Matematicas 1 - JOSÉ MIGUEL CUBILLOS MUNCA

MMMMMatemática 1atemática 1atemática 1atemática 1atemática 1
JJJJJOSÉOSÉOSÉOSÉOSÉ MMMMMIGUELIGUELIGUELIGUELIGUEL CCCCCUBILLUBILLUBILLUBILLUBILLOSOSOSOSOS MMMMMUNCAUNCAUNCAUNCAUNCA
RRRRREVISIÓNEVISIÓNEVISIÓNEVISIÓNEVISIÓN PPPPPEDAGÓGICAEDAGÓGICAEDAGÓGICAEDAGÓGICAEDAGÓGICA
MMMMMARTHAARTHAARTHAARTHAARTHA NNNNNUBIAUBIAUBIAUBIAUBIA CCCCCARDONAARDONAARDONAARDONAARDONA PPPPPRIETORIETORIETORIETORIETO
EscuelaSuperiordeAdministraciónPública
Programa Administración
Pública Territorial N ú c l e oN ú c l e oN ú c l e oN ú c l e oN ú c l e o
FUNDAMENTFUNDAMENTFUNDAMENTFUNDAMENTFUNDAMENTACIÓNACIÓNACIÓNACIÓNACIÓN

Director
LUIS FRANCISCO JORDÁN PEÑARANDA
Subdirector Académico
TOMÁS ERNESTO CONCHA SANZ
Decano Facultad de Ciencias Políticas y Administrativas
JOSÉ ELÍAS YÁÑEZ PÁEZ
Jefe Departamento de Pregrado
MARÍA EUGENIA SERRANO DE ROMERO
Coordinador de A.P.T.
CARLOS MORENO OSPINA
Coordinación Editorial
Helena Gardeazábal Garzón
Concepto Gráfico
Marcela Otero Morales
Diagramación
Sandra Patricia Sánchez D.
Fotomecánica e Impresión
Grupo de Artes Gráficas e Impresos, ESAP
© Escuela Superior de Administración Pública
© José Miguel Cubillos Munca
ISBN:
Bogotá D.C., Agosto de 2002
Impreso en Colombia
Printed in Colombia
Escuela Superior de Administración Pública

PPPPPresentaciónresentaciónresentaciónresentaciónresentación
Este documento forma parte integral del conjunto de módulos prepara-
dos por la Escuela Superior de Administración Pública con el fin de desa-
rrollar su Programa de Administración Pública Territorial en la modalidad
a distancia.
De acuerdo con los criterios orientadores de la metodología y del Pro-
grama, este módulo busca convertirse en la herramienta fundamental y
básica mediante la cual el estudiante a distancia adquiere de manera
autónoma los conocimientos y habilidades exigidas dentro de los están-
dares de calidad establecidos para la educación superior.
En todo proceso educativo el estudiante es el actor principal. En la edu-
cación a distancia, además, el estudiante es el responsable fundamental
del proceso, es quien despliega su energía, capacidad y disciplina en el
desarrollo de las actividades tendientes a la adquisición del conocimien-
to. La institución educativa, por su parte, ofrece y pone a su disposición
los instrumentos que acompañan el proceso de autoaprendizaje, así como
los tutores que orientan el proceso y el andamiaje académico-adminis-
trativo que soporta el Programa en su conjunto.
Como institución educativa que desarrolla programas bajo la metodolo-
gía de educación a distancia, la ESAP presenta estos módulos a sus es-
tudiantes y tutores para que de una manera coordinada, armónica y
creativa los utilicen en su interacción académica hacia el logro de los
objetivos de formación del Programa, y para que de forma constructiva
realicen sus aportes para el mejoramiento de los mismos. Cada módulo
debe ser asumido como un actor más del proceso educativo y, por ende,
como sujeto activo del permanente proceso de autoevaluación que im-
plica la búsqueda continua de la calidad académica.

NNNNNúcleoúcleoúcleoúcleoúcleo
FFFFFundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentación

DDDDDel Núcleoel Núcleoel Núcleoel Núcleoel Núcleo
FFFFFundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentación
El Programa de Administración Pública Territorial está confor-
mado por nueve núcleos temáticos, uno de los cuales es el de
Fundamentación. Su intencionalidad es que el estudiante ad-
quiera formación y aprendizaje en algunas de las disciplinas re-
lacionadas con la administración pública, que permitirán al
administrador público territorial contar con herramientas de
trabajo tanto para el desarrollo de la gestión administrativa,
como para adelantar labores investigativas dentro de la admi-
nistración pública.
El núcleo temático de Fundamentación está integrado por los
siguientes módulos:
• Matemática I.
• Informática I.
• Matemática II.
• Informática II.
• Informática III.
• Estadística I.
• Estadística II.
• Matemática Financiera.

MMMMMatemática 1atemática 1atemática 1atemática 1atemática 1

TTTTTABLABLABLABLABLA DE CONTENIDOA DE CONTENIDOA DE CONTENIDOA DE CONTENIDOA DE CONTENIDO
MAMAMAMAMATEMÁTICA 1TEMÁTICA 1TEMÁTICA 1TEMÁTICA 1TEMÁTICA 1
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1515151515
CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1 ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 1919191919
1.1.1.1.1. LÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONES ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 2222222222
2.2.2.2.2. CONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOS........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2828282828
3.3.3.3.3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICA .......................................................................................................................................................................................................................................................... 3434343434
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4141414141
1.1.1.1.1. NOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALES ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4444444444
2.2.2.2.2. CLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4848484848
3.3.3.3.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ................................................................................................................................................................................................................................. 5454545454
4.4.4.4.4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
CON CONJUNTOSCON CONJUNTOSCON CONJUNTOSCON CONJUNTOSCON CONJUNTOS................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6060606060
5.5.5.5.5. TRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULER........................................................................................................................................................... 6464646464
6.6.6.6.6. CONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROS ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6868686868
7.7.7.7.7. PRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVA ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7474747474
1.1.1.1.1. FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8282828282
2.2.2.2.2. EVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓN ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 102102102102102
3.3.3.3.3. PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO............................................................................................................................................................................................................................................................... 102102102102102
4.4.4.4.4. PRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓN .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 103103103103103
1.1.1.1.1. FUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICAS.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 110110110110110
2.2.2.2.2. FUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALES .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 120120120120120
3.3.3.3.3. EVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓN ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 127127127127127
1.1.1.1.1. REPREPREPREPREPASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 134134134134134
2.2.2.2.2. NOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN ........................................................................................................................................................................................................ 136136136136136
3.3.3.3.3. CÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITES ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 148148148148148
4.4.4.4.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ..................................................................................................................................................................................................................................................... 158158158158158
5.5.5.5.5. EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................................................................................................................................................................ 171171171171171
1.1.1.1.1. DIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓN ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 178178178178178
2.2.2.2.2. REGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓN ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 180180180180180
3.3.3.3.3. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS .................................................................................................................................................................................... 186186186186186
4.4.4.4.4. PRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓN .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 209209209209209

OBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALES
• Desarrollar las competencias lógico matemáticas del
futuro administrador público territorial, base funda-
mental para la toma de decisiones, la comunicación
y planificación.
• Adquirir herramientas de análisis que permitan apo-
yar la comprensión de algunas de las temáticas es-
tudiadas en la carrera.
• Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en la
administración y la economía, especialmente las que
se refieren a la maximización de los beneficios, la efi-
ciencia de los procesos, lo mismo que a la minimiza-
ción de los costos.

IIIIIntroducciónntroducciónntroducciónntroducciónntroducción

16
Lógica
11111
Introducción

17
MMMMMatemática Iatemática Iatemática Iatemática Iatemática I
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
El módulo Matemática I, hace parte del núcleo de Fundamenta-
ción. Busca el desarrollo del razonamiento matemático algorítmico
necesario para la planificación y toma de decisiones, lo mismo que
la apropiación de herramientas matemáticas necesarias para los
procesos de formación y aprendizaje del programa.
Para el estudio del módulo con un nivel de aprovechamiento ópti-
mo, es necesario el apoyo de un software educativo de libre uso, el
cual puede ser copiado e instalado en el computador de que dis-
ponga el estudiante en su casa o trabajo, lo mismo que en la ESAP
y que se encuentra en el CD-ROM de apoyo. Otro software es el
DERIVE el cual sólo puede ser utilizado en los equipos de la escue-
la, dadas las limitaciones de licenciamiento del programa.
El contenido básico del módulo abarca los elementos principales
del cálculo infinitesimal o diferencial, sin embargo no se centra en
el desarrollo de los conceptos meramente matemáticos, sino en
las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la adminis-
tración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones bá-
sicas sin ahondar en demostraciones, centrándose principalmente
en los ejemplos de aplicación. Por esta razón también se omiten
algunas funciones como las trigonométricas, por su escasa aplica-
bilidad en este campo.
La estructura de cada capítulo del módulo corresponde a una bre-
ve introducción, objetivos y plan de contenido presentados en la
primera página doble. Luego las lecciones conformadas por un tí-
tulo, un texto introductorio, un desarrollo de los temas que hacen
referencia luego a unos ejemplos, explicaciones, gráficos, notas y
definiciones que apoyan tal desarrollo. Con cada lección, unos ejer-
cicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje per-
mitiendo reflexionar o clarificar aspectos básicos del tema que se
estudia. Al final de capítulo se presenta una autoevaluación que le
permite al estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y
que está en capacidad de presentar sus evaluaciones.

CCCCCapítulo 1apítulo 1apítulo 1apítulo 1apítulo 1
LógicaLógicaLógicaLógicaLógica

20
Lógica
11111
LÓGICALÓGICALÓGICALÓGICALÓGICA
1
¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos
y principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamiento
bueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición no
implica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonar
bien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creer
que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-
logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-
lentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos que
tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-
pitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que saben
mucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en el
terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-
cular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientos
no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”
Irving M. Copi y H Cohen,Irving M. Copi y H Cohen,Irving M. Copi y H Cohen,Irving M. Copi y H Cohen,Irving M. Copi y H Cohen, Introducción a la lógicaIntroducción a la lógicaIntroducción a la lógicaIntroducción a la lógicaIntroducción a la lógica. Edi-. Edi-. Edi-. Edi-. Edi-
torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5.....

