El documento presenta una introducción al análisis de flujos de potencia en sistemas eléctricos de potencia. Explica que este análisis permite programar ampliaciones del sistema, estudiar efectos de fallas y ayudar a determinar programas de despacho de carga. Luego describe los datos de entrada requeridos y los tipos de barras (compensadora, de carga y de voltaje controlado). Finalmente, introduce los métodos de Gauss-Seidel y Newton-Raphson para resolver iterativamente el problema de flujos de potencia.

1. Tecnológico Nacional de México / Instituto Tecnológico de Parral
Ingeniería Electromecánica
Sistemas Eléctricos de Potencia
Unidad V. Análisis de Flujos de Potencia
Sergio Adrian Nuñez Gonzalez
Hgo del Parral, Chihuahua al 14/12/2022

2. Introducción al Problema de Flujos de Potencia.
El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Eléctrico de Potencia
(SEP) es uno de los aspectos más importantes de su comportamiento en régimen
permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva en cada línea
del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones
preestablecidas de operación.
El análisis del flujo de potencias (AFP) permite:
 Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de
operación, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas
centrales generadoras.
 Estudiar los efectos sobre la distribución de potencias, cuando se producen pérdidas
temporales de generación o circuitos de transmisión.
 Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un
funcionamiento óptimo.
El punto de partida para un problema de flujo de potencia es un diagrama unifilar del sistema
de potencia, a partir del cual se pueden obtener los datos de entrada para las soluciones
por computadora. Los datos de entrada consisten en datos de buses, datos de las líneas
de transmisión y de los transformadores.
Como se muestra en la figura, las cuatro variables siguientes están asociadas con cada bus
k: magnitud de voltaje Vk, ángulo de faso δk , potencia neta real Pk y potencia activa Qk
abastecida al bus. En cada bus, dos de las variables se especifican como datos de entrada
y las otras dos son incógnitas que se calcularan mediante el programa de flujo de potencia.
Por conveniencia, la potencia entregada al bus k en la figura se separa en generación y
carga.

3. 𝑃𝐾 = 𝑃𝐺 𝐾 − 𝑃𝐿 𝐾
𝑄𝐾 = 𝑄𝐺𝐾 – 𝑄𝐿𝐾
Cada bus k se clasifica en uno de los tres tipos siguientes:
 Bus compensador: solo hay un bus de compensador, que por conveniencia se le
asigna el número 1. El bus compensador es una referencia para la cual 𝑉1∠𝛿1, por
lo común 1.0∟0° por unidad, es un dato de entrada. El programa de flujo de potencia
calcula P1 y Q1.
 Bus de carga: Pk y Qk son datos de entrada. El programa de flujo de potencia calcula
Vk y 𝛿𝑘. La mayor parte de los buses en un programa normal de flujo de potencia
son de carga.
 Bus de voltaje controlado: Pk y Vk son datos de entrada. El programa de flujo de
potencia calculada Qk y 𝛿𝑘. Como ejemplos están los buses a los que están
conectados los generadores, capacitores en derivación desconectables, o sistemas
compensadores estáticos de VARs. Los límites de VARs máximo y mínimo QGkmax
y QGkmin que este equipo puede suministrar son también datos de entrada.
Observe que cuando el bus k es un bus de carga sin ninguna generación, 𝑃1 = −𝑃𝐿𝑘 es
negativo: es decir que la potencia real suministrada al bus k en la figura es negativa. Si la
carga es inductiva, 𝑄𝑘 = −𝑄𝐿𝑘 es negativa.
Los datos de entrada para cada línea de transmisión son la impedancia serie Z´ y la
admitancia de derivación Y´ del circuito pi equivalente por unidad, los dos buses a los que
está conectada la línea y la capacidad máxima de MVA. De manera similar, los datos de
entrada para cada transformador son las impedancias de devanados por unidad Z, la
admitancia de la rama de excitación por unidad Y, los buses a los que están conectados los
devanados y las capacidades máximas en MVA.
Las magnitudes y ángulos de los voltajes de barra que no se programaron en los datos de
entrada del estudio de flujos de potencia se llaman variables de estado o variables
dependientes, porque sus valores dependen de las cantidades especificadas en todas las
barras. Por tanto, el problema de flujos de potencia consiste en determinar los valores para
todas las variables de estado, resolviendo un número igual de ecuaciones de flujos de
potencia que se basan en las especificaciones de los datos de entrada.

