Este documento presenta un compendio de conceptos básicos de geometría analítica. Explica los sistemas de coordenadas, incluyendo el sistema de coordenadas cartesianas en el plano y cómo localizar puntos mediante coordenadas. También define conceptos como la pendiente de una recta, ángulos entre rectas, y rectas paralelas y perpendiculares. El documento contiene ecuaciones para líneas rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas, así como transformaciones de coordenadas.

1. Universidad Mayor, Real y Pontificia de San
Francisco Xavier de Chuquisaca
Facultad Técnica
Carreras de Construcción Civil y Topografía
Texto Compilado de Matemáticas I (Mat-110)
Ing. Sammy Campero Alcaraz
Sucre, agosto de 2017

2. 2

3. 3
PROLOGO
El presente documento es un compilado sobre temas de Geometría Analítica que fue
obtenido luego de una revisión de bibliografía, debidamente seleccionada para
ofrecer un trabajo que tiene como propósito apoyar los objetivos de aprendizaje y
contenidos de esta asignatura presentando conceptos y definiciones, así como
ejemplos de uso más frecuente en los temas a tratar en la asignatura de Matemáticas
I.
Los conceptos y definiciones que fueron compilados proveerán al estudiante de un
conocimiento básico de Geometría Analítica, comprendiendo la materia de un modo
más completo. Los apuntes contienen conceptos de Sistemas de Coordenadas, La
línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola y la transformación
de coordenadas.
Con la elaboración y uso de este material por parte del estudiante se busca
desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el mismo y ampliar la
comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias matemáticas, lo cual es
uno de los objetivos del programa de esta asignatura.

4. 4
Contenido
PROLOGO................................................................................................................................. 3
CAPITULO I – SISTEMA DE COORDENADAS.................................................................................. 6
1.1 MATEMÁTICAS................................................................................................................. 6
1.2 CLASIFICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS.............................................................................. 6
1.3 GEOMETRÍA..................................................................................................................... 6
1.4 SISTEMAS DE COORDENADAS........................................................................................... 7
1.5. SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO.............................................................................. 8
1.6 PENDIENTE DE UNA RECTA. .............................................................................................10
1.7 ANGULO ENTRE DOS RECTAS ...........................................................................................11
1.8 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES. ........................................................................12
CAPITULO II - LINEA RECTA........................................................................................................14
2.1 DEFINICIÓN.....................................................................................................................14
2.2 ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE.........................................................................................14
2.3 ECUACIÓN DE LA RECTA CON PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN..........................15
2.4 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.......................................................15
2.5 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA. ................................................................................16
2.6 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA....................................................................................16
2.7 FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ..............................................................17
2.8 CALCULO DE LA DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PUNTO DADO.........................................18
2.9 ÁREA DE UN TRIÁNGULO .................................................................................................19
2.10 FAMILIA DE RECTAS.......................................................................................................19
CAPITULO III - LA CIRCUNFERENCIA ...........................................................................................21
3.1 DEFINICIÓN....................................................................................................................21
3.2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.(FORMA ORDINARIA).................................................22
3.3 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA..............................................22
3.4 FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS........................................................................................23
3.5 TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA. ...............................................................................24
CAPITULO IV - LA PARÁBOLA....................................................................................................25
4.1 DEFINICIÓN.....................................................................................................................25
4.2 ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA. ....................................................................................25

5. 5
4.3 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y SU EJE COINCIDECON EL EJE DE
COORDENADAS. ...................................................................................................................26
4.4 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H,K) Y EJE PARALELOA UN EJE COORDENADO
(ECUACIÓN ORDINARIA)........................................................................................................28
4.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.............................................................................29
CAPITULO V - LA ELIPSE.............................................................................................................30
5.1 DEFINICIÓN.....................................................................................................................30
5.2 ELEMENTOS DE UNA ELIPSE.............................................................................................31
5.3 ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTROEN EL ORIGEN Y EJES DE COORDENADASLOSEJESDE LA
ELIPSE..................................................................................................................................32
5.4 ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (H,K) Y EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS...34
5.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE....................................................................................35
CAPITULO VI - LA HIPERBOLA...................................................................................................37
6.1 DEFINICIÓN.....................................................................................................................37
6.2 PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA ..........................................................39
6.3 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA..........................................................................................41
6.4 SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA. ........................................................42
6.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA. ...........................................................................43
CAPITULO VII - TRANSFORMACION DE COORDENADAS...............................................................44
7.1 TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS........................................................................44
7.2 ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS...........................................................................45
BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................47