21
PLPLPLPLPLAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULOOOOO
1.1.1.1.1. LÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONES
2.2.2.2.2. CONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOS
3.3.3.3.3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICA
OBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALES
• A partir de ejemplos relacionados con la administra-
ción pública, apoyar la presentación de los conteni-
dos relativos a la lógica matemática para dar al estu-
diante elementos que le permitan argumentar cohe-
rentemente e interpretar adecuadamente los enuncia-
dos presentados por otros.
• Con el estudio de esta unidad el estudiante adquirirá
los conocimientos básicos para luego poder definir
adecuadamente los conjuntos, dentro de los cuales
se cumplen las funciones.
• Mediante la elaboración de un escrito sobre un ensa-
yo acerca del entendimiento reflexivo en Hegel, el es-
tudiante extrapola la lógica eminentemente matemá-
tica hacia el abordaje de la lógica en la filosofía de las
ciencias.

22
Lógica
11111
Doc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la Lógica
MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática
Se ha dicho y escrito con frecuencia frases
similares a ésta: ‘Este Gobierno tiene buenas
intenciones, pero los elementos entorpecen el
despliegue de su buena voluntad’. Y de esta
manera se justifica al soberano el que se rom-
pan las reglas del juego establecidas en la
Constitución y se improvisen leyes ad hoc de
acuerdo con la máxima: mejor es ir haciendo
mientras vamos viendo. En general, se ha he-
cho común la percepción de que los gobier-
nos y gobernantes que elegimos eran buenos
en el papel, pero el país que les tocó manejar
inmanejable, y si de algo ha servido el pasado
es para justificar la inmovilidad del presente.
Desde un punto de vista teórico el problema de
trasfondo es sobre la existencia de una correla-
ción entre sintaxis y semántica. Para fijar ideas,
denominemosporElPlanaunconjuntofinitode
proposicionesyreglasdeinferencia;lanaturale-
za específica de las mismas no nos interesa.
Entonces la cuestión a resolver es cuán factible
esquetodoloqueenteoríasepuedededucirde
ElPlandelgobienodeturnoesrealizabley,recí-
procamente,sitodoslosbeneficiosposiblesde
tener,dentrodeloslímitesestablecidospornues-
tromododegobierno,sondeduciblesapartirde
El Plan. Más precisamente, lo que nos interesa
determinar es si El Plan es correcto y, a la vez,
semánticamentesuficienteocompleto.
å
1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica
proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se
emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no
correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las
ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma
constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad, como por ejemplo expresar una idea, lo
cual hacemos en todo momento. Al comunicarnos, lo hacemos expresando proposiciones. Una proposición
o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un
elemento fundamental de la lógica matemática.
1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica
• Siguiendo la teoría constructivista, antes de seguir con el
contenido, revise el conocimiento previo que tiene acerca
de la lógica con el ejercicio 1, basado en el Doc 1.
1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica
• Se entiende por lógica aquel procedimiento intelectual, que
todo ser pensante ejercita claro, exacto y ordenado, apli-
cando el tratado de las leyes del pensamiento y dedicado,
en su mayor parte, a estudiar las maneras como el enten-
dimiento avanza o fracasa en su avance.
• Por desgracia en las épocas en que la ciencia progresa rápi-
damente, y con amplitud, frecuentemente se descuida la
reflexión acerca de los fundamentos científicos mismos. Tal
cosa ocurrió con la matemática en el siglo XVIII, y con la
biología en el siglo XIX. Y en nuestros días el significado
filosófico de la nueva lógica, el carácter de sus supuestos y
las perspectivas de sus aplicaciones posibles sólo despiertan
un interés muy menguado para la meditación reflexiva.
1.3 T1.3 T1.3 T1.3 T1.3 También es una Cienciaambién es una Cienciaambién es una Cienciaambién es una Cienciaambién es una Ciencia
• La lógica es también la disciplina que estudia la estructura,
fundamento y uso de las expresiones del conocimiento hu-
mano. Cuenta con una serie coherente de ideas y razona-
mientos que permiten de cierta manera afirmar que es la
ciencia del pensamiento. En el Doc. 2 podemos ver que la
lógica puede ser abordada dividiéndola en dos tipos.

23
Existe un plan, en el sentido definido anteriormente, para la Matemática que es correcto y completo, por lo que, a riesgo de
parecer sofistas, si asumimos que nuestro universo es matematizable, concluimos que un plan correcto y completo debe ser
posible para nuestra nación. Siguiendo este curso de ideas, usted puede que se sienta tentado a estudiar un curso de Fundamen-
tos de la Matemática y, por traslación del razonamiento matemático al problema social que nos incumbe, halle una explicación
satisfactoria al por qué no hemos tenido un gobierno con un plan correcto y completo. El utilizar el discurso científico para
explicar eventos sociales no debe incomodar a nadie, puesto que este modo de retórica lo pusieron de moda los mismos
sociólogos. Así que procedamos sin temores.
El elemento esencial para garantizar la correctitud de El Plan, cualquiera sea éste, es que sea conservativo respecto a la validez
de sus premisas; esto es, si las hipótesis son ciertas, entonces lo que se deduce a partir de ellas, siguiendo los principios de
inferencia establecidos, debe también ser cierto. Esto no es difícil de lograr y no se necesita elaborar proposiciones y reglas muy
sofisticadas. En general, basta legislar los derechos fundamentales del hombre y establecer unos cuantos silogismos, como
aquel famoso de Aristóteles: si se tiene que la proposición A implica proposición B y se tiene A, entonces necesariamente se
tiene B. Aunque no todas las leyes del pensamiento son silogismos, éstos pueden llevarnos un largo trecho a través de un gran
conjunto de propuestas válidas que se deducen a partir de nuestro conjunto inicial de ideas válidas. Suponiendo entonces que
los principios de inferencia en El Plan son conservadores del valor de verdad, como expliqué antes, ante una proposición falsa
que quienes gobiernan afirman haber derivado de acuerdo con El Plan, usted puede concluir con certeza que este plan es
incorrecto o nuestros gobernantes nos engañan.
Un poco más difícil es demostrar la suficiencia semántica. Lo que debe usted hacer es comenzando desde cero, agregar al universo
todos los individuos posibles a los cuales las leyes en El Plan hacen referencia, hasta que inductivamente usted rellena el mundo
de todos los beneficios posibles de obtener. Así, de una manera constructiva, usted determina las limitaciones del Gobierno.
La conclusión final de esta lección de Lógica es que, para su tranquilidad, si los planes futuros y bien intencionados de un
presidente y su equipo no se materializan, no crea que es sólo por insuficiencia semántica que usted y yo compartimos, como
herederos del desastroso país que fuimos, sino también, y más probablemente, por incorrectitud del conjunto de ideas econó-
micas, sociales y políticas que diseñan quienes nos gobiernan.
Argimiro Arratia. Artículo publicado en El Universal,Sección de Opinión, cuerpo 1, p.6, Caracas,miércoles 30 de agosto, 2000.
Doc. 1 ContinuaciónDoc. 1 ContinuaciónDoc. 1 ContinuaciónDoc. 1 ContinuaciónDoc. 1 Continuación
EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1
••••• Describa en un parrafo de tres a cinco renglones lo que significa para usted la lógica.
••••• ¿Que elementos de la lectura anterior encuentra relacionados con la lógica matemática?
••••• Justifique si la idea central de la lectura corresponde a un problema objeto de la lógica o no.
••••• Discuta a cerca del valor de verdad del enunciado “Suponiendo entonces que los principios de
inferencia en El Plan son conservadores del valor de verdad, como expliqué antes, ante una proposi-
ción falsa que quienes gobiernan afirman haber derivado de acuerdo con El Plan, usted puede con-
cluir con certeza que este plan es incorrecto o nuestros gobernantes nos engañan.” No se preocupe,
inténtelo con los conocimientos que tiene en este momento.

24
Lógica
11111
1.41.41.41.41.4 ProposicionesProposicionesProposicionesProposicionesProposiciones
• Enunciado (o declaracion verbal) suceptible de ser verda-
dero o falso, este se denotará por las letras
p, q, r
con o sin subíndices. El carácter fundamental de un enun-
ciado es que o bien es verdadero, o bien es falso, pero no
ambas cosas. La verdad o falsedad de un enunciado se
llama su valor de verdad. Algunos enunciados son compuestos,
es decir están formados por enunciados simples y varias co-
nectivas. Ejemplo 1.
• La propiedad fundamental de los enunciados compuestos
es que su valor de verdad está determinado por completo
por el valor de verdad de cada uno de los enunciados sim-
ples y por el modo como se les reúne para formar el enun-
ciado compuesto.
• Los razonamientos a que se hace referencia en este aparte
del módulo son relativamente simples, como los mostra-
dos en el ejemplo 2.
“La primera es conocida como el conjunto de leyes que rigen nuestro pensamiento cuando pensamos correctamente. En rigor,
el pensar correctamente se da cuando existen determinadas condiciones fisiológicas, educativas y morales. Pero no se puede
esperar que ningún tratado de lógica se ocupe de las condiciones fisiológicas y morales que son necesarias para tener una
mente sana; La lógica formal consiste entonces en el estudio de las inferencias. La segunda es conocida como la teoría científica
del razonamiento, con exclusión de los procesos sicológicos que intervienen en él, y que se divide en cálculo de enunciados y
cálculo de predicados. Su desarrollo ha permitido efectuar la formalización de las matemáticas. Las palabras o locuciones
utilizadas en el lenguaje corriente son sustituidas por símbolos. La lengua así formada es un sistema de símbolos en el cual las
formas lógicas ocupan el lugar de las formas gramaticales.”
Rodríguez Yolanda. Cálculo Infinitesimal. Documento interno de compilación de contenido para el programa de
Administración Pública Municipal y Regional de la ESAP,p.67.
Doc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemática
EJEMPLO 1EJEMPLO 1EJEMPLO 1EJEMPLO 1EJEMPLO 1
“En el sistema político español hay una
monarquía parlamentaria estable y en
el francés un gobierno democrático
dirigido por un presidente” es una
muestra de un enunciado compuesto
por dos enunciados simples: “En el
sistema político español hay una mo-
narquía parlamentaria estable” el pri-
mero y el segundo “En el sistema po-
lítico francés hay un gobierno demo-
crático dirigido por un presidente”.
“¿Quien será el próximo presidente de
Colombia?” no se considera un enun-
ciado, por que no se puede definir si
es falso o verdadero.
“Los países toman dinero prestado en
los mercados de capitales o piden a
instituciones financieras internaciona-
les para pagar infraestructuras” esta
proposición está formada por dos
enunciados simples “Los países to-
man dinero prestado en los mercados
de capitales para pagar infraestructu-
ras” y “Los países piden a institucio-
nes financieras internacionales para
pagar infraestructuras”