4. El Método de Gauss-Seidel
La complejidad que presenta la obtención de una solución al problema de las cargas en
una red de energía, radica en las diferencias en el tipo de datos especificados para las
distintas barras del sistema. Aunque no es difícil la formulación del número de ecuaciones
suficientes, no es práctico obtener una solución directa. La resolución de los problemas de
carga por el método digital sigue un proceso iterativo, asignando valores estimados a las
tensiones desconocidas en las barras y calculando una de las tensiones en las barras a
partir de los valores estimados en las otras y la potencias real y reactiva especificadas. De
esta forma se obtiene un nuevo conjunto de tensiones en las barras, que se emplea para
calcular otro conjunto de tensiones en las barras; cada cálculo de un nuevo conjunto de
tensiones se llama iteración.
El proceso iterativo se repite hasta que los cambios en cada barra son menores que un
valor mínimo especificado. Examinamos primero la solución que expresa la tensión de una
barra como función de las potencias real y reactiva entregadas a la barra por los
generadores o suministrada a la carga conectada a la barra, las tensiones estimadas o
previamente calculadas en las otras barras y las admitancias propia y mutua de los nudos.
Las ecuaciones fundamentales se obtienen partiendo de una formulación nodal de las
ecuaciones de la red.
Deduciremos las ecuaciones para un sistema de cuatro barras; después, escribiremos las
ecuaciones generales. Designando la barra oscilante con el número 1, partiremos para el
cálculo de la barra 2. Si P2 y Q2 son las potencias reales y reactiva previstas que entran al
sistema en la barra 2.
Y en términos de las admitancias propia y mutua, de los nudos omitidos los generadores y
las cargas, puesto que las corrientes y cada nodo se expresan como la ecuación anterior.
Y en términos de las admitancias propia y mutua, de los nudos omitidos los generadores y
las cargas, puesto que las corrientes y cada nodo se expresan como la ecuación anterior.

5. La ecuación anterior da un valor de V2 corregido sobre la base de los valores P2 y Q2
previstos, cuando los valores estimados inicialmente se sustituyen en el segundo miembro
de las expresiones de las tensiones.
El valor calculado para V2 y el valor estimado para V2* no coincidirán. Sustituyendo el
conjugado del valor calculado de V2 por V2* en la ecuación anterior para calcular otro valor
de V2, se conseguiría una concordancia con un buen grado de exactitud después de varias
iteraciones y sería el valor corregido de V2 con las tensiones estimadas y prescindiendo de
la potencia en las otras barras. Este valor no sería, sin embargo, la solución para V2 con
las condiciones de carga especificadas, porque las tensiones sobre las que se basa el
cálculo de V2 son valores estimados en las otras barras y las tensiones reales no son
todavía conocidas. Se recomiendan en cada barra dos cálculos sucesivos de V2 (el
segundo igual que el primero, salvo la corrección de V2*), antes de pasar a la siguiente.
El valor corregido de la tensión, determinado en cada barra, se usa para calcular la tensión
corregida de la siguiente. El proceso se repite sucesivamente en todas las barras (excepto
en la oscilante) a lo largo de la red para completar la primera iteración. Después se vuelve
a realizar todo el proceso, una y otra vez, hasta que el valor de la corrección de la tensión
en cada barra es menor que el índice de precisión predeterminado. Este procedimiento de
solución de ecuaciones lineales algebraicas se conoce como el método iterativo de Gauss-
Siedel. Si a través del proceso iterativo se utiliza el mismo conjunto de valores de tensión
(en lugar de substituir inmediatamente el nuevo valor obtenido para el cálculo de la tensión
en la próxima barra), el proceso se llama método iterativo de Gauss.
Es posible el desembocamiento en una solución errónea si las tensiones de partida son
muy diferentes de los valores correctos. Este desembocamiento erróneo puede evitarse si
las tensiones de partida tienen valores razonables y no difieren en fase. Las soluciones
indeseables se distinguen fácilmente inspeccionando los resultados, puesto que las
tensiones del sistema normalmente no tienen un intervalo de fases mayor que 45o y la
diferencia entre barras adyacentes es menor a 10o y frecuentemente más pequeña.
La tensión calculada en cualquier barra K, para un total de N barras y para Pk y Qk dados,
es:
Siendo n ≠ k. Los valores de las tensiones en el segundo miembro de la ecuación son los
mejores valores previos para las barras correspondientes; esto es, cada tensión es la
calculada por la última iteración (o la tensión estimada si no ha sido todavía efectuada la
iteración en la barra en cuestión). Como la ecuación anterior se aplica solamente en las
barras en las que las potencias real y reactiva están especificadas, es preciso un paso
adicional en las barras en que el valor de la tensión ha de permanecer constante.

