VANr = -100 + 25 + 50 + 50 + 25 + 10 .
(1+r) (1+r)2
(1+r)3
(1+r)4
(1+r)5
VAN10% = -100 + 22,73 + 41,32 + 37,57 + 17,08 + 6,21
VAN10% = 24,90 VAN10% > 0, entonces conviene realizar la inversión
b) TIR Interpolo
R VANr
0,10 24,90
0,20 0,566 P2(0,566 ; 0,20)
0,21 -1,446 P1(-1,446 ; 0,21)
P (0 ; y)
y = y1 + (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
y = 0,21 + (0 + 1,446) (0,20 - 0,21) = 0,2028 TIR = 20,28%
(0,566+1,446) TIR > Cc ; 20,28% > 10%
Conviene la inversión.
c) PAYBACK DESCONTADO
Sumo los flujos descontados al costo del capital de los años hasta antes que supere el
valor de la inversión de $100, entonces los 2 primeros años que suman 64,05; saco la
diferencia que falta para llegar a 100, lo que da 35,95 que es lo que debo obtener el
próximo año, entonces con regla de tres veo el tiempo en el que tengo ese valor dentro
del lapso del segundo al tercer año.
37,57 12 meses
35,95 x x = 11,48 meses
PAYBACK = 2 AÑOS 11 MESES.
d) IR IR = (22,73+41,32+37,57+17,08+6,21)/100 = 124,91/100 = 1,25
El proyecto genera $1,25 por cada dólar invertido, es conveniente IR >1.

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3.- A un inversionista se le presentan dos proyectos alternativos, A y B, con los
siguientes flujos de efectivo al final de cada año. Cada proyecto requiere una
inversión de $200.000. Cuál proyecto se escogería si:
a) La tasa es del 6% anual
b) La tasa es del 8,75% anual Calcular
Año 1 2 3 4
Proyecto A $80.000 $70.000 $60.000 $35.000
Proyecto B $30.000 $40.000 $40.000 $150.000
Proyecto A
Año 0 1 2 3 4
Flujos -200 80 70 60 35
VANi% -200 80/(1+i) 70/(1+i)2
60/(1+i)3
35/(1+i)4
Tasa = 6%
VAN6% -200 75,47 62,30 50,38 27,72 = 15,87
PAYBACK
3 Años 5,13
meses
3 Años -> 188,15 200 – 188,15 = 11,85
27,72 12 MESES
11,85 X = 5,13 meses
IR (75,47+62,30+50,38+27,72)/200 = 215/200 IR = 1,08
Tasa = 8,75%
VAN8,75% -200 73,56 59,19 46,65 25,02 = 4,42
PAYBACK
3 Años 10,36
meses
3 Años -> 178,40 200 – 178,40 = 21,60
25,02 12 MESES
21,6 X = 10,36 meses
IR (73,56+59,19+46,65+25,02)/200 = 204,42/200 IR = 1,02
TIR y=i x=Vani%
0,08 7,44 P2 y = y1+(x-x1)(y2-y1)/(x2-x1)
0,10 -0,44 P1 P (0,TIR)
y = 0,10+(0+0,44)(0,08-0,10)/(7,44+0,44) TIR = 9,89%
Proyecto B
Año 0 1 2 3 4
Flujos -200 30 40 40 150
VANi% -200 30/(1+i) 40/(1+i)2
40/(1+i)3
150/(1+i)4
Tasa = 6%
VAN6% -200 28,30 35,60 33,58 118,81 = 16,30
PAYBACK
3 Años 10,35
meses
3 Años -> 97,48 200 – 97,48 = 102,52
118,81 12 MESES
102,52 X = 10,35 meses
IR (28,30+35,60+33,58+118,81)/200 = 216,29/200 IR = 1,08
Tasa = 8,75%
VAN8,75% -200 27,59 33,82 31,10 107,24 = -0,25
No
conviene al
8,75%

