Capa límite, paradoja de D'Alembert y demostración de fórmulas de canales

CAPA LIMITE, PARADOJA D’ ALEMBERT, DEMOSTRACION DE FORMULAS DE CANALES
MECANICA DE FLUIDOS Página1
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Civil Ambiental
TEMA:
CAPA LIMITE, PARADOJA D’ ALEMBERT, DEMOSTRACION DE FORMULAS DE
CANALES
CURSO:
MECANICA DE FLUIDOS II
INGENIERO:
PINELLA ODAR LEONIDAS FERMIN
INTEGRANTES:
CORONEL SILVA MONICA
FERNANDEZ RODRIGO IVAN
JACINTO AQUINO JORGE
HIDRUGO BARRAGA MANUEL

CHICLAYO - PERU
Tabla de contenido
I. INTRODUCCION..........................................................................................................5
II. OBJETIVOS...................................................................................................................6
III. METODOLOGÍA...........................................................................................................7
IV. PARADOJA D ‘ALEMBERT .......................................................................................8
V. CAPA LÍMITE .............................................................................................................12
5.1. Tipos de la capa límite.......................................................................................... 13
5.1.1. Capa límite laminar..........................................................................14
5.1.2. Transición a la turbulencia.................................................................17
5.1.3. Capa límite turbulenta ..................................................................... 19
5.2. Espesor de capa límite.......................................................................................... 26
5.3. Cantidad de movimiento lineal / Ec. de von Karman...................................28
5.3.1. Para el caso de la placa plana delgada resulta......................................... 30
VI. DEMOSTRACION DE FORMULAS DE CANALES ....................................31
6.1. Ecuación de fricción...................................................................................................31
6.2. Ecuación de la cantidad de movimiento o momentum.............................................. 39
6.3. Ecuación de Manning................................................................................................. 40

RESUMEN CAPA LÍMITE
La capa limite aparece en la superficie de los organismos viscosos donde el líquido
parece pegarse a la superficie en la zona más cercana a la superficie, donde la velocidad
tiende a cero. A esto se le conoce como condición de no deslizamiento además en la capa
limite la velocidad varía desde cero en la superficie hasta un 99% de flujo exterior a la
reunión de puntos donde se cumple esta última condición se le llama borde de la capa limite.
El carácter de la capa limite varia en medida que el flujo se desarrolla en la superficie.
En un inicio la capa limite es laminar, donde el fluido se mueve en capas o laminas lisas con
velocidades pequeñas y gradientes de cizalla también pequeños, luego pasa por un periodo de
inestabilidad donde aparecen las culebritas u ondas cuneiformes, para dar paso a manchas
turbulentas que viajan en dirección de la corriente, después de forma una estructura
homogénea llamada flujo turbulento conformado por vórtice de diversos tamaños
PALABRAS CLAVES
Capa laminar, capa turbulenta, efectos viscosos, Paradoja D’ Alembert, subcapa
laminar
ABSTRAC
The boundary layer appears on the surface of the viscous liquid bodies which seems to
stick to the surface closest to the surface, where the speed tends to zero. This is known as a
condition of further slippage in the boundary layer velocity varies from zero at the surface up
to 99% foreign flow to the meeting point where it meets this condition is called edge of the
boundary layer.

The nature of the boundary layer varies as the flow develops on the surface. Initially
the laminar boundary layer is where the fluid moves in layers or smooth boards with small
velocities and shear gradients too small, then goes through a period of instability where
culebritas or cuneiform waves appear to give way to troubled spots traveling in direction of
flow, after forming a homogeneous structure called turbulent vortex flow formed by different
sizes
KEYWORDS
Layer laminar, turbulent layer viscous effects, Paradox D'Alembert, laminar sublayer
DEDICATORIA