6. 6
CAPITULO I – SISTEMA DE COORDENADAS
1.1 MATEMÁTICAS
Proviene de la palabra en latín “mathematicalis”, o del griego “mathema”, que puede
traducirse como “estudio de un tema”. «Campo de estudio o instrucción»
Es una ciencia que, partiendo de axiomas (postulado, ley o principio) y siguiendo el
razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como
números, figuras geométricas o símbolos.
1.2 CLASIFICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
 Álgebra
 Análisis y análisis funcional
 Ciencias de la computación  Geometría
 Teoría de números  Análisis numérico
 Investigación de operaciones  Probabilidad
 Estadística  Topología
 Otras especialidades
matemáticas
1.3 GEOMETRÍA
La geometría es el área dentro de las matemáticas responsable del análisis de las
propiedades y las medidas de las figuras, ya sea en el espacio o en el plano
Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías. Entre ellas:
 Geometría euclídea: Agregando el postulado del paralelismo. Que se divide a su
vez en:
 Geometría plana: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos
están todos en un plano.
 Geometría proyectiva: Geometría obtenida al suponer que dos rectas paralelas se
cortan en un punto en el infinito.
 Geometría espacial: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos
no están todos en un mismo plano.
 Geometría descriptiva: Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los
problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un
plano y representar en él las figuras de los sólidos.
 Utilizando otro postulado de paralelismo, se obtienen otras geometrías, donde el
plano, resulta no ser plano.
 Geometría Esférica: Donde el plano es una esfera.
 Geometría Hiperbólica: Donde el plano es un hiperboloide.
 Aplicando los axiomas de otras áreas se obtienen:

7. 7
 Geometría analítica: Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los
métodos del análisis matemático.
 Geometría algorítmica: Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por
medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.
 Geometría Fractal: Estudio de las formas complejas generadas por iteraciones que
tienden al infinito.
1.4 SISTEMAS DE COORDENADAS
1.4.1 SISTEMA COORDENADO LINEAL.
Una recta x′ x, y es positiva de izquierda a derecha, o un punto fijo en la recta.
Si el punto A es un punto de x′x distinto de o y situado a la derecha, la longitud OA
puede considerarse como unidad de longitud de medida.
P es un punto cualquiera de la recta y a la derecha de o y positiva, contiene x veces a la
unidad adoptada, se dice que el punto P corresponde a un número positivo x.
De esta forma hemos construido un esquema que se llama Sistema Coordenado. En este
caso particular, como todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llama
Sistema Coordenado Lineal
La recta x′ x se llama eje
El punto 0 es el origen del sistema coordenado lineal
El # real x corresponde al punto P se llama coordenada del punto P
El origen tiene coordenada 0 y el punto A tiene como coordenada 1
Se escribe el punto y su coordenada juntos: P(x), A (1)
1.4.2 LONGITUD DE UN SEGMENTO
La longitud del segmento dado por dos puntos cualesquiera, como ser P1(x1), P2(x2), son
puntos conocidos.
Dónde: OP1 + P1P2 = OP2 OP1 = x1
x1 + P1P2 = x2 OP2 = x2
P1P2 = x2 - x1 Pero: AB = - BA
P2 P1 = x1 - x2
P2 P1
x1x2 o
P´ 0 A P
XX
´
(0) (1) (x)(x´)

8. 8
Teorema: «En un sistema de coordenadas lineal, la longitud del segmento dirigido que une
dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la
coordenada final»
1.4.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
La distancia entre dos puntos se define como el valor absoluto de la longitud del segmento
rectilíneo que une esos dos puntos.
d = │ P1 P2 │ = │ x2 – x1 │ ó
d = │ P2P1 │ = │ x1 – x2│
1.5. SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO
En el sistema coordenado lineal el punto está restringido a una recta (eje). Si el punto ahora
puede moverse en todas direcciones a esto se llama sistema coordenado bidimensional o
rectangular (cartesiano).
1.5.1. El Sistema coordenado rectangular
Consta de 2 rectas x y, llamadas ejes coordenados, perpendiculares entre sí.
La recta x se llama eje x y la recta y, es el eje y, y su punto de intersección o, el origen.
Estos ejes dividen al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes.
Todo punto P del plano puede localizarse por medio del sistema rectangular.
Se traza PA perpendicular al eje x y PB perpendicular al eje y
La longitud del segmento oA se representa por x y se llama abscisa de P
La longitud del segmento oB se representa por y se llama ordenada de P
Las dos números reales x,y se llaman coordenadas de P y se representan por (x,y)

