Rotación sólido rígido

Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I
Unidad IX: Rotación de un sólido rígido
UNIDAD IX
ROTACION DE UN SÓLIDO RÍGIDO
MOMENTO DE INERCIA (“ESTATICA” de J.L. MERIAN de Ed. REVERTE)
INTRODUCCION:
Dos integrales que aparecen frecuentemente en Mecánica merecen una atención especial: una es la integral
del cuadrado de la distancia multiplicado por el área o superficie:
∫ dsr 2
y la otra es la integral del producto del cuadrado de la distancia por la masa: ∫ dmr 2
.
Aún cuando estas integrales surgen de dos problemas totalmente diferentes desde el punto de vista físico, son
análogas desde un punto de vista matemático y conviene desarrollar sus propiedades simultáneamente.
Ambas integrales pertenecen al dominio de los momentos de inercia y veremos sus orígenes y propiedades.
1. MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIE: RECTANGULARES Y POLARES
Los momentos de inercia de superficie se presentan cuando se calculan momentos respecto de un eje, de
fuerzas que varían linealmente con la distancia al eje respecto del cual se toman los momentos.
En el diagrama puede verse el orígen físico de esta integral .
En la parte (a) de la figura se ha sometido a la
superficie ABCD a una presión P, distribuída,
cuya intensidad es proporcional a la distancia y
al eje BA (es la acción característica de la
presión de un líquido sobre una superficie plana) .
El momento respecto de BA debido a la
presión ejercida sobre el elemento de superficie dA es:
ydApdm ..= pero ykp = de donde
dAkydm 2
=
Así aparece la integral en cuestión cuando se calcula
el momento total:
∫ ∫ ∫=== dAykdAykdmM 22
En la parte (b) puede verse la distribución de los esfuerzos
sobre una sección ABCD recta de una viga elástica simple,
curvada por pares (momentos) iguales y opuestos, aplicado
en sus extremos.
En toda la sección de la viga existe una distribución lineal de
la intensidad de la fuerza o esfuerzo, dada por la expresión
yk=σ . El momento elemental respecto del eje O-O es:
dAykydAykydAdm 2
=== σ
Así también aparece la integral al calcular el momento total:
∫ ∫ ∫=== dAykdAykdmM 22
En la parte (c) vemos un ejemplo de un árbol cilíndrico sometido a un momento
de torsión ; en cada sección recta del árbol se opone una resistencia a ese
momento torsor, debido a una distribución de los esfuerzos tangenciales o de
1

corte τ que, dentro de los límites de elasticidad del material, es proporcional a la distancia radial r al eje del
árbol. Así, rk=τ y el momento será:
∫= dArM τ = ∫ ∫= dArkdArrk 2
∴ ∫= dArkM 2
Este caso ( c ) difiere de los anteriores (a) y (b) en que la superficie de la integral es normal al eje de
momentos, en vez de paralela a dicho eje como en (a) y (b)
y también difiere en que r es una coordenada radial en lugar de una coordenada cartesiana
La integral que acabamos de ver ( ∫∫ dAryAdy 22
) recibe el nombre de momento de inercia de
superficie respecto del eje en cuestión. Una expresión más ajustada sería “segundo momento de superficie”
puesto que el “primer momento” de superficie ( dAy ) vuelve a multiplicarse por el brazo de momento
(y) para obtener el resultado para el elemento dA .
La palabra “inercia” aparece en la terminología a causa de la similitud entre la forma de las integrales (la
forma matemática) para los segundos momentos de superficie y las integrales correspondientes a los
momentos resultantes de las llamadas Fuerzas de Inercia, en caso de los cuerpos giratorios.
El momento de inercia de una superficie es una propiedad puramente matemática de la superficie y no tiene
en sí, ningún significado físico, pero dá una medida de la distribución de la superficie o área respecto del eje
en cuestión . (ver”radio de giro” pag 302 - “ESTATICA deMERIAN, J. Ed Reverte)
2. MOMENTO DE INERCIA DE MASAS
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO DE UN EJE
El segundo tipo de integral que veremos tiene la forma del cuadrado de una distancia por la masa. Esta
integral es una medida de la resistencia inercial de un cuerpo a una aceleración rotatoria, tiene pués un
significado físico.
Si tengo un cuerpo de masa m y lo hago girar alrededor del eje O-O con una aceleración angular cte=α
un elemento de masa dm tiene una componente de su aceleración tangencial igual a :
→→
= ot tra α y la fuerza tangencial será:
→
= dmrF ..α
El momento de esa fuerza con respecto al eje O-O es:
FF mddmrrdmrrFmd
→→→→
==⇒= ...... 2
αα
y el momento total de todas las fuerzas extendidas a todos los elementos dm el módulo será
∫ ∫∫ ===
→→
dmrdmrmdM F ... 22 αα porque en un sólido rígido α es igual para todos
los dm
∫= dmrM 2
α
2