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1. En 1993 Perú tenía un gobierno democrático o tenia un
régimen dictatorial.
2. En 1993 Perú no tenía un gobierno democrático
3. Luego Perú tenía un régimen dictatorial.
El señor Diaz es el vecino del concejal que vive en la casa
de al lado, entonces el señor Diaz vive a la mitad del cami-
no entre Bogotá y Tunja. El señor Diaz no vive a mitad de
camino entre Bogotá y Tunja
Luego, el señor Díaz no es el vecino del concejal que vive
en la casa de al lado.
Todo razonamiento de este tipo general contiene al menos
un enunciado compuesto. Al estudiar tales razonamientos,
se acostumbra dividir todos los enunciados en dos cate-
gorías generales: los simples y los compuestos. Un enun-
ciado simple es aquel que no contiene ningún otro enun-
ciado como parte constituyente de sí mismo. Un enucia-
do compuesto es aquel que contiene otro enunciado como
parte constituyente de sí mismo.
••••• ¿Cual es la idea principal que se in-
tenta expresar en la lectura 3?.
••••• Según la misma lectura, ¿Cuál es el
problema lógico que se presenta al
comunicar ideas por medio del len-
guaje?
••••• Subraye los términos que aún no co-
noce para la comprensión total del
texto. Remítase a los libros de filoso-
fía que tenga a su alcance para acla-
rarlos, de no tenerlos consulte a su
tutor.
••••• De las lecturas que le han asignado
en los otros módulos, tome 5 ejem-
plos de enunciados simples y 5 de
enunciados compuestos.
••••• ¿Cuales ejemplos de enunciado fue-
ron más fáciles de conseguir?. Esto,
¿Qué le permite suponer?

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Lógica
11111
å
El sistema ciencia comunica en el particular código de la verdad objetiva y sistemática. La ciencia fáctica presupone una lógica
bivalente –verdad / falsedad–, aunque algunas teorías presuponen lógicas no ordinarias.
Cuando definimos la función de la lógica en el proceso del conocer científico, de acuerdo a la dialéctica, ésta consiste en
“adaptarse a la realidad”. Es la definición débil, representacionista. Sin embargo, al proceder de este modo, confundimos la
lógica con la estructura de la realidad y con algunos otros conceptos, tales como el de modelo. La función de la lógica no es
adaptarse a la realidad, sino más bien en hacer ésta comunicable en términos de conjunto de proposiciones verdaderas
vinculadas sistemáticamente. Más precisamente, la función de la lógica es el cálculo de proposiciones, en un sentido inductivo
o deductivo, que permita validar la conexión entre proposiciones. Los resultados de estos cálculos son multiformes, y van desde
el desprendimiento de nuevas proposiciones (generación de hipótesis) hasta la evaluación de teorías (control).
Pero no hay que olvidar que la pretensión hegeliana es dar cuenta de la transformación, y es por ello que incorpora la categoría
de contradicción. La hipótesis general es simple: la transformación es cambio, y el cambio es obra de la oposición de entidades
contrarias, que explica la transformación de los estados de las entidades que se oponen. Hegel plantea que la dialéctica es una
representación de lo real viviente, que en cuanto y en tanto unidad, contiene los términos de identidad y de contradicción.
El problema se plantea cuando comunicamos esta idea a través del lenguaje. Supongamos el siguiente ejercicio: Es cierto que
una entidad es A y ~ A.
Pero la mera inclusión de “y” en la sintaxis de la proposición nos demuestra que:
A ~ A A ∧∧∧∧∧ ~ A
V F F
F V F
La refutación pueril a esta conclusión es que la lógica proposicional no encaja con la realidad. Pues bien, úsese el lenguaje
ordinario, lo que tenemos es la siguiente oración: “las cosas son no son al mismo tiempo”. ¿Y por qué no está en la oración el
“y”? Porque el “y” es la lectura del ∧∧∧∧∧, que es la conjunción o producto lógico. Sin embargo, más de uno insistirá: Si tomamos un
período, encontraremos A y ~ A como estados. Pero, como es obvio, ya no estamos comunicando lo que originalmente
queríamos comunicar: esta nueva comunicación es la de un proceso o “secuencia temporalmente ordenada de acontecimien-
tos, tal que cada miembro de la secuencia toma parte en la determinación del miembro siguiente”, como por ejemplo el proceso
vital (vida–muerte).
La única manera de comunicar la idea original es mediante una “paradoja”, y las paradojas son problematizaciones (no son
descripciones o explicaciones) de la realidad, que se resuelven adicionando en la formulación lingüística una tercera entidad. En
el caso de la dialéctica, el problema se resuelve sólo si la tercera entidad es de un nivel de realidad distinto al nivel de los dos
términos antitéticos (o aparentemente antitéticos) que incluye. Lo veremos en la siguiente parte y final.
Por otra parte, algunos han confundido el problema de la lógica y la representación de otro modo. Es lo denominado “lógica
borrosa”.
Doc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguaje

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A modo de ejemplo, expongamos la siguiente idea: “la lógica formal tradicional no encaja con nuestro objeto de estudio, por dos
razones al menos. La primera... porque se requiere un modo de pensar no lineal, sino reticular y, mejor todavía, sistémico... La
segunda razón es todavía más obvia. La lógica formal en que hemos sido entrenados se basa en el empleo cualitativo de
inclusión y exclusión...para caracterizar los fenómenos sociales y encajarlos en los esquemas tipológicos que, explícita o
implícitamente, utilizamos como referencia”. En suma, supone la tesis que la lógica debe “adaptarse a la realidad”. Pero es
cuestionable también por otras razones.
El primer argumento se rebate con dos ejemplos simples: i) El estudio general de la continuidad lo emprende la topología, que
es una creación matemática de Poincaré; y, ii) los códigos de los sistemas Luhmannianos son binarios. Tanto la teoría del
continuum como el pensamiento sistémico, matemática y sociología, no sólo no son incompatibles con la lógica formal, sino
que la requieren.
El segundo argumento, confunde un caso particular de agrupaciones científicas, el más simple, la clasificación divisoria, con
toda la amplia gama de clasificaciones posibles. Si la división es correcta (el dominio del discurso es igual a la unión de A y ~A
y que la intersección de A y ~A es ~ ), un elemento pertinente podrá ser incluido en el subconjunto de uno de los términos.
Si un elemento es excluido de ambos subconjuntos, está mal definido el elemento (vaguedad) o existe independencia entre el
criterio de división y el elemento (el agua no puede ser incluida en la dicotomía comestible/ no–comestible; sino en la dicotomía
bebible/ no–bebible).
Además, concibe la tipología como un instrumento “anterior”, más elemental, respecto de la clasificación; cuando no lo es. Una
tipología es el resultado de un sistema de coordenadas, un espacio de atributos. Teórica y metodológicamente, una tipología
implica una correlación que un agregado social posee entre dos conceptos de clase, con niveles de medición variados, como la
propuesta de Fromm, grado de autoridad de los padres y grado de aceptación (de dicha autoridad) por los hijos; y que le produjo
cuatro tipos de relaciones de autoridad: autoridad absoluta, autoridad normal, falta de autoridad y rebelión. Por lo tanto, la
tipología es un subproducto del juego teórico y metodológico entre dos clasificaciones, en el ejemplo anterior, la clasificación
entre autoridad de los padres (que en realidad es de un tipo especial, la ordenación, puesto que establece relaciones asimétricas
y transitivas entre dos miembros, por ejemplo, un miembro con autoridad débil y otro con autoridad fuerte) y la clasificación de
grados de aceptación de los hijos (también ordenada: baja, media, fuerte).
Esta refutación no impide estar de acuerdo en que “definir exactamente lo que es y lo que no es el objeto examinado” es muy
difícil, pues “A veces, la vaguedad conceptual refleja una nebulosidad o indeterminación objetiva, no en el sentido de que los
hechos sean confusos, pero sí en el de que entre los géneros naturales hay a menudo formas de transición. Estas formas de
transición impiden una demarcación tajante, dan lugar a vaguedad conceptual y pueden arruinar incluso clasificaciones”. Pero
este problema no lo resuelve un continuum donde el fenómeno se ubica entre dos tipos ideales, a lo Weber, puesto que volvemos
al mismo argumento anterior.”
Gilbert Galassi, Jorge. “Lógica y Epistemología de la Ciencia Social. Ensayo sobre el entendimiento reflexivo en Hegel”. En
Cinta de Moebio No.5. Abril de 1999. http://rehue.csociales.uchile.cl/publicaciones/moebio/05/frames13.htm,
Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile
Doc. 3 ContinuaciónDoc. 3 ContinuaciónDoc. 3 ContinuaciónDoc. 3 ContinuaciónDoc. 3 Continuación

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Lógica
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2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS
Los conectores lógicos son enlaces que permiten formar enunciados compuestos por más de una proposi-
ción. Estos conectores son la parte fundamental de la llamada lógica booleana, muy de moda actualmente por
su importancia en los sistemas computacionales.
2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción
• El primer tipo de enunciado compuesto que se estudiará
es la CONJUNCION. Cuando dos enunciados se combi-
nan mediante la palabra “y”, el enunciado compuesto re-
sultante es una conjunción y los dos enunciados que se
combinan son llamados “conjuntivos”. Ejemplo 3.
• Para determinar el valor de verdad de los enunciados com-
puestos se debe tener en cuenta que existe una conexión
necesaria entre el valor de verdad de una conjunción y los
valores de verdad de sus componentes, el cual puede es-
tudiarse en la explicación 1.
2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado
• Se forma generalmente agregando un “no” en el enuncia-
do original. También es posible expresar la negación de un
enunciado anteponiéndole la frase “ es falso que” o “no
se da el caso que”. Se acostumbra a usar el símbolo “~”
para expresar la negación de un enunciado. Revise la ex-
plicación 2 aplicada al ejemplo 4.
2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción
• Conocida también como la alteración de dos enunciados
se forma insertando la palabra “o” entre ellos. Estos son
conocidos como los disyuntivos (o alternativos). Vea la ex-
plicación 3 aplicada al ejemplo 5.
“La participación ciudadana es un de-
recho y un deber” es una conjunción
cuyo primer conjuntivo es “La partici-
pación ciudadana es un derecho” y
cuyo segundo conjuntivo es “La parti-
cipación ciudadana es un deber”. Para
tener un símbolo cuya única función sea
conectar los enunciados conjuntiva-
mente se introduce el símbolo “Ù” . La
conjunción anterior puede escribirse
así: “La participación ciudadana es un
derecho” Ù “La participación ciudada-
na es un deber”. Con mayor generali-
dad, si p y q son dos enuciados cua-
lesquiera, su conjunción puede excri-
birse p Ù q .
••••• Como representamos el enun-
ciado escrito así “La participa-
ción ciudadana es un derecho
y un deber de obligatorio cum-
plimiento”.
••••• Representa tambien “El plan
de desarrollo debe ser com-
pleto y correcto”.