9. 9
La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama Trazado de punto.
1.5.2 Distancia entre dos puntos. - Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2). Determinar la
distancia d entre P1 y P2
d =│ P1P2│
Triangulo rectángulo P1EP2
Pitágoras d2
= P1P2
2
= P2E 2 +
E P1
2
𝑑2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
𝑑 = √(x1 − x2)2
+ (y1− y2)2
x
y
o
B
A
P(x, y)
x
y
o
P1(x1
, y1
)
P2(x2
, y2
)
B
A
C
D E
d

10. 10
1.6 PENDIENTE DE UNA RECTA.
Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice, que pueden ser
α o β. Si las rectas están dirigidas, seria:
Donde el ángulo entre dos rectas solo serán ángulos ≤ 180°
Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje x y
la recta
La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación
Si α es agudo la pendiente es + Si α′ es obtuso la pendiente es -
X
Y
0
l
α
l′
α′
m = tag α
0° ≤ α ≤ 180°
l1
l2
α
β
γ
Se llama ángulo de dos rectas
dirigidas al formado por los dos lados
que se alejan del vértice. (α)
Si L2 se volcara el ángulo sería β.
También γ es un ángulo que está
formado por dos rectas que se alejan
Pero γ > 180°, es un ángulo cóncavo.

11. 11
Si la recta es perpendicular al eje x o paralela a y la pendiente no existe porque tag 90° no
está definido.
Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes de una recta.
1.7 ANGULO ENTRE DOS RECTAS
Consideremos dos rectas l1 y l2, sea c el punto de intersección y A, B puntos que cortan
al eje x.
m =
y2 − y1
x2 − x1
x
y
0
θ1
θ2
c
α2α1
BA
l2,
l1,

12. 12
Sean θ1 y θ2 los dos ángulos suplementarios. Estos ángulos se miden en sentido contrario
al de las manecillas del reloj. (Positivo).
La recta de donde parte el ángulo se llama recta y pendiente inicial.
La recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta y pendiente final
Por geometría elemental: un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos
ángulos internos opuestos
En el triángulo AB C: α2 = α1 + θ1 θ1 = α2 – α1
Si aplicamos tangente en ambos miembros:
tag θ1 = tag (α2 - α1) Pero: m1 = tag α1 y m2 = tag α2
Teorema. – Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dado por la fórmula:
Donde m1 es la pendiente inicial y m2 la pendiente final correspondiente al ángulo θ
1.8 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.
Para que dos rectas sean paralelas, sus pendientes tienen que ser iguales, es decir:
Dos rectas son paralelas θ = 0° = 180°
Para que dos rectas sean perpendiculares entre sí, el producto de sus pendientes sea
igual a -1, es decir:
Dos rectas son perpendiculares θ = 90°
tag θ1 =
tagα2 −tagα1
1+tagα2 tagα1
tag θ1 =
m2 −m1
1+m2 m1
0 =
m2 −m1
1+m2 m1
tag θ =
1
cotag𝜃
cotag θ =
1
tag𝜃
Cotag θ =
1+m1m2
m2 −m1
tag θ =
m2 −m1
1+m2 m1
m1 m2 ≠ -1
m1=m2
l1 l2
m1 m2

13. 13
cotag 90° = 0 0 = 1 + m1 m2
m1 m2 = - 1 l1
l2

14. 14
CAPITULO II - LINEA RECTA
La línea recta es la distancia más corta entre dos puntos.
2.1 DEFINICIÓN
La línea recta es el lugar geométrico de puntos tales que tomados dos puntos cualesquiera
P1(x1, y1) y P2(x2, y2) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m calculado siempre
resulta constante.
2.2 ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE.
Una recta está determinada si se conoce las coordenadas de un punto y su ángulo de
inclinación (pendiente)
m =
𝑦 −𝑦1
𝑥 −𝑥1
y – y1 = m (x – x1)
Si una recta coincide o es ║al eje y, la recta no tiene pendiente, la ecuación será:
m =
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1

15. 15
x = k donde k es cualquier número real
2.3 ECUACIÓN DE LA RECTA CON PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN.
La recta l que se conoce su pendiente y la ordenada en el origen (su intersección con el eje
y, que es b)
Conocemos que:
y – y1 = m (x – x1) pero: y1 = b x1 = 0
y – b = m (x – 0)
2.4 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.
Conocemos dos puntos de la recta: p1(x1, y1) y p2(x2 ,y2)
y = m x + b

16. 16
Conocemos que:
y – y1 = m (x – x1)
Donde la pendiente es:
m =
𝑦1 −𝑦2
𝑥1 −𝑥2
y – y1 =
𝑦1 −𝑦2
𝑥1 −𝑥2
(x – x1)
X1 ≠ x2
2.5 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA.
Sean los puntos de una recta (a, 0) y (0, b), que son los puntos de intersecciones de la
recta con los ejes coordenados.
Partimos de:
y – y1 =
𝑦1 −𝑦2
𝑥1 −𝑥2
(x – x1)
y – 0 =
0−𝑏
𝑎 −0
(x – a)
2.6 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Es de forma lineal, es decir:
A x + B y + C = 0 m = - A / B
Donde A o B debe ser diferente a cero y C puede ser o no igual a cero.
Si B = 0 y A ≠ 0 → x = - C/A Si – C/A = k
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1