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PAYBACK 4 Años -> 199,75 En el tiempo de vida del proyecto no se recupera la inversión
IR (27,59+ 33,82+31,10+107,24)/200 = 199,75/200 IR = 0,999
TIR y=i x=Vani%
0,08 4,07 P2 y = y1+(x-x1)(y2-y1)/(x2-x1)
0,10 -7,16 P1 P (0,TIR)
y = 0,10+(0+7,16)(0,08-0,10)/(4,08+7,16) TIR = 8,73%
TIR < 8,73 No conviene
Decisión: Por tratarse de proyectos mutuamente excluyentes elijo por rentabilidad
y a las dos tasas en más conveniente el proyecto A. TIR A > TIR B
4.- Panasa S.A. está considerando dos proyectos de inversión mutuamente
excluyentes, con un costo de capital del 14% y los siguientes flujos de fondos
esperados.
Año 0 1 2 3 4 5
Proyecto A
Flujo de efectivo
(en miles de $)
-100 30 40 50 40 30
Proyecto B
Flujo de efectivo
(en miles de $)
-150 45 60 75 60 60
Cuál proyecto debe emprender, si es que hay alguno? Justifique su respuesta.
Cc = 14%
Proyecto 1
Calculo del VAN
VANr = -100 + 30 + 40 + 50 + 40 + 30 .
(1+r) (1+r)2
(1+r)3
(1+r)4
(1+r)5
Proyecto 2
Calculo del VAN
VANr = -150 + 45 + 60 + 75 + 60 + 60 .
(1+r) (1+r)2
(1+r)3
(1+r)4
(1+r)5
VAN14% = -100 + 26,316 + 30,779 + 33,749 + 23.683 + 15,581 VAN14% = -150 + 39,474 + 46,168 + 50,623 + 35,525 + 31,162
VAN14% = 30,108 Conviene la inversión VAN > 0 VAN14% = 52,952 Conviene la inversión VAN > 0
Calculo de la TIR
r VANr
0,14 30,108
0,28 -4,674
0,21 10,564
0,25 1,414 P2(1,414 ; 0,25)
0,265 -1,706 P1(-1,706 ; 0,265)
P (0 ; y)
Interpolo
y = y1 + (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
y = 0,265 + (0 + 1,706) (0,25 - 0,265) = 0,2568
(1,414+1,706)
Calculo de la TIR
r VANr
0,14 52,952
0,28 -2,646 P1(-2,646 ; 0,28)
0,25 7,037
0,27 0,472 P2(0,472 ; 0,27)
P (0 ; y)
Interpolo
y = y1 + (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
y = 0,28+ (0 + 2,466) (0,27 - 0,28) = 0,2715
(0,472+2,646)
TIR = 27,15% TIR > Cc ; 27,15% > 14%

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TIR = 25,68% TIR > Cc ; 25,68% > 14%
Calculo del PAYBACK DESCONTADO
Sumo los flujos descontados al Cc de los 3 primeros años =
90,844 resto de la inversión inicial de 100 = 9,156, entonces
con regla de tres veo el tiempo en el que tengo ese valor dentro
del lapso del tercer al cuarto año.
23,683 12 meses
9,156 x x = 4,64 meses
PAYBACK = 3 AÑOS 4 MESES
Calculo del PAYBACK DESCONTADO
Sumo los flujos descontados al Cc de los 3 primeros años =
136,265 resto de la inversión inicial de 150 = 13,735, entonces
con regla de tres veo el tiempo en el que tengo ese valor dentro
del lapso del tercer al cuarto año.
35,525 12 meses
13,735 x x = 4,64 meses
PAYBACK = 3 AÑOS 4 MESES
Como son proyectos excluyentes ejecuto el que me da más rentabilidad que para el ejercicio es el
proyecto b.
5.- Argus Cía. Ltda. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión
es rentable:
Inversión = $110.000
Ingreso anual promedio = $32.000
Costo anual de operación = $ 7.000
Depreciación anual = $ 22.000
a) Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5
años y se considera como costo de oportunidad el 9.57% a.c.m.
b) Considere una tasa de impuestos del 8%, calcule su valor actual neto y la TIR
con los flujos después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad
a.
AÑO 0 1 2 3 4 5
INVERSIÓN
INICIAL
-110,000
INGRESO
ANUAL
32,000 32,000 32,000 32,000 32,000
- COSTO ANUAL
OPERACIÓN
7,000 7,000 7,000 7,000 7,000
- DEPRECIACIÓN 22,000 22,000 22,000 22,000 22,000
= UTILIDAD SIN
IMPUESTOS
3,000 3,000 3,000 3,000 3,000
UTILIDAD +
DEPREC. =
FLUJO NETO DE
CAJA ANTES IMP.
-110,000 25,000 25,000 25,000 25,000 25,000
Transformo la tasa nominal a tasa efectiva anual
j = 9,57% a.c.m.
(1+ 0,0957/12)12
= (1+i) i = 10% anual