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EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2
La negación de todo enunciado verdadero es
falsa y la negación de todo enunciado falso es
verdadera. Lo anterior se representa median-
te una tabla así:
PPPPP ~ ppppp ExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicación
V F Si negamos un enunciado que es ver-
dadero hemos construido un enun
ciado falso.
F V Si negamos un enunciado que es fal-
so hemos construido un enunciado
verdadero.
La tabla de verdad puede considerarse como
la definición del símbolo de negación “~”.
UNA CONJUNCION ES VERDADERA SI
AMBOS COMPONENTES SON VERDADE-
ROS Y FALSA EN CASO CONTRARIO.
Dadosdosenunciados,pyq,haysolamen-
te cuatro conjuntos posibles de valores de
verdad que se les pueden asignar, donde el
valor de verdad de un enunciado es p y q
verdad y elvalor de verdad de un enunciado
falso es falsedad. Expresando los valores
de verdad con mayúsculas V y F , estos se
pueden plantear por medio de una tabla de
verdad de la siguiente manera:
ppppp q pq pq pq pq p ∧∧∧∧∧ qqqqq ExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicación
V V V Si p es verdadero y q
es verdadero, p ∧ q
es verdadero
V F F Si p es verdadero y
q es falso, p ∧ q es
falso
F V F Si p es falso y q es
verdadero, p ∧ q es
falso
F F F Si p es falso y q es
falso, p ∧ q es falso
Como lo muestra la tabla de verdad que
define el símbolo “∧” , una conjunción es
verdadera si, y sólo si, ambos compues-
tos son verdaderos.
Si P representa el enunciado “Todos los
gobernantes son justos”, los enunciados
“ No todos los gobernantes son justos”,
“Algunos gobernantes no son justos”, “
Es falso que todos los gobernantes son
justos”, pueden simbolizarse indistintamen-
te como ~ M.

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Lógica
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La palabra “ó” tiene dos significados:
“Se otorgarán primas en caso de enfermedad o desempleo”;
la intención, es afirmar que se aprobarán las primas no sola-
mente a personas enfermas o a personas sin empleo, sino
también a las que al mismo tiempo estén enfermas y sin em-
pleo. En este sentido la palabra “o” es llamada en sentido
inclusivo.
La palabra “o” también se usa en un sentido fuerte o exclusi-
vo, cuyo significado no es “al menos uno”, sino “al menos
uno y a lo sumo uno”.
Si en el menú de precio fijo de un restaurante se indica “ensa-
lada o postre”, lo que se quiere decir es que, por el precio de
la comida, el comensal puede elegir uno u otro, pero no am-
bos.
UNA DISYUNCIÓN INCLUSIVA ES VERDADERA SI UNO DE LOS DISYUNTI-
VOS O AMBOS SON VERDADEROS. SOLAMENTE EN EL CASO EN QUE
AMBAS SEAN FALSAS ES FALSA LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA.
De acuerdo al ejemplo 5ejemplo 5ejemplo 5ejemplo 5ejemplo 5 se interpreta la disyunción inclusiva de dos
enunciados en el sentido que afirma la verdad de al menos uno de los dos
enunciados y su disyunción exclusiva como si afirmara que al menos uno
de los dos enunciados es verdadero. Este significado común parcial,
según el cual al menos uno de los disyuntivos es verdadero constituye
todo el significado de “o” inclusivo y una parte del significado del “o”
exclusivo. El “o” se representa con el símbolo “ ∨” y queda simbolizada
por la siguiente tabla
p q p ∨ q La disyunción es
V V V Verdadera si alguno de sus enunciados es ver-
dadero
V F V
F V V
F F F Falsa si todos sus enunciadosson falsos.

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2.42.42.42.42.4 El CondicionalEl CondicionalEl CondicionalEl CondicionalEl Condicional
• Si se combinan dos enunciados utilizando la
expresión “si” antes del primero y luego se
escribe entre ellos la palabra “entonces” el
enunciado compuesto resultante es un con-
dicional (también llamado enunciado hipotéti-
co, una implicación o un enunciado implicativo).
En un condicional, el componente que se
halla entre el “si” y el “entonces” es llamado
antecedente o premisa y el componente que
sigue a la palabra “entonces” es el consecuen-
te, ó conclusión. Véanse los ejemplos 6
y 7.
“Si el plan de gobierno es realizable, entonces nuestro
gobernante ha actuado honestamente”. En este enun-
ciado “el plan de gobierno es realizable” es el antece-
dente, y “nuestro gobernante ha actuado honestamen-
te” es el consecuente.
Un enunciado condicional afirma que su antecedente
implica su consecuente. No afirma que su antecedente
sea verdadero, sino solamente que si el antecedente es
verdadero, entonces su consecuente también es verda-
dero. Tampoco afirma que el consecuente sea verda-
dero, sino solamente que su consecuente es verdadero
si el antecedente lo es.
Se sabe que en un enunciado condicional “Si p enton-
ces q” es falso, en caso de que la conjunción ( p ∧ ~ p)
sea verdadera, es decir, en el caso de que su antece-
dente sea verdadero y su consecuente falso. Para que
sea verdadero un condicional, pues debe ser falsa la
conjunción indicada, esto es, debe ser verdadera su ne-
gación ~(p ∧ ~ q). Expresado de otro modo, para que
un condicional “Si p entonces q ” sea verdadero, debe
ser verdadera también ~(p ∧ ~ q), la negación de la
conjunción de su antecedente con la negación de su
consecuente. El símbolo usado comúnmente para re-
presentar la expresión “si-entonces” es “→” . La tabla
de verdad correspondiente es:
Aquí las dos primeras columnas sirven de guía, la terce-
p q ~ q p ∧ ~ q ~(p ∧ ~ q) (p→q) El condicional es
V F V V F F Falso, sólo en el caso en el
que de una verdad se llega a
una falsedad
F V F F V V Es consistente que de una
F F V F V V falsedad se llegue a una ver-
-V V F F V V dad, de una falsedad a otra, o
de una verdad a otra.
ra se llena tomando como punto de referencia la segun-
da, la cuarta tomando como referencia la primera y la
tercera, la quinta tomando como referencia la cuarta y
la sexta es idéntica a la quinta por definición.
(p→q) : “Si Pedro ha hecho un trabajo
comunitario notable, puede salir elec-
to como concejal”
Si P es falsa, es decir, “Pedro no ha
hecho un trabajo comunitario notable”
y es cierto que “Pedro sale electo
como concejal”, el razonamiento
(p→q) sigue siendo cierto, aún si no
es electo. Pero si “Pedro ha hecho un
trabajo comunitario notable” y “Pedro
no es elegido concejal” tendremos que
el enunciado (p→q) es falso.

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Lógica
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UNA PROPOSICIÓN BICONDICIONAL ES VER-
DADERA CUANDO LAS DOS PROPOSICIONES
QUE LA FORMAN TIENEN EL MISMO VALOR
DE VERDAD.
Lo anterior se puede representar mediante una
tabla así:
P q p ↔q La proposición bicondi-
cional es
V V V verdadera sí los dos
enunciados que la con-
forman tienen el mismo
F F V valor de verdad, entién
dase, ambas verdaderas
o ambas falsas.
V F F Falsa si los enunciados
F V F tienen distinto valor de
verdad, es decir uno ver
dadero y otro falso o vi
ceversa.
2.52.52.52.52.5 Doble condicionalDoble condicionalDoble condicionalDoble condicionalDoble condicional
• Al unir dos enunciados utilizando la expresión “si y solo
sí” en el enunciado compuesto, el resultante es un doble
condicional. Aquí se incluyen los conceptos de condición
necesaria y condición suficiente (Doc. 4), existen circuns-
tancias que deben ser necesarias para que se produz-
can. Se simboliza cualquiera de estas oraciones por el
símbolo “ ↔” y en general, “q es una condición necesaria
de p” y “p sólo si q”. Cada uno de los enunciados sim-
ples es consecuencia del otro, como se ve en el ejemplo
8. Para mejor comprensión vaya a la explicación 4 don-
de se sintetiza esto en una tabla de valores de verdad.
“Se efectúa una licitación pública si y
solamente si el monto de la adquisi-
ción excede la mayor cuantía”.
Utilizando el condicional para unir es-
tos enunciados se tiene que
“Si se efectúa una licitación pública en-
tonces el monto de la adquisición ex-
cede la mayor cuantía”, aquí se sim-
boliza q → p
“Si el monto de la adquisición excede
la mayor cuantía entonces se efectúa
una licitación pública”. (p → q)
La primera implicación es necesaria
para que se de la segunda, la segun-
da es suficiente para que se de la pri-
mera.
Luego se puede escribir “Se efectúa
una licitación pública si y solamente si
el monto de la adquisición excede la
mayor cuantía” lo que simbólicamen-
te se representa: (p ↔ q)