I. INTRODUCCION
La viscosidad es el parámetro del fluido que controla el transporte de la cantidad de
movimiento, es decir, determina la relación entre el esfuerzo o tensión local de un fluido en
movimiento con la velocidad que se produce la deformación del fluido, a lo que se denomina
proceso de fluir.
Durante el siglo XVIII se propusieron soluciones a flujos en los que se despreciaba la
viscosidad: Daniel Bernoulli (“Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum
comentarii”,1738), Jean D’ Alembert(“ Traité de léquilibre et du movement des
fluides”,1744), Leonhard Euler(“ Principia motus fluidorum”, 1756). Esta teoría era útiles
para describir el movimiento de los fluidos en regiones del flujo para las cuales los gradientes
de velocidad eran pequeños, pero estaban en completa contradicción con la experimentación
en cuanto a las fuerzas que se oponían al movimiento, es decir, fuerzas de arrastre sobre los
cuerpos. Las consideraciones de flujo no viscoso llevaba a la conclusión de que el arrastre
sobre un cuerpo inmerso en un fluido era nulo (Paradoja de D’ Alembert), y además eran
incapaces de determinar las fuerzas perpendiculares al flujo (sustentación)
En 1904 Ludwig Prandtl publico uno de los más importante artículos de la Mecánica
de Fluidos, consiguiendo enlazar la teoría clásica con los resultados sobre fricción de cuerpos
sumergidos. Prandtl introdujo el concepto de capa límite, una delgada zona de fluido cercana
a la superficie de los cuerpos, en la cual se presenta grandes variaciones de la velocidad y
donde se concentran los efectos viscosos.
En términos generales se puede decir que, puesto que la viscosidad es bastante
pequeña en casi todos los fluidos, los esfuerzos cortantes deber ser apreciables únicamente en

las regiones en donde existan grandes gradientes de velocidad. Las características más
sobresalientes de la capa limite puedes describirse a través del caso del flujo sobre una
superficie plana y fija, sobre la que se hace incidir una corriente uniforme de velocidad U0.
II. OBJETIVOS
 Conocer la teoría de la capa límite, asimismo los aspectos que se consideraban
anteriormente en la Paradoja D’ Alembert.
 Demostración de las fórmulas de canales.

III. METODOLOGÍA

IV. PARADOJA D ‘ALEMBERT
Si se analiza el movimiento de un cilindro circular en el interior de un fluido con una
velocidad V de derecha a izquierda, esto es, dinámicamente hablando, equivalente al caso en
que el cilindro está parado y existe una corriente que incide sobre él de izquierda a derecha
con una velocidad V.
Si se supone un flujo ideal ( µ=0 y energía constante en todos los puntos), se obtendrá
una circulación del flujo como la que se muestra en la imagen
Según la teoría de las líneas de corriente, se podría calcular la velocidad en el punto S
de la superficie del cilindro como:
Vs = 2* V0 *senθ
Donde
- Vs: velocidad del fluido en un punto
de la superficie
- V0 = velocidad de la corriente no
perturbada
- Θ: ángulo que fija la posición del
punto en el cilindro

Aplicando la ecuación de Bernoulli en un punto entre la entrada y el punto S:
𝑃𝑜 +
𝜌. 𝑉𝑜2
2
= 𝑃𝑠 +
𝜌. 𝑉𝑠2
2
𝑃𝑠 = 𝑃𝑜 +
𝜌
2
(𝑉𝑜2
− 𝑉𝑠2
) = 𝑃𝑜 +
𝜌
2
𝑉𝑜2
(1 − 4𝑠𝑒𝑛2
θ)
Y por tanto:
𝑃𝑜 − 𝑃𝑠
𝜌 ∗ 𝑉𝑜2/2
=
𝛥𝑃
𝜌 ∗ 𝑉𝑜2/2
= (1 − 4𝑠𝑒𝑛2
θ)
Las fuerzas debidas a la presión son normales a la superficie exterior del cilindro. Si se
representa la resultante de dichas presiones sobre el cilindro se obtiene la siguiente
distribución:

 La resultante de todaslasfuerzasque actúansobre el cilindro en la dirección normal
al movimiento (sustentación) es nula.
 La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro en la dirección
del movimiento (arrastre) es nula.
 El cilindro se movería en el interior de un fluido ideal sin experimentar
resistencia alguna.
Sin embargo, se presenta el hecho paradójico de que el agua y el aire, a pesar de ser
muy poco viscosos, ofrecen a un cilindro en movimiento una gran resistencia al avance Este
hecho se conoce como Paradoja de D’ALEMBERT.
La explicación de esta paradoja llevó a la definición de dos conceptos primordiales en
la mecánica de fluidos:
 La existencia de la Capa Límite
 El Desprendimiento de Capa Límite
La explicación de la Paradoja de D’Alembert se resume en los siguientes puntos. En
cualquier fluido, por muy poco viscoso que sea:
a. Aunque microscópicamente las líneas de flujo se puedan parecer a las de un
flujo ideal, microscópicamente en las inmediaciones del cilindro, el fluido se
adhiere al mismo por efecto de su viscosidad, debido a lo cual, la velocidad del
flujo en la superficie del cilindro se reduce a un valor nulo. Esta velocidad
aumenta muy rápidamente en una zona muy estrecha, conocida como Capa
Límite, hasta pasar de V=0 m/s a V=VS.