6. Ejemplo 1
Para el SEP de la figura:
Datos:
1. Calcular los voltajes de las Barras 2 y 3, para 10 iteraciones (k=9)
2. Graficar
 -La magnitud del voltaje en la Barra 2
 -La magnitud del voltaje en la Barra 3
 -El Angulo de voltaje en la barra 2
 -El Angulo de voltaje en la barra 3
 -La potencia reactiva Q3
 -La potencia reactiva Qbc.
Para llevar los parámetros del sistema base común, dado que Sbase = 100MVA
definimos que 𝑆𝑏1 = 66𝐾𝑉, para la línea, por tanto, Z1(p.u) queda igual.

8. Remplazamos los valores:
Para la barra nos queda:

9. Quedando la ecuación de voltaje en la Barra 2 para K iteraciones, así:
Ejemplo 2.
A partir del SEP encuentre la solución de flujos de potencia por medio del método GAUSS-
SEIDEL

10. Iteración 3.

11. El Método de Newton-Raphson.
La expansión en series de Taylor para una función de dos o más variables es la base del
método de Newton-Raphson en la solución de problemas de estudio de cargas. Las
derivadas parciales de orden superior a uno se desprecian en la serie de términos de la
expansión de Taylor. Aquí no se da la justificación del método. La mayoría de los programas
comienzan con la iteración de Gauss-Seidel para obtener un buen valor inicial de tensión
en la iteración de Newton-Raphson.
Estas tensiones se usan entonces para calcular P en todas las barras, excepto en la barra
oscilante y Q en todas las barras donde la potencia reactiva se especifica. Entonces las
diferencias entre los valores específicos y los cálculos se emplean para determinar las
correcciones en las tensiones de barra. El proceso se repite hasta que los valores
calculados de P y Q o |V| en todas las barras difiera de los valores especificados en menos
que el índice de precisión determinada.
El procedimiento se explica mejor observando las ecuaciones pertinentes. Como en el
método de Gauss-Seidel, se omite la barra oscilante de la solución iterativa, pues tanto el
módulo como el argumento de la tensión de la barra oscilante se especifican. En la barra k,
Pk y Qk.

