Utp ia_2014-2_s11_logica difusa

Inteligencia Artificial
(W0I9)
Sesión: 11
Lógica Difusa
Ing. José C. Benítez P.

2
Lógica Difusa
La lógica y su clasificación
La lógica difusa
Conjuntos Crisp y Difusos
Interpretación de Kosko
Tipos de Funciones de Pertenencia
Características de un Conjunto Difuso
Operaciones unarias sobre un CD
Relaciones entre CD
El Teorema de Representación
El Principio de Extensión
Operaciones entre CD
Variables linguisticas
Bibliografía

3
• La lógica es una ciencia formal que estudia los principios
de la demostración e inferencia válida.
• La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que
significa dotado de razón, intelectual, dialéctico,
argumentativo, que a su vez viene de λόγος (logos), que
significa palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o
principio.
• Así como el objeto de estudio tradicional de la química es
la materia, y el de la biología la vida, el de la lógica es la
inferencia.

4
• La inferencia es el proceso por el cual se derivan
conclusiones a partir de premisas.
• La lógica investiga los principios por los cuales algunas
inferencias son aceptables, y otras no.
• Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura
lógica, y no por el contenido específico del argumento o el
lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una
ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia
empírica.
• La lógica tradicionalmente se consideró una rama de la
filosofía. Pero desde finales del siglo XIX, su formalización
simbólica ha demostrado una íntima relación con las
matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática.

5
• Lógicas clásicas.
• Lógicas no clásicas.
• Lógicas modales

6
Lógicas clásicas
• Los SLC son los más estudiados y utilizados de todos, y se
caracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales
que otras lógicas rechazan.
• Algunos de estos principios son:
• el principio del tercero excluido,
• el principio de no contradicción,
• el principio de explosión y
• la monoticidad de la implicación.
• Entre los SLC se encuentran:
• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden
• Lógica de segundo orden

7
Lógicas no clásicas
Los SLNC son aquellos que rechazan uno o varios de los
principios de la lógica clásica.
Algunos de estos SLNC son:
• Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el
principio del tercero excluido y propone un número
infinito de valores de verdad.
• Lógica relevante: Es una lógica para consistente que evita
el principio de explosión al exigir que para que un
argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben
compartir al menos una variable proposicional.

8
Lógicas no clásicas
• Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con
razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su
característica más notable es el rechazo de la propiedad
distributiva.
• Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una
lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría
cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias
de esa teoría se reduzca.
• Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la
verdad, a lo largo de las transformaciones de las
proposiciones.

9
La lógica difusa
• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello) y
se traduce por difuso o borroso.
• La lógica difusa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh,
profesor de la Universidad de California en Berkeley. El
concepto de un subconjunto difuso fue introducido por
Zadeh como una generalización de un subconjunto exacto
(crisp subset) tradicional.
• La lógica difusa se construye mediante conjuntos difusos,
los operadores difusos y las reglas de inferencia difusas, los
que aplicados a un sistema de control se denomina
Sistema de Control basado en Lógica Difusa o simplemente
Sistemas Difusos o borrosos (Fuzzy Systems).

10
La lógica difusa
• La lógica difusa es una lógica alternativa a la lógica clásica
que pretende introducir un grado de vaguedad en las cosas
que evalúa.
• En el mundo en que vivimos existe mucho conocimiento
ambiguo e impreciso por naturaleza. El razonamiento
humano con frecuencia actúa con este tipo de información.
La lógica difusa fue diseñada precisamente para imitar el
comportamiento del ser humano.
• La lógica difusa en comparación con la lógica clásica o
convencional permite trabajar con información que no es
exacta para poder definir evaluaciones convencionales,
contrario con la lógica tradicional que permite trabajar con
información definida y precisa.

11
La lógica difusa
• En la actualidad es un campo de investigación muy
importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o
teóricas como por sus aplicaciones prácticas, por lo que
es muy importante estudiar y aprender.
• Razón por la que hoy existe abundante información.
9,457 libros!