A la integral ∫ dmr 2
se le dá el nombre de momento de inercia I.
∫= dmrI 2
Por lo tanto IM .α= fórmula fundamental de los movimientos de rotación
∫
==
dmr
M
I
M
2
α la aceleración es inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
Esta integral I representa una importantísima propiedad del cuerpo y figura en el análisis de las fuerzas de
todo cuerpo animado de movimiento de rotación acelerado.
Al igual que la masa (m) es una medida de la resistencia a la aceleración en un movimiento de traslación
).(
m
F
aamF =∴= el momento de inercia (I) es una medida de la resistencia a la aceleración en
un movimiento de rotación (
I
M
=α ) resistencia debida a la masa o inercia del cuerpo.
Significado físico del momento de inercia de masa
Siendo la inercia una propiedad intrínseca de la materia que le permite permanecer en reposo o en
movimiento rectilíneo y uniforme siempre que una fuerza no actúe sobre el cuerpo, los conceptos de
“inercia” y “masa” pueden considerarse sinónimos:
• “Inercia” será el aspecto cualitativo de la propiedad
• “Masa” será el aspecto cuantitativo de la propiedad
y “momento” (momentum quiere decir “importancia”) por lo tanto, momento de inercia quiere decir
“importancia que adquiere la masa en un movimiento de rotación del cuerpo alrededor de un eje”
(importancia para resistir el cambio de aceleración) (de α = 0 si está en reposo o de disminución o aumento
de α si está en un movimiento de rotación) esa importancia varía con la distancia a la que está colocada la
masa con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, también se lo puede definir al I como la “importancia que
adquiere la masa, al ser colocada en distintas posiciones, para resistir los esfuerzos de rotación a los que
se la somete”.
El momento de inercia de un sólido es una medida de la resistencia que opone todo cuerpo a ponerse en
movimiento de rotación o a cambiar de velocidad angular (o sea, es una resistencia al cambio de
aceleración).
MOMENTO CENTRÍFUGO; MOMENTOS DE INERCIA CON RESPECTO A UN EJE Y
MOMENTO POLAR CON RESPECTO A UN PUNTO.
Sea un conjunto discreto de masas “m” con su centro de
masas en G.
Consideramos los ejes (x-x) e (y-y) y los ejes (x’-x’) e (y’-
y’), paralelos a los anteriores y que pasan por el centro de
masas G; a y b son las distancias entre ellos.
Consideremos una masa cualquiera, como la “mi” de la
figura con sus coordenadas respecto a los ejes
mencionados (xi) con respecto a (x) y (x’i) con respecto a
(x’) y (yi ) con respecto a (y) y también (y’i)con respecto al
eje (y’).
Definiremos como:
3
mi
G
yi
ri
b
y y'
x x
x'x'
a
O
xi
x'i
y'i
y
y'

a) MOMENTO CENTRÍFUGO con respecto a los ejes x-x e y-y a la expresión:
∑=
=
n
i
iiixy yxmI
1
..
b) MOMENTO DE INERCIA con respecto al eje x-x, a la expresión:
∑=
=
n
i
iix xmI
1
2
.
c) MOMENTO DE INERCIA con respecto al eje y-y, a la expresión:
∑=
=
n
i
iiy ymI
1
2
.
d) MOMENTO DE INERCIA POLAR con respecto al origen “o”:, a la expresión:
∑=
=
n
i
iiO rmI
1
2
.
Se ve inmediatamente que si los ejes son perpendiculares entre sí:
ri
2
= xi
2
+ yi
2
por lo que tendremos
∑ ∑ ∑∑ = = ==
+=+=+==
n
i
n
i
n
i
YXiiiiiii
n
i
iiO IIymxmyxmrmI
1 1 1
2222
1
2
..).(.
YXO III +=
Es decir, si los ejes son rectangulares, el momento de inercia polar de ese conjunto discreto de masas es igual
a la suma de los momentos de inercia de ese conjunto de masas con respecto a los ejes dados.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O REGLA DE STEINER PARA CONJUNTOS
DISCRETOS.
De la figura se ve que:
axx ii += '
byy ii += '
por lo que: bayabxyxyxbyaxyx iiiiiiiiii .'..''.'.)').('(. +++=⇒++=
si multiplicamos la igualdad por Σmi tenemos:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑+++=+++= amyambxmyxmbayabxyxmyxm iiiiiiiiiiiiiiii .'...'.'.'.).'..''.'.(..
en el 2do
miembro tenemos:
cobaricéntriejearespectoconestáticomomentoserrp.0'.∑ = oxm ii
∑ = cobaricéntriejearespectoconestáticomomentoserpor.0'. iymi
4

por lo que queda: ∑ ∑ ∑+= iiiiiii mbayxmyxm ..'.'...
MbaII YXXY ..'' +=
Es decir que el momento centrífugo del sistema de masas con respecto a los ejes (x-x) e (y-y) es igual al
momento centrífugo con respecto a los ejes baricéntricos (x’-x’) e (y’-y’), paralelos a los anteriores, más el
producto de las distancias que separan los ejes por toda la masa del sistema.
Haciendo un análisis similar para los momentos de inercia respecto de un eje, tenemos que:
2222
.'.2')'(' aaxxaxxaxx iiiiii ++=+=∴+=
y multiplicamos por Σmi:
∑ ∑ ∑ ∑++= iiiiiii maxmaxmxm .'...2'.. 222
donde: ∑ =0'..2 ii xma porque ∑ =0'. ii xm por ser momento estático con respecto a un eje
baricéntrico.
∑ ∑ += Maxmxm iiii .'.. 222
MaII XX .2
' += momento de inercia con respecto a x-x
y de igual manera:
MbII YY .2
' += momento de inercia con respecto a y-y
O sea, que el momento de inercia con respecto a un eje es igual al momento de inercia del mismo conjunto
de masas con respecto a un eje baricéntrico paralelo a aquel, más la distancia que los separa al cuadrado por
toda la masa (M) del conjunto de masas (REGLA DE STEINER).
SIENDO LA MASA UNA MAGNITUD ESCALAR, los conceptos y definiciones anteriores sirven también
para SUPERFICIES (que son escalares)
RADIO DE GIRO PARA SUPERFICIES
(Es análogo si se estudia el radio de giro para las masas)
Para el caso de que se trate de una superficie en vez de una masa, el momento de inercia de la superficie con
respecto a un eje (x) será:
SaII XX .2
' +=
El momento de inercia de una superficie es una medida de la distribución de esa superficie con respecto al
eje para el cual se calcula el momento de inercia I.
Supongamos que tenemos una superficie de área A, con su
centro de superficie en G, ubicado a una distancia x del eje
x-x y también supongamos que toda el área A se concentra en
una franja de anchura despreciable situado a una distancia xi
del eje x-x tal que el producto de Aix
2)( sea igual al
momento de inercia de A con respecto a x-x
Por definición entonces y para un eje cualquiera, es:
xx IAi =.)( 2
∴
A
I
i x
x =
5