12. Igualando las partes reales en ambos lados de la ecuación se obtiene Pk e igualando las
partes imaginarias tenemos Qk. en las barras donde la tensión se controla (barra p, por
ejemplo), el cuadrado de la magnitud de la tensión es:
Como veremos, para cada iteración serán calculados los cambios en ap y bp, aunque la
suma de los cuadrados de ap y bp deban converger al cuadrado del valor especificado en
la barra de tensión controlado.
En el proceso iterativo los valores calculados de Pk, Qk o |V|² deben ser comparados con
los valores especificados, y se definen los siguientes términos:
O si se especifica el valor de la tensión en la barra k.
Estos valores de ∆Pk, ∆Qk y ∆|Vk| 2 son entonces usados para calcular nuevos valores
para las tensiones de barra usando una ecuación que daremos solo para un sistema de
tres barras, donde la barra 1 es la barra oscilante, la barra 2, la barra de carga con P2 y Q2
especificados y la barra 3, la barra con P3 y |V3| especificadas.
La ecuación para el sistema de 3 barras, omitiendo la barra oscilante, es:

13. La matriz cuadrada de derivadas parciales se llama jacobiana. Los elementos de la
jacobiana se encuentran tomando las derivadas parciales delas expresiones para Pk y Qk
y sustituyendo en ellas las tensiones supuestas en la primera iteración o calculadas en la
última iteración. Las cantidades desconocidas en la última ecuación son los elementos de
la matriz columna de incrementos en las componentes real e imaginaria de las tensiones.
La ecuación se puede solucionar invirtiendo la jacobiana. Los ∆ak y ∆bk se agregan a los
valores anteriores de tensión para obtener nuevas tensiones y calcular Pk y Qk o |Vk|2, y
el proceso se repite hasta que se alcanza el índice de precisión deseado.
El número de iteraciones requeridas por el método de Newton-Raphson usando las
admitancias de las barras es prácticamente independiente del número de barras. El tiempo
para el método de Gauss-Seidel aumenta casi directamente con el número de barras. De
otro lado, el cálculo de los elementos de la jacobina consume tiempo y el tiempo por
iteración es considerablemente más largo en el método de Newton- Raphson. A excepción
de sistemas muy pequeños, para la misma exactitud el método de Newton-Raphson
consume menos tiempo de computador.
Ejemplo 1.

16. Segunda iteración:

18. Ejemplo 2.
A partir del SEP encuentre la solución de flujos de potencia por medio del Método
NEWTON-RAPHSON (Los datos del problema puedes tomarlos del Problema resuelto por
el método anterior).

20. La Solución de Flujos de Potencia de Newton-Raphson
Las ecuaciones que enseguida le mostraremos son análogas a la ecuación no lineal y =
f(x), mediante el método Newton-Raphson.
Definimos los vectores x, y, y f para el problema de flujos de potencia como donde los
términos V, P y Q están en por unidad y los términos δ están en radianes.

21. Se omiten las variables del bus compensador δ1 y V1 en la ecuación anterior, porque ya se
conocen.
La matriz jacobiana:
La ecuación jacobiana se divide en cuatro bloques. Las derivadas parciales de cada bloque,
obtenidas de las ecuaciones de yk y yk+n, se dan en la tabla
1. Ahora se aplican al problema de flujo de potencia los cuatro pasos del método Newton-
Raphson ya mencionado, empezando con X(i)= 𝑆 (𝑖) en la i-nesima iteración.

22. Paso 1: Utilice las ecuaciones yk y yk+n para calcular.
Paso 2: emplee las ecuaciones de la tabla 1 para calcular la matriz jacobiana.
Paso 3: por medio de la eliminación de Gauss y la sustitución hacia atrás resuelva.
Paso 4: calcular.
Empezando con el valor inicial de x(0), el procedimiento continua hasta que se obtiene la
convergencia o hasta que le número de iteraciones supere un máximo especificado.
El Método Desacoplado de Flujos de Potencia.
Las contingencias son una preocupación importante en las operaciones de sistemas de
potencia. Por ejemplo, el personal de operación necesita saber qué cambios de flujos de
potencia ocurrirán debido a la falla de un generador particular o una línea de transmisión.
La información de contingencia, cuando se obtiene en tiempo real, se puede utilizar para
anticipar problemas causados por tales fallas, y se pueden usar para programar estrategias
de operación que permitan superar los problemas.
Los algoritmos rápidos de flujos de potencia se crearon para dar soluciones en segundos o
menos. Estos algoritmos se basan en la siguiente simplificación de la matriz jacobiana. Si
se ignoran J2(i) y J3(i).