Por tanto, según la ecuación de Newton, se produce sobre la superficie del fluido un
esfuerzo cortante:
𝜏 = 𝜐 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑦
Aunque la viscosidad es pequeña, la variación de velocidad es muy elevada en un
espacio muy reducido, y por lo tanto el esfuerzo cortante es muy elevado. Esta resistencia se
conoce como Resistencia de Superficie.
Por otra parte, la configuración de velocidades nunca va a ser como en un flujo ideal, a
no ser que V0 sea muy pequeña, debido a que:
b. El cilindro, aerodinámicamente hablando, tiene una forma muy roma, y las
líneas de corriente tienden a separarse de la superficie (Desprendimiento de
Capa Límite), creando en la parte posterior remolinos que dan lugar a
depresiones. Esto genera una resistencia al avance, conocida como Resistencia
de Forma.

V. CAPA LÍMITE
En 1904 ocurrió un notable descubrimiento en la mecánica de fluidos, cuando Ludwig
Prandtl introdujo la aproximación de capa límite.
La idea de Prandtl era dividir el flujo en dos regiones: una región de flujo exterior que
es invíscido y/o irrotacional, y una región de flujo interior llamada capa límite: una región de
flujo muy delgada cerca de una pared sólida donde las fuerzas viscosas y la racionalidad no
pueden ignorarse.
La clave para la aplicación exitosa de la aproximación de capa límite es la suposición
de que ésta es muy delgada. El ejemplo clásico es un flujo uniforme que fluye paralelo a una
larga placa plana que está alineada con el eje x. Por costumbre, δ usualmente se define como
la distancia de la pared a la cual la componente de velocidad paralela a la pared es 99 % de la
velocidad del fluido afuera de la capa límite. Se evidencia que, para un fluido y placa dados,
cuanto mayor sea la velocidad V del flujo libre, más delgada será la capa límite. En términos
adimensionales, el número de Reynolds se define con base en la distancia x a lo largo de la
placa:

Número de Reynolds a lo largo de una placa plana:
Se confía en que la capa límite es delgada cuando δ<<x (o, expresado en forma adimensional,
δ/x<<1).
La magnitud de estas fuerzas dependerá de la forma que tome el flujo alrededor del
cuerpo y por lo tanto de la forma del cuerpo, de las condiciones del flujo y de la posición
relativa del cuerpo con respecto al flujo.
La influencia sobre el flujo para el caso de la placa plana delgada paralela al flujo es
mínima y las líneas de corriente tenderán a ser paralelas a la placa. Alrededor de un cuerpo
aerodinámico el flujo que se establece es tal que las líneas de corriente se cierran detrás del
cuerpo. Alrededor de un cuerpo obstructor por el contrario, las líneas de corriente no son
capaces de cerrarse detrás del cuerpo generando detrás de este lo que se conoce como estela.
5.1. Tipos de la capa límite
Cuanto mayor sea la velocidad V del flujo libre,más delgada será la capa
límite

En una primera parte se desarrolla la capa límite laminar (x pequeño → Re
pequeño). En esta región el flujo es laminar por lo que las partículas se encontrarán
sometidas a esfuerzos de corte laminar y no existirá mezcla entre las capas. El espesor de la
capa límite aumenta con x debido al flujo que entra en esta región desde la corriente libre.
Como Re es una función de la posición x sobre la placa, ´este aumenta con x. Lo anterior
indica que para una placa dada y una velocidad de la corriente libre U dada siempre se
alcanzará el régimen turbulento siempre y cuando la placa sea lo suficientemente larga. Por lo
tanto, si la placa es lo suficientemente larga, existirá un punto de transición (en realidad
existe una zona de transición) donde el régimen se torna turbulento. La aparición de un
régimen turbulento está asociado a un aumento notable en el espesor de la capa límite. En
esta región las partículas estarán sometidas a deformaciones en todas direcciones y existirá
mezcla o difusión entre las distintas capas del fluido.
5.1.1. Capa límite laminar
Las ecuaciones que gobiernan el flujo viscoso en la capa límite son las ecuaciones de
Navier Stokes. Consideraremos en el siguiente desarrollo un flujo bidimensional, permanente
y laminar. Las ecuaciones de Navier Stokes para este caso son:
Además se cuenta con la ecuaciónde continuidad:

