Leccion3

1. Univ. Nacional de Colombia, Medell´ın – Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas Discretas – Abril 6, 2010
Soluciones Taller 7
1. Pruebe el principio de inclusi´on-exclusi´on para tres conjuntos
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|,
usando el caso de dos conjuntos.
Soluci´on: Tenemos que
|A ∪ B ∪ C| = |(A ∪ B) ∪ C|
= |A ∪ B| + |C| − |(A ∪ B) ∩ C| usando el principio de IE con los
conjuntos A ∪ B y C
= |A| + |B| − |A ∩ B| − |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)|
= |A| + |B| − |A ∩ B| − (|A ∩ C| + |B ∩ C| − |(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)|)
usando el principio de IE con los conjuntos A ∩ C y B ∩ C
= |A| + |B| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
2. Determine el n´umero de enteros entre 1 y 1000 divisibles por 2 ´o 3 ´o 5.
Soluci´on: Usando el principio de inclusi´on exclusi´on con conjuntos
A, B, C igual a los enteros entre 1 y 1000 divisibles por 2, 3 y 5 respec-
tivamente, y que las intersecciones de estos es el conjunto de los enteros
divisibles por los respectivos productos, obtenemos
1000
2
+
1000
3
+
1000
5
−
1000
2 · 3
−
1000
2 · 5
−
1000
3 · 5
+
1000
2 · 3 · 5
= 500 + 333 + 200 − 166 − 100 − 66 + 33 = 734
3. Sea A el conjunto de cadenas binarias (0/1) de longitud n, y B el conjunto
de cadenas binarias de longitud n + 1 con un n´umero par de 1’s. Muestre
que ambos conjuntos tienen el mismo tama˜no por medio de una funci´on
biyectiva f : A → B. Verifique que f es una biyecci´on.
1

2. Soluci´on: Definimos
f : A → B
de la siguiente manera. Para la cadena w ∈ A
f(w) =
w0 si w tiene un n´umero par de 1’s
w1 si w tiene un n´umero impar de 1’s
Por la definici´on, f(w) es una cadena binaria de longitud n + 1 con n´umero
par de 1’s y por lo tanto realmente pertenece a B. La funci´on f es uno a uno
porque si w, w ∈ A con w = w , entonces f(w) = f(w ) porque al ser w, w
diferentes, las imagenes tambi´en los son por tener w y w como prefijos que
ya son diferentes. f tambi´en es sobre: si z ∈ B entonces z = w0 ´o z = w1,
y en ambos casos f(w) = z. Por lo tanto, f es una biyecci´on.
4. Un comit´e compuesto por A, B, C, D, E, F va a seleccionar entre ellos un
presidente, un secretario y un tesorero.
(a) Cu´antas selecciones excluyen C ?
Soluci´on: 5 · 4 · 3
(b) Cu´antas selecciones excluyen B y F ?
Soluci´on: 4 · 3 · 2
(c) Cu´antas selecciones incluyen B y F ?
Soluci´on: Primero se selecciona el cargo de B y de F, y luego la
persona con el otro cargo: (3 · 2) · 4
(d) Cu´antas selecciones incluyen D y excluyen F ?
Soluci´on: Primero se selecciona el cargo de D y luego las personas
para los otros dos cargos: 3 · (4 · 3)
(e) Cu´anas selecciones incluyen D como presidente ´o no lo incluyen ?
Soluci´on: Las selecciones que tienen a D como presidente y las
selecciones que no lo incluyen son conjuntos disyuntos: 5 · 4 + 5 · 4 · 3
(f) Cu´antas selecciones incluyen B como presidente o tesorero ?
Soluci´on: Primero se selecciona el cargo de B y luego las personas
en los otros dos cargos: 2 · (5 · 4)
(g) Cu´antas selecciones tienen B como presidente ´o A como secretario ?
Soluci´on: Usando el principio de inclusi´on/exclusi´on:
5 · 4 + 5 · 4 − 4 = 36
(h) Cu´antas selecciones tienen C como presidente ´o A en un cargo ?
