Vigas, momento de inercia

1. EQUILIBRIO.
Un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o tiene un
movimiento uniforme. Analíticamente se expresa cuando la resultante de las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo es nula, se afirma así que el sistema de fuerzas no produce
efecto alguno sobre el cuerpo y se dice que el sistema de fuerzas está en equilibrio.
R = ∑F = 0
Para evaluar la situación de equilibrio en un cuerpo determinado, se hace un
gráfico del mismo llamado Diagrama de cuerpo libre. Este diagrama consiste en aislar
completamente el cuerpo o parte del mismo y señalar todas las fuerzas ejercidas sobre
él, ya sean por contacto con otro cuerpo o por su propio peso. Luego se aplican las
condiciones de equilibrio, las cuales se pueden expresar en forma de ecuaciones que se
denominan ecuaciones generales de equilibrio, también llamadas ecuaciones básicas de
la estática:
1. La suma algebraica de fuerzas en el eje X que se denominan Fx, o fuerzas con
dirección horizontal, es cero.
ΣFx = 0 → Σ Fh = 0
2. La suma algebraica de fuerzas en el eje Y denominadas Fy, o fuerzas con
dirección vertical, es cero.
ΣFy = 0 → ΣFv = 0
3. La suma algebraica de momentos M, o tendencias de giro respecto a un punto
determinado en equilibrio, es cero.
ΣM = 0 (Beer y Johnston, 1979; Orozco, 2000; Parker y Ambrose, 1995)
Es importante recordar que la convención de signos adoptada, en el presente
material, para la aplicación de las ecuaciones generales de equilibrio para fuerzas y
momentos, en todos los casos y ejemplos, es la siguiente:
Figura 1. Convención de signos.
Bibliografía
Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.
Facultad de Arquitectura y Diseño
Universidad de Los Andes, Venezuela
Sistemas Estructurales 10 Prof. Jorge O. Medina

2. Orozco, E. (2000). La estática en los componentes constructivos. San Cristóbal,
Venezuela: FEUNET
Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y
constructores. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V.
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3. ANALISIS DE ESTRUCTURAS RÍGIDAS
Definición
Viga
Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares al
eje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte (véase Figura 1); si las cargas no son
perpendiculares se produce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño.
Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) (Nota: Según Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. (p. 92) , por
Parker, H. y Ambrose, J. 1995. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.)
Pórtico
Se conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual las uniones son rígidas y su diseño
está gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en las columnas (véase Figura 2).
Figura 2. Pórtico
Ecuaciones de equilibrio
El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante
de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada
par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio
de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes:
∑F x =0 ; ∑F y =0 ; ∑M pto =0 (Ec. 1)
Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones x
y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas
externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado (Beer y
Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).
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4. El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en
un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los apoyos para
hacer que la estructura este en equilibrio.
Tipos de apoyos
Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se
encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las
cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones
representan las incógnitas de un problema matemático.
Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está
empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).
Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida
Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies
lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de
este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en
uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.
Apoyo Esquema del apoyo y reacciones Número de
incógnitas
1
R
1
R
2
R2
α
R
R1
3
Par R2 R3
R α R1
Figura 3. Tipos de apoyos
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5. Reacciones formada por una fuerza de dirección desconocida
Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: articulaciones, bisagras y superficies
rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo libre en todas las direcciones pero no impiden la
rotación del cuerpo alrededor de la conexión. En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas que
se representan generalmente por sus componentes x y y.
Reacciones formada por una fuerza y un par
Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento
inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incógnitas, que son
generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par.
Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su
determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta
indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979).
Estructuras estáticamente determinadas o isostáticas
Se considera que una viga es estáticamente determinada o isostática cuando se pueden determinar las
reacciones mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones
en la viga sea igual a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga este completamente
inmovilizada1; por ello antes de resolver una viga isostática se debe analizar la estabilidad.
Cuando el número de reacciones en una viga es menor a tres, se dice que la viga está parcialmente
inmovilizada o inestable, porque las reacciones no son suficientes para impedir todos los posibles
movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio.
Por otra parte, al tener mas de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática,
para analizar estas vigas se requiere considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones
adicionales para que el sistema sea determinado2. Las vigas hiperestáticas tienen más reacciones de las
necesarias para que el cuerpo esté en equilibrio, por lo cual queda restringida la posibilidad de movimiento
(Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).
Tabla 1. Condiciones de la viga
Número de ecuaciones de Número de incógnitas Condición de viga
equilibrio
3 <3 Parcialmente inmovilizada o inestable
3 3 Estáticamente determinada o isostática3
3 >3 Estáticamente indeterminada o hiperestática
Tipos de vigas
Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos
grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y
posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las
hiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y
también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga (Parker y Ambrose,
1995).
1
Condición requerida para la realización de un análisis estructural, al ser la estabilidad el segundo
requisito que debe cumplir una estructura.