Hasta la fecha no se ha encontrado una solución analítica al sistema de ecuaciones
anterior. Debido a esto se realizan una serie de aproximaciones para obtener un sistema de
ecuaciones más simple. Estas aproximaciones se basan en la magnitud relativa de los valores
de las variables involucradas dentro de la capa límite y son:
Alguna de estas aproximaciones es solo válidas para números de Reynolds altos (Re >
1000).Introduciendo las hipótesis anteriores el sistema de ecuaciones se reduce a:
Para la variación de la presión con x se puede suponer que el flujo de la corriente
principal impone su distribución de presiones dentro de la capa límite, es decir, dp/dx dentro
de la capa límite es igual al dp/dx existente fuera de la capa límite, el cual se puede
determinar mediante un análisis de flujo potencial. Lo anterior indica que para una placa
delgada, donde las líneas de corriente son paralelas a la placa y por lo tanto no existe una
variación de la velocidad y por lo tanto tampoco de la presión el término dp/dx = 0.
Las condiciones de borde, necesarias para resolver el sistema de ecuaciones, son u = v
= 0 para y = 0 y u → U cuando y → ∞.
De un análisis dimensional se puede determinar que el número de Reynolds (Rex) es
del orden de magnitud de (1/δ2), es decir:

Blasius resolvió las ecuaciones simplificadas de Navier Stokes para el caso de la placa
delgada (donde dp/dx = 0) encontrando que la constante de proporcionalidad de la ecuación
anterior es 4.96:
Análogamente, para el espesor de desplazamiento y el espesor de cantidad de movimiento se
obtiene:
Determinado el perfil de velocidades es posible determinar el esfuerzo de corte que se
produce en la pared (τw), es decir, para y = 0.
Donde el gradiente del perfil de velocidades se obtiene de la solución de Blasius resultando
Se puede apreciar que el esfuerzo de corte decrece con x debido al aumento del espesor de la
capa límite δ.

5.1.2. Transición a la turbulencia
Dado que el número de Reynolds, parámetro principal que gobierna la transición a la
turbulencia, es una función de la posición relativa sobre el cuerpo, siempre es posible
alcanzar el régimen turbulento en la capa límite, independiente de la velocidad del flujo libre
U y del fluido. Para el caso particular de la placa plana basta con que ´esta sea lo
suficientemente larga.
La transición a la turbulencia depende de varios factores como:
1. Número de Reynolds Re.
2. Rugosidad de la superficie.
3. Curvatura de la superficie.
4. Grado de turbulencia de la corriente libre.
5. Vibración de la placa.
Para una placa plana y delgada la transición ocurre para un rango de la coordenada x
tal que 2·105≤ Rex ≤3·106. La figura muestra el efecto del número de Reynolds en el espesor
de la capa límite sobre una placa lisa. Se ve que para Re = 3.2·105 el espesor aumenta
rápidamente y se puede considerar este valor de Reynolds como crítico para la transición a la
turbulencia.
Como Re es función de x se puede determinar la posición x a lo largo de la placa en
que más probablemente aparecerá la transición a la turbulencia.
Variación del espesor de la capa límite con el númerode Reynolds local para el
Flujosobre una placa plana.

La rugosidad de la superficie de la placa producirá un adelantamiento del punto de
transición si se le compara con una superficie lisa (pelotas de golf). La transición a la
turbulencia conlleva también una variación notable del perfil de velocidades dentro de la
capa
límite
como se
puede
observar en
la figura:
Las líneas de este grafico
representan los límites entre los distintos
tipos de flujo y por lo tanto la curva
inferior representa la variación del número
de Reynolds crítico con el grado de
turbulencia de la corriente libre U0/U .
Efecto del grado de turbulencia de la corriente libre
sobre la transición para el flujosobre una placa plana.
Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.

5.1.3. Capa límite turbulenta
La estructura de la capa límite turbulenta es muy compleja, irregular y aleatoria. No
existe, por lo tanto, una solución exacta para el flujo en ´esta zona por lo que se recurre a
aproximaciones y validación experimental.
Utilizaremos la ecuación de von Karman deducida anteriormente, donde u
representara la media temporal de la velocidad, es decir, u =ü.
Blasius encontró que para Re ≤ 107 y una superficies lisa se cumple:
Para el perfil de velocidades se ha determinado que el resultado utilizado en tuberías
es una buena aproximación, es decir:
Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ec. De von Karman y desarrollando
para una placa plana delgada se obtiene:

Para el espesor de desplazamiento y el esfuerzo de corte en la pared se obtienen
análogamente los siguientes resultados:
Integrando sobre toda la placa es posible determinar la fuerza de arrastre debida a la
fricción Df:
Donde L y b representan el largo y ancho de la placa respectivamente. Desarrollando
se obtiene:
El arrastre se expresa generalmente en términos de un coeficiente de arrastre por fricción
CDf de la siguiente forma:
Donde A = bL es el ´área de la placa y el término 1/2ÞU2 representa la presión de
estancamiento para la corriente libre. Despejando se obtiene:

El coeficiente de arrastre por fricción en la placa plana es una función de la rugosidad
de la placa y del número de Reynolds como se puede apreciar en el gráfico:
Las ecuaciones que aproximan las distintas zonas del gráfico son:
5.1.3.1. Sub capa laminar
Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo(Recrit = 5·105).