23. El tiempo de computadora requerido para resolver las dos últimas ecuaciones es mucho
menor que el necesario para resolver.
Además, la reducción del tiempo de computadora se puede obtener a partir de la
simplificación adicional de la matriz jacobiana. Por ejemplo, suponga que Vk ≈ Vn ≈ 1.0 por
unidad y δk ≈ δn. Entonces J1 y J4 son matrices de constantes cuyos elementos de la tabla
1 son los componentes imaginarios de Ybus. Como tal, J1 y J4 no tienen que calcularse de
nuevo durante las iteraciones sucesivas. Simplificaciones similares a estas permiten
obtener soluciones rápidas de flujo de potencia. Para un número fijo de iteraciones, el
algoritmo desacoplado rápido dado por las dos últimas ecuaciones no es tan preciso como
el algoritmo exacto de Newton-Raphson. No obstante, los ahorros de tiempo de
computadora se consideran más importantes.
Ejemplo 1.
A partir de la SEP encuentre la solución de flujos de potencia por medio del método
desacoplado.

25. Ejemplo 2.
Es una red en tres nudos, cuya matriz Yn:
 Nodo 1. Generador con una tensión 1’1 p.u
 Nodo 2. Carga que consume 1’2+ 0’4j p.u
 Nodo 3. Fija Pa Tensión 1 p.u
 Mediante el método DESACOPLADO

26. Estudios de Flujos de Potencia en el Diseño y Operación de Sistemas
Los estudios de flujos de Potencia son utilizados en la planificación y diseño de la expansión
futura de los sistemas eléctricos, así como en la determinación de las condiciones
operativas de los sistemas existentes. La información más relevante que se obtiene de un
estudio de flujos de carga es la magnitud y el ángulo de fase del voltaje en cada barra y las
potencias activas y reactivas que fluyen en cada elemento. Otro objetivo del análisis de
flujos de carga es la evaluación de las características de regulación de tensión en la red
bajo distintas condiciones de carga. En esta evaluación se debe verificar el cumplimiento
de las normas de calidad de servicio establecidas por las condiciones del desempeño
Mínimo para los diferentes estados de operación.
Condiciones de desempeño mínimo den SIN con respecto a la tensión en barras.

27. El cálculo de flujos de potencia, es uno de los procedimientos computacionales más
comúnmente usados en el análisis de redes eléctricas de tipo industrial o comercial, para
obtener una adecuada planeación, diseño y operación de redes eléctricas se requiere de
estos cálculos, de modo tal que se pueda analizar el rendimiento en régimen permanente
del sistema eléctrico bajo una variedad de condiciones operativas y estudiar los efectos de
los cambios en la configuración de la red y los equipos. Los estudios de flujos de carga se
usan para determinar la condición óptima de operación para modos de operación normales,
de baja demanda o de máxima demanda; tales como el ajuste adecuado de los equipos de
control de voltaje, o cómo responderá la red eléctrica bajo condiciones anormales, tales
como la salida de servicio de alguna línea o algún transformador, etc.
Permite determinar:
 Fasores de voltaje nodales y los flujos de potencia activa y reactiva en todas las
ramas de la red eléctrica.
 Equipos o circuitos sobrecargados.
 Simular diferentes condiciones de operación de la red eléctrica.
 Localización del sitio óptimo de los bancos de capacitores para
 Mejorar el factor de potencia.
 Los taps de los transformadores para la regulación del voltaje.
 Pérdidas de la red eléctrica bajo ciertas condiciones de operación.
 Simular contingencias y determinar los resultados de operación de la
 red eléctrica.
 Simulación de la red eléctrica con máximo rendimiento.
 Se pueden obtener las condiciones de operación con menores
 pérdidas.
 Rendimiento del sistema de potencia en condiciones de emergencia.
En realidad, el flujo en líneas y el voltaje de las barras fluctúa constantemente por valores
pequeños a que las cargas cambian constantemente como iluminación, motores y otras
cargas son encendidas y apagadas.
Ejemplo 1.
Calcule la corriente que fluye en el circuito equivalente de la línea que va de la barra 1 a la
barra 3 en el sistema de 230 kV de la figura, a partir los flujos de línea mostrados en la
figura 9.6. Calcule la pérdida / R de la línea y compare este valor con la diferencia entre la
potencia en la línea desde la barra 1 y la potencia que sale en la barra 3. por medio de la
corriente calculada y los parámetros de la línea dados en la tabla 9.2. De manera similar,
encuentre 𝐼2𝑋 en la línea y compare el resultado con el valor que se encontraría de los
datos de la figura 9.6