12
La lógica difusa
Problemas Básicos subyacentes:
Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que
manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición
clara:
¿Qué es una persona alta?
¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?
La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una
afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).
“Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende
de quien lo diga y...
“Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco
mejor que regular?

13
La lógica difusa:
¿Cuándo usar la tecnología fuzzy o difusa? (Sur, Omron, 1997)
En procesos complejos, si no existe un modelo de solución
sencillo.
En procesos no lineales.
Cuando haya que introducir la experiencia de un operador
“experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su
experiencia.
Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas
y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).
Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste
de otras.
En general, cuando se quieran representar y operar con
conceptos que tengan imprecisión o incertidumbre (como en
las Bases de Datos Difusas).

14
La lógica difusa:
La lógica difusa surgió como una
herramienta importante para el control de
sistemas y procesos industriales complejos,
así como también para la electrónica de
entretenimiento y hogar, sistemas de
diagnóstico y otros sistemas expertos.

15
La lógica difusa:
Aplicaciones (Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):
Control de sistemas: Control de tráfico, control de
vehículos (autos, aviones, helicópteros, drones, etc.),
control de compuertas en plantas hidroeléctricas,
centrales térmicas, control en máquinas lavadoras,
control de metros (mejora de su conducción, precisión
en las paradas y ahorro de energía), ascensores, etc.
Predicción y optimización: Predicción de terremotos,
optimizar horarios, etc.
Reconocimiento de patrones y visión por computador:
Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de
escritura manuscrita, reconocimiento de objetos,
compensación de vibraciones en la cámara, etc.

16
La lógica difusa
• La lógica difusa (también llamada lógica borrosa o lógica
heurística) se basa en lo relativo de lo observado como
posición diferencial. Este tipo de lógica toma dos valores
aleatorios, pero contextualizados y referidos entre sí.
• La lógica difusa es una extensión de la lógica tradicional
(Booleana) que utiliza conceptos de pertenencia de
conjuntos mas parecidos a la manera de pensar humana.
• Es la lógica que utiliza expresiones que no son ni
totalmente ciertas ni completamente falsas, es decir, es la
lógica aplicada a conceptos que pueden tomar un valor
cualquiera de veracidad dentro de un conjunto de valores
que oscilan entre dos extremos, la verdad absoluta y la
falsedad total.

17
Conjuntos Crisp y Difusos
Conceptos sobre Conjuntos Difusos:
o Surgieron como una nueva forma de representar la
imprecisión y la incertidumbre.
o Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad,
Estadística, Filosofía, Psicología...
o Es un puente entre dos tipos de computaciones:
Computación Numérica: Usada en aplicaciones
científicas, por ejemplo.
Computación Simbólica: Usada en todos los
campos de la Inteligencia Artificial.

18
Conjuntos crisp y difusos
Conjuntos Clásicos (crisp):
Surgen de forma natural, por la necesidad del ser
humano de clasificar objetos y conceptos.
- Conjunto de Frutas: Manzana Î Frutas, Lechuga Ï
Frutas…
- Función de pertenencia A(x), xÎX:
• X es el Universo de Discurso.
• Restricción de la Función A: X ® { 0, 1 }
- Conjunto Vacío Æ(x)=0, xÎX
- Conjunto Universo U(x)=1, xÎX

19
Conjuntos Difusos (fuzzy):
Relajan la restricción, A: X® [0,1]
– Hay conceptos que no tienen límites claros:
• ¿La temperatura 25oC es “alta”?
• Definimos, por ejemplo:
Alta(30)=1,
Alta(10)=0,
¿Cual es el valor de Alta(25)?,
= Alta(25)=0.75
...

20
Definición:
Un conjunto difuso A se define como una Función de
Pertenencia que enlaza o empareja los elementos de un
dominio o Universo de discurso X con elementos del intervalo
[0,1]:
A: X® [0,1]
• Cuanto más cerca esté A(x) del valor 1, mayor será la
pertenencia del objeto x al conjunto A.
• Los valores de pertenencia varían entre 0 (no pertenece en
absoluto) y 1 (pertenencia total).