33
“Hay conceptos que empleamos frecuentemente en nuestros razona-
mientos y que, en tanto se manifiesten en el marco del lenguaje ordi-
nario, no suelen crear ningún problema de ambigüedad, entre otros
motivos porque normalmente el propio contexto extralingüístico que
proporciona la vida cotidiana es suficiente para solucionar dichos
problemas. Pero la cosa se complica cuando necesitamos hacer un
uso científico de los mismos. Evidentemente, por ejemplo, no pode-
mos decir que según Einstein todo es relativo, con el significado que
estamos acostumbrados a dar a dicha expresión en el lenguaje natu-
ral. Habrá que ser rigurosos con su significado científico.
Pues bien, lo mismo que con los conceptos ocurre con determinadas
relaciones de tipo lógico. Aquí vamos a tratar fundamentalmente de
aclarar y diferenciar el uso lógico de lo que se ha venido llamando
CONDICIÓN NECESARIA y CONDICIÓN SUFICIENTE, cuyo empleo en
el lenguaje se lleva a cabo a través de oraciones condicionales y otras
equivalentes, así como de analizar la presencia de tales estructuras
relacionales, así definidas, en el lenguaje natural y el modo en que
pueden descubrirse.
Se entiende equivalentes desde el punto de vista del significado, de lo
que se quiere decir. Por ejemplo:
a) Si llueve, crecen las plantas
b) Al llover, crecen las plantas
c) Cuando llueve, crecen las plantas.
d) El crecimiento de las plantas se debe a la lluvia..
Zaldivar Soriano, Santiago.“ Estructura Lógica de las Oraciones
Condicionales”. En: Eúphoros Nº 2 Centro Asociado de la UNED
Algeciras. pp. 67-96.
Doc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionales

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Lógica
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3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA
“bien suba o baje el dólar, nuestra moneda seguirá siendo
débil”. La representación de esta tautología se observa en
la siguiente tabla de verdad:
ppppp qqqqq ~ ppppp ppppp ∧∧∧∧∧~ppppp (((((ppppp ∧∧∧∧∧~ppppp))))) →→→→→ qqqqq
V V F F V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
••••• Elabore dos enunciados y represente con ellos la tauto-
logía de la tabla anterior.
De una forma de enunciado que solamente tiene ejemplos
de sustitución falsos se dice que es contradictoria o que es
una contradicción, y es lógicamente falsa.
Cuando en las formas de enunciados que se tienen entre
los ejemplos de sustitución hay tanto verdaderos como
falsos, son llamados formas de enunciados indetermina-
das o que son una indeterminación.
ppppp qqqqq ~ppppp ppppp →→→→→ qqqqq qqqqq →→→→→ ~ppppp (((((ppppp →→→→→ qqqqq))))) ↔↔↔↔↔ (((((qqqqq →→→→→ ~ppppp)))))
V V F V F F
V F F F V F
F V V V V V
F F V V V V
••••• Elabore dos enunciados y represente con ellos la con-
tradicción de la tabla anterior.
3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados
Una forma de enunciado que sólo tiene ejemplos de sustitución verdaderos es una forma tautológica de enun-
ciado o una tautología. Esta resulta de hallar el valor de verdad de la combinación de varias proposiciones
compuestas.

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En el razonamiento “Ningún atleta es
vegetariano”. “Todos los jugadores de
fútbol son atletas”. Luego, “Ningún ju-
gador de fútbol es vegetariano”, tanto
la premisa como la conclusión son pro-
posiciones categóricas. Aquí las pre-
misas y la conclusión del razonamien-
to son aserciones acerca de la clase
de todos los atletas. La clase de todos
los vegetarianos y la clase de todos lo
jugadores de fútbol.
Las clases pueden estar relacionadas
entre sí de diversas maneras. Si todo
miembro de una clase es miembro de
otra clase, se dice que la primera está
incluida o contenida en la segunda.
Si solamente algunos miembros de una
clase son también miembros de otra,
se dice que la primera está contenida
parcialmente en la segunda.
También pares de clases que no tie-
nen ningún miembro en común. Como
la clase de todos los triángulos y la
clase de todos los círculos. Las pro-
posiciones categóricas afirman o nie-
gan estas diversas relaciones entre
clases.
3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas
Las proposiciones de este tipo pueden ser con-
sideradas como aserciones acerca de clases, que
afirman o niegan que una clase esté incluida
en otra, total o parcialmente.
Hay cuatro formas típicas de proposiciones ca-
tegóricas que son:
Todos los políticos son mentirosos
Ningún político es mentiroso
Algunos políticos son mentirosos
Algunos políticos no son mentirosos
La primera es una proposición universal afir-
mativa. Es una aserción de dos clases, la de
todos los políticos y la de los mentirosos, y
afirma que la primera clase está incluida o con-
tenida en la segunda; esto significa que todo
miembro de la primera clase es también de la
segunda. En este ejemplo, el término sujeto
“políticos” designa la clase de todos los políti-
cos, y el término predicado “mentiroso” de-
signa la clase de todos los mentirosos. Toda
proposición universal afirmativa puede escri-
birse así:
Todo S es P.
La segunda “Ningún político es mentiroso” es
una proposición universal negativa. Niega uni-
versalmente de los políticos que sean mentiro-
sos. Hace una aserción acerca de dos clases,
dice que la primera clase está excluida de la
segunda, - totalmente excluida-, lo que equi-
vale a decir que no hay ningún miembro de la
primera que sea también miembro de la se-
gunda. Toda proposición universal negativa
puede escribirse así:
Ningún S es P
La tercera “Algunos políticos son mentirosos”
es una proposición particular afirmativa. Como
es obvio, lo que se afirma en este caso es que
algunos miembros de la clase de todos los
políticos son también miembros de la clase
de todos los mentirosos. Esta proposición no
afirma ni niega que todos los políticos sean
mentirosos; no se pronuncia sobre la cuestión.
No afirma literalmente que algunos políticos
no sean mentirosos

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Lógica
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Figura 1. ¿Qué expresan los cuantificadores?
3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores
Los cuantificadores se utilizan para precisar el lenguaje mate-
mático, cuando una proposición se cuantifica, se sabe cuán-
tos elementos la satisfacen. En la figura se muestran las posibi-
lidades que se deben describir con los cuantificadores:
Cuantificador universal, cuantificador existencial, la negación
del cuantificador universal y la del existencial.
La expresión “para todo” se denomina cuantificador universal
y se simboliza por ∀.
••••• Sea m un municipio,
∀
m tiene un plan de desarrollo.
La expresión “existe algún” se denomina cuantificador
existencial y se simboliza ∃
Las expresiones para indicar el cuantificador existencial
son: para algún x algunos x..., hay un x tal que...,algún
x..., existe un x tal que...,...
· Sea x un número,∃ x : x + 10 = 5,
significa que existe algún x tal que
hace valida la ecuación x + 10 = 5
· Sea m un municipio, ∃ m: m no tie-
ne un plan de desarrollo. Nos ha-
bla de la existencia de por lo me-
nos un municipio que no tiene plan
de desarrollo.
Negar una proposición que utiliza el
cuantificador universal, significa que se
cambia éste por el existencial y se nie-
ga la proposición.

37
· El que sea cierto que “exista un municipio que no tiene plan de desarrollo”, vuelve falsa la proposición
“Todo municipio tiene un plan de desarrollo”.
Negar una proposición que maneja el cuantificador existencial, significa que el cuantificador existencial
es reemplazado por el universal y se niega la proposición.
Ejemplo
· Si se niega que “exista un municipio que no tiene plan de desarrollo”, se afirma la proposición “Todo
municipio tiene un plan de desarrollo”.
EVEVEVEVEVALALALALALUUUUUACIÓNACIÓNACIÓNACIÓNACIÓN
Desarrolle con su grupo de estudio, los siguien-
tes ejercicios. Si tiene dificultades, repase la uni-
dad cuidadosamente y consulte a sus compañe-
ros de equipo, si aún perseveran las dificultades
anótelas y preséntelas al tutor en la próxima se-
sión presencial.
1. Sean “p” “Hay movimientos al margen de la
ley” y “q “ “Hay redistribución del ingreso“.
Describir con un verbalmente los siguientes
enunciados:
a) ~p
b) p ∧ q
c) p ∧ q
d) p ↔ q
e) p → ~ q
f) p ∧ ~ q
g) ~p ∧ ~ q
h) p ↔ ~ q
i) ~~ q
j) (p ∧ ~ q) → p
2. Escribir los siguientes enunciados en forma sim-
bólica, utilizando “p” y “q” para representar
a) Diana tiene un buen abogado
b) Carlos no presenta una queja
c) No es cierto que Diana tiene un buen aboga-
d o
d) Diana tiene un buen abogado y Carlos pre-
senta una queja
e) Carlos presenta una queja entonces Diana tie-
ne un buen abogado
f) Diana no tiene un buen abogado si y solo si,
Carlos presenta una queja
g) Diana no tiene un buen abogado si y solo si,
Carlos no presenta una queja
3. Escribir los siguientes enunciados en forma
simbólica, utilizando “p” , “q, “r”, etc., para
representar. Resalte las inconsistencias que se
presenten en la redacción, si existen.
a) Como una característica general, desde los
denominados estadios prehistóricos cultura-
les como son el salvajismo y la barbarie has-
ta llegar a la denominada civilización y las
eras modernas y postmodernas, ha existido
un común denominador y es la lucha del hom-
bre contra la naturaleza.
b) Se arrasa la biodiversidad y empiezan a trans-
formarse los niveles permisibles para la vida
humana y animal por la contaminación atmos-
férica.
å