2
Estas ecuaciones se obtienen del estudio de la mecánica de los sólidos deformables o resistencia de
materiales.
3
Condición necesaria pero no suficiente para considerar que la viga sea estable.
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6. Isostáticas Simplemente apoyada
Volado o cantilever
Figura 4a. Tipos de vigas según los apoyos y la ubicación además las formas típicas que toma al deformarse
Hiperestáticas Doblemente articulada
Empotrada y rodillo
Empotrada y articulada
Doblemente empotrada
Continua
Figura 4b. Tipos de vigas según los apoyos y la ubicación además las formas típicas que toma al deformarse
Cargas
Definición
Las cargas en una estructura son las fuerzas que actúan en ella y producen cambios en el estado de
tensiones y deformaciones de los elementos que conforman edificación. Los efectos de las cargas son
similares a los efectuados por los asentamientos, efectos de temperatura, reología, etc, (COVENIN, 1988).
Tipos de cargas
Una viga esta sometida a dos grupos de cargas denominadas concentradas o puntuales y distribuidas.
El primer grupo está formado por fuerzas actuando en un punto definido, como por ejemplo, una fuerza
aplicada o un momento aplicado. Están expresadas en unidades de fuerza o de momento (N, lb, kgf, N*m,
lb*pie, kgf*m, etc.).
En cuanto al segundo grupo, la carga distribuida es aquella que actúa sobre una longitud de la viga. La
magnitud de la carga distribuida puede ser constante por unidad de longitud o variable y se expresa en
unidades de fuerza sobre unidades de longitud (N/m, lb/pie, kgf/m). La magnitud de la fuerza originada por
esta carga es igual al área de la forma generada por la carga y se ubica en el centroide de la mencionada forma
(Beer y Johnston, 1979; Parker y Ambrose, 1995).
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7. Tipo Representación Unidades Magnitud
Fuerza concentrada P Unidades de fuerza P
N, lb, kgf, etc..
P
Momento aplicado M Unidades de M
momento
N*m, lb*pie,
kgf*m, etc..
M
Carga distribuida w
X
P Unidades de fuerza
/ longitud
Magnitud (P)=w*l
W Posición (x) = l/2
N/m; lb/pie;
kgf/m, etc.
l
X P Magnitud (P)=
W Area de la figura
Posición (x) = En
el centroide de la
figura
l
Figura 5. Tipos de cargas
Correa Correa Columna
Excéntrica
P P P
M
Peso aplicado en una
superficie
Peso propio de la viga
W1 W2
Figura 6. Representación de acciones reales en cargas sobre una viga.
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8. Representación de cargas
Los vectores son las herramientas matemáticas que permiten figurar una carga sobre una viga y son la
representación de una acción que ocurre en la estructura real; por ejemplo una columna que descansa sobre
una viga sería un caso de carga puntual (véase Figura 6). Un ejemplo para cargas distribuidas sería el peso
propio de los elementos o una losa de piso de concreto soportada por una viga (véase Figura 6 y 7).
Losa
Viga
Losa
Viga
Figura 7. Representación de la losa sobre una viga.
Procedimiento de análisis de reacciones
Para determinar las reacciones de una vig mediante un análisis estático en dos dimensiones se debe
proceder de la siguiente manera:
− Determinar el diagrama de cuerpo libre, en el cual se aísla la viga de sus apoyos, sustituyéndolas
por las fuerzas que se generan en los apoyos o reacciones, así como las fuerzas externas aplicadas
en la viga.
− Determinar si el cuerpo es estáticamente determinado. Si el número de reacciones es menor de tres
(r<3) es inestable; por otra parte si el número es mayos a tres (r>3) la estructura es indeterminada
y el análisis estático finaliza. Si la estructura es isostática (r=3) se verifica la estabilidad, de no ser
estable, el análisis igualmente finaliza, solo el procedimiento continua si la estructura es isostática
y estable.
− Se determinan las reacciones usando la Ecuación 1, de manera que en cada ecuación exista una
sola incógnita o reacción. El signo positivo de la respuesta para la magnitud de la fuerza indica
que el sentido supuesto inicialmente en el diagrama de cuerpo libre era correcto, el signo negativo
indica que el sentido correcto de la reacción es contrario al supuesto inicialmente.
− Se deben determinar las tres reacciones usando tres ecuaciones de equilibrio.
− Los resultados deben ser verificados con las ecuaciones que no hayan sido utilizadas (Das,
Kassimali y Sami, 1999).
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9. Bibliografía
− Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica Vectorial para Ingenieros I, Estática. Bogotá, Colombia:
McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.
− COVENIN (1988). COVENIN 2002-88 Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de Edificaciones.
Caracas, Venezuela: Fondonorma.
− Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros, Estática. México D.F., México:
Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
− Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. México D.F.,
México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
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