Para el momento de inercia polar será:
AiI oo .)( 2= ∴
A
I
A
I
A
II
A
I
i
yxyxo
o +=
+
==2)(
222 )()()( yxo iii +=
Es necesario no confundir la distancia de G al eje x-x con el radio de giro xi ya que:
1) El cuadrado de x es x2
y el cuadrado del valor medio de las distancias x a los elementos dA al
eje x-x.
2) El cuadrado de xi es 2)( xi y es el valor medio de los cuadrados de esas distancias.
A
xix
dA
ix
ixi
El momento de inercia I no es igual a 2. xA porque el cuadrado del valor medio no es igual al valor medio
de los cuadrados.
Por ejemplo: si tenemos las distancias 4 y 6 .
a) El valor medio es: 5
2
64
=
+
; cuadrado del valor medio : 25
b) Si elevamos 4 y 6 al cuadrado y sumamos buscando el valor medio de los cuadrados:
2
3616
64 22 +
⇒+ 26
2
52
==
Para el caso de una viga rectangular:
Veremos más adelante que acá el
A
I
i
hb
I xx =∴=
3
3
33
1
3
3
h
h
hb
hb
ix ===
3
h
ix =
Si suponemos, sin embargo, toda la superficie concentrada en G, a una distancia h/2 del eje x-x, tendrá:
⇒==
4
)
2
(..
3
2 hbh
hbIx valor incorrecto del Ix
Pero si concentramos toda la masa a una distancia (xi punto G’ ) tenemos:
⇒===
33
.)(..
32
2 hbh
hbihbI xx
 valor correcto del Ix
Siendo S la superficie Total y la unidad del IX será cm4
. Si dividimos esta expresión por S:
2'
a
S
I
S
I XX
+= y se llama
2
i
S
IX
= siendo (i) el radio de giro, y la expresión queda:
22
'
2
' aii xx +=
6

A la expresión
2
i
S
IX
= la podemos hacer 2
.iSIX = ; es decir que al momento de inercia IX no lo
obtenemos considerando concentrada toda la masa en G (o toda la
superficie S en G) y multiplicándola por a2
sino que toda la masa o
superficie deberá ser concentrada en G’ y multiplicada por el radio de giro
i al cuadrado.
Vemos que la expresión 22
'
2
' aii xx += corresponde a un triángulo
rectángulo de lados (a) e ( i’ ) y la hipotenusa ( i ).
MOMENTO DE INERCIA PARA CONJUNTOS CONTINUOS
Si consideramos ahora un conjunto continuo de masa (una superficie por
ejemplo) y queremos hallar su momento de inercia respecto al eje (x-x).
Definiremos el momento de inercia, tomando un elemento ds de superficie a una
distancia (x) del eje, como la integral a lo largo de la superficie del ds por la
distancia al cuadrado:
∫=
S
X dsxI .2
siendo ∫S
la integral del momento de inercia IX, extendida a
toda la superficie S.
MOMENTO POLAR DE INERCIA PARA UN CONJUNTO CONTINUO
La integral del momento polar de inercia para un conjunto continuo es de gran importancia en los problemas
relativos a la TORSIÓN DE EJES CILÍNDRICOS o referentes a la TORSIÓN DE PIEZAS PLANAS, la
integral es la siguiente:
∫=
S
O dsrI .2
pero como es 222
yxr +=
∫ ∫∫ +=+=+=
S S
YX
S
O IIdsydsxdsyxI ..).( 2222
YXO III +=
Es decir, el momento polar de inercia (IO) de un área dada puede
calcularse a partir de los momentos rectangulares de inercia (IX e IY).
Si fuese UN VOLUMEN:
γβα IIIIO ++=
El momento de inercia polar de un volumen es la ∑ de
los momentos de inercia del volumen con
respecto a los planos ortogonales α, β y γ ya que el
Ωd está en el espacio.
7
ds
x
xx
ds
yr
x
y
x
x
z
y
x
z
y
r
β
α
γ
dΩ
ia
G
G’
x
y
x’
i’

TEOREMA DE STEINER PARA CONJUNTOS CONTINUOS.
Sea un conjunto continuo cuyo centro de gravedad sea G.
Sabemos que:
∫=
S
X dsxI .2 pero x = x’+ a ∴ x2
= (x’ +a)2
= x’2
+ 2 a
x + a2
∫ ∫ ∫ ∫++=++=
S S S S
X dsadsxadsxdsaxaxI .'..2.')..2'( 2222
donde: ∫ =
S
dsxa 0'..2 por ser momento estático con respecto a un eje baricéntrico.
SaII XX .2
' += REGLA DE STEINER PARA CONJUNTOS CONTINUOS.
Ejemplo: Hallar el momento de inercia de una sección
rectangular con respecto al eje x-x que pasa por la base
y con respecto al eje x’-x’, paralelo al anterior, que pasa
por el baricentro G.
3
.
3
......
3
4
0
3
222 hbx
bdxxbbdxxdsxI
S SS
X ===== ∫ ∫∫
3
. 3
hb
IX =
Aplicando Steiner sabemos que: SaII XX .2
' += ∴
12
.
12
..3,.4
4
.
3
.
.
3
.
.
3333323
2
'
hbhbhbbhhb
hb
s
hhb
SaII XX −
−
=−−





