Características y propiedades de los logaritmos.

1. LOGARITMOS
MT21PPT006BAS-A20V1

2. CLASE 6: LOGARITMOS
• Definición y cálculo de
logaritmos
• Propiedades de
logaritmos
• Comprender el concepto de
logaritmo.
• Calcular logaritmos aplicando
definición.
• Aplicar propiedades de logaritmos
para reducir, transformar o
determinar logaritmos numéricos
y algebraicos.

3. Por ejemplo: si queremos determinar el valor de 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟖𝟏, debemos
preguntarnos “¿3 elevado a cuánto es 81?” Así, se tiene que 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟖𝟏 = 𝟒.
DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Un logaritmo corresponde al exponente de una potencia.
Es decir, si 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 = 𝐧, entonces se tiene que 𝐚𝐧 = 𝐛.
a: base (a > 0 y a ≠ 1)
b: argumento (b > 0)
n: logaritmo (n ∈ ℝ)
Cuando en un
logaritmo no
aparece la base,
significa que el valor
de ésta es 10.
Para utilizar propiedades de logaritmos es fundamental
verificar que se encuentre bien definido, por medio de
sus restricciones de base y argumento.
CLASE 6: LOGARITMOS

4. 1) El valor de
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗−𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎
es igual a
A) −
1
10
B) −1
C) −
1
2
D) −2
log3 9 − log2 8
log 100
=
2 − 3
2
=
−1
2
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
(Aplicar)
CLASE 6: LOGARITMOS

5. Si en el argumento de un logaritmo existe un
producto, entonces ese logaritmo es igual a la suma
de los logaritmos de los factores, manteniendo la
base original.
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 ∙ 𝐜 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 + 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐜
Ejemplos: a) log 3 + log 8 = log 3 ∙ 8 = log 24
b) log xy = log x + log y
LOGARITMO DEL PRODUCTO
CLASE 6: LOGARITMOS
LOGARITMO DE LA UNIDAD
Para toda base positiva distinta de 1,
el logaritmo de uno es cero.
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟏 = 𝟎
Ejemplo: log0,8 1 = 0
Si el argumento y la base tienen el
mismo valor positivo distinto de 1,
entonces el logaritmo es uno.
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐚 = 𝟏
Ejemplo: log120 120 = 1
No hay propiedad para sumas
en el argumento de un
logaritmo.
loga(b + c) ≠ loga b + loga c
loga(b + c) ≠ loga b ∙ loga c
LOGARITMO DE LA BASE

6. Si en el argumento de un logaritmo existe un
cuociente, entonces ese logaritmo es igual a la
resta de los logaritmos de su dividendo y divisor,
manteniendo la base original.
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 ∶ 𝐜 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 − 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐜
Ejemplos: a) log 20 − log 5 = log 20 ∶ 5 = log 4
b) log
𝑥
4
= log 𝑥 − log 4
LOGARITMO DEL CUOCIENTE
CLASE 6: LOGARITMOS
LOGARITMO DE LA POTENCIA
Si en el argumento de un logaritmo existe una potencia, entonces ese logaritmo
es igual al producto entre el exponente del argumento original con el logaritmo
de la base de la potencia (conservando la base original).
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛𝐜 = 𝐜 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
Ejemplos: a) log 53
= 3 ∙ log 5 b) log p−5
= −5 ∙ log p
No hay propiedad para restas
en el argumento de un
logaritmo.
loga(b − c) ≠ loga b − loga c
loga(b − c) ≠ loga b : loga c

7. 2) La expresión 𝐥𝐨𝐠
𝟖𝟐 ∙ 𝟒𝟎
𝟏𝟔
es equivalente a
A) 1 + 12 log 2
B) 1 + 10 log 2
C) 2 log 2
D) 1 + 4 log 2
log
82
∙ 40
16
= log 82 + log 40 − log 16
= 2 log 23 + log(22 ∙ 10) − log 24
= 6 log 2 + 2log 2 + log 10 − 4log 2
= 1 + 4 log 2
ALTERNATIVA
CORRECTA
D
(Aplicar)
CLASE 6: LOGARITMOS