21
• Un conjunto difuso, es un conjunto que puede contener
elementos de forma parcial; es decir que la propiedad x∈A
puede ser cierta con un grado de verdad.
• Se mide esta posibilidad de pertenecer (o pertenencia) con un
número μA(x) entre 0 y 1, llamado grado de pertenencia de x a
A. Si es 0, x no pertenece a A, si es 1, entonces x∈A,
totalmente, y si 0μA(x)1, x pertenece a A de una manera
parcial.
• Un subconjunto A de B se caracteriza, por tanto, por esta
función de pertenencia μA, de B en [0,1]. Es preciso fijar el
conjunto B para definir la función μA que a su vez define A.
Por eso se habla de subconjunto difuso y no de conjunto
difuso.

22
• Nótese que μA es una proposición en el contexto de la lógica
difusa, y no de la lógica usual binaria, que sólo admite dos
valores: cierto o falso.
• La teoría de los subconjuntos difusos o borrosos fue desarrollada
por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar
matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías
de objetos.
• Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto)
fueron inventados para modelar la representación humana de
los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o
una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión,
de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

23
Representación:
Un conjunto difuso A puede representarse como un conjunto
de pares de valores: Cada elemento xÎX con su grado de
pertenencia a A. También puede ponerse como una “suma” de
pares:
– A = { A(x)/x, xÎX}
–
(Los pares en los que A(xi)=0, no se incluyen)
Ejemplo:
• Conjunto de alturas del concepto difuso “Alto” en Personas:
A = 0.25/1.75 + 0.2/1.8 + 0.15/1.85 + 0.1/1.9
(su universo es discreto).

24
Representación:
• Si el Universo es Continuo:
• La suma y la integral no deben considerarse como
operaciones algebraicas.
Contexto:
• Es fundamental en la definición de conjuntos difusos.
• Ejemplo:
No es lo mismo el concepto “Alto” aplicado a personas
que a edificios.

25
Gráfico de dos conjuntos difusos.

26
Función de Pertenencia:
Un conjunto difuso puede representarse también
gráficamente como una función, especialmente cuando
el universo de discurso X (o dominio subyacente) es
continuo (no discreto).
Abscisas (eje X): Universo de discurso X.
Ordenadas (eje Y): Grados de pertenencia en el
intervalo [0,1].
Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.

27
Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.
Alta(30)=1,
Alta(10)=0,
= Alta(25)=0.75

28
Interpretación de Kosko (1992)
• Un Universo X es un conjunto (finito o infinito) de valores.
• Por ejemplo: X = {x1, x2 , ... , xn}, donde X tiene n valores.
• Cada subconjunto de X es miembro del conjunto potencia
de X, denotado como P(X) o 2X.
– P(X) tiene 2n elementos, incluyendo Æ (conj. vacío).
– Cada valor de X puede pertenecer al subconjunto o no
pertenecer.
• Cada uno de los 2n elementos de P(X), puede
representarse como un vector de n dimensiones (Kosko,
1992). Forma un hipercubo unidad n-dimensional.

29
• Conjuntos Crisp: Cada uno de los componentes de ese
vector toma un valor en el conjunto {1,0}, según ese
componente de X pertenezca o no a ese elemento de P(X).
Ejemplo: El conjunto vacío tiene n ceros {0, 0, ... 0}.
• Conjuntos Difusos: Cada uno de los componentes de ese
vector toma un valor en el intervalo [0,1], según ese
componente de X pertenezca a ese elemento o no.
Existen infinitos valores posibles.
• Ejemplo con n=2: P(X)={Æ,{x1},{x2},{x1, x2} }®
– Crisp: P(X)={[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]}.
Son las 4 esquinas de un cuadrado unidad.
– Difuso: Cubre toda la superficie del cuadrado.