Soluci´on: Usando el principio de inclusi´on/exclusi´on:
5 · 4 + 3 · (5 · 4) − 2 · 4 = 72
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3. 5. (a) Cu´antos n´umeros telef´onicos de 7 d´ıgitos (cada d´ıgito es 0, 1, 2, . . . , 9)
son posibles ? Cu´antos n´umeros de estos tienen al menos un d´ıgito
repetido ?
Soluci´on: El n´umero que se quiere se puede obtener como
todas los n´umeros − n´umeros sin d´ıgitos repetidos
El n´umero de n´umeros telef´onicos posibles es 107
y el n´umero de estos
sin d´ıgitos repetidos es
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4.
Por lo tanto, el n´umero deseado es
107
− 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4
(b) Cu´antas cadenas de 6 letras con las letras a, b, c contienen al menos un
par de letras consecutivas iguales ? (por ejemplo, la cadena ababac
no tiene letras consecutivas iguales, pero abccba tiene la repetici´on
consecutiva cc).
Soluci´on: El n´umero que se quiere se puede obtener como
todas las cadenas − cadenas sin letras consecutivas iguales
El n´umero de todas las cadenas es 36
(cada letra en la cadena puede ser
una cualquiera de las tres), y el n´umero de cadenas sin letras consecu-
tivas iguales es 3 · 25
porque la primera letra puede ser una cualquiera
de las tres y las otras letras puden ser una de las dos letras diferentes
de la letra anterior. Por lo tanto, el n´umero deseado es
36
− 3 · 25
.
6. (a) Cu´antas cadenas binarias (0/1) de longitud 50 comienzan con 11 ´o
terminan con 0 ?
Soluci´on: Usando inclusi´on/exclusi´on, es el n´umero de cadenas que
comienzan con 11, m´as el n´umero de las que terminan con 0, menos el
n´umero de las que tienen ambas propiedades. Entonces el n´umero es
248
+ 249
− 247
.
(b) De cu´antas maneras se puede seleccionar un comit´e de 4 mujeres y 2
hombres de un grupo de 20 mujeres y 10 hombres?
Soluci´on: El n´umero de formas de escoger las 4 mujeres por el
n´umero de formas de escoger los 2 hombres:
20
4
·
10
2
.
3

4. (c) De cu´antas maneras se puede seleccionar un comit´e de 6 personas de
un grupo de 20 mujeres y 10 hombres, si debe contener al menos 2
mujeres ?
Soluci´on: El n´umero total de formas de seleccionar 6 de 20 menos
las formas de seleccionar 0 mujeres y 6 hombres, y de seleccionar 1
mujer y 5 hombres;
30
6
−
10
6
−
20
1
·
10
5
.
(d) De cu´antas maneras se pueden distribuir 100 libros id´enticos entre 11
estudiantes?
Soluci´on: Entre las posiciones de 100 libros y 10 “separadores”
entre los libros, se debe escoger cuales 10 posiciones corresponden a los
separadores:
110
10
.
7. (Ejs. 10-17, sec 6.2, JB 6a ed) Determine cu´antas cadenas se pueden formar
ordenando las letras ABCDE sujetas a las condiciones dadas.
(a) Contiene la subcadena ACE (por ejemplo BDACE; ACE debe aparecer
consecutivemente)
Soluci´on: ACE se puede considerar como una sola letra compuesta.
Asi que el resultado es 3! = 6.
(b) Contiene las letras ACE consecutivas pero en cualquier orden.
Soluci´on: En cada una de las cadenas del caso anterior, se puede
realizar cualquiera de las permutaciones de ACE. Por lo tanto el resul-
tado es 3! · 3! = 36
(c) Contiene las subcadenas DB y AE.
Soluci´on: Equivalente a la permutaci´on de 3 elementos: 3! = 6.
(d) Contiene la subcadena AE ´o la subcadena EA.
Soluci´on: Para cada una de AE y EA se tiene una permutaci´on de
4 elementos: 2 · 4! = 48.
(e) A aparece antes de D. Por ejemplo, BCAED, BCADE.