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FORMULA PARA EL CALCULO DEL VAN
VAN = - II + FNE 1 + FNE 2 + FNE 3 +.......... + FNE N
(1+r)1
(1+r)2
(1+r)3
(1+r)n
Primeramente se procede a calcular el FNE para obtener el VAN.
CALCULO DEL VAN, (VAN1 Y VAN2 PARA EL CALCULO DE LA TIR)
i = yj VANi = xj
0,080 -10.182,25
0,040 1.295,56
0,060 -4.690,91
0,050 -1.763,08
0,045 -250,58 P1
0,042 673,00 P2
VAN10%= -15.230,33
VAN10% < = 0; no conviene la inversión
TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
TIR = 0,045 + (0 - (-250,58)) 0,042 – 0,045 . = 0.0442
673,00 + 250,58
TIR = 4.42%
La inversión no es rentable ya que el costo de oportunidad del dinero de 10% es > la TIR
de 4.42%.
b.
AÑO 0 1 2 3 4 5
INVERSIÓN
INICIAL
-110,000
INGRESO
ANUAL
32,000 32,000 32,000 32,000 32,000
- COSTO ANUAL
OPERACIÓN
7,000 7,000 7,000 7,000 7,000
- DEPRECIACIÓN 22,000 22,000 22,000 22,000 22,000
VAN
r = i
0 - 110,000
1
FNE= 25,000 .
( 1 + i)1
2
FNE=25,000 .
( 1 + i)2
3
FNE=25,000 .
( 1 + i)3
4
FNE=25,000 .
( 1 + i)4
5
FNE=25,000 .
( 1 + i)5
VAN

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= UTILIDAD SIN
IMPUESTOS
3,000 3,000 3,000 3,000 3,000
- IMPUESTOS 240 240 240 240 240
= UTILIDAD DESP.
IMPUESTOS
2,760 2,760 2,760 2,760 2,760
UTIL.D.I. + DEPREC.
= FLUJO NETO DE
CAJA DESP. IMP.
-110,000 24,760 24,760 24,760 24,760 24,760
FORMULA PARA EL CALCULO DEL VAN
VAN = - II + FNE 1 + FNE 2 + FNE 3 +.......... + FNE N
(1+r)1
(1+r)2
(1+r)3
(1+r)n
Primeramente se procede a calcular el FNE para obtener el VAN.
CALCULO DEL VAN, (VAN1 Y VAN2 PARA EL CALCULO DE LA TIR)
i = yj VANi = xj
0,050 -2.802,16
0,025 5.030,71
0,035 1.792,70
0,040 227,12 P2
0,045 -1.304,18 P1
VAN10%= -16.140,11
VAN10% < = 0; no conviene la inversión
TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
TIR = 0,045 + (0 - (-1.304,78)) 0,040 – 0,045 . = 0.04074
227,12 + 1.304,18
TIR = 4.07%
La inversión no es rentable ya que el costo de oportunidad del dinero de 10% es > la TIR
de 4.07%.
VAN
r = i
0 - 110,000
1
FNE=24,760 .
( 1 + i)1
2
FNE=24,760 .
( 1 + i)2
3
FNE=24,760 .
( 1 + i)3
4
FNE=24,760 .
( 1 + i)4
5
FNE=24,760 .
( 1 + i)5
VAN

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6.- WAPAD Cía. Ltda. ha realizado una inversión por el valor de $ 2’600.000, los
flujos netos de caja generados son:
Primer año Flujo neto de caja:
Segundo año “ “ “
Tercer año “ “ “
Cuarto año “ “ “
Quinto año “ “ “
Sexto año “ “ “
300.000
600.000
900.000
1’000.000
1’200.000
1’300.000
a) Calcular el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR) e indicar
si la inversión es rentable, considerando que el costo de oportunidad del dinero es
del 14%.
b) Calcular el VAN y la TIR si el costo del dinero se estima en el 12% anual, se
presentan cambios o no, en los nuevos resultados, explique brevemente el por qué
de cada uno de ellos.
c) Calcule el Payback descontado en ambos casos
AÑOS
0 1 2 3 4 5 6
INVERSIÓN
- 2,600,000 - - - - - -
FLUJO NETO
DE CAJA - 2,600,000 300,000 600,000 900,000 1,000,000 1,200,000 1,300,000
A) CALCULO DE LOS VAN