−=−=
8
a
G
ds
xx x
x’x’x’
Eje paralelo
x
dx
x’ x’
x
h
h/2
b
x
ds

12
. 3
'
hb
I X =
Como también es:
2
i
S
IX
= es hh
hb
hb
S
I
i X
.58,0
3
1
.
..3
. 3
≅===
(distinto a h/2 = 0,5 h)
Ejemplo: Determinar los momentos de inercia de un triángulo con respecto al eje x-x de la base; al eje x’-
x’ baricéntrico y al eje x’’-x’’ que pasa por el vértice, todos paralelos entre sí.
∫∫ ==
SS
X bxdxxdsxI )..(. 22
pero por
triángulos semejantes:
).( xh
h
b
bx
b
h
bx
xh
−=∴=
−
∫ ∫ ∫−=





−=
S
h h
X dx
h
b
xdxbxdxxh
h
b
xI
0 0
322
.....).(.
333
3343
..
12
1
12
34
..
4
1
3
1
..
4
.
3
.
4
.
3
. hbhbhb
hbhbx
h
bb
bI
h
o
h
o
X =




 −
=





−=−=−=
3
..
12
1
hbIX =
Para hallar IX’ aplico Steiner: SaIISaII XXXX .. 2
'
2
' −=∴+=
36
.
36
23
.
18
1
12
1
..
18
.
12
.
3
.
2
.
12
. 3
33
3323
'
hb
hbhb
hbhbhhbhb
IX =




 −
=





−=−=





−=
36
. 3
'
hb
I X =
Para hallar IX’’ vuelvo a aplicar Steiner entre (x’-x’) y (x’’-x’’)
33
3323
2
''' ..
36
9
36
21
.
9
..2
36
.
.
3
2
.
2
.
36
.
. hbhb
hbhb
h
hbhb
SaII XX =




 +
=+=





+=+=
4
. 3
''
hb
IX =
Ix’’ es el momento de inercia de un triángulo con respecto a un eje que pasa por el vértice y es paralelo a la
base.
Ejemplo: a)Determinar el momento de inercia polar respecto al centro de figura de un área circular.
b)Empleando el resultado de la parte a), hallar el momento de inercia del área circular respecto a un
diámetro.
9
x’’ x’’
xx
dx
bx
b
h
h/3G
x’ x’
x
ds
hi .58,0≅

a) El momento de inercia polar respecto al centro es:
∫= 2
.udsIO acá duuds ..2π=
Y tenemos:
∫ ∫ ====
r r r
O
ru
duuduuuI
0 0
4
0
4
32
4
.2
4
22..2.
π
πππ
4
.
2
1
rIO π=
pero la superficie total
2
.rS π=
por la que
puedo poner
→= 2
.
2
1
rSIO momento de inercia polar con
respecto al centro de figura
b) Y el momento de inercia para el eje que sea un diámetro lo hallamos así:
YXO III += en este caso, por simetría de figura IX = IY ∴
2
.
4
1
2
2 rS
I
III O
XXO ==∴=
YX IrSI == 2
.
4
1
Ejemplo: Hallar el momento de inercia de un anillo plano (anillo circular) respecto de un eje
perpendicular al mismo y que pasa por su centro.
Consideraremos una masa elemental (dm)
como la rayada y será:
tdrrdvdm ...2.. πδδ ==
donde: tdrrdv ...2π= y
drrds ..2π=
y el momento de inercia de ese dm será:
drrtrdrtrdmrdIO ...2....2. 322 δπδπ ===
donde: tcte ..2 δπ=
y el momento de inercia total con respecto al eje será:
∫ ∫ −====
2
1
4
1
4
2
2
1
4
3
).(
2
..
4
...2.....2
R
R
R
R
OO RR
tr
tdrrttdII
δπ
δπδπ
).(.
2
1 4
1
4
2 RRtIO −= πδ
Pero (R2
4
– R1
4
) es el resultado de hacer:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
1
4
2
4
1
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
2
1
2
2
2
1
2
2 . RRRRRRRRRRRR −=−−+=+−
Entonces
10
r
o
xx
y
y
u
du
t
e
edr
R2
R1
r
dm

)).((.
2
1 2
1
2
2
2
1
2
2 RRRRtIO +−= πδ
y la masa total del anillo es: ).(..... 2
1
2
2 RRttSvm −=== πδδδ
).(.. 2
1
2
2 RRtm −= πδ por lo que reemplazando en IO
si fuera R1 = 0 (sup. maciza, no un anillo sería 2
.
2
1
RmIO = similar a 2
.
2
1
rSIe =
).(
2
1 2
1
2
2 RRmIO +=
Ejemplo: Hallar el momento de inercia de un paralelepípedo rectangular con respecto a los planos
ortogonales que pasan por el centro de masa y gravedad G:
La masa total del cuerpo es:
m = S . c . δ
Y la masa elemental es:
dm = S . dz . δ
El momento de inercia elemental con
respecto al plano que pasa por O y es
perpendicular a z (sería con respecto al
plano xy) es:
dIO = dm . z2
= S . δ . dz . z2
= xydI
∫∫
+
−
+
−