Soluci´on: Cada una de las 5! permutaciones de ABCDE con A
antes que D tiene una permutaci´on correspondiente con D antes que
A (simplemente intercambie A y D). Por lo tanto el n´umero deseado
es 1/2 de 5!. Esto es 5!/2 = 60. Soluci´on alternativa: Comenzando
con AD, la letra B se puede colocar en 3 posiciones, luego la letra C se
puede colocar en 4 posiciones, y finalmente la letra E se puede colocar
en 5 posiciones. Se obtiene 3 · 4 · 5 = 60.
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5. (f) No contiene ni la subcadena AB, ni la subcadena BE.
Soluci´on: Contamos el n´umero N de cadenas con AB ´o con BE
y restamos esto de 5!. Para determinar N usamos el principio de in-
clusi´on/exclusi´on: cadenas con AB m´as cadenas con BE menos cadenas
con ABE (si se tiene la subcadena AB y la subcadena BE entonces se
tiene la subcadena ABE). Por lo tanto N = 4! + 4! − 3! = 42. Y el
reultado final es 5! − 42 = 78.
(g) A aparece antes de C y C aparece antes de E
Soluci´on: Para las letras A, C y E existen 3! = 6 permutaciones
posibles y una de ellas es la que interesa con A, C, y E en ese orden. Por
lo tanto el n´umero de cadenas con A, C y E en ese orden es el n´umero
total de permutaciones 5! dividido por 3!. Esto es 5!/3! = 5 · 4 = 20.
Soluci´on alternativa: con A, C y E fijas en ese orden, A se puede colocar
en 4 posiciones diferentes, y B en 5 posiciones diferentes.
8. (Ejs. 31-36, sec 6.2, Johnsonbaugh, 6a ed) Se tiene un club de 6 hombres
distintos y 7 mujeres distintas. De cu´antas maneras se puede formar un
comit´e con la restricci´on especificada.
Soluci´on: Nota: Aqu´ı C(n, k) denota el n´umero de k-combinaciones ´o
k-subconjuntos con n elementos:
C(n, k) =
n!
(n − k)!k!
=
n
k
(a) De 5 personas ?
Soluci´on: No importa la distinci´on entre hombres y mujeres:
C(13, 5)
(b) De 3 hombres y 4 mujeres ?
Soluci´on: C(6, 3) · C(7, 4)
(c) De 4 personas con al menos una mujer ?
Soluci´on:
Alternativa 1: Contamos los comit´es con 1, 2, 3 y 4 mujeres exacta-
mente. Estos son conjuntos disyuntos y por lo tanto podemos usar la
regla de la suma. Adem´as si se escogen i mujeres entonces se deben
escoger 4 − i hombres. Entonces el n´umero de posibilidades es
C(7, 1) · C(6, 3) + C(7, 2) · C(6, 2) + C(7, 3) · C(6, 1) + C(7, 4) · C(6, 0)
Alternativa 2: Contamos los comit´es sin mujeres y restamos esto de
todos los posibles comit´es:
C(13, 4) − C(6, 4).
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6. Los dos n´umeros obtenidos deben ser iguales:
C(13, 4)−C(6, 4) = C(7, 1)·C(6, 3)+C(7, 2)·C(6, 2)+C(7, 3)·C(6, 1)+C(7, 4)·C(6, 0)
´o, usando C(7, 0) = 1:
C(13, 4) = C(7, 0) · C(6, 4) + C(7, 1) · C(6, 3) + C(7, 2) · C(6, 2) +
C(7, 3) · C(6, 1) + C(7, 4) · C(6, 0).
Esto es cierto porque el n´umero de formas de seleccionar 4 personas es igual
a la suma sobre i de los casos en que se escogen i mujeres y 4 − i hombres,
para i = 0, 1, 2, 3, 4. Esta igualdad es un caso particular de
C(n, k) =
k
i=0
C(n1, i) · C(n2, k − i)
para n1, n2 con n = n1 + n2 y k ≤ n1, k ≤ n2.