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VAN14%= 539,89
VAN14% > 0; conviene la inversión
VAN12%= 761,83
VAN12% > 0; conviene la inversión
El VAN tanto al 14% como al
12% son > 0 por lo tanto es
atractiva la inversión en ambos casos
y mucho más al 12%
i = yj VANi = xj (valores en miles)
0,14 539,89
0,12 761,83
0,24 -305,89
0,19 69,19 P1
0,21 -90,85 P2
TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
TIR = 0,19 + ( 0 - 69,19 ) 0,21 – 0,19 . TIR = 0,1986 ≈ 19,86%
-90,85 - 69,19
Es rentable la inversión puesto que la TIR = 19,86% es mayor que la tasa de costo de
oportunidad del 14% del literal a); igualmente es mayor que la de 12% del literal b).
(El TIR del proyecto es el mismo independientemente con cualquiera tasa que se compare)
Año VANr VAN14% VAN12%
0 - 2,600,000 + - 2,600,000 - 2,600,000
1
FNE=300,000 +
( 1+ r)1
263,157.895 267,857.143
2
FNE=600,000 +
( 1 + r)2
461,680.517 478,316.327
3
FNE=900,000 +
( 1+ r)3
607,474.365 640,602.223
4
FNE=1,000,000 +
( 1+ r)4
592,080.277 635,518.078
5
FNE=1,200,000 +
( 1+ r)5
623,242.397 680,912.227
6 FNE=1,300,000 +
( 1+ r )6
592,262.512 658,620.458
VANr
539,897.963 761,826.455

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Cálculo del Payback descontado: Considero los flujos de fondos descontados al 14%
y al 12% y veo en que tiempo se cubre la inversión inicial
Al 12%: A los 4 años se llega a 2,022,293.77 y la inversión inicial es 2,600,000.00, entonces
determino en que tiempo tendré la diferencia de dinero que me falta 577,706.23; hago regla de
tres con el flujo de fondos descontado del año 5.
680,912.227 12 meses
577,706.23 X X=10.17 meses
Entonces el Periodo de recuperación descontado es 4 años 10 meses.
Al 14%: A los 5 años se llega a 2,547,635,45 y la inversión inicial es 2,600,000.00,
entonces determino en que tiempo tendré la diferencia de dinero que me falta 52,364.55; hago
regla de tres con el flujo de fondos descontado del año 6.
592,262.512 12 meses
52,364.55 X X=1.06 meses
Entonces el Periodo de recuperación descontado es 5 años 1 mes.
7.- Rosa Alvarado, 5 años atrás adquirió una casa, por la que pagó $ 45.000 de
contado. Durante este tiempo arrendó su casa, los arriendos anuales ahorrados
fueron: 4.800, 6.000, 7.200, 8.400 y 10.200 dólares. Además, al final del quinto año
vende su casa, por el valor de $ 199.400.
Año VAN14% SUMA VAN12% SUMA
0 - 2,600,000 - 2,600,000
1 263,157.895 267,857.143
2 461,680.517 478,316.327
3 607,474.365 640,602.223
4 592,080.277 635,518.078 2,022,293.77
5 623,242.397 2,547,635.45 680,912.227
6 592,262.512 658,620.458
VAN 539,897.963 761,826.455

IIISSSEEEDDD
12
a) Cuál es la rentabilidad lograda por la Sra. Alvarado en la adquisición de la
vivienda?.
CALCULO DE LOS VAN (Considero una tasa de referencia para partir con la
interpolación de la TIR)
(valores en miles)
VAN20%= $ 55,62
VAN40%= $ 5,27 P1
VAN45%= - $ 1,87 P2
TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
Tir= 43,59%
La casa de la Sra. Alvarado le produce una rentabilidad del
43,59%.
8.- Un inversionista desea incursionar en un proyecto en el cual debe invertir USD.
125.000,00; además presenta el siguiente flujo de fondos para los próximos 5 años.
Año 1 2 3 4 5
Ventas 40.000 42.000 45.000 48.000 50.000
Costo de
operación
8.250 8.500 8.600 8.700 8.800
Depreciación
anual
20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
a) Determine si les conviene o no invertir; aplique los métodos del VAN y el TIR en
su análisis. Considere el costo de oportunidad del 12% efectivo.
b) Determine el Payback Descontado
VAN 1
Con r
0 I.I. - 45,000
1
FNE=4,800.00 =
( 1 + r)1
2
FNE=6,00.00 =
( 1 + r)2
3
FNE=7,200.00 =
( 1 + r)3
4
FNE=8,400.00 =
( 1 + r)4
5
FNE=209,600.00 =
( 1 + r)5
VANr