+====
2/
2/
33
2/
2/
3
2
88
.
3
.
3
.....
C
C
C
C
OXY
CCSz
SdzzSdII
δ
δδ
12
.
.
12
..
.
4
1
.
3
. 2
23 Cm
C
CS
C
S
IXY ===
δδ
ya que m = S . c . δ
→= 2
.
12
1
CmIXY momento de inercia total con respecto al plano xy (momento de inercia resistente)
De la misma manera se obtienen: →= 2
.
12
1
amIYZ I con respecto al plano yz
→= 2
.
12
1
bmIXZ I con respecto al plano xz
Entonces, para hallar el momento de inercia con respecto a cualquier eje baricéntrico (x; y; z) y recordando
que el I para un eje es igual a la sumatoria de los I de los planos que se cortan sobre dicho eje (en el plano
era el momento de inercia para un punto (el Io polar) es a la sumatoria de los momentos de inercia de los ejes
que se cortan en ese punto); tenemos:
).(.
12
1
).(.
12
1
..
12
1
...
12
1 222222
cbmIcbmcmbmIII XXYZXX +=∴+=+=+=
).(.
12
1
).(.
12
1
..
12
1
...
12
1 222222
camIcamcmamIII YXYZYY +=∴+=+=+=
11
C
z
x
y
b
a
z
dz
o

).(.
12
1
).(.
12
1
..
12
1
...
12
1 222222
bamIbambmamIII ZZXZYZ +=∴+=+=+=
y el momento de inercia del paralelepípedo con respecto al punto O, que es su centro de masas, será la
sumatoria de los momentos de inercia de los planos que se cortan en O.:
).(.
12
1 222
acbmIIII ZXYZXYO ++=++=
).(.
12
1 222
cbamIO ++= es igual a la Σ de los momentos de inercia con respecto a los planos ortogonales.
Ejemplo: hallar el momento de inercia de un cilindro con respecto a su eje.
Masa total = densidad por volumen ∴ lrvm .... 2
πδδ ==
donde: lrv .. 2
π=
Superficie de la corona elemental (rayada):
duuS ...2 π=
Volumen del cilindro elemental:
lduulSdv ....2. π==
Masa del cilindro elemental:
duulduludvdm ....2...2.. δππδδ ===
Para hallar el momento de inercia elemental con respecto al eje x, tenemos:
duuludmdIXX ....2. 32
δπ== y el momento de inercia total:
∫ ∫ ======
r
XXXX rmrlr
rlr
lduuldII
0
222
44
3
.
2
1
....
2
1
2
...
4
...2....2 πδ
δπ
δπδπ
donde: lrm ... 2
πδ=
2
.
2
1
rmIX = con otra notación →= 2
.
2
1
RMIX R = radio del cilindro
Ejemplo: Hallar el momento de inercia de una esfera con respecto a su centro, la masa total de la esfera
es:
δππδδ ..
3
4
.
3
4
.. 33 rmrvm =⇒==
Considerando las superficies esféricas de radio u y (u+ du) el volumen
elemental contenido entre ambas es:
12
l
x ≡ e
x
du
r
dm
u
u+ du
u
∆r
du
[ ]322333
.3.3
3
4
.
3
4
).(
3
4
uduuduuuuduudv /−++/=−+= πππ
desprecio el infinitésimo de 2do
orden

duuduudv ..4.3.
3
4 22 ππ ==
y la masa diferencial será: duudvdm ..4.. 2
πδδ ==
y el momento de inercia con respecto al centro será:
duuudmdIO ..4.. 42
πδ== y el ∫ ∫==
r
OO duudII
0
4
...4 δπ
235
0
5
...
5
4
..
5
4
5
..4 rrr
u
I
r
O δπδπδπ ===
donde: ⇒= 3
..
5
4
3 rm δπ si la m = 4/3π.r3
.δ es 3m = 4π.r3
.δ
2
.
5
3
rmIO = o con otra notación →= 2
.
5
3
RMIO momento de inercia con respecto al centro de la esfera.
Si queremos trabajar con los planos ortogonales y los ejes de
figura (que será un diámetro), tenemos:
XYZXZYO IIII ++=
pero por simetría de figura es: XYZXZY III == ; por lo tanto IO = 3 I ∴
∴==== 2
..
3
1
.
5
3
3
rm
I
III O
XYZXZY
2
..
5
1
rmIII XYZXZY === con respecto a los planos
y recordando que el momento de inercia con respecto a un eje es igual a la suma de los momentos de inercia
con respecto de dos planos perpendiculares que se cortan en él, tenemos:
2
.
5
2
rmIII XYZXX =+= ;
2
.
5
2
rmIY = ;
2
.
5
2
rmIZ =
son los momentos de inercia con respecto a ejes que pasan por el centro (o sea, son diámetros)
FORMULA FUNDAMENTAL DE LOS MOVIMIENTOS DE ROTACIÓN
Consideremos una partícula que gira alrededor de un eje vertical al que está unida mediante una barra OM
(de masa despreciable), m es la masa de la partícula y r la distancia desde O, la masa de la barra es
despreciable.
Aplicamos a la barra una fuerza F constante y siempre
perpendicular a la barra.
13
x
z
y
dm
r
c
∫ ∫ ∫ ∫∫ ++=++==
m m m mm
O dmzdmydmxdmzyxrdmI ...).(. 2222222
momentos de inercia de la esfera con respecto
a los planos zy; zx;
y xy respectivamente
A
R
R
M
m
F
ds
dθ
v

