curso de estatica UTP momento de inercia

1. MOMENTO DE
INERCIA
Dr. Ing JONY LAZO RAMOS

2. CONTENIDO
2 - 2
➢ Introducción
➢ Momentos de inercia de un área
➢ Momento de inercia de un área por integración
➢ Momento polar de inercia
➢ Ejemplos
➢ Teorema del eje paralelo
➢ Momentos de inercia de áreas compuestas
➢ Ejemplos
➢ Producto de la inercia

3. I. INTRODUCCION

4. Energía cinética rotacional
m2
m3
m4
m
m1
eje

v = R
Objeto que rota a  constante
Considere masa pequeña m:
K = ½mv2
K = ½m(R)2
K = ½(mR2)2
Suma para encontrar K total:
K = ½(mR2)2
(½2 igual para toda m )
Definición de inercia rotacional o momento
de inercia :
I = mR2

5. • El momento de inercia es la capacidad de resistencia que
tiene un cuerpo, a sufrir una transformación.
• Por ello podemos decir que el momento de inercia sólo
depende de la geometría del cuerpo y de la posición
del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que
intervienen en el movimiento.

6. MOMENTO DE INERCIA
En detalle:
El momento de inercia será la suma individual de cada una de las
masas 𝒎𝒊 que componen un cuerpo multiplicado por la distancia al cuadrado
𝒓𝒊
𝟐
hacia el eje de rotación:
𝐼 = ෍ 𝒎𝒊𝒓𝒊
𝟐
𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒓𝟏
𝒓𝟐

7. ¿Cuál de los dos giros es más difícil de realizar?
Dado que el momento de inercia
𝐼 = ෍ 𝒎𝒊 𝒓𝒊
𝟐
es menor al hacer el giro 1 que al hacer el giro 2 y
que
෍ 𝝉 = 𝑰 𝜶
al aplicar el mismo torque en el giro 1 y en el giro 2
se tendrá más aceleración angular en el giro 1.
Entonces, mientras más extendido este el cuerpo con
respecto al eje de rotación (tiene más momento de
inercia) mayor será el torque necesario para obtener
la misma aceleración angular.
FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

8. DETERMINACIÓN DEL
MOMENTO DE INERCIA DE
UN ÁREA POR INTEGRACIÓN

9. 1)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “x”
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴
MOMENTO DE INERCIA PARA UNA AREA POR
INTEGRACION:

10. 2)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “y”
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥2𝑑𝐴

11. Calculo de los momentos de inercia de la sección
rectangular que se muestra a continuación.

12. Calculo del momento de inercia de la sección
rectangular con respecto al eje y (Iy)

17. TEOREMA DE LOS EJES
PARALELOS PARA UN ÁREA
O TEOREMA DE STEINER

18. Definición.- Considere el momento de inercia I de un área Acon respecto a un eje AA´. se representa con y la distancia
desde un elemento de área dA hasta AA´, se escribe
:
Ahora, en el centroide C del área un eje BB´ que es paralelo a AA´, dicho eje es llamado eje centroidal. Representando
con y´ la distancia desde el elemento dA hasta BB´, se escribe y= y´+ d, donde d es la distancia entre los ejes AA´ y BB´.
Sustituyendo por y en la integral anterior, se escribe:
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
PARA UN AREA
=0

21. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
2 - 21
• Momento de inercia de un área circular con
respecto a una tangente al círculo,
( )
1
2 4 2 2
4
5 4
4
T
I I Ad r r r
r
 

= + = +
=
• Momento de inercia de un triángulo con
respecto a un eje centroidal,
IA 
A = IB 
B + Ad 2
IB 
B = IA 
A − Ad 2
= 1
12
bh3
− 1
2
bh 1
3
h
( )
2
= 1
36
bh3

22. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS
COMPUESTAS

23. ÁREA COMPUESTA: Es aquella
que esta divida en
áreas componentes,
ejemplo
dividida
el área A
en varias
varias
por
esta
áreas:
A1,A2 y A3
El momento de inercia de un área compuesta que consta de figuras conocidas
se hallará aplicando las formulas que se encontraran en las tablas, sin
embargo en algunas ocasiones antes de sumar los momentos de inercia será
necesario utilizar el teorema de los ejes paralelos estudiado anteriormente.

24. • EL MOMENTO DE INERCIA DE UN
ÁREA SIEMPRE ES POSITIVO
sin importar la posición del eje
respecto al cual se realizará.
• Antes de realizar el procedimiento para
hallar el momento de inercia se podrá
requerir conocer el centroide.

25. 2 - 25
• El momento de inercia de un área compuesta A alrededor de un eje
dado se obtiene sumando los momentos de inercia de las áreas
componentes. A1, A2, A3, ... , con respecto al mismo eje.

28. PRODUCTOS DE INERCIA

29. El producto de inercia es importante para hallar
el momento de inercia máximo y mínimo para
el área. Estos valores máximos y mínimos son
importantes para diseñar elementos
estructurales y mecánicos como vigas y
columnas.
El producto de inercia del área con respecto
a la figura mostrada con respecto a los ejes
X y Y se define como:

30. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

33. MOMENTO DE INERCIA POLAR DE
UNA AREA

34. Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la
torsión en los objetos (o segmentos de los objetos) con un
invariante circular de sección transversal y sin deformaciones
importantes o fuera del plano de deformaciones.
El momento de inercia de un área en relación a un eje
perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se
representa por J.

35. El momento de dA con respecto al polo O o al eje z, es
denominado momento polar de inercia
Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el
elemento dA. Para toda el área el momento polar de inercia es:
𝐽𝑜 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2, lo que hace posible una relación entre 𝐼𝑥, 𝐼𝑦 y 𝐽𝑜:

36. EJEMPLO
2 - 36
( )
2
2 3
0 0
2
2 2
O
r r
O O
dJ u dA dA udu
J dJ u udu u du

 
= =
= = =
  
4
2
r
JO

=
:
Determine el momento polar centroidal de inercia de un área circular por integración
directa;
Se selecciona dA como un elemento anular diferencial de área.
Como todas las porciones del área diferencial están a la misma
distancia desde el origen, se escribe