38
Lógica
11111
c) Con la globalización se ha venido abajo una
de las premisas fundamentales de la moder-
nidad como es la idea de vivir y actuar en
espacios cerrados y recíprocamente delimita-
dos de los Estados nacionales y de sus res-
pectivas sociedades nacionales.
d) La incertidumbre del presente y la angustia del
futuro inmediato unidos al agotamiento de las
formas tradicionales de interpretar organizar y
solucionar los problemas aumenta la sensa-
ción de orfandad y pérdida de sentido.
e) Además de las contaminaciones por densidad
de población y erosión por el proceso urbani-
zador, se presenta en los centros poblados
un tipo especial de contaminación del suelo
por la inadecuada disposición de los residuos
sólidos, provenientes de tales concentracio-
nes humanas.
4. Determinar el valor de verdad de cada uno de
los siguientes enunciados compuestos
a) Si 5 + 4 = 9, entonces 4+ 2 = 8
b) No es cierto que España está en Inglaterra,
entonces Portugal está en Alemania.
c) No es verdad que 8 – 3 = 6 si, y solo si,
45 / 9 = 8
d) “Perú ha tenido guerra con todos sus vecinos
o Bolivia no tiene salida al mar”
e) “Perú ha tenido guerra con todos sus vecinos
y Bolivia no tiene salida al mar”
f) Hay una democracia participativa si y solo sial-
gunos pueden votar.
g) El gobierno es legítimo si y solo si hay una
democracia representativa.
5. Elabore las tablas de verdad de cada propo-
sición.
a) ~ (p → ~q)
b) ~ p ∧ q
c) ~ (p ∧ q) ∧ ~ (p ↔ q)
d) (p ∧ q) → (p v q)
e) p → (p ∧ q)
f) p → (p ∧ q)
6. Sea A = { 1, 2, 3, 4 ,5}, hallar el valor de
verdad de los siguientes enunciados y demos-
trarlo.
a) (∃ x∈ A) (x + 3 < 5)
b) (
∀
x ∈ A) (x + 3 < 10)
c) (
∀
x ∈ A) (x + 3 ≤ 10)
d) (∃ x∈ A) (x + 3 = 10)
7. Ahora que ha estudiado el capítulo, discuta
nuevamente acerca del valor de verdad del
enunciado “Suponiendo entonces que los prin-
cipios de inferencia en El Plan son conserva-
dores del valor de verdad, como expliqué an-
tes, ante una proposición falsa que quienes
gobiernan afirman haber derivado de acuerdo
con El Plan, usted puede concluir con certeza
que este plan es incorrecto o nuestros gober-
nantes nos engañan.”
8. Para resolver este ejercicio se le sugiere inves-
tigar en textos de derecho administrativo so-
bre la jerarquía de los actos administrativos.
Represente y establezca el valor de verdad
de los siguientes enunciados:
a) Existe una norma de mayor jerarquía que la
Ley del Plan de Desarrollo.
b) Todas las normas internas son de menor jerar-
quía que los tratados internacionales suscri-
tos por Colombia.
c) La única norma que guarda un vínculo jerár-
quico con todas las restantes es la Constitu-
ción, superior a todas las demás, cualquiera
sea su tipo, contenido o naturaleza
å

39
d) En el ordenamiento constitucional colombia-
no, todas las leyes, cualquiera sea su tipo o
denominación, son jerárquicamente iguales
entre sí.
e) Las Leyes reglamentarias que son de mayor
jerarquía que las leyes comunes.
f) Existe por lo menos una norma de menor je-
rarquía que las leyes marco.
g) No existen normas de inferior jerarquía que los
decretos.
h) Todos los decretos son de inferior jerarquía
que las leyes.
i) El decreto legislativo es de mayor jerarquía
que la ley.
9. Elabore un cuadro sinóptico con los conteni-
dos básicos estudiados en esta unidad.
10.Presente tres ejemplos relacionados con la
administración pública en los cuales se nie-
guen enunciados falsos y tres en que se nie-
guen enunciados verdaderos. Establezca en
cada caso el valor de verdad de la negación.
11.Analice y escriba lo que sucede en los siguien-
tes textos, (provenientes de un grupo de discu-
sión en Internet) con respecto a la doble nega-
ción. ¿Se presenta esta con frecuencia en el dis-
curso público?. Si conoce ejemplos, cítelos.
1. “Juan le impide que voltee.
2. Juan le impide voltear.
3. El doctor le prohibió que tome esas pasti-
llas.
4. El doctor le prohibió tomar esas pastillas.
••••• Las oraciones anteriores, que pertenecen
al español actual, tienen un significado cla-
ro y evidente. Pero también existen las si-
guientes oraciones en el español actual:
5. Juan le impide que no voltee.
6. Juan le impide no voltear.
7. El doctor le prohibió que no tome esas pas-
tillas.
8. El doctor le prohibió no tomar esas pasti-
llas.
••••• Luego de constatar que la oración (5) equi-
vale interpretativamente a la oración (1); la
(6), a la (2); la (7), a la (3) y la (8), a la (4),
cabe hacer la siguiente pregunta: ¿se pue-
den considerar a las oraciones de la (5) a
la (8) como casos de doble negación,
como lo son, por ejemplo, las siguientes
oraciones:
9. No hay nadie en el salón.
10. No llegó nadie a la cita.
11. Juan no estudia nunca sus cursos.
12. Pedro no ha venido todavía a la casa.”
Mauricio Aguirre Villanueva
å
“El único ejemplo que se me ocurre por el mo-
mento proviene de la nunca bien ponderada
tecnocumbia. En efecto, una de las (no muy
elaboradas) letras de este género dice algo
como esto (s.e. u o.):
“Le he prohibido a mis ojos
que NO te busquen más,
le he prohibido a mis labios
que NO te llamen más” (etc.)
En todo caso, es notable que mucha gente
baile y cante esto sin notar (?) la doble nega-
ción. ¿Tendrá algo que ver Forma Lógica o
es, simplemente, eso a lo que los puristas alu-
den cuando se quejan de que «cada vez se
habla peor»? ¿O es que en el arte vale todo?”
Héctor H.G. Velázquez

40
Lógica
11111
1. Hay movimientos al margen de la ley” y “q “ “Hay
redistribución del ingreso”
a ) No hay movimientos al margen de la ley
b) Hay movimientos al margen de la ley y hay redistri-
bución del ingreso
c) Hay movimientos al margen de la ley o hay redistri-
bución del ingreso
d) Hay movimientos al margen de la ley si solo si hay
redistribución del ingreso
e ) Si hay movimientos al margen de la ley entonces no
hay redistribución del ingreso
f) Hay movimientos al margen de la ley o no hay redis-
tribución del ingreso
g) No hay movimientos al margen de la ley y no hay
redistribución del ingreso
h) Hay movimientos al margen de la ley, si solo si, no
hay redistribución del ingreso
i) Es falso que no hay redistribución del ingreso
PRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVA
Haga un escrito de 20 a 30 renglones (en forma individual) sobre la aplicabilidad de la lógica en el desempeño
del Administrador Público.
Ahora descanse y diviértase un poco leyendo esto:
MÉTODO CIENTÍFICO:
VanDumholtztienedosgrandesfrascosdelantedesí,unoconmuchaspulgasyelotrovacío.Sacacuidadosamenteunapulga
del frasco, la pone ante el frasco vacío, da un paso atrás y dice “salta”, tras lo cual la pulga salta al frasco. Metódicamente,
saca otra pulga, la pone en la mesa, dice “salta” y la pulga salta al frasco que estaba vacío al principio. Cuando ha
terminadodecambiarlasdefrascodeestemodo,sacaunadelfrascoqueahoraestálleno,lequitacuidadosamentelaspatas
de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Ordena “salta”, pero la pulga no se mueve. Saca otra pulga del frasco,
le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Vuelve a ordenar “salta”, pero la
pulga no se mueve. Van Dumholtz continúa metódicamente el mismo procedimiento con las pulgas restantes y obtiene los
mismos resultados. Entusiasmado, Van Dumholtz anota en su cuaderno: “Cuando se le quitan las patas traseras a una
pulga, deja de oír.”
ALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTASASASASAS
j) Si hay movimientos al margen de la ley y no
hay redistribución del ingreso, entonces hay
movimientos al margen de la ley
2. Se define primero “p” como Diana tiene
un buen abogado y “q” como Carlos pre-
senta una queja.
a) p b) ~q c) ~p
d) p ∧ q e) q → p f) ~ p↔ q
g) ~ p ↔ ~q
4. a) F b) F c) V
d) V e) F f) F
6. a) V b) V c) V d) F

42
Conjuntos
2
CONJUNTOS
2
El concepto de conjunto es de fundamental importan-
cia en las matemáticas modernas. Muchos matemáti-
cos creen que es posible expresar todas las matemá-
ticas con un lenguaje de teoría de conjuntos. Otra
aplicación de la teoría de conjuntos la encontramos
con el modelado e investigación de operaciones en
las ciencias computacionales. Sin embargo es un
error, pensar que el alcance de los conjuntos queda
en ese ámbito nada más. En el ámbito de las ciencias
sociales al que pertenece la administración pública,
se encuentra una infinita aplicabilidad de los conjun-
tos: los grupos sociales, los gobernantes, los Esta-
dos, etc., representan conjuntos que deben ser estu-
diados desde la teoría matemática de los conjuntos.
Los conjuntos fueron por primera vez formalmente es-
tudiados por G. Cantor. Después de esto la teoría de
conjuntos se ha convertido en un área muy bien esta-
blecida de matemáticas, contradicciones o paradojas
que encontramos en dicha teoría. Eventualmente, los
más sofisticados acercamientos al trabajo original de
Cantor hicieron que dichas paradojas desaparecie-
ran. Trabajos introductorios de la teoría de conjuntos
usualmente mostraban una “cándida” teoría de con-
juntos, la cual era bastante similar al trabajo original
de Cantor, mejor dicho, se desarrollaban en el mismo
marco teórico necesario para no caer en paradojas.
En este capítulo se estudiarán primero los conjuntos
en general y luego los conjuntos numéricos sobre
los cuales se cumplen una serie de relaciones llama-
das funciones y que serán objeto de los próximos ca-
pítulos.

43
Matemática I
PLAN DEL CAPÍTULO
1. NOCIONES GENERALES
2. CLASES DE CONJUNTOS
3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
5. TRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULER
6. CONJUNTO DE NÚMEROS
7. EVALUACIÓN Y PRÁCTICA REFLEXIVA
OBJETIVOS GENERALES
• Listar y explicar las propiedades que cumple el
conjunto de los números reales.
• Ilustrar con ejemplos las propiedades de los números
reales.
• Aplicar los conceptos básicos de la teoría de
conjuntos: relación de pertenencia, subconjuntos,
complemento, formas de expresar un conjunto,
conjunto universal, conjunto vacío.
• Efectuar operaciones de unión, intersección y
diferencia de conjuntos.
• Reconocer las distintas formas de representar un
intervalo.
• Efectuar operaciones de unión, intersección y
diferencia con intervalos.