eO

La masa comienza a moverse con un movimiento uniformemente acelerado; habiéndose desplazado el punto
A un ds, tenemos un diferencial de trabajo.
θdRFdsFdw ... == ya que ds = R.dθ
pero F.R es el momento estático de la F con respecto al punto O (MFo )
→= θdMdw Fo. trabajo elemental en movimiento circular.
Y la potencia sería:
ωω
θ
... FoFoFo MPM
dt
d
M
dt
dw
P =∴===
Por lo demás, la energía cinética de la partícula m es:
2
..
2
1
vmEC = como v = ω. r es 2222
..
2
1
...
2
1
ωω rmrmEC ==
donde m.r2
= IO de m con respecto a O.
→= 2
..
2
1
ωOC IE Energía cinética en mov. Angular o Energía cinética de rotación.
Como el movimiento es uniformemente acelerado, ω va aumentando y por lo tanto aumenta la EC (cuando ω
aumenta un dω, la EC aumenta un dEC).
Si derivo la expresión de EC tengo (d EC = ½ . IO . 2ω. dω = IO. ω. dω)
dEC = IO. ω. dω
Y, por el Teorema de las fuerzas vivas, el incremento de EC es igual al trabajo realizado:
dw = dEC ∴ MFo .dθ = IO. ω. dω ∴ MFo = IO. ω.
θ
ω
d
d
Resulta:
MFo = IO . α Formula Fundamental de los Movimientos de Rotación (es similar a F = m.a).
En los movimientos de rotación, el momento de inercia IO cumple el mismo papel que la masa en los
movimientos de traslación (también hay similitud en ).
2
1
.
2
1
( 22
vmEyIE CoC =→→= ω ;
Vemos que cuando mayor es el momento de inercia IO, es mayor el momento estático MFo para producir la
misma aceleración angular, o sea que IO es, físicamente, la resistencia que ofrece un cuerpo (sección) al
cambio de estado (estado de rotación) que tiene un cuerpo. Es la medida de la resistencia inercial de un
cuerpo a cambiar el valor de la aceleración rotatoria.
Ejemplo: Si tenemos un hombre sentado quieto sobre un taburete giratorio con dos pesas en sus manos y los
brazos extendidos a los costados, el hombre no cambia de posición mientras que el taburete gira con una
cierta aceleración angular cte=α y el hombre experimenta un movimiento acelerado uniformemente.
14
Recordando que:

Si el hombre junta los brazos al cuerpo, disminuye su momento de inercia Io (hombre más pesas) pues las
distancias de las pesas y brazos al eje disminuyen y como αoo Im = , el momento exterior Mo hace que
gire con una aceleración
12 αα 〉
21 αα ooo IIctem === si
oo II 〈' será
12 αα 〉
Es el mismo caso de los bailarines de ballet que, al comenzar a girar, extienden los brazos y, luego de
conseguir una cierta velocidad angular ω producto de una cierta aceleración 1α juntan los brazos al
cuerpo disminuyendo su momento de inercia Io y aumentando así la aceleración angular
12 αα 〉 y
consiguiendo en consecuencia mayor velocidad angular ω.
MOMENTO CINÉTICO o MOMENTO ANGULAR
v = 0
t = 0
v1= 0
t1
v2 > v1
t 2
A(m) A1 A2
F F F
x
y
z
Galileo Galilei propuso lo siguiente: “Si tengo un sistema de ejes coordenados y un punto material de masa
m; y aplico a ese punto una fuerza F tal que la haga desplazar de A a A1 y luego hasta A2 ; si luego
suprimimos esa fuerza y no hay rozamiento, queda el cuerpo con velocidad uniforme hasta el infinito”.
“Momento” quiere decir “importancia” y “cinético” quiere decir “movimiento” o sea que momento cinético
con respecto a un eje es “la importancia del movimiento para producir rotación” alrededor de dicho eje.
O también se podría decir que momento cinético quiere decir “importancia de la cantidad de movimiento”
respecto a un punto.
Si tengo un punto material A (m) que tiene una velocidad v-2
, tangente a la curva que describe dicho punto A
(m) como trayectoria, decimos que: “El momento cinético con respecto al punto O (MCO) es el PRODUCTO
VECTORIAL del vector posición (r) por la masa multiplicada escalarmente por la velocidad”.
vmrMCO

.∧=
i
jk
r A(m)
v
x y
z
x
Mco
y
z
15

Por definición: es un vector normal al plano formado por ( r ) y (v).
Y el módulo del momento cinético será, una vez resuelto el producto vectorial:
ϕsenvmrMCO ...=
Y el vector MCO se origina en el origen O y su sentido es el que da la regla de la mano derecha.
Si los ejes son x; y; z los vectores serán (sus módulos):
v = vX; vY; vZ
r = rX; rY; rZ
y podemos escribir la ecuación del MCO en función de las componentes de los vectores r y v.m o sea, como
determinantes.
zyx
CO
vmvmvm
zyx
kji
M
...
=

es decir
→
coM = MCX . →
i + MCY .
→
j + MCZ . →
k
donde: MCX = )...(....
..
YZYZ
ZY
vzvymvmzvmy
vmvm
zy
−=−= siendo MCX el módulo del vector
momento cinético con respecto al eje x.
donde: MCY = - )..()...(
..
ZXXZ
ZX
vxvzmvmzmvx
vmvm
zx
−=−−= comp.. del MCO con respecto
al eje y.
donde: MCZ = )...(...
..
XYXY
YX
vyvxmvmymvx
vmvm
yx
−=−= módulo del vector MCO con
respecto al eje z.
Si la partícula se mueve en un plano (el xy por ejemplo) tenemos que z = vZ = 0, entonces sólo queda:
MCZ = m.(x.vY-x.vZ) = |MCZ| → vector coincidente con el eje de las z.
MOMENTO CINÉTICO EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
16