IIISSSEEEDDD
13
AÑO 0 1 2 3 4 5
INVERSIÓN
INICIAL
125.000,00
VENTAS
ANUAL
40.000,00 42.000,00 45.000,00 48.000,00 50.000,00
COSTO ANUAL
OPERACIÓN
8.250,00 8.500,00 8.600,00 8.700,00 8.800,00
DEPRECIACIÓN 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00
UTILIDAD SIN
IMPUESTOS
11.750,00 13.500,00 16.400,00 19.300,00 21.200,00
FLUJO NETO DE
CAJA
125.000,00 31.750,00 33.500,00 36.400,00 39.300,00 41.200,00
ij = yj VANi = xj (valores en miles)
0,12 4,32
0,15 -5,17 P1
0,13 1,02 P2
VAN12%= 4,32
El VAN al 12% es > 0 por lo tanto es atractiva la inversión.
Año VANr VAN12% SUMA
0 - 125.000,00 + - 125.000,00
1
FNE=31.750,00 +
( 1+ r)1
+28,348.21
2
FNE=33.500,00 +
( 1 + r)2
+26,705.99
3
FNE=36.400,00 +
( 1+ r)3
+25,908.80
4
FNE=39.300,00 +
( 1+ r)4
+24,975.86 105,938.87
5
FNE=41.200,00 +
( 1+ r)5
+23,377.99
VANr
+4,316.86

IIISSSEEEDDD
14
TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
TIR = 0,1332 ≈ 13,32%
Es rentable la inversión puesto que la TIR = 13,32% es mayor que la tasa de costo de
oportunidad del 12%.
Calculo del Payback descontado:
Al 12%: A los 4 años se llega a 105,938.87 sumando los flujos descontados y la inversión
inicial es 125,000.00, entonces determino en que tiempo tendré la diferencia de dinero que me
falta 19,061.13; hago regla de tres con el flujo de fondos descontado del año 5.
23,377.99 12 meses
19,061.13 X X=9.78 meses
Entonces el Periodo de recuperación descontado es 4 años 9.78 meses.
9.- John ha invertido USD. 7.200 a una tasa del 13,8 % a.c.m. Cuál es la tasa real
que gana si la inflación promedio anual es 6,3%. Cuánto gana o pierde?
C = 7.200
i = 0,138/12=1,15% mensual. Entonces transformo a efectiva anual
(1+i1)p1
= (1+i2)p2
reemplazo los datos (1+0,015)12
= (1+i2)1
i = 0,1471 anual o 14,71% anual
d = 6,3%
r = i - d . 100
(1 + d )
r = 0,1471 - 0,063 . 100 = 7,91% Tasa real
1 + 0,063
I = 7.200 (0,0791) = 569,63
John gana $ 569,63dólares durante ese año, por una inversión de $7.200 dólares.

IIISSSEEEDDD
15
10.- Determine la tasa efectiva que se gana en un país donde la inflación es del
15% anual si la tasa real es 2%. Si se invirtió USD. 8.000. Cuánto gana o pierde?
C = 8.000 r = i - d . x 100
i =? (1 + d )
d = 15%
r = 2%
Cuánto gana o pierde?
2 = i - 0,15 . 100 Despejo i
1 + 0,15
i = 0,02 (1+ 0,15) + 0,15 = 0,1730 i = 17,30% anual
Gana = 8.000 (0.02) = 160 dólares durante ese año, por una inversión de $8.000 dólares.
Cantidad baja, debido al efecto de la inflación.
11.- Alfred al invertir $8.320 obtuvo una ganancia real de $580, si el país donde
vive tiene una inflación del 8,6%. Determine la tasa efectiva anual que le
ofrecieron.
Inversión = 8.320 GR = Inv. r
Gan.Real = 580 r = 580/8320 (100) = 6,97% anual
d = 8,6% r = (i – d)/(1+d) * 100
i = ? anual 0,0697 (1,086) + 0.086 = i
r = ? anual i = 16,17% anual
12.- Inversiones del Pacífico desea conocer la factibilidad de incursionar en un
proyecto industrial para lo cual dispone de $ 2’400.000 para invertir, los flujos del
proyecto estimados para los próximos 5 años serán:
AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 AÑO 5
550 860 1.100 1.200 1.400 (en miles)
Se considera que la inflación promedio en el país será del 18%
a) Conviene o no, que realicen la inversión?
b) Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión, cuánto gana o
pierde?

IIISSSEEEDDD
16
i = yj VANi = xj (valores en miles)
0,180 0584,13
0,240 164,92
0,300 -170,15
0,270 -11,69
0,255 74,19
VAN18% = 584,13
Como él VAN18% = 584,13 0 es atractiva la inversión.
Para calcular TIR considero los puntos
P1(-11,69; 0,270)
P2(74,19; 0,255)
r = i
TIR = r1 + (r2 - r1) VAN 1 .
VAN1 - VAN2
Calculo la TIR
TIR = 0,270 + (0,255- 0,270) -11,69 . = 0,2680
-11,69 – 74,19
TIR = 26,80% Es rentable la inversión ya que la TIR > que la tasa de inflación del 18% lo que
permite mantener el poder adquisitivo de la moneda.
Rentabilidad Real:
Tr = (0,268 – 0,18)/(1+0,18) = 0,0746 La tasa real de rentabilidad es el 7,46% gana.
Gana = 2.400.000,00 (0,0746) = 179.040 al año.
VANr
0 - 2.400
1
FNE= 550 .
( 1 + i)1
2
FNE= 860 .
( 1 + i)2
3
FNE= 1.100 .
( 1 + i)3
4
FNE= 1.200 .
( 1 + i)4
5
FNE= 1.400 .
( 1 + i)5