44
Conjuntos
2
1. NOCIONES GENERALES
Para abordar el trabajo con los conjuntos es importante ponernos de acuerdo en tres aspectos: la definición
de conjunto, la notación empleada y la relación de pertenencia
entre un elemento y un conjunto.
1.1 Motivación
• Comencemos con inquietar el cerebro, revisando la para-
doja de Russell y luego el conocimiento previo sobre el
concepto de conjunto.
1.2 Definición
• Hace referencia a la idea de colección o listado de objetos
que pertenecen a una clase, definida por una serie de ca-
racterísticas específicas y determinantes, que permiten es-
tablecer fácilmente cuales son los entes que están dentro
de ésta. Así mismo cada uno de estos objetos recibe el
nombre de elemento del conjunto.
• Ejemplos de lo anterior pueden ser: el grupo conformado
por los estudiantes del Primer Semestre de Administración
Pública;lasrevistasespecializadasenanálisisdetemaseco-
nómicos, o de salud pública; los habitantes de la ciudad
capital; las capitales de Colombia; los países de Europa; las
organizaciones mundiales de ayuda; los planetas del siste-
ma solar etc.
1.3 Notación de Conjuntos
• Al referirse a un conjunto este debe estar perfectamente
determinado y por ello utilizamos sistemas de representa-
ción, de modo que para nombrarlo se usan las letras ma-
yúsculas, agrupando entre llaves {} el listado de los ele-
mentos que lo conforman, separados por una coma, si se
usan letras éstas deben escribirse en minúscula.
• El símbolo elemento∈ significa (es elemento de). Análoga-
mente, ∉ significa (no es elemento de).
“Sea Z el conjunto de todos los conjuntos
que no son elementos de sí mismos. Se
pregunta ¿Z es o no elemento de sí mismo?
Si Z no pertenece a Z, entonces, por la defi-
nición de Z, Z pertenece a sí mismo. Pero si
Z pertenece a Z, entonces por la definición
de Z, Z no pertenece a sí mismo. En cual-
quiera de los dos casos hay contradicción.
Esta paradoja es análoga a la paradoja del
barbero: En una aldea hay un barbero que
afeita solamente a los hombres que no se
afeitan ellos mismos.
Se pregunta ¿Al barbero quién lo afeita?”
Bertrand Russell, My Philosophy Develo-
pement, George Allen & Unwin Ltd., Lon-
dres, 1959, pág. 76. citado por Dunham
William. El Universo de las Matemáticas,
Ediciones Pirámide, S. A. - Madrid
PARADOJA DE RUSSELL

45
Matemática I
• Existen dos formas para referirse a un mis-
mo conjunto: extensión y comprensión.
ejemplos 2 y 3.
RECORDEMOS
A = { x : x es una norma de aplicación na-
cional} que se lee: equis “ tales que” equis
es una norma de aplicación nacional. En don-
de los dos puntos “ : ” significan “tales que”.
En algunos textos puede encontrar “/” a cam-
bio de “:”.
EJEMPLO 2
Si se hace el listado de cada uno de los elementos que lo
conforma, se dice que el conjunto ha sido determinado
por extensión (forma explícita) o en forma tabular.
P = { Ana, Jaime, Carlos, Emperatriz...}
A = { a, e, i, o, u}
C = { Bogotá, Medellín, Cali, Pasto, etc.}
E = { Colombia, Venezuela, Ecuador, Perú, Bolivia, Chile,
Uruguay, Paraguay, Brasil, Argentina}
El conjunto de enteros mayores que 10 se especifica por
{x: x∈I ∧ x >10}
El conjunto de enteros pares se especifica como { x : ∃y [
y ∈ I ∧ x = 2y ] }
El conjunto { 1, 2, 3, 4, 5 } se especifica como { x : x ∈ I
∧ 1 ≤ x ≤ 5 }
EJEMPLO 1
Sea S la letra que designa el conjun-
to descrito precisamente como
{a,b,c,d}. Por tanto, S es el conjun-
to cuyos elementos son las primeras
cuatro letras minúsculas del alfabe-
to. Podemos entonces escribir a ∈S,
b ∈S, c ∈S y d ∈S. Similarmente f∉
S, 3 ∉ S, etc.
EJERCICIO 1
• Varias veces ha estudiado los con-
juntos. ¿Qué es un conjunto?. Pre-
sentetresejemplosdeconjuntosre-
lacionados con la estructura del
Estado colombiano.
• Describa con sus palabras en que
consiste la unión, la intersección,
el complemento y la diferencia de
conjuntos. Si no conoce una ope-
ración de éstas, tranquilo no la res-
ponda ya que con seguridad al
terminar el capítulo no tendrá duda
alguna.

46
Conjuntos
2
EJEMPLO 3
Si el conjunto se define enunciando sus caracte-
rísticas principales, en donde se utiliza por lo
general la letra x, representando de este modo
un elemento cualquiera, se dice que el conjunto
ha sido determinado por comprensión o cons-
tructiva (forma implícita) de un conjunto. Así:
P = { x : x es estudiante de primer semestre y x
es de la ESAP}
R = { x : x es una revista especializada en eco-
nomía}
S = { x : x es una revista especializada en salud}
H = { x : x es un habitante y x es de la ciudad
capital}
O = { x : x es una organización mundial de ayu-
da}
El conjunto de enteros múltiplos de 3 puede ser
especificado por
{ 3x : x ∈ I } en lugar de { x : ∃y [ y ∈ I ∧ x =
3y ] }.
El conjunto de números racionales puede ser es-
pecificado por
{ x / y : x, y ∈ I ∧ y ≠ 0 }.
Si un conjunto es finito pero muy largo como
para listarse fácilmente o si es un conjunto infini-
to, los puntos suspensivos suelen ser usados para
especificar implícitamente un conjunto. Así:
El conjunto de enteros del 1 al 50 es especifica-
do por { 1, 2, 3, …, 50 }
El conjunto de enteros pares no negativos se
especifica por { 0, 2, 4, 6,…}
EJERCICIO 2
Tomando como referencia la explicación, pien-
se como se expresarían los siguientes conjun-
tos por extensión y por comprensión:
El conjunto P, formado por los estudiantes de
Primer Semestre de Administración Pública Te-
rritorial.
El conjunto R, compuesto por las revistas espe-
cializadas en análisis de temas económicos.
El conjunto S, conformado por las revistas es-
pecializadas en temas de salud.
El conjunto H, formado por los habitantes del
Distrito Capital.
El conjunto C, conformado por las ciudades
capitales de Colombia
El conjunto E, compuesto por los países de
América
El conjunto O, compuesto por las organizacio-
nes mundiales de ayuda.

47
Matemática I
1.4 Relación de Pertenencia
• Si un objeto x es un elemento del conjunto A, porque éste
tienelascaracterísticaspedidasendichoconjunto,esdecir
si A contiene a x como uno de sus elementos, esta relación
se expresa como “x pertenece a” o “x está en”, lo que se
puede escribir como: x ∈ A en donde el símbolo ∈ indica
“pertenece a”
• Ahora si el caso es contrario, es decir que el elemento x no
esta en el conjunto A, esta situación se expresa como “x
no pertenece al conjunto A” y es representado por ∉ que
significa “no pertenece a”: x ∉ A
EJERCICIO 3
• Escriba 3 ejemplos de relaciones
de pertenencia, relacionados con
los sistemas políticos o con la or-
ganización del Estado.
• Compile los ejemplos de su gru-
po de estudio relativos a este ítem.
EJEMPLO 4
A = { x : x sea un municipio fronterizo}
luego “Leticia” ∈ A; “Villavicencio” ∉
A; “Puerto Asís” ∈ A; Villeta ∉ A
B = { x : x sea un modelo de merca-
do} = {competencia perfecta, mono-
polio, oligopolio, monopsonio, oligop-
sonio}, luego “monopolio” ∈ B; “dic-
tadura” ∉ B; “oligopolio” ∈ B; “true-
que” ∉ B

48
Conjuntos
2
2. CLASES DE CONJUNTOS
2.1 Conjuntos Iguales
Se dice que dos conjuntos S y T son iguales si cada elemento de S es elemento de T y viceversa. (Usamos el
signo de igualdad para indicar que dos símbolos representan al mismo conjunto, escribiendo S=T.) Se puede
concluir entonces, que dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y solo si, A ⊂ B y B ⊂ A.
2.2 Conjuntos Vacíos
EJEMPLO 6
A = {x : x es un dinosaurio viviente}
B = { x : x es un ser humano vivo y x
es mayor de 300 años}
C = { x : x es un país sin algún conflic-
to social interno}
EJEMPLO 5
Sea A = { x : x Es un departamento de
Colombia}
B = { x : x es un departamento que tie-
ne deuda con una entidad financiera}
Si se tiene el caso de que todos los
departamentos del país se encuentran
endeudados, entonces tendremos que
“A contiene a B y B contiene a A”, por
lo tanto son conjuntos iguales A = B.
RECORDEMOS
El conjunto vacío ∅, se considera subconjunto
de todo conjunto.
Si B no es subconjunto de A, en otras palabras,
si B ⊄ A, se puede afirmar que hay por lo me-
nos un elemento del conjunto B que no es ele-
mento del conjunto A.
• Es útil tener el concepto de un conjunto sin elemento. Un
conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío o
conjunto nulo y se representa por {} o por ∅. Ejemplo: con-
sidérese el conjunto S de todos los elementos que lo son
tanto {a,b,c} como de {d,e,f}. El conjunto S no tiene ele-
mentos, luego, S = {}.
2.3 Subconjuntos
• Definición: se dice que un conjunto S es subconjunto T, si
todos los elementos de S los son T. El símbolo ⊆ se lee (es
subconjunto de o está contenido en). En este caso se dice
que hay una relación de contenencia.
• Así, (S⊆ T ) se lee (S es subconjunto de T). Decir que S no
es subconjunto de T significa que algún elemento de S no
lo es T en el caso escribimos S ⊄ Τ.
2.4 Subconjunto Propio
• Se dice que S es un subconjunto propio de T, si S ⊆ T, y
además existe algún elemento de T que no esta en S. Esto
lo escribimos S ⊂ T.
• Sabiendo que todo conjunto A es un subconjunto de sí
mismo, se puede llegar a afirmar que B es subconjunto propio
de A, si B es subconjunto de A y B no es igual a A.
• En conclusión B es “un subconjunto propio” de A si: B ⊂ A
y B ≠ A