17. 17
x = k recta ║ al eje y
Si A = 0 y B ≠ 0 → y = - C/B Si – C/B = k
y = k recta ║ al eje x
Recta normal y recta tangente:
Estas dos rectas son perpendiculares entre si
2.7 FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Consideremos un segmento op1 de longitud r y un ángulo ω.
Por trigonometría tenemos:
x1 = r cosω y1 = r senω
El ángulo de inclinación de la recta es ω y su pendiente es tag ω.
Como la recta l es ┴ a op1, se tiene:
m la pendiente de la recta l y m1 la pendiente de la recta 0p1
m m1 = -1 m = -
1
m1
m = -
1
𝑡𝑎𝑔𝜔
m = -
𝑐𝑜𝑠𝜔
𝑠𝑒𝑛𝜔
l
p1
(x1
, y1
)
r
ω
x
y
o

18. 18
Reemplazo en: y – y1 = m (x – x1)
y – rsenω = -
𝑐𝑜𝑠𝜔
𝑠𝑒𝑛𝜔
(x – rcosω)
x cosω + y senω – r = 0
Relación en la que ω y r son las constantes arbitrarias o parámetros, y el valor de senω y
cosωpuede ser positivo o negativo, de acuerdo con el cuadrante en que este el lado terminal
del ángulo ω.
2.8 CALCULO DE LA DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PUNTO DADO
Signo:
 Si la recta dada no pasa por el origen, d es + o (-), según P1 y el origen
• Es + si el punto y el origen están en lados opuestos de la
• Es (-) si el punto y el origen están en el mismo lado de la recta.

19. 19
 Si la recta dada pasa por el origen, d es + o (-) según P1; si está arriba de la recta
es + y si está debajo de la recta es (-).
2.9 ÁREA DE UN TRIÁNGULO
2.10 FAMILIA DE RECTAS
Una recta y su ecuaci6n quedan determinadas perfectamente por dos condiciones
independientes. Por tanto, una recta que satisface solamente una condici6n no es una recta
única; hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la propiedad
común asociada con esa única condición. De acuerdo con esto podemos formular la
siguiente.
La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o
haz de rectas.
x
y
o
C(x3,
y3
)
B(x2,
y2
)
A = ½ │(y1
- y3
)x2
– (x1
- x3
)y2
+ x1
y3
- x3
y1
│

20. 20
Por ejemplo, consideremos todas las rectas que tienen de pendiente 5. La totalidad de
estas rectas forma una familia de rectas paralelas, tiene en común que su pendiente es igual
a 5. Analíticamente. esta familia de rectas puede representarse por la ecuación:
y = m x + b Donde m = 5
y = 5 x + k
Donde k es una constante arbitraria que puede tomar todos los valores reales, Así. Podemos
obtener la ecuación de cualquier recta de la familia
Otro ejemplo, consideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3). Esta familia
de rectas puede estar representada por la ecuación:
y – y1 = m (x – x1) y – 3 = m (x – 2)
Donde k, la pendiente, es una constante arbitraria a la que puede asignarse cualquier
valor real: m = k
y – 3 = k(x – 2)
k = 0k = 1
k = 2
y
x
y
o
k = - 1
k = 0
k = - 1
k = 1

21. 21
(2, 3)
CAPITULO III - LA CIRCUNFERENCIA
Existen cuatro curvas que por su importancia y aplicaciones es necesario considerarlas. Cada
una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico, donde se las puede representar
por la ecuación general:
Estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.
Llamadas CÓNICAS debido a que se pueden describir como las curvas que se generan al
intersectarse un plano con un cono circular.
La circunferencia es la más simple y geométricamente se describe como la intersección de
un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono.
3.1 DEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se
conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. Punto fijo se
llama centro y la distancia constante radio.
Ax
2
+Bxy +Cy
2
+Dx +Ey +F = 0
P
P
Centro
Radio

22. 22
3.2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. (FORMA ORDINARIA)
Sea c(h, k) el centro de una circunferencia, radio r y p(x, y) un punto cualquiera
Donde la distancia │ cp│ = r
√(x − h)2 + (y − k)2 = r
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Para el caso particular en que el centro c está en el origen, será: h = 0 k = 0
x2 + y2 = r2
3.3 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
x2 − 2xh + h2 + y2 - 2yk+ k2 = r2
x2 + y2 − 2hx − 2ky + h2 +k2 - r2
= 0
D = -2h
E = -2k
x
y
o
c(h, k)
r
p(x, y)
x2
+ y2
+ Dx + Ey +F = 0