IIISSSEEEDDD
17
Tarea para entregar 2 de 2
EJERCICIOS BONOS
1. Un bono de $1.000 que paga el 12%a.c.m., se redime a la par en 10 años.
Calcule el precio de compra para que rinda el 10,25% anual.
F = 1.000
r = 12% a.c.s. = 0,12/2 = 6% semestral
C = 1.000 (redimible a la par)
j = 10,25% anual (1+0,1025)1/2
= (1+i)
i = 5% semestral
n = 10 x 2 = 20 cupones semestrales
P = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
P = 1.000 + (1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,05) (1-(1+0,05)-20
)/0,05
P = 1.124,62
2. Un bono de $5.000 a 108%, que se vence el 1 de octubre del 2006, tiene
cupones semestrales a 10,5% . Calcule el precio de compra el 1 de abril del
2005, para producir un 9,5% a.c.s..
F = 5.000 (Abril – Octubre)
r = 10,5% a.c.s. = 0,105/2 = 5,25% semestral
C = 5.000 x 1,08 = 5.400 (redimible al 108% o a la 108)
i = 9,5% a.c.s. = 0,095/2 = 4,75% semestral
P = ?
Fecha de vencimiento = 1/Oct./2006
Fecha de negociación = 1/Abr./2005
¡_______________¡………………… ¡_______________¡
1/abr/05 1/oct/05 1/abr/06 1/oct/06
+1
A. O. 2006 – 2005 = 1 x 2 = 2 + 1 = 3

IIISSSEEEDDD
18
O.
n = 3 cupones semestrales
P = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
P = 5.400 + (5.000 x 0,0525 + 5.400 x 0,0475) (1-(1+0,0475)-3
)/0,0475
P = 5.416,42 P > C Negociación con premio.
3. Un bono de $1.000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2007, paga
cupones semestrales al 9% a.c.s.. El bono fue adquirido el 1 de junio del
2005. El rendimiento deseado es el 8%a.c.s.. Calcule el precio de compra, y
elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono.
F = 1.000 (Junio – Diciembre)
r = 9% a.c.s. = 0,09/2 = 4,5% semestral
C = 1.000 (redimible a la par)
i = 8% a.c.s. = 0,08/2 = 4% semestral
P = ?
Fecha de redención = 1/Dic./2007
Fecha de negociación = 1/Jun./2005
¡_______________¡………………… ¡_______________¡
1/jun/05 1/dic/05 1/jun/07 1/dic/07
+1
J. D. 2007 – 2005 = 2 x 2 = 4+ 1 = 5
D.
n = 5 cupones semestrales
P = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
P = 1.000 + (1.000 x 0,045 + 1.000 x 0,04) (1-(1+0,04)-5
)/0,04
P = 1.022,26 P > C Negociación con premio.

IIISSSEEEDDD
19
r = 4,50% i = 4,00%
Periodo
Val. en Lib.
Inic. Periodo
Intereses
sobre
Inversiòn
Intereses
Bono
Variaciòn
del
valor en
libros
Val. en Lib.
fin Periodo
1 1022,26 40,89 45,00 -4,11 1018,15
2 1018,15 40,73 45,00 -4,27 1013,88
3 1013,88 40,56 45,00 -4,44 1009,43
4 1009,43 40,38 45,00 -4,62 1004,81
5 1004,81 40,19 45,00 -4,81 1000,00
4. El 30 de junio del 2.004, un bono de valor nominal de $1,000.00 es redimible
al 110, devengando intereses de 12% pagaderos a fin de cada mes. Calcule el
precio que pagaría por el bono un inversionista el 27 de julio del 2.002, si el
rendimiento esperado es de 1,30% mensual.
F = 1.000
r = 0,12/12 = 0,01
C = 1.000 x 1,10 = 1.100
i = 0,013
Fecha de redención: 30 de junio de 2004
Fecha de compra: 27 de julio de 2002
P = ?
Po = precio en fecha de pago de cupón
n = 12 x 2 = 24
I = F x r I = 1.000 x 0,01 = 10 mensuales (cupón)
Po = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
Po = 1.100 + (10 - 1.100 x 0,013) (1 – 1,013-24
) / 0,013
Po = 1.011,84
Calculo el precio del bono al 27 de junio P = Po (1 + it)
P = 1.011,84 (1+0.013 x 27/30)
P = 1.023,67

