Investigación de Teoría de Errores mas ejemplos

1. Universidad Fermín Toro Ingeniería Eléctrica
Participante: Jheickson Noguera Análisis Numérico
Teoría de Errores
(Investigación)
Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la
diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:
e = Vr – Va
Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o
en forma relativa.
Tipos de errores
Error de redondeo
Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren
y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de
operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener
en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que
se esté utilizando.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
 Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden
conservar dentro de la memoria correspondiente.
 Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo
del número en particular:
para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización
de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o
igual a 5.
para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización
de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o
igual a 5.
Error por truncamiento
Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de

2. instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto
que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe
truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía
encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización
prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del
error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor. Este
es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método
numérico empleado.
Error numérico total
Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos
en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un
resultado, el error de redondeo se irá incrementando.
Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más
términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor
número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).
Errores humanos
Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar
números erróneos po r su funcionamiento. Actualmente las computadoras son
muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen
conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el
diseño de la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son
prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.
Error inherente
En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto
error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una
determinada magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una
varilla de acero presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o
con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.
Error absoluto
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su
valor calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto
no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan
juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y

3. otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma
("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores
positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar
que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que
los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.
Error relativo
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el
divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del
valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor
parte de las veces utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial
cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los
elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera
uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los
números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa
este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la
variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo
cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida del error
debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de yardas a
pulgadas, digamos, no debería amplificar el error aparente por 36, como sucedería
en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se inclinarían a utilizar el
error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas.
Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para
ponerlo en una base porcentual.
Propagación del error
Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son
más importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente,
esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos datos,
hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de significado.
Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia
entre los números:

4. a = 0.276435 b = 0.2756
Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por
aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a
dichos números y el error relativo cometido es:
a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3
b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los
aproximados se obtiene:
a - b = 0:000835
a'- b'= 0.0
Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%.
Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de
redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta
generar un resultado carente de significado.
Ejemplos
Ejemplo 1
Error Absoluto, Relatico y Precisión
Consideramos “A” el valor exacto de la medida de cierta magnitud (en
general desconocida) y será “a” un valor conocido que se llamará
aproximación de “A”. Evidentemente la buena cualidad de la aproximación
es de acuerdo a cuan próximo está “a” de “A”.
Definiciones
a) Llamamos error absoluto del número aproximado “a” al valor 𝜉 𝑎 = | 𝐴 − 𝑎| y
todo número 𝜉 𝑎
+
≥ 𝜉 𝑎 se denominará cota del error absoluto.
b) Llamamos error relativo del número aproximado “a” al valor 𝛿 𝑎 =
𝜉 𝑎
| 𝐴|
≠ 0 y
todo número 𝛿 𝑎
+
≥ 𝛿 𝑎, se denominará cota del error relativo.
c) Dado un 𝜀 > 0 (pequeño) decimos que el valor de “a” aproxima a “A” con
una precisión 𝜀 si:
𝜉 𝑎 = | 𝐴 − 𝑎| ≤ 𝜀

5. Ejemplo 2
Sean “A” y “a” dos números reales. Se dice que “a” es una aproximación de
“A” con “n” cifras decimales exactos (o que A y “a” coinciden en “n” cifras
decimales), si “n” es el mayor entero no negativo tal que:
𝝃 𝒂 ≤ 𝟎. 𝟓𝒙𝟏𝟎−𝒏
Solución
Una aproximación de A=π=3.141592… con tres cifras decimales exactas es 𝑎 =
3.1515, ya que
| 𝜋 − 3.1415| = 0.000092… < 0.5𝑥10−3
= 0.0005
| 𝜋 − 3.1415| = 0.000092… < 0.5𝑥10−4
= 0.00005
Sin embargo, el número 3.141 coincide con 𝜋 en sólo dos cifras decimales
exactas, ya que
0.5𝑥10−3
= 0.0005 < | 𝜋 − 3.141| = 0.000592… < 0.5𝑥10−2
= 0.005
Ejemplo 3
Sean “A” y “a” dos números reales, con 𝑨 ≠ 𝟎. Se dice que “a” es una
aproximación de A con “n” cifras decimales significativos exactos (o que A y
“a” coinciden en “n” cifras decimales significativos), si “n” es el mayor
entero no negativo tal que:
𝜹 𝒂 ≤ 𝟎. 𝟓𝒙𝟏𝟎−𝒏
Solución
El número 124.45 coincide con 123.45 en dos cifras significativas, ya que
5𝑥10−3
<
|123.45−124.45|
123.45
=
1
123.45
= 0.0081 … < 5𝑥10−2
El número 251.75 coincide con 250.75 en tres cifras significativas, ya que
5𝑥10−4
<
|250.75−251.75|
250.75
=
1
250.75
= 0.0039 … < 5𝑥10−3
Referencia
Huerta, A. (1998). Métodos numéricos. Introducción, aplicaciones y
propagación. Barcelona.