A(m)v
Mco
r
O
Mco
v
r
e
O
Supongamos ahora que la trayectoria sea una circunferencia:
Ya vimos que: MCO = r ∧ m.v
El MCO es un vector que esta en el eje O y es perpendicular al plano de la circunferencia, depende su sentido
de la regla de la mano derecha que elija, por eso es un SEUDO VECTOR.
Pero en una circunferencia r es siempre perpendicular a v (ϕ = 90º); entonces:
MCO = r ∧ m.v y
vmrMvmrvmrM COCO ....º90sen... =∴==
Y también en el movimiento circular: v = ω . r por lo tanto
MCO = r . m . ω . r = m . r2
. ω pero m . r2
= IO (momento polar de inercia)
MCO = IO . ω esto es: Momento cinético (módulo del) en el mov. circular ó
Movimiento angular en el mov. circular ó
Cantidad de movimiento en el mov. Circular (en el mov.
rectilíneo es a Q = m . v)
Si en vez de una masa m que gira en una circunferencia es una chapa delgada (o una superficie) que gira
alrededor de un eje que pasa por O y es perpendicular a la superficie, tenemos:
vdsrsenvdsrdmvdsrmd ococ ..º90.... ==⇒∧=
→→→
∫ ∫ ∫===
S S S
dsrdsrrdsvr .......M 2
CO ωω ctesi =⇒ ω
O
S
Idsr ...M 2
CO ωω == ∫ ya que:
∫ = OIrds 2
. = momento de inercia polar de la chapa con respecto al punto
O.
MCO = ω . IO
Es decir que, el módulo del momento cinético de una superficie que gira alrededor de un eje perpendicular a
la superficie, es igual al producto del momento de inercia polar de toda la superficie respecto de O (en que el
eje corta la chapa) por la velocidad angular.
En las trayectorias que sean circunferencias el momento estático es:
MFo = IO . α → formula fundamental de los movimiento. de rotación
17
ds
r
v
oeje

Pero como
dt
dω
α = es
dt
d
IM OFo
ω
.= ∴ ωdIdtM OFo .. =
E integrando tenemos: 1212
2
1
2
1
..).(.. ωωωωω
ω
ω
OOOO
t
t
Fo IIIdIdtM −=−=∫=∫
Siendo el valor IO .ω2 el momento cinético en el punto 2 y IO .ω1 el momento cinético en el punto 1:
∫ −=
2
1
12 ...
t
t
OOFo IIdtM ωω ⊗
A la ∫
2
1
.
t
t
Fo dtM la llamamos IMPULSION ANGULAR; y por lo tanto vemos que “la impulsión angular es
igual al incremento del momento cinético”, (en movimiento rectilíneo era ∫ −=
2
1
12 ...
t
t
vmvmdtF )
vendría a ser físicamente un IMPULSO para aumentar o disminuir la importancia para producir rotación que
tiene la masa con una cierta velocidad .
En la ecuación ⊗ vemos que si MFo = 0 ( o sea, el momento de las fuerzas resultantes es nulo) y si ω = cte;
entonces:
IO.ω2 = IO . ω1 = IO . ω = cte.
Es decir que, si MFo = 0, el momento cinético es constante: MFo = cte = IO . ω o sea que el cuerpo mantiene
la misma importancia para producir rotación alrededor de un eje.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO
Ya vimos que si tenemos una masa m con una cierta v, con respecto a un punto O el momento cinético es:
→→→
∧= vmrM oc .
Si derivo como un producto común con respecto al tiempo
→→→
→→
→→
→
→
∧+∧=∧+∧= amrvm
dt
rd
dt
vd
mrvm
dt
rd
M
dt
d
oc .... siendo:
→
→
→
→
== a
dt
vd
yv
dt
rd
→→→→→
∧+∧= amrvmvM
dt
d
oc .. siendo: m →
a
= →
F
y →
v ∧ m.→
v = 0 por ser producto vectorial de dos vectores de igual dirección y sentido, por lo que sen
θ = 0
FrM
dt
d
CO ∧= momento estático de F con respecto a O (MFo).
FoCO MM
dt
d
= → PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO
Es decir que la derivada con respecto al tiempo del momento cinético (tomando a MCO con respecto a un
centro inmóvil O) es igual al momento estático de las fuerzas actuantes sobre la partícula respecto del
mismo centro O.
18