IIISSSEEEDDD
20
5. Calcule el valor de redención, el número de cupones y el valor de cada cupón
de un bono de $100.000, 12% (20 Enero – 20 Julio = E.J), suscrito el 20 de
enero del 2002, redimible a la par el 20 de enero del 2009.
F = 100.000
Valor de Redención
C = 100.000 es a la par
Valor de redención x 100
Valor nominal
100.000 x 100 = 100 se dice que es redimible a la par al 100
100.000
Número de cupones EJ
E
De marzo del 2002 a marzo del 2009 hay 7 años x 2 semestres = 14 semestres o
cupones.
Valor del cupón:
I = Fr . = 100,000 ( 0.15 ) = 7,500
m 2
El valor de cada cupón es de $7,500 semestral.
6. Un bono de $ 15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O)., redimible a la par el 15 de
Octubre del año 2007, es negociado el 15 de Abril del año 2000 a una tasa del
7,8% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono a la
fecha de negociación.
F = 15.000 precio nominal
r = 0,10/2 =0,05 tasa de interés por periodo de pago del cupón
i = 0,078/2=0,039 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,
rentabilidad)
C = 15.000 precio de redención a la par o al 100
n = 7 (2) = 10 semestres más 1 semestre = 15

IIISSSEEEDDD
21
P = Precio de compra para obtener un rendimiento.
P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n
i
P = 15.000 + (( 15.000 x 0,05 ) - ( 15.000 x 0,039)) 1 - ( 1 + 0,039 )- 15
0,039
= 15.000 + [( 750) – (585) ]( 11.1965) = 15.000 + (165)(8,80792)
= 15.000.00 + 1.453,31 = 16.847,31
El bono a la fecha de su negociación es de $ 16.847,43. Se trata de una negociación con
premio.
7. Un bono de $ 10.000 al 8% Marzo-Septiembre (M.S), redimible a la par el 20
de septiembre del año 2007, se puede negociar el 15 de junio del 2000 a las
siguientes tasas de: 1) 7,5% anual capitalizable semestralmente; 2) 8% anual
capitalizable semestralmente; y, 3) 8,5% anual capitalizable semestralmente.
Calcular el precio del bono limpio para cada alternativa y exprese para cada
negociación si es con premio, a la par, o con castigo.
1)
r = 0,08/2 =0,04 tasa de interés por periodo de pago del cupón
i = 0,075/2=0,0375 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,
rentabilidad)
C = 10.000 precio de redención a la par o al 100
Tiempo entre el 20 de marzo y el 15 de junio entonces:
10Mz +30Ab + 30My + 15Jn = 85 días.
P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n
i
P = 10.000 + ( 10.0000 x 0,04 ) - ( 10.000 x 0,0375 ) 1 - ( 1 +0,0375 )-15
0,0375

IIISSSEEEDDD
22
Po = 10.000 + ( 25 ) (11,3156)
Po = 10.000 + 282,88 = 10.282,88
Po = 10.282,88 es con premio
CALCULO A INTERES SIMPLE (****Más utilizado en la práctica****)
Po = 10,282.88
Precio Bono Sucio:
10,282.88(1+0.0375(85/180)) = 10,464.97
Interés Redituable:
I = Fr = 10,000 ( 0.04) = 400
IR = 400 (85/180) = 188.89
Bono Limpio:
10,464.97 – 188.89 = 10276.08 (Negociación con premio)
CALCULO A INTERES COMPUESTO (OTRA FORMA DE CALCULO)
Cálculo los días :
180 – 85 = 95 los días de intereses que se debe cobrar del cupón.
P = Po (1 + i)k
P = 10,282.88 ( 1.0375)95/180
P = 10,282.88 ( 1.0375)0.5278
P = 10,484.63
Calculo del bono limpio entonces calculamos el valor de los cupones.
I = Fr = 10,000 (0.04) = 400
IR = I (95/ 180) = 400 (0.5278) = 211.12
Para calcular el valor del bono limpio.
= bono sucio - IR
= 10,484.63 - 211.12 = 10,273.51
P = 10,273.51
P es el precio del bono limpio que fue negociado con premio ya que el valor de redención es
menor que el valor del bono limpio
2)
F = 10,000 precio nominal
r = 0.08/2 =0.04 tasa de interés por de pago del cupón
i = 0.08/2 =0.04 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,
rentabilidad)