23. 23
F = h2 +k2 - r2
Dónde: D2
+ E2
-4F > 0 y los temimos de x2
y y2
deben ser iguales y del mismo signo
para que sea una circunferencia
Centro será: ( −
𝐷
2
, -
𝐸
2
) Radio =
1
2
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA SUJETO A 3 CONDICIONES.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
tres constantes arbitrarias r, h. k
x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 tres constantes arbitrarias D. E, F
La ecuación de la circunferencia puede determinarse obteniendo las tres constantes con
tres ecuaciones
3.4 FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS.
Una circunferencia se determina con 3 constantes. Pero si la ecuación soplo satisface solo
2 condiciones, contiene una constante llamada parámetro; entonces se dice que la ecuación
representa a una familia de circunferencias.
Ejemplo:
Hallar la familia de todas las circunferencias cuyo centro común es el punto (1, 2).
Nos da h = 1 y k = 2, donde la ecuación de la circunferencia es:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
(𝐱 − 𝟏) 𝟐 + (𝐲 − 𝟐) 𝟐 = r2
Donde el radio es el parámetro y puede tomar cualquier número positivo.
r = 2
r = 3
x
y
o r = 1
C (1, 1)

24. 24
3.5 TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA.
La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de contacto
x
y
o
C (h, k)
r
P(x, y)
l

25. 25
CAPITULO IV - LA PARÁBOLA
La parábola, se forma al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo
a una generatriz.
4.1 DEFINICIÓN.
Es el lugar geométrico de un punto p(x, y) que se mueve en un plano de tal manera que su
distancia de una recta fija (llamada directriz), situada en el plano, es siempre igual a su
distancia de un punto fijo (foco)del plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz
4.2 ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA.
l
p(x, y)A
F
│FP│ = │PA│

26. 26
Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco con el punto p se
llama radio focal o radio vector. Según la definición el radio vector PF es igual a la distancia
PA
4.3 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y SU EJE COINCIDE CON EL EJE
DE COORDENADAS.
Consideremos una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje x.
│ FP│ = │ PA│
│ FP│ = √( 𝑥 − 𝑝)2 + ( 𝑦 − 0)2
│ PA│ = x + p
( √( 𝑥 − 𝑝)2 + ( 𝑦 − 0) 2 )2
= (x + p)2
(x − p)2 + y2 = (x + p)2
x2 − 2xp + p2 + y2 = x2
+ 2xp + p2
Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje el de las abscisas x
y2 = 4px
 El punto A es el punto de intersección del eje de la parábola y la directriz
 BB′ es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola
y se llama cuerda.
 CC′ un caso particular de cuerda que pasa por el foco y se llama cuerda
focal.
 La cuerda focal LL′ que es al eje se llama lado recto.
X
Y
F(p,0)
l
0
P(x,y)A
x = - p

27. 27
y
0
l
x = - p
x
y
0
ly = - p
F(0,p)
0
x
y
0
l
y = - p
F(0, -p)
y
Si P > 0 la parábola se abre hacia la derecha
x = - p
Si P < 0 la parábola se abre hacia la izquierda
Cuando el eje de parábola coincide con el eje y (ordenada) y el vértice en el origen, la
ecuación es:
x2 = 4py
Si P > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si P < 0 la parábola se abre hacia abajo.
F
y
0
F(-p,0)
x
x
y
y
0 x
0
l
y

28. 28
En cada caso la longitud del lado recto está dado por el valor absoluto de 4 p
4.4 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) Y EJE PARALELO A UN EJE
COORDENADO (ECUACIÓN ORDINARIA).
Consideremos una parábola cuyo vértice está en el punto (h, k) y eje paralelo al eje x
Si P > 0 la parábola se abre hacia la derecha
Si P < 0 la parábola se abre hacia la izquierda
Vértice en el punto (h, k) y eje paralelo al eje y.
x
y
0
l
V(h,k) F( , ) e
(𝑦 − 𝑘)2
= 4p(x-h)
V(h,k)
x
y
0
e
F( , )
X =
l