(d) De 4 personas con a lo m´as un hombre ?
Soluci´on: Sin hombres ´o con un hombre: C(7, 4) + 6 · C(7, 3)
(e) De 4 personas con al menos un hombre y con al menos una mujer ?
Soluci´on: Todas menos aquellas con s´olo hombres ´o s´olo mujeres:
C(13, 4) − C(6, 4) − C(7, 4)
(f) De 4 personas de tal forma que Mabel y Roberto (que son incompati-
bles) no son elegidos al mismo tiempo ?
Soluci´on: Todas las posibilidades menos aquellas con Mabel y
Roberto: C(13, 4) − C(11, 2)
9. Determine el n´umero de maneras en que se pueden reordenar las letras de la
palabra TABLERO de acuerdo con las siguientes restricciones adicionales:
(a) Las s´ılabas TA, BLE y RO deben preservarse (las letras correspondi-
entes aparecen consecutivas y en el mismo orden).
Soluci´on: Es el n´umero de permutaciones de 3 objetos distintos:
3!
(b) Las letras T, B y R deben aparecer en ese orden.
Soluci´on: Alternativa 1: Sin restringir se tienen 7! ordenamientos
(permutaciones). Estas se pueden dividir en grupos de 3! que provienen
de un ordenamiento con T, B, R en orden al permutar estas 3 letras. Por
lo tanto el n´umero que se pregunta es 7!/3! = 7 · 6 · 5 · 4 = 840
Alternativa 2: Comenzando con T, B, R en orden, para las restantes
4 letras se tienen 4, 5, 6 y 7 posibilidades para ponerlas (inicialmente
T, B, R determianan 4 posibilidades y el n´umero de estas aumenta por
1 despu´es de cada letra que es agregada. Por lo tanto, la respuesta es
4 · 5 · 6 · 7 = 840.
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7. (c) Comienza con consonante y termina con vocal.
Soluci´on: Se tienen 4 posibilidades para la consonante al comienzo y
3 para la vocal al final. Las 5 letras restantes se pueden permutar entre
la primera y ´ultima letras, Por lo tanto, el n´umero de ordenamientos
es 4 · 3 · 5! = 1440.
(d) Comienza con TA, BLE ´o RO
Soluci´on: Si comienza con TA, BLE ´o RO, entonces las otras 5,4
y 5 letras respectivamente se pueden permutar. Entonces el n´umero es
5! + 4! + 5! = 264.
10. (a) (Ejemplo 6.1.16, Johnsonbaugh 6a ed) Sea X un conjunto de n elemen-
tos. De cu´antas formas se puede selecionar pares (A, B) que satisfacen
A ⊆ B ⊆ X ?
Soluci´on: Cada elemento de X puede estar en A, en B − A ´o en
X−B. La selecci´on entre estas tres posibilidad para cada x ∈ X resulta
en un par (A, B) diferente, y cualquier par (A, B) se obtiene de esta
manera. Por lo tanto el n´umero de tales pares es 3n
.
(b) (Esquina de soluci´on de problemas, sec 6.1, Johnsonbaugh 6a ed) Sea
X un conjunto de n elementos. De cuantas formas se puede seleccionar
una tripleta ordenada de conjuntos X1, X2, X3 subconjuntos de X tal
que
X1 ∪ X2 ∪ X3 = X y X1 ∩ X2 ∩ X3 = ∅
Soluci´on: Los tres conjuntos X1, X2, X3 determinan 8 subconjuntos
disyuntos de X: X1 ∩X2 ∩X3, X1 ∩X2 ∩X3, . . ., X1 ∩X2 ∩X3 cuya uni´on
es X (forman una partici´on). La ´unicas restricciones sobre X1, X2, X3 es
que X1 ∩ X2 ∩ X3 = ∅ y X1 ∩ X2 ∩ X3 = ∅. Por lo tanto cada elemento
de X puede estar en seis de los ocho conjuntos de la partici´on. Por lo
tanto, el n´umero de selecciones posibles es
6 · 6 · · · · · 6
n veces
= 6n
.
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