En la capa turbulenta, hay pegando a la pared una subcapa laminar, ya que el
intercambio de cantidad de movimiento entre láminas no es posible con la lámina que moja
la pared. Esto va a tener una gran importancia cuando la pared es rugosa en lugar de lisa.
En la zona turbulenta, existe una capa de muy pequeño espesor ´ donde el elevado
gradiente de velocidad impide la formación de remolinos al incrementarse V y no permitir el
intercambio de partículas, por influencia de la viscosidad.
a) La separación. Expansión en un conducto
La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción
en la que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber
movimiento en dirección a la de escurrimiento principal (contra corriente).

Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa limite se caracteriza por
tener energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del
escurrimiento, lo que implica:
Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en
la dirección del escurrimiento. La capa limite aumenta de espesor lentamente.
Se trata entonces de una expansión y la capa limite aumenta de espesor rápidamente.
El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite:
Variación del gradiente de presiones

La condición
𝜕𝑃
𝜕𝑋
> 0 corresponde a líneas de corrientes divergentes. Si esta
condición se presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa limite puesto
que allí se tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se
mueven muy lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se
detienen. Luego por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa
limite una contracorriente.
En un incremento de presión, las partículas de la capa limite perderán velocidad hasta
detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección
contraria a la del escurrimiento.
5.1.3.2. Clases de capa límite turbulenta
A) Flujo hidráulicamente liso (tubería hidráulicamente lisa)
La rugosidad (K) queda cubierta por la subcapa laminar ( ). La rugosidad, por tanto,
no influye en el valor de f puesto que ningún punto de la pared queda afectado por las
turbulencias que producirían las rugosidades internas, comportándose la tubería como un
material liso
B) Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición:
El
espesor de la

subcapa laminar (*) se aproxima al valor medio de rugosidad absoluta (K), de manera que
la rugosidad emerge de la subcapa laminar en unos puntos y en otros no, quedando sólo
las rugosidades que emergen afectadas por la turbulencia. Es el caso más frecuente, y aquí
el coeficiente de fricción depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad
relativa.
C) Flujo hidráulicamente rugoso (tubería
hidráulicamente rugosa):
Si el espesor de la subcapa laminar (*) es menor que la
rugosidad absoluta (K), las irregularidades internas de la conducción rebasan la subcapa
laminar, produciendo turbulencia completa. Cuanto mayor sea el número de Reynolds, más
delgada será la subcapa laminar y más puntos de la pared sobresaldrán de ella. En este caso,
las fuerzas de inercia son muy importantes y apenas influyen las fuerzas viscosas, por lo que
el factor de fricción sólo depende de la rugosidad relativa y el número de Reynolds no tiene
importancia en su determinación.
Cuantitativamente:
…………. ……. Flujo hidráulicamente liso.
…………….. Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición.

:
………………Flujo hidráulicamente rugoso.
En la práctica, se utilizan unas condiciones basadas en la proporcionalidad
del número de Reynolds de la rugosidad y la relación , ya que son más fáciles
de establecer que las anteriores y se refieren a rugosidades absolutas irregulares,
que es el caso real de las tuberías comerciales.
……………………………………… Si: Flujo hidráulicamente liso.
………… Si: Flujo hidráulicamente rugoso.
Si el flujo está comprendido entre los dos valores anteriores, el flujo sería hidráulicamente
semirrugoso (zona de transición).
5.2. Espesor de capa límite
El espesor es la distancia a la pared donde la velocidad es igual a un 99% la velocidad
de la corriente libre.
Espesor de la capa límite δ

Otra forma de definir la capa límite es considerar el hecho de que la existencia de un
gradiente de velocidades en la región cercana al cuerpo tiene como consecuencia una
disminución tanto del caudal másico como de la cantidad de movimiento del flujo que pasa
por esta región si se le compara con un flujo no viscoso. Este tipo de definición elimina la
arbitrariedad de la definición anterior. Se define el espesor de desplazamiento δ* como la
distancia a la que habría que desplazar el contorno del cuerpo si se supone que no existe roce
pero se mantiene el caudal másico real.
Se define el espesor de cantidad de movimiento ϴ como la distancia a la que habría
que desplazar el contorno del cuerpo suponiendo que no hay roce pero se mantiene el flujo de
cantidad de movimiento del flujo viscoso es decir:
Espesor de desplazamiento δ*