49
Matemática I
EJEMPLO 7
Sean S = {a,b,c,d} y T={a,b,c,d,e}. Vemos que S ⊆ T.
Sin embargo si H={a,b,c,f}, notamos que f ∉ T, de modo
que H⊄ T.
A = {x : x es un bloque económico}
B = {x : x es un continente}
C = {Comunidad Económica Europea CEE, Tratado de
Libre Comercio TLC}
Por lo tanto se puede establecer:
C ⊂ A, ya que todos los elementos de C pertenecen tam-
bién a A.
B ⊄ A, porque no todos los elementos de B están en A.
A = {x : x es un grupo monopolista en Colombia}
B = { Grupo Santodomingo, Sindicato Antioqueño, Gru-
po Ardila, Grupo Sarmiento Angulo}
C = {Grupo de Capital del Valle, Coca-cola, Grupo Ardila,
Conglomerado Puyana }
Por lo tanto se puede establecer:
B ⊂ A, ya que todos los elementos de B pertenecen tam-
bién a A.
C ⊄ A, porque no todos los elementos de C están en A.
EJEMPLO 8
A = {x : x fue presidente de Colom-
bia}
B = {x : x fue presidente de Colombia
durante la república conservadora}
Luego B ⊂ A y B ≠ A.
EJERCICIO 5
• Presente tres ejemplos de subcon-
juntos propios, relacionados con
la Administración Pública.
• Compile los ejemplos de su grupo
de estudio relativos a este ítem.
EJERCICIO 4
• Indique cuales son los elementos que en los dos
ejemplos anteriores no cumplen las relaciones de
contenencia.
• ¿Tiene este tema relación con el sentimiento de
pertenencia nacional? Haga un escrito de 15 a
20 renglones sobre el sentido de pertenencia de
los colombianos.Tranquilo!, tome el enfoque que
quiera.
Nota
Entenderemos que el conjunto vacío, Æ, siem-
pre es subconjunto de cualquier conjunto T. Si
no fuese así ello significaría que algún elemento
de Æ, no sería miembro de T, pero como Æ, no
tiene elementos esto resultaría imposible.

50
Conjuntos
2
2.5 Conjuntos Equivalentes
• Cuando los elementos de un conjunto se corresponden con los de un segundo conjunto de modo que
cada elemento de cada conjunto tenga uno, y solo uno, asociado en el otro conjunto, decimos que hay
una correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos. Si A es equivalente a B, se escribe A~B.
2.6 Cardinalidad de un Conjunto
• Cuando un conjunto S se equipara con un subconjunto
estándar de N, el ultimo elemento de N usado se llama
cardinalidad del conjunto S y se denota por n (S).
• En las explicaciones adjuntas vemos qué es un subconjun-
to estándar, qué pasa con el cardinal del conjunto vacío y
con el de conjuntos equivalentes.
Subconjunto estándar
• Recordemos el conjunto ordenado de los números natu-
rales, N = {1,2,3,4..} y el conjunto ordenado de los nú-
mero enteros no negativos W = {0,1,2,3,4...}.
• Contar es el proceso por el cual hacemos corresponder los
elementos de un conjunto con algún subconjunto propio
de N, comenzando con 1 y usando los elementos de N en
orden y sin saltar ninguno. Un subconjunto así se llama
subconjunto estándar de N. Ejemplo: es decir, el subcon-
junto estándar de N, {1,2,3,4} es equivalente a
{a,b,c,d}decimos entonces que S tiene cuatro elementos.
En el ejemplo anterior, n(S)= 4.
Cardinal de vacío
• La cardinalidad ∅, el conjunto vacío es cero.
• Tenemos que construir esta definición por separado, pues-
to que 0∉N y, por tanto, no tiene sentido hablar de equi-
parar elementos que no existen. La claridad del conjunto
{3} es 1, ya que {3} se puede equiparar con {1}. Es decir
que el conjunto {3} tiene un miembro. Similarmente, la
claridad del conjunto {0} es 1. Hay que estar seguro de
que entendemos la diferencia entre {} y {0}
EJEMPLO 9
Sean S = {a,b,c,d} y T = {∧,?,0,+}.
Estos dos conjuntos son equivalentes
puesto que podemos hacer correspon-
der en forma uno a uno los elementos
de un conjunto con los del otro.
EJEMPLO 10
Sean, S = {a,b,c} y T ={d,e,f,g,h}.
Vemos que hay una correspondencia
uno a uno entre S y el subconjunto pro-
pio de T, {d,e,f}. Por tanto, n (S) < n
(T), o bien puesto que n (S) =3 y n
(T)=5, ponemos 3 < 5.

51
Matemática I
Cardinal de Equivalentes
• Dos números enteros no negativos m y n, son iguales si
ambos son la cardinalidad del mismo conjunto o de con-
juntos equivalentes. En tal caso, escribimos m=n
• Así también, m y n son números enteros no negativos,
decir que m es menor que n significa que n es la cardinali-
dad de un conjunto que se puede equipar con un subcon-
junto propio de un conjunto de cardinalidad n. Escribire-
mos entonces m < n. Si m < n podemos decir también
que n > m.
2.7 Conjuntos Finitos e Infinitos
• Los conjuntos pueden ser infinitos o finitos. Un conjunto
infinito es aquel con consta de un incontable número de
elementos, luego el proceso de contar sus elementos no
termina. Y es conjunto finito cuando el conjunto consta de
cierto número de elementos distintos, y el proceso de con-
tarlos termina.
2.8 Conjunto de Conjuntos
• Se presentan algunas veces situaciones en los que los ele-
mentosdeunconjuntosontambiénconjuntos,casocomo
el conjunto R que reune todos los subconjuntos de M. Para
no expresar “conjunto de conjuntos” se prefiere decir “fa-
milia de conjuntos” o “clase de conjuntos”, utilizando para estas
familias letras inglesas A, B, C, etc. Para designar las fami-
lias o clases de conjuntos, debido a que sus elementos se
denotan con mayúsculas.
EJEMPLO 11
N ={ x : x es un número par y x es
natural} por lo tanto el conjunto N es
infinito
P = { x : x es un ser del planeta tierra},
el conjunto P es finito aunque un poco
demorado de terminar el conteo.
A = { x : x es un número racional}, A
es infinito.
S = { x : x es un día de la semana}, S
es finito.
EJEMPLO 12
1. D = {{A, B},{D},{M, N}}, el con-
junto D, es una familia de conjun-
tos, sus elementos son pues
{A,B},{D},{M, N}.
2. Otra situación semejante se presen-
ta en geometría analítica, específi-
camente se acostumbra hablar de
la “familia de rectas” o la “familia de
curvas” y éstas a su vez son conjun-
tos de puntos.
3. El conjunto M = {{A,B},c,{D}, r, s,
{M,N}},nosepuedeconsideraruna
familia de conjuntos, teniendo en
cuenta que todos sus elementos no
son conjuntos. Teóricamente esta si-
tuación se presenta muy rara vez.
4. Los grupos de presión en un país,
pueden considerarse como una fa-
milia de conjuntos de personas u
organizaciones.
EJERCICIO 6
• Diga cuales de los siguientes corresponden o no a familias de conjuntos: Los
comités de participación comunitaria (COPACO), la Red de Solidaridad Ciu-
dadana, la Federación Nacional de Cafeteros, la Central Unitaria de Trabaja-
dores, los grupos armados.
• Presente tres ejemplos más de familias de conjuntos que correspondan al
ámbito de la administración pública.
• Compile los ejemplos de su grupo de estudio relativos a este ítem.

52
Conjuntos
2
2.9 Conjunto Universal
• Para todas las aplicaciones de la teoría de conjuntos, se
consideran generalmente subconjuntos de un mismo con-
junto dado, este conjunto recibe el nombre de conjunto uni-
versal. Se identifica siempre por U.
EJEMPLO 13
El conjunto de los seres humanos de
todo el mundo es el conjunto univer-
sal, así mismo el conjunto de los estu-
diantes de todo el mundo es el con-
junto universal. El conjunto de todos
los puntos del plano es el conjunto
universal para el caso de la geometría
plana.
EJERCICIO 7
“Roberto Torres. Cantante. Güines, 10 de febrero de 1940.
Comenzó como vocalista en la orquesta Swing Casino, de
su pueblo natal. Luego canto en el conjunto Universal. En
1959 se radicó en Nueva York, y estuvo con las orquestas
Fajardo y Broadway. Más tarde entró a la Sonora Matance-
ra. Hace años que se presenta como solista. Ha grabado
diversos LP con música cubana y caribeña.” [Tomado de
www.soncubano.com]
• A que se refieren en el recuadro anterior cuando dicen
“Luego cantó en el conjunto Universal”
Con el análisis de componentes, los lingüistas esperan po-
der identificar el conjunto universal de los rasgos semánti-
cos que existen, a partir de los cuales cada lengua constru-
ye el suyo propio que la hace distinta de otra. El antropólo-
go estructuralista francés Claude Lévi-Strauss ha aplicado
la hipótesis de los rasgos semánticos universales para ana-
lizar los sistemas de mito y parentesco de varias culturas.
Demostró que los pueblos organizan sus sociedades e in-
terpretan sus jerarquías en ellas de acuerdo con ciertas re-
glas, a pesar de las aparentes diferencias que muestran.
Tomado del documento “¿Qué es la Semántica?” de Ser-
gio Zamora Guadalajara, México 2002 que se encuentra en
la página Web: www.geocities.com/sergiozamorab/
semantic.htm.
• ¿Que ejemplo de conjunto universal podemos encon-
trar en el anterior texto?

Matematicas 1 - JOSÉ MIGUEL CUBILLOS MUNCA

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