29. 29
Si P > 0 la parábola se abre hacia arriba
Si P < 0 la parábola se abre hacia abajo
4.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.
(𝑦 − 𝑘)2 = 4p(x-h)
𝑦2 − 2ky + 𝑘2= 4px - 4ph
𝑦2 − 4px − 2ky + 𝑘2 + 4𝑝ℎ = 0
𝑦2 + Dx + Ey + 𝐹 = 0 donde: D = −4p
E = - 2k
F = 𝑘2 + 4𝑝ℎ
Se reduce a una ecuación de segundo grado
Ax2
+Cy2
+Dx +Ey +F = 0
Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0 entonces la ecuación será:
Representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “x”
Ahora si:
A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0 entonces la ecuación será:
Representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “y”
y =
(𝑥 − 𝑘)2
= 4p(y-h)
Cy
2
+Dx +Ey +F = 0
Ax
2
+Dx +Ey +F = 0

30. 30
CAPITULO V - LA ELIPSE
La elipse se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y
cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del
cono.
5.1 DEFINICIÓN.
Es el lugar geométrico de un punto p(x,y) que se mueve en un plano de tal manera que la
suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de ese plano es siempre igual a una
constante, mayor que la distancia entre dos puntos.

31. 31
5.2 ELEMENTOS DE UNA ELIPSE
l
p(x, y)
FF′V′ V
2 a
V
c
p(x, y)
FF′V
l
l′
A
A ′
o
En toda elipse conviene considerar:
 F y F′: Son los puntos fijos llamados focos.
 l : Es la recta que pasa por los focos y se llama eje focal.
 V y V′: Son dos puntos llamados vértices, formados por la intercesión del eje
focal con la elipse.
 2a: La porción del eje focal comprendida entre los vértices se llama eje mayor
 p(x, y): Cualquier punto de la elipse.
 Punto c: es el punto medio del segmento que une los focos, se llama centro.
 l ′ : Recta que pasa por c y es perpendicular al eje focal, se llama eje normal
 AyA′: Son los puntos que corta el eje normal con la elipse
 2b: La porción del eje normal comprendida entre los puntos AA′ se llama eje
menor
2b

32. 32
5.3 ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES DE COORDENADAS LOS EJES
DE LA ELIPSE.
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x.
Como el centro es el punto medio de FF′, sus coordenadas:
Focos: F(c,0) y F′(-c,0) y del vértice: V(a,0) y V′(-a,0)
F
F′
V′ V
L
L ′
B
B ′
E
E ′
F(c, 0)F′ (-c, 0)
V′( -a, 0) V(a, 0)
p(x, y)
o
o
 BB′: Un segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse y se llama
cuerda.
 EE′: Un segmento que pasa por uno de los focos y se llama cuerda focal.
 LL′: Es una cuerda focal perpendicular al eje focal y se llama lado recto
x
y

33. 33
Siendo a una constante mayor que la constante c.
Por definición tenemos:
√( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 + √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦)2 = 2a
( √( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦)2 )2
= (2a - √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦)2 )2
( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 = 4a2
– 4a √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦)2 + ( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2
x2 −2𝑥𝑐 + 𝑐 2
= 4a2
– 4a √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦)2 + x 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2
4xc + 4a2
= 4a √(x + c)2 + (y)2 (xc + a2
)2
= (a √(x + c)2 + (y)2 )2
x2
c2
+ 2a2
cx +a4
= a2
[ ( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦)2 ]
x2
c2
+ 2a2
cx +a4
= a2
[ x2 + 2𝑐𝑥 + c2
+ 𝑦2 ]
x2
c2
+ 2a2
cx +a4
= a2
x2 + 2a2
𝑐𝑥 + a2
c2
+ a2
𝑦2
a2
x2 − c2
x2
+ a2
𝑦2 = a4
− a2
c2
(a2
− c2
)x2
+ a2
𝑦2 = a2
(a2
- c2
)
(a2
− c2
)x2
+a2
y2
a2
(a2
- c2
)
= 1
(a2
− c2
)x2
a2
(a2
- c2
)
+
a2
y2
a2
(a2
- c2
)
= 1
x2
a2
+
y2
a2
- c2
= 1
Como: 2a > 2c por lo tanto a2
> c2
a2
> c2
es un número positivo y puede ser reemplazado por otro número positivo b2
, es
decir: b2
= a2
- c2
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ;
Excentricidad e =
𝑐
𝑎
< 1
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje y de manera que:
│FP│ +│F′ P│= 2a
│FP│ = √( 𝑥 − 𝑐)2
+ ( 𝑦) 2
│F′P│ = √( 𝑥 + 𝑐)2
+ ( 𝑦) 2
LR =
2b2
𝑎b2
= a2
-c2

34. 34
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje y
5.4 ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (H,K) Y EJES PARALELOS A LOS EJES
COORDENADOS.
Consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje
x
F(0,c)
F′ (0, -c)
V′( 0, -a)
V( 0, a)
b2
= a2
-c2
B ( )
B′ ( )
F( )F′ ( )
V′( ) V( )
o
o
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
x
y
x
y
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1