Tanto el espesor de la capa límite como el espesor de desplazamiento y el espesor de
cantidad de movimiento son funciones de la coordenada x
5.3. Cantidad de movimiento lineal / Ec. de von Karman
Resolver las ecuaciones de Navier Stokes analíticamente es prácticamente imposible,
salvo en casos muy simplificados, se debe tener una forma alternativa de resolver el problema
en forma aproximada. Una forma de resolver este tipo de problemas es aplicando la ecuación
de cantidad de movimiento sobre un elemento diferencial de capa límite y realizando
aproximaciones sobre el perfil de velocidades tanto dentro como fuera de la capa límite.
Espesor de cantidad de movimientoϴ
Elementodiferencial dentrode la capa límite.

Las fuerzas externas según x que actúan sobre el elemento diferencial de la figura son:
Esta fuerza neta debe ser igual al flujo neto de cantidad de movimiento que sale del
volumen de control, es decir:
Fuerzas externas sobre un elementode la capa límite.
Flujo cantidad de movimiento a través del VC.

La ecuación de continuidad para el volumen de control es:
De donde simplificando y reordenando resulta:
Esta ecuación se denomina ec. Integral de la cantidad de movimiento de von Karman.
Para el caso de la placa delgada, donde (dp/dx) = 0, se cumple que U = cte., es decir, U ≠
U(x).
En términos de δ* y ϴ , y suponiendo que la variación de presión dentro de la capa
límite es igual a la variación fuera de la capa límite:
5.3.1. Para el caso de la placa plana delgada resulta
Integrando τw sobre toda la superficie se obtiene el arrastre que el fluido ejerce sobre
el cuerpo.
En forma general, para calcular el espesor de la capa límite sobre una placa plana que
se encuentra inmersa en un flujo laminar, incompresible y permanente se debe:

Utilizar el gradiente de presiones (dp/dx) determinado para el flujo exterior a
la capa límite.
Definir o aceptar una forma razonable del perfil de velocidades dentro de la
capa límite.
Determinar τw como(du/dy)y=0.
VI. DEMOSTRACIONDE FORMULAS DE CANALES
6.1. Ecuación de fricción.
Supóngase un canal de sección cualquiera como se ilustra en la (Fig. 1.22), donde el
flujo es uniforme, la velocidad y el tirante permanecen constantes respecto al espacio.

Diagrama para obtener la fórmula de Chezy, flujo uniforme y permanente.
Dónde:
W = Peso del volumen elemental de agua
E = Empuje hidrostático
d = Tirante ó profundidad del agua en el canal
L = Longitud del volumen elemental de agua
 = Angulo de inclinación del fondo del canal respecto a la horizontal
 = Peso específico del líquido
 = Esfuerzo cortante debido a la fricción del agua con el fondo
P = Perímetro mojado
AH = Área hidráulica
Con referencia en el volumen elemental de líquido, mostrado en la figura (en color
azul), de sección transversal constante AH (flujo uniforme) y de longitud L. El volumen se
considera en equilibrio, puesto que el flujo es Uniforme Y Permanente
(Aceleración igual a cero) Y, estableciendo la ecuación de equilibrio en la dirección del
flujo (Dirección x, paralela al fondo del canal), tenemos:
E1 Wsen E2  Ff  0      1

Agrupando:
E1 E2 Wsen Ff  0     

2

Como:
E1  E2 , se eliminan mutuamente
Y
W   

Como el volumen elemental de fluido es igual a L AH , entonces:
W   L AH

Sustituyendo estas igualdades en la ecuación 2, tenemos:
 L AH sen - p L = 0 - - - - (3)
Despejando, de esta última ecuación, el esfuerzo cortante :
 


L AH
sen
p L
---- (4)
 


AH sen
p
--- (5)

AH
 R
p
(Radio hidráulico)
Entonces la ecuación 5 queda:
   r sen --- (6)
Ahora, observemos en la siguiente figura:
L
h



L
Dónde:
sen 
h
L
y Tan 
h
 S (gradiente hidráulico)
L
Entonces, vemos que cuando  es muy pequeño (10o)
. Por consiguiente Sustituyendo
en la ecuación 6 tenemos:
  RS………………. (7)