8. Si en el argumento de un logaritmo existe una raíz, entonces ese logaritmo es igual
al producto entre el recíproco del índice de la raíz y el logaritmo de la cantidad
subradical de la raíz, conservando la base del logaritmo original.
𝐥𝐨𝐠𝐚
𝐧
𝐛 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
𝟏
𝐧 =
𝟏
𝐧
∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
LOGARITMO DE LA RAÍZ
CLASE 6: LOGARITMOS
CAMBIO DE BASE
Para cambiar la base de un logaritmo (a una más
“conveniente”) se divide el logaritmo del
argumento original por el logaritmo de la base
original. Ambos deben tener la nueva base elegida.
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 =
𝐥𝐨𝐠𝐜 𝐛
𝐥𝐨𝐠𝐜 𝐚
Ejemplo: log
3
5 =
1
3
log 5 =
log 5
3
Ejemplos: a) log100 1000 =
log 1000
log 100
=
3
2
b) log16 8 =
log2 8
log216
=
3
4

9. 3) ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
A) log3 27 = 9
B) log 4 + log 8 = log 12
C) log
5
2 =
log 2
5
D)
2 log 45
log 15
= log 32
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
(Aplicar)
A) log3 27 = 3
B) log 4 + log 8 = log 8 ∙ 4 = log 32
CLASE 6: LOGARITMOS
C) log
5
2 = log 2
1
5 =
1
5
∙ log 2 =
log 2
5
D)
2 log 45
log 15
=
log 452
log 15
= log15 452

10. 4) Al reducir la expresión
𝐥𝐨𝐠 𝟒
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔
+ 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐 𝟖 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎𝟎 se
obtiene
A)
2
5
B)
2
3
C) −
2
3
D) −
2
5
ALTERNATIVA
CORRECTA
D
(Aplicar)
log 4
log 16
+ log32 8 − log 1000
= log16 4 + log32 8 − log 1000
1
2
=
log4 4
log4 16
+
log2 8
log2 32
−
1
2
∙ 3
=
1
2
+
3
5
−
3
2
=
5 + 6 − 15
10
= −
4
10
= −
2
5
CLASE 6: LOGARITMOS

11. 5) Si 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝐚, 𝐥𝐨𝐠𝐛
𝟏𝟐𝟓
𝟖
= −𝟑, 𝐲 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝐜 = −𝟑, ¿cuál es
el valor de (𝐚𝐛𝐜)?
A) −
15
16
B)
24
5
C) −
5 2
16
D) 30 ALTERNATIVA
CORRECTA
B
(ASE)
CLASE 6: LOGARITMOS
log2 8 = a
→ 2a
= 8
2a = 23
2a = 2
3
2
a =
3
2
logb
125
8
= −3
→ b−3 =
125
8
b−3 =
5
2
3
b−3 =
2
5
−3
b =
2
5
log1
2
c = −3
→
1
2
−3
= c
23 = c
c = 8
a ∙ b ∙ c =
3
2
∙
2
5
∙
8
1
=
48
10
=
24
5

12. LOGARITMOS
LOGARITMO DE
LA UNIDAD
PROPIEDADES
a: base (a > 0 y a ≠ 1)
b: argumento (b > 0)
n: valor del logaritmo
Si 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 = 𝐧,
entonces 𝐚𝐧 = 𝐛
CLASE 6: LOGARITMOS
LOGARITMO DE
LA BASE
LOGARITMO DEL CUOCIENTE
LOGARITMO DE LA POTENCIA
LOGARITMO DEL PRODUCTO LOGARITMO DE LA RAÍZ
CAMBIO DE BASE
𝐥𝐨𝐠𝐚
𝐧
𝐛 =
𝟏
𝐧
∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 ∶ 𝐜 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 − 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐜
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛𝐜 = 𝐜 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟏 = 𝟎
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 =
𝐥𝐨𝐠𝐜 𝐛
𝐥𝐨𝐠𝐜 𝐚
, con c > 0 y c ≠ 1
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 ∙ 𝐜 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 + 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐜
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐚 = 𝟏

13. ¡¡Gracias por tu asistencia!!
La próxima clase estudiaremos «ÁLGEBRA,
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN»
CLASE 6: LOGARITMOS