35. 35
Consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h, k) y cuyo eje focal es
paralelo al eje y.
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
= 1
Para cada elipse:
a es la longitud del semieje mayor
c distancia del centro a cada foco
b es la longitud del semieje menor
a, b y c están ligadas por la relación:
a2
= b2
+ c2
La longitud de cada uno de sus lados rectos es: LR =
2b2
𝑎
Excentricidad
e =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2
−𝑏2
𝑎
< 1
5.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
+(𝑦−𝑘)2
𝑎2
𝑎2 𝑏2 = 1
F( )
F′ ( )
V′( )
V( )
c (h,k )
o
x
y

36. 36
(𝑥2
−2𝑥ℎ+ ℎ2
)𝑏2
+ (𝑦2
− 2𝑦𝑘 + 𝑘2
)𝑎2
=𝑎2
𝑏2
𝑏2
𝑥2
−2𝑏2
𝑥ℎ + 𝑏2
ℎ2
+ 𝑎2
𝑦2
− 2𝑎2
𝑦𝑘 + 𝑎2
𝑘2
=𝑎2
𝑏2
𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
− 2𝑏2
ℎ𝑥 − 2𝑎2
𝑘𝑦 + 𝑏2
ℎ2
+𝑎2
𝑘2
- 𝑎2
𝑏2
= 0
Donde se puede escribir como:
𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐴 = 𝑏2
𝐶 = 𝑎2
𝐷 = −2𝑏2
ℎ
𝐸 = −2𝑎2
𝑘
𝐹 = 𝑏2
ℎ2
+ 𝑎2
𝑘2
− 𝑎2
𝑏2
Los coeficientes A y C deben ser del mismo signo.

37. 37
CAPITULO VI - LA HIPERBOLA
La hipérbola se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo
ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.
6.1 DEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos es
siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre focos
Elementos de una hipérbola. - En toda hipérbola conviene considerar:
l
p(x, y)
FF′ V′ V
│FP│ -│F′P│= 2a
│FP│ -│F′P│= 2a
 F y F′: Son los puntos fijos llamados foco
 l : Es la recta que pasa por los focos y se llama eje focal.
 V y V′: Son dos puntos llamados vértices, formados por la intercesión del eje
focal con la hipérbola.
 2a : La porción del eje focal comprendida entre los vértices se llama eje
transverso.

38. 38
l
FF′ V′ V
2a
 p (x, y): Cualquier punto de la hipérbola.
 Punto c: es el punto medio del eje transverso, se llama centro
 l ′ : Recta que pasa por c y es perpendicular al eje focal, se llama eje normal
 AyA′: Son dos puntos del eje normal de la hipérbola
 2b : La porción del eje normal comprendida entre los puntos AA′ se llama eje
conjugado
c
l
p(x, y)
FF′ V′ V
l′
A
A′
2b
BB′ : Un segmento que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola y se llama
cuerda.
EE′ : Un segmento que pasa por uno de los focos y se llama cuerda focal.
LL′ : Es una cuerda focal perpendicular al eje focal y se llama lado recto
DD′ : Es una cuerda que pasa por el centro y se llama diámetro

39. 39
6.2 PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA
La hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los ojos F y F′
es tan en el eje x.
Por definición tenemos:
│ FP│ -│ F′P│ = 2a Cuando p está en la rama izquierda
│ FP│ -│ F′P│ = - 2a Cuando p está en la rama derecha
Donde 2 a < 2c
Distancias serán.
│ FP│ = √( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦)2 │ F′P│ = √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦)2
√( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 - √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 = 2a
( √( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 )2
= (2a + √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 )2
A
A′
lFF′ V′ V
l′
D
D ′
B
B ′
E
E
′
L
L
′

40. 40
( 𝑥 − 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 = 4a2
+ 4a √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 + ( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2
x 2 −2𝑥𝑐 + 𝑐2
= 4a2
+ 4a √( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 + x 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2
4xc + 4a2
= - 4a √(x + c)2 + 2 (xc + a2
)2
= (-a √(x + c)2 + (y)2 )
x2
c2 + 2a2
cx +a4
= a2
[ ( 𝑥 + 𝑐)2 + ( 𝑦) 2 ]
x2
c2 + 2a2
cx +a4
= a2
[ x2 + 2𝑐𝑥 + c2+ 𝑦2 ]
x2
c2 + 2a2
cx +a4
= a2
x2 + 2a2𝑐𝑥 + a2c2 + a2𝑦2
c2 x2 - a2
x2 − a2𝑦2 = a2
c2
- a4
(c2 - a2
)x2 − a2 𝑦2 = a2
(c2 - a2
)
(c2− a2)x2− a2 y2
a2(c2− a2)
= 1
(c2 − a2)x2
a2(c2− a2)
−
a2y2
a2(c2− a2)
= 1
x2
a2
−
y2
c2 − a2
= 1
Como: 2c > 2a por lo tanto c2
> a2
c2
> a2
es un número positivo y puede ser reemplazado por otro número positivo b2
, es
decir: b2
= c2
- a2
Ecuación de la hipérbola de centro el origen y su eje focal coincide con el eje x
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Centro en el origen y su eje focal coincide con el eje de las y:

41. 41
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Para cada hipérbola:
a → longitud del semi eje transverso
b → longitud del semi eje conjugado
c → distancia del centro a cada foco
a, b y c están ligadas por la relación: c2
= a2
+ b2
La longitud de cada uno de sus lados rectos es
LR =
2b2
𝑎
Excentricidad:
e =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
> 1
6.3 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA
x
FF′ V′ V
yy = −
𝑏
𝑎
x y =
𝑏
𝑎
x

42. 42
bx – ay = 0
bx + ay = 0 y = ±
𝑏
𝑎
x
6.4 SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA.
Centro (h, k) y eje focal paralelo al eje x
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1
Asíntotas es:
𝑥 −ℎ
𝑎
= ±
𝑦 −𝑘
𝑏
Centro (h, k) y eje focal paralelo al eje y
x
F
F′
V′
V
y l
l′c (h, k )

43. 43
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 1
c2
= a2
+ b2
LR =
2b2
𝑎
Para cada hipérbola:
a → longitud del semi eje transverso
b → longitud del semi eje conjugado
c → distancia del centro a cada foco
e =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
> 1
6.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA.
Los coeficientes A ≠ C y difieren en el signo para que la ecuación sea una hipérbola.
𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

44. 44
CAPITULO VII- TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Es muy importante elegir un sistema de coordenadas o de referencia para simplificar las
ecuaciones y que el proceso de solución sea más rápido. Esto se los realiza por medio de
una transformación de ejes coordenadas, que pueden ser de traslación o de rotación de los
ejes coordenados.
7.1 TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Sean OX y OY los ejes primitivos
Sean O΄X΄ y O΄Y΄ los ejes paralelos o nuevos ejes
Sean (h, k) las coordenadas de O΄ con respecto al sistema inicial o primitivo
(x, y) son las coordenadas de un punto P respecto a los ejes primitivos y (x΄, y΄) las
coordenadas del mismo punto respecto a los nuevos ejes.
Determinamos x, y en función de x΄, y΄, h y k, tenemos:
X = MP = M M΄ + M΄ P = h + X΄
Y = NP = N N΄ + N΄ P = k + Y΄
La ecuación de la traslación de los ejes es:
p(x, y)
(x΄, y΄)
N
N΄
M
M΄
x΄
y΄
o΄(h, k)
X
Y
o

45. 45
Y = MP = MM΄ + M΄P = NN΄ + M΄P = X΄ sen θ + Y΄ cos θ
7.2 ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Sean OX y OY los ejes primitivos
Sean OX΄ y OY΄ los nuevos ejes, siendo O el origen común de ambos sistemas.
θ es el ángulo de rotación
(x, y) son las coordenadas de un punto P respecto a los ejes primitivos y (x΄, y΄) las
coordenadas del mismo punto respecto a los nuevos ejes.
Determinamos x, y en función de x΄, y΄, θ :
X = OM = ON – MN = X΄ cos θ - Y΄ sen θ
Y = MP = MM΄ + M΄P = NN΄ + M΄P = X΄ sen θ + Y΄ cos θ
Ecuación de la rotación de θ de los ejes coordenados son:
Donde. 0° ≤ θ < 90°
X = h + X΄ Y = k + Y΄
X
Y
o
p(x, y)
(x΄, y΄)
M
M΄
N
θ
θ
N΄
X
X΄
X = X΄ cos θ - Y΄ sen θ
Y = X΄ sen θ + Y΄ cos θ

46. 46

47. 47
BIBLIOGRAFIA

 Ocampo Contreras, José, Geometría Analítica, U.A.E.M, México 2011
 Lehmann, Charles, Geometría Analítica, Limusa, México, 1982
 Jimenez, Rene, Matemáticas III, Pearson, México, 2011
 Vazquez Sanchez, Agustin, Geometría Analítica, Pearson, México, 2007
 Oteyza.Lam.Hernandez.Carrillo, Geometría Analítica, Pearson, México, 2005