Con esta ecuación, podemos obtener el esfuerzo cortante medio que el flujo produce en
la pared del canal en función; del gradiente hidráulico, del radio hidráulico y del peso específico
del fluido de que se trate.
Ahora, mediante el análisis dimensional obtendremos una expresión para
determinar el esfuerzo cortante  ,en función de:
La profundidad del agua en el canal d  la rugosidad relativa D, la densidad
rugosidad relativa D, La densidad ,viscosidad del líquido y, la velocidad
del flujo V .
t = 𝐾 𝑑 𝑎
𝑉 𝑏
ρ 𝑐
μ 𝑑
(
𝜀
𝑑
)
𝜃
Estableciendo su ecuación dimensional:
Agrupando magnitudes iguales:
FL2
T 0
 (La
Lb
L4c
L2d
)()(F c
Fd
)(T b
T 2c
T d
𝐹
− 2
𝑇
0
= ( 𝐿
𝑎
)( 𝐿
𝑏
𝑇
− 𝑏
)( 𝐹
𝑐
𝑇
2𝑐
𝐿
− 4𝑐
)( 𝐹
𝑑
𝑇
𝑑
𝐿
− 2𝑑
(
𝐿𝜃
𝐿𝜀

Entonces las ecuaciones dimensiónales son las siguientes:
Para L: a + b - 4c – 2d = -2
Para F: c + d = 1
Para T: -b + 2c +d = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior:
Observemos que, tenemos 4 incógnitas y solo 3 ecuaciones, por lo que para resolver
el sistema, se requiere que una de las incógnitas sea considerada como variable
independiente y, las tres restantes, sean dependientes de esta.
Considerando al tirante d como variable independiente, tenemos:
c = 1- d
b= 2 – d
a = - d
Sustituyendo estos valores o resultados en la ecuación 8,
tenemos:



Agrupando, respecto a su exponente
Igualando la ecuación 7 con la ecuación 9, tenemos:
Despejamos a la velocidad V.
Como:
Y si hacemos:


Constante que queda en función del número de Reynolds, de la aceleración de
la gravedad y de la rugosidad relativa de la superficie del canal.
Finalmente la ecuación 10 queda:
𝑉 = √CRS ……….. Siendo esta la ecuación de Chezy
Esta ecuación fue obtenida por Chezy en 1775, la cual no pudo ser utilizada por la dificultad de
obtener un valor confiable del coeficiente C, fue obtenida originalmente para su aplicación en canales
y su validez se restringe al flujo uniforme.

6.2. Ecuación de la cantidad de movimiento o momentum
En una sección de un canal, en la cual pasa un caudal Q con una velocidad V, la
cantidad de movimiento en la unidad de tiempo, se expresa por:
Cantidad de movimiento = βδQV
Dónde:
β = coeficiente de Bussinesq (ver sección 3.7).
V = velocidad media
A = área total
δ = densidad del fluido
Q = caudal
Consideremos un tramo de un canal de sección transversal cualquiera, por ejemplo,
donde se produce el resalto hidráulico y el volumen de control limitado por las secciones 1 y
2 (antes y después del resalto), por el piso del canal y por la superficie libre, como se
muestra en Figura
Volumen de Control Para Definir la Ecuación de la Cantidad de Movimiento.

La variación de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 será:
Dónde:
FP1 , FP2 = fuerza de presión actuando en las dos secciones.
W = peso del fluido (Wsenα, peso del fluido en el sentido del movimiento, ver Fig. 5-8)
Ff = fuerza externa total de resistencia que se opone al movimiento.
Esta ecuación es conocida como la ecuación de la cantidad de movimiento o
momentum.
6.3. Ecuación de Manning.
En 1889 el ingeniero irlandés Robert Manning presenta una ecuación para determinar el
valor de “C”, en función del radio hidráulico y la rugosidad del material de que se
construya el canal.
La expresión para el sistema inglés es:
(1.23)
C 
1.486R
n
1/ 6
Para el sistema métrico la expresión de “C” es:
C 
R1/ 6
n
(1.24)
Sustituyendo el valor de “C” de Manning en la ecuación (1.16) de Chezy para calcular la
velocidad se tiene:
Para el sistema métrico:
V  C
C 
SR
R1 / 6
n
Ecuación de Chezy
y sustituyendo:
V 
R
1 / 6
R1 / 2
S1 / 2

R
1 / 61 / 2
S1 / 2

R
2 / 3
S1 / 2
n n n

V 
1
R2 / 3
S1 / 2
n
Ecuación de Manning para calcular la velocidad en canales abiertos y cerrados sistema
métrico.
Dónde:
V  velocidad media del agua en canales con régimen uniforme, en m/seg.
n  coeficiente de rugosidad de Manning.
R  radio hidráulico, en m.
S  pendiente de la línea de energía, que corresponde a la del fondo por
estar en régimen uniforme.
Para el sistema inglés: .sustituyendo en la ecuación de

V C RS 

1.486R1/ 6
n
R1/ 2
S1/ 2


1.486R1/ 61/ 2
n
S1/ 2


1.486R2 / 3
n
S1/ 2
V 
1.486
R2 / 3
S1/ 2
n
Ecuación de Manning para determinar la velocidad en el sistema inglés.