De esta última ecuación vemos que si MFo = 0 (la fuerza pasa por O ó no hay F) entonces decimos que MCO =
cte (pues su derivada es cero), o sea que el momento de la cantidad de movimiento (que es un vector ↑MCO)
tiene módulo, dirección y sentido CONSTANTE.(si su derivada es nula, se trata de un valor constante)
APLICACIONES: LEYES DE KEPLER
En la práctica este resultado tiene mucha importancia en el caso de
movimiento bajo la acción de una fuerza central (es aquella cuya
línea de acción pasa todo el tiempo por el centro dado O).
Como ejemplo de tales fuerzas puede servir la fuerza de atracción
del Sol sobre los planetas; o la de la Tierra sobre su satélite, la
Luna, o sobre cualquier satélite artificial.
Utilizando la ecuación FoCO MM
dt
d
= examinaremos el
movimiento del punto M, sometido a la acción de una fuerza
central F, considerando el sistema de referencia elegido con su
centro en el centro del Sol:
En este caso, donde M puede ser el centro de la Tierra y O el centro del Sol, tenemos que el momento MFo de
la fuerza F aplicada en el centro de la Tierra con respecto a O, es nulo:
MFo = 0 y por lo tanto 0=COM
dt
d
Lo que equivale a decir que MCO = cte y también es MCO = r ∧ m. v = vector constante y como m = masa de
la Tierra es = cte, tenemos que:
Es decir, el módulo, dirección y sentido de MCO(V) son constantes ∴ entonces es un vector fijo en O y esta
dirigido perpendicularmente al plano que contiene a los vectores r y v; por consiguiente , si este vector
MCO(V) siempre tiene una dirección constante, el radio vector OM = r del punto M y el vector de la velocidad
en M (v) deben ser en todo momento coplanares ( y su plano perpendicular a MCO(V)): de aquí concluimos que
la trayectoria del punto M ( sea la Tierra, la Luna o cualquier satélite) es una curva plana, considerando fijo
el Sol. Puede ser una curva circular o elíptica pero siempre plana.
Además, el módulo de MCOV será MCO(V)= r.v.sen ϕ pero r.sen ϕ = h
MCO(V)= v.h = cte
19
dδ
M
M1
ϕ
v
F
F h
o
ϕ

MCO(V)
= vector en función de la velocidad = r ∧ v = vector constante
Momento cinético de la velocidad

v
O
90º
180 -
h M
M'
ds
r
Como el modulo de MCO(V) es constante eso significa que el módulo de la velocidad v podrá variar pero al
mismo tiempo deberá variar h (distancia del centro del Sol al vector velocidad del satélite o planeta) para que
su producto (v.h) permanezca CONSTANTE.
Este último resultado tiene una interpolación geométrica evidente, ya que v.h = cte pero:
dtvds
dt
ds
v .=∴=
ϕϕ sensen =−º180
sen 150º = sen 30º
Observando la figura, (ds.h) es igual al doble del área de un triángulo elemental OMM’, que tiene por base a
ds y por altura a h; por consiguiente:
dt
d
h
dt
ds
hv
σ
.2.. == siendo: ds.h = 2.dσ ∴ dσ = diferencial de sup. = área del triág. OMM’
Es igual al doble de la superficie σd del triángulo OMM’
La magnitud dσ/dt determina la velocidad con la cual aumenta el área que describe el radio vector
→
r = →
OM durante el movimiento. del punto M sobre su trayectoria (órbita) del planeta) y se llama
VELOCIDAD DEL SECTOR o VELOCIDAD AREOLAR del punto.
=
dt
dσ
velocidad del sector o velocidad areolar del punto.
MCO(V)= v.h = cteM
dt
d
dt
d
VCO ==∴ )(.2/1.2
σσ
De modo que un punto, sometido a la acción de una fuerza central (recordar que el sistema de referencia
tiene su centro coincidente con el centro del Sol) se mueve por una curva plana (órbita) con una velocidad
del vector constante es decir, de tal modo que el radio vector r del punto, durante iguales intervalos (tiempos
iguales), describe áreas iguales (si esta más lejos va más despacio y viceversa).
Esta ley tiene lugar durante el movimiento de los planetas o satélites y es una de las LEYES DE KEPLER,
llamada LEY DE LAS ÁREAS.
Su consecuencia, las órbitas de los planetas son planas (suponiendo al Sol fijo) y, admitiendo otra ley de
Kepler, son ELÍPTICAS, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse
20

v1
v2
1
2
4
sol
áreas iguales
El área producida por el movimiento del planeta es igual a otra área cualquiera entre su órbita y el Sol, en
tiempos iguales:
área 102 = área 304 pero el arco 1,2 < arco 3,4
de esto deducimos que v1<v2 ya que los tiempos son iguales, por lo que el módulo de v no es constante.
La elipse que recorre la Tierra tiene poca excentricidad (es muy semejante a una circunferencia).
Si tomamos como referencia una estrella (como centro) y los ejes que resultan de unir esa estrella con otras
(sería el sistema de referencia llamada helicoide estelar a plano director), la Tierra describe una hélice
elíptica, (al moverse todo el sistema solar)
LEYES DE KEPLER
En 1609 y como resultado de una serie de observaciones, Kepler enunció tres leyes empíricas que confirman
la idea de Copérnico de que los planetas giran alrededor del Sol (Teoría heliocéntrica):
1. Ley de las órbitas: Los planetas giran alrededor del Sol, describiendo órbitas elípticas en uno de
cuyos focos está el Sol
21

2. Ley de las áreas: Las áreas batidas por un radio vector son directamente proporcionales a los
tiempos empleados en barrerlas (la velocidad areolar es constante, no así la
velocidad lineal del móvil).
v1
v2
sol
áreas iguales
(1) = (2) en el mismo tiempo con lo que
12 vv 〉
3. Ley de los períodos:Los cuadrados de los períodos Ti son proporcionales a los cubos de los
semiejes
mayores de las respectivas órbitas.
S
a1 P1
1
a2
P2
T2
S
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )3
1
3
2
2
1
2
2
3
2
2
2
3
1
2
1
a
a
T
T
a
T
a
T
=⇒=
Fue a partir de estas tres leyes de Kepler que Newton dedujo (aproximadamente) la Ley de Gravitación
Universal.
Lo hizo solo “aproximadamente” porque supuso para su deducción que las órbitas eran circulares
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22

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