30. Análisis de Contingencias N-1 en Base a Flujos de Potencia
Análisis de contingencias
Permite evaluar el grado de seguridad de un sistema eléctrico, conociendo las
consecuencias sobre el sistema de la pérdida de diferentes elementos (contingencia).
La seguridad en la operación de sistemas de potencia es uno de los temas en los que se
ha trabajado con mayor interés en los últimos tiempos. Una ayuda invaluable en el problema
de la seguridad es el análisis de contingencias.
1. Contingencias que producen cambios en la topología de la red, tales como las salidas o
entradas de líneas y/o transformadores.
2. Contingencias en nodos que son las que involucran cambios de generación y/o carga en
los barajes del sistema.
El análisis de contingencias consta de un algoritmo capaz de calcular la nueva situación del
sistema en estado estacionario una vez ocurrida cualquier contingencia. Esta situación esta
especificada esencialmente por los valores de los voltajes y los ángulos en los nodos.
Tipos de contingencias:
 fallo simple o pérdida de un elemento del sistema (criterio N-1)
 fallo doble o pérdida simultánea de dos elementos del sistema (criterio N-2).
Implica realizar un flujo de cargas completo para cada una de las contingencias
seleccionadas, para evaluar el estado del sistema tras cada contingencia.
Enfoque actual de los programas comerciales:
 Realizar una preselección de contingencias en base a un criterio aproximado (flujo
de cargas en continua)
 Analizar en detalle las contingencias más problemáticas mediante un flujo de cargas
en alterna (normalmente desacoplado rápido por su mayor velocidad).
Algoritmos de preselección de contingencias
 Establecen una clasificación de las contingencias en orden descendiente de
severidad, según un índice de severidad que refleja el nivel de carga de líneas y
transformadores tras un determinado evento.
 Cálculo de los factores de distribución, que proporcionan para cada contingencia el
incremento unitario de potencia en cada línea o transformador (flujo de cargas en
continua).

31.  El estado de carga de un elemento tras un evento determinado viene dado por el
producto del factor de distribución correspondiente y la potencia que transportaba la
línea o transformador antes del fallo
 De igual forma se definen los factores de distribución para fallos de generadores y
grandes consumidores.
Análisis basado en factores de distribución (I)
Según el flujo de cargas en continua, la potencia inyectada en un nudo i es:
 Matricialmente: P B= ·δ. Se puede obtener una relación lineal entre los flujos de
potencia en líneas y transformadores Pf y las potencias inyectadas en los nudos: Pf
= S. P.
 S es la matriz de sensibilidades entre los flujos de potencia y las potencias
inyectadas en los nudos.
Contingencia n-1
N-1 es un caso particular del criterio N-k desarrollado en la década del 40. Establece que
el sistema eléctrico es capaz de soportar la salida simultánea de k elementos de generación,
red y/o demanda, sin violar los límites operacionales ni tampoco dejar de abastecer la
demanda.