Tabla 6. Valores del coeficiente “n” de Manning.
Material
Valores
Mínimo Normal Máximo
Arroyo de montaña con
muchas piedras. 0.035 0.040 0.050
Tepetate (liso y uniforme). 0.025 0.035 0.040
Tierra en buenas condiciones. 0.017 0.020 0.025
Tierra libre de vegetación. 0.020 0.025 0.033
Mampostería seca. 0.025 0.030 0.033
Mampostería con cemento. 0.017 0.020 0.025
Concreto. 0.013 0.017 0.020
Asbesto cemento. 0.09 0.010 0.011
Polietileno y PVC. 0.007 0.008 0.009
Fierro fundido (Fo. Fo). 0.011 0.014 0.016
Acero. 0.013 0.015 0.017
Vidrio, cobre. 0.009 0.010 0.010
El cálculo del gasto en el diseño de canales, para este tipo de régimen, puede plantearse la
ecuación de continuidad (1.25) y la ecuación de Manning (1.23) sistema métrico y la (1.24)
para el sistema inglés.
V 
1
R2 / 3
S1 / 2
n
Q  AV
Sustituyendo el valor de la V en la ecuación
anterior, tenemos:
Q  A
1
R2 / 3
S1 / 2
n
Sistema métrico.
Q 
1.486
AR 2 / 3
S1 / 2
n
Sistema inglés.

Ordenando los términos conocidos en la ecuación queda:

(1.30)
Qn

S1/ 2
AR2 / 3
Ecuación general para el diseño hidráulico de canales en el sistema métrico.
Donde: Q  Gasto en m3
/seg, es dato.
n  Coeficiente de rugosidad de Manning, es dato.
S pendiente hidráulica ( S 
h
) del canal, es dato.
L
A  área hidráulica del canal en m2
.
En el sistema inglés la formula general es la misma lo único que cambia es el valor del
coeficiente C que vale 1.486 pies 1
/3
/seg, en lugar de 1 m1
/3
/seg.
(1.31)
Qn
 AR2 / 3
1.486S1 / 2
Estas ecuaciones (1.30 y 1.31) son importantes para el análisis y cálculo de los canales
que funcionan con movimiento uniforme. En estas ecuaciones los datos conocidos son el
gasto (Q), la pendiente hidráulica (S) y el coeficiente de rugosidad (n) de Manning.
Por lo tanto el primer miembro de la ecuación muestra una relación entre el Q, S, n y el
segundo miembro de la ecuación depende solamente de la geometría de la sección
transversal del canal. Si AR
2 / 3
tuviera valores siempre crecientes con la profundidad,
como sucede en la mayoría de los casos, para cada valor del primer miembro existiría
solamente una profundidad capaz de mantener el escurrimiento uniforme, este es el
tirante normal ( dn ).
Es conveniente señalar que a partir de la ecuación de Manning podemos calcular la
pendiente hidráulica del canal:
En unidades métricas y a partir de la ecuación 1.24, se procede a despejar la pendiente:
V 
1
R2 / 3
S1 / 2
 S 
 Vn 
n
(1.32)
En unidades inglesas:
R2 / 3
V 
1.486
R2 / 3
S1 / 2
 S 
 Vn 


(1.33)
Donde:
n 1.486R
2 / 3
2
2

S = pendiente hidráulica del canal, adimensional.
V  velocidad media del agua en m/seg.
n =coeficiente de rugosidad de Manning.
También a partir de la ecuación de Chezy podemos calcular la pendiente hidráulica
siempre y cuando contemos con el valor de C, V y R.
V  C RS
ecuación.
elevando al cuadrado ambos miembros de la
V 2
 C RS 2
V
2
 C
2
RS Despejando la pendiente S.
S 
V
Dónde:
(1.34)
C2
R
2

V  velocidad media del agua en m/seg.
C  coeficiente de resistencia a la fricción de Kutter, Bazin o de
Manning.
http://es.slideshare.net/EnriqueDilmanKent/capa-limite?related=1

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