2. Matemática para la Gestión
Indicador de logro 3:
Desarrolla situaciones problemáticas de
contexto real de funciones lineales y
cuadráticas vinculados al quehacer de la
administración y los negocios.
3. Matemática para la Gestión
Subindicador N° 2:
Grafica el modelo de la función cuadrática
usando los elementos vértice, puntos de corte
con los ejes en el plano cartesiano a partir de
situaiones de la vida real y los negocios.
Tema: Función Cuadrática
• Definición
• Propiedades
• Resolución de casos
4. Matemática para la Gestión
Desafío: Cercando un jardín
x: El ancho del jardín
y: El largo del jardín
Total de alambre: 240 → 2x + y = 240 → y = 240 – 2x
Área: xy
• Un estudiante de la institución tiene 240 m de alambre
para cercar su jardín rectangular, sabiendo que solo
debe colocar sobre tres lados, ya que el cuarto lado
limita con su casa (ver figura), ¿Cuáles son las
dimensiones del jardín si se desea tener el área
máxima?
Área: xy
Área: x(240 – 2x)
Área: 240𝑥 − 2𝑥2
6. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
Definición de Función Cuadrática
La función lineal tiene la forma
También se puede representar así
Donde: : coeficiente del término cuadrático
: coeficiente del término lineal
Gráficamente, la función
cuadrática se representa con
una parábola:
: término independiente
7. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
La orientación o concavidad de la parábola que
representa a la función cuadrática depende del
valor de “a”:
⮚Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba
(cóncava); su vértice (x;y) es un mínimo.
⮚Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo
(convexa); su vértice (x;y) es un máximo.
(x;y)
(x;y)
Elementos de la Parábola
𝑓 𝑥 = −5𝑥2
+ 3 − 2𝑥
𝑓 𝑥 = −5𝑥 + 6 + 𝑥2
8. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
Dada la función cuadrática:
El vértice (x;y) está dado por:
Interpretación:
⮚Si a<0 la parábola es cóncava hacia
abajo (convexa); su vértice (x;y) es un
máximo.
⮚Si a>0 la parábola es cóncava hacia
arriba (cóncava); su vértice (x;y) es un
mínimo.
Vértice de la Parábola
−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
12. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
Analizamos la
orientación de la
parábola
Hallamos la
ecuación del Eje de
Simetría
Hallamos el
vértice la
parábola
La gráfica sería
Con esta fórmula o
ecuación hallamos el
valor de “x” en el vértice.
Reemplazando el valor de
“x” en la función se halla el
valor de “y” en el vértice.
Ejemplo 1
14. 28/05/2022
Matemática para la Gestión 28/05/2022
Costo total = Costo fijo + Costo variable
Recuerda, en una empresa se cumple:
Ingreso = (Precio)( Cantidad)
Utilidad = Ingreso – Costo total
Hay dos ecuaciones con las que se puede calcular el punto de
equilibrio de una empresa:
Ingreso = Costo total
Utilidad = 0
Punto de Equilibrio (P.E) = (Cantidad , Ingresos)
15. Determine el vértice de la función costo total e interprételo.
El costo total en soles de una empresa que produce y vende “x” sillones giratorios está
dado por la función:
Aplicación 1
a = 1
b = -40
c = 2500
Vértice = −
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = −
−40
2(1)
;
4(1)(2500) − (−40)2
4(1)
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 20 ; 2100
16. 28/05/2022
Matemática para la Gestión 28/05/2022
Determine el vértice de la función ingreso e interprételo.
El ingreso en soles de una empresa que vende “x” lavadoras está dado por la función:
Aplicación 2
Vértice = −
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = −
160
2(−2)
;
4(−2)(0) − (160)2
4(−2)
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 40 ; 3200
17. 28/05/2022
Cercando un jardín
Matemática para la Gestión
Resolución del desafío
x: El ancho del jardín
y: El largo del jardín
Total de alambre: 240 → 2x + y = 240 → y = 240 – 2x
Área: xy
• Un estudiante de la institución tiene 240 m de alambre
para cercar su jardín rectangular, sabiendo que solo
debe colocar sobre tres lados, ya que el cuarto lado
limita con su casa (ver figura), ¿Cuáles son las
dimensiones del jardín si se desea tener el área
máxima?
Área: xy
Área: x(240 – 2x)
Área: 240𝑥 − 2𝑥2
18. 18
A(x) = 240𝑥 − 2𝑥2
Vértice = −
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = −
240
2(−2)
;
4(−2)(0) − (240)2
4(−2)
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 60 ; 7200
Área Máxima
Ancho del jardín es 60 m
x: El ancho del jardín
y: El largo del jardín
Total de alambre: 240 → 2x + y = 240
→ 2(60) + y = 240
→ 120 + y = 240
→ y = 120
19. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
Jardín
x x
240 – 2x
Área = x(240 – 2x)
a = - 2
b = 240
c = 0
Reemplazamos en la fórmula:
Reemplazamos el valor de “x” en la función:
Función:
Resolución del desafío
21. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
Actividad: Demostrando lo aprendido
1. Los estudiantes en forma individual resuelven los casos por espacio de 15
minutos.
2. El docente debe formar equipos de trabajo, brindarles un tiempo aproximado de
20 minutos para que los estudiantes compartan la resolución de los casos.
3. Un integrante de cada equipo debe exponer la resolución de los casos.
4. El docente debe retroalimentar la resolución de los casos.
5. El docente compartir al final la resolución de todos los casos en un PPT.
23. 28/05/2022
Matemática para la Gestión
5. Una empresa ha determinado que por vender “x” automóviles mensuales
sus funciones de costo total y de ingreso en ($) respectivamente son:
Formule la función de utilidad y graficar:
a) ¿Cuántos artículos debería vender esta empresa para obtener la máxima
utilidad?
b) ¿Cuánto es esa máxima utilidad?
25. Fuentes consultadas
Matemática para la Gestión
1. Álvarez, T. M., Rodríguez, R. H., & Zeledón, A. C. (2013). La vida es una función: unidad didáctica sobre funciones
lineales y cuadráticas. Universidad y Ciencia, 7(11).
2. Boirivant, J. A. (2009). La programación lineal aplicación de la pequeñas y medianas empresas. Reflexiones, 88(1), 4.
3. Calderón Zambrano, R. L., Panamá Criollo, G. W., & Morales Figueroa, C. G. (2019). Secuencias didácticas con
GeoGebra: aprendizaje de las funciones lineales y cuadráticas. Universidad Nacional de Educación.
4. Frank, R. G. (2010). La optimización de la empresa agraria con programación lineal. Fac. de Agronomía.
5. Gaytan Ramirez, D. E. (2019). Ecuaciones e inecuaciones.
26. Recuerda
El contenido de esta PPT te servirá como
insumo para trabajar tus PPTs por sesión (en
los cuales podrás complementar con
información, ejemplos, etc.).