IIISSSEEEDDD
23
C = 10,000 precio de redención a la par o al 100
P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n
i
P = 10,000 + ( 10,0000 x 0.04 ) - ( 10,000 x 0.04 ) 1 - ( 1 +0.04 )-15
0.04
Po = 10,000 + ( 0 ) (11.11839)
Po = 10,000 + 0 = 10,000
Po = 10,000 es a la par
CALCULO A INTERES SIMPLE (****Más utilizado en la práctica****)
Po = 10,000
Precio Bono Sucio:
10,000(1+0.04(85/180)) = 10,188.89
I = Fr = 10,000 ( 0.04) = 400
IR = 400 (85/180) = 188.89
Bono Limpio:
10,188.89 – 188.89 = 10,000 (Negociación a la par)
P = Po ( 1 + i )k
P = 10,000 ( 1.04)95/180
P = 10,000 ( 1.04)0.5278
P = 10,000 (1.0209) = 10,209.16
P = 10,209.16
Para calcular el bono limpio se calcula primeramente el valor de los cupones.
I = Fr . = 10,000 ( 0.08) = 400
m 2
IR = I ( 95/ 180) = 400 ( 0.58333 ) = 211.11

IIISSSEEEDDD
24
= bono sucio - IR
= 10,209.16 - 211.11 = 9,998.10 ≈ 10,0
P = 9,998.04
P es el precio del bono limpio que fue negociado a la par, el valor de redención es a la par,
en el valor del bono limpio tiene una pequeña diferencia radica en la cantidad de decimales
que se usaron.
3)
F = 10,000 precio nominal
r = 0.08/2 =0.04 tasa de interés por periodo de pago del cupón
i = 0.085/2=0.0425 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,
rentabilidad)
C = 10,000 precio de redención a la par o al 100
n = 7 (2) = 14 semestres
P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n
I
P = 10,000 + ( 10,000 x 0.04 ) - ( 10,000 x 0.0425 ) 1 - ( 1 + 0.0425 )-15
0.0425
Po = 10,000 + ( - 25 ) (10.92652)
Po = 10,000 - 273.16 = 9,726.84
Po = 9,726.84
CALCULO A INTERES SIMPLE (****Más utilizado en la práctica**** Para Examen***)
Po = 9,276.84
Precio Bono Sucio:
9,276.84(1+0.04(85/180)) = 9,922.05
I = Fr = 10,000 ( 0.04) = 400
IR = 400 (85/180) = 188.89
Bono Limpio:
9,922.05 – 188.89 = 9,733.16 (Negociación con castigo)

IIISSSEEEDDD
25
P = Po ( 1 + i )k
P = 9,726.84 ( 1.0425)95/180
P = 9,726.84 ( 1.0425).5278
P = 9,726.84 (1.0222) = 9,942.87
P = 9,942.87
Para calcular el bono limpio primeramente se calcula el valor de los cupones.
I = Fr . = 10,000 ( 0.08) = 400
m 2
IR = I ( 95/ 180) = 400 ( 0.58333 ) = 211.11
= bono sucio - IR
= 9,942.87 - 211.11 = 9,731.76
P = 9,731.76
P es el precio del bono limpio que fue negociado con castigo ya que el valor de redención es
mayor que el valor del bono limpio.
8. Calcule la TIR de un bono de $1.000, 8% EJ, redimible a la par el 1 de julio del
2020, y cuya compra se lleva a cabo el 20 de octubre del 2001 con cotización de 94.8?.
r = 8% a.c.s. = 0,08/2 = 0,04 tasa de interés por periodo de pago del cupón
C = 1.000 = precio de redención a la par o al 100
n = 19 (2) = 38 semestres
Cotización: 94.8
P = 1.000 (0,936) = 936,00 Precio de compra para obtener un rendimiento.
i = ? (se busca) tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón semestral
P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n
i

IIISSSEEEDDD
26
948 = 1.000 + (( 1.000 x 0,04 ) - ( 1.000 x i )) 1 - ( 1 + i )-38
i
X = valor de referencia = 948
i = y F(i) = x
0,04 1.000 P2
0,08 526,85
0,06 703,08
0,05 831,32
0,045 909,75 P1
INTERPOLACION:
y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
y = 0,045 + (948 - 909,75) 0,040 – 0,045 .
1.000 - 909,75
y = 0,0452; i = 4,52% semestral ó 9.04% a.c.s.
Cálculo tasa efectiva anual: (1+ i1)p
= (1+ i2)q
( 1,0452 )2
- 1 = 0,0924 i = 9,24 % anual
La tasa efectiva anual es 9,24%

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