30

31
A: X®[0,1]
• Cualquier función A es válida.
• Su definición exacta depende:
del concepto a definir,
del contexto al que se refiera,
de la aplicación...
• En general, es preferible usar funciones simples,
debido a que simplifican muchos cálculos y no
pierden exactitud, debido a que precisamente se
está definiendo un concepto difuso.

32
1. Triangular:
Definido por sus límites inferior a y superior b, y el
valor modal m, tal que a m b.
También puede representarse así:
A(x;a,m,b) = máx { mín{ (x-a)/(m-a), (b-x)/(b-m) }, 0 }

33
2. Función G (gamma):
Definida por su límite inferior a y el valor k0.
Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a.
Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido aún.
La primera definición tiene un crecimiento más rápido.
Nunca toman el valor 1, aunque tienen una asíntota horizontal en 1.

34
3. Función G (gamma):
Se aproximan linealmente por:
La función opuesta se llama Función L.

35
4. Función S:
Definida por sus límites inferior a y superior b, y el valor m, o
punto de inflexión tal que amb.
Un valor típico es: m=(a+b) / 2.
El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b.

36
5. Función Gausiana:
Definida por su valor medio m y el valor k0.
Es la típica campana de Gauss.
Cuanto mayor es k, más estrecha es la campana.

37
6. Función Trapezoidal:
• Definida por sus límites inferior a y superior d, y los límites
de su soporte, b y c, inferior y superior respectivamente.
• En general, la función Trapezoidal se adapta bastante bien a
la definición de cualquier concepto, con la ventaja de su
fácil definición, representación y simplicidad de cálculos.

38
7. Función Pseudo-Exponencial:
• Definida por su valor medio m y el valor k1.
• Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más
rápido aún y la “campana” es más estrecha.

39
8. Función Trapecio Extendido:
• Definida por los cuatro valores de un trapecio [a, b, c, d], y
una lista de puntos entre a y b, o entre c y d, con su valor de
pertenencia asociado a cada uno de esos puntos.

40
8. Función Trapecio Extendido:
• En casos particulares, el Trapecio Extendido puede ser
de gran utilidad.
• Éste permite gran expresividad aumentando su
complejidad.
• En general, usar una función más compleja no añade
mayor precisión, pues debemos recordar que se está
definiendo un concepto difuso.

41
9. Función Singleton:
• Un conjunto difuso que contiene un único elemento x0. Es
denominado una singularidad difusa o fuzzy singleton.
• El uso de los singletons simplifica considerablemente el
proceso de inferencia y posibilita la implementación
electrónica eficiente de los sistemas de inferencia difusos.

42
1. Altura de un Conjunto Difuso (height):
El valor más grande de su función de pertenencia: supxÎX A(x).
2. Conjunto Difuso Normalizado (normal):
Si existe algún elemento xÎX, tal que pertenece al conjunto difuso
totalmente, es decir, con grado 1. O también, que: Altura(A) = 1.
3. Soporte de un Conjunto Difuso (support):
Elementos de X que pertenecen a A con grado mayor a 0:
Soporte(A) = {xÎX | A(x) 0}.
4. Núcleo de un Conjunto Difuso (core):
Elementos de X que pertenecen al conjunto con grado 1:
Nucleo(A) = {xÎX | A(x) = 1}.
Lógicamente, Nucleo(A) Í Soporte(A).

43
5. a-Corte:
Valores de X con grado mínimo a: Aa = {xÎX | A(x) ³ a}.
6. Conjunto Difuso Convexo o Concavo (convex, concave):
Si su función de pertenencia cumple que x1 ,x2Î X y
lÎ[0,1]:
– Convexo: A(lx1+ (1–l)x2) ³ min{A(x1), A(x2)}.
Que cualquier punto entre x1 y x2 tenga un grado de
pertenencia mayor que el mínimo de x1 y x2
– Concavo: A(lx1+ (1–l)x2) £ max{A(x1), A(x2)}.
7. Cardinalidad de un Conjunto Difuso con un Universo
finito (cardinality): Card(A) = SxÎX A(x).

Operaciones unarias en un Conjunto Difuso
44
1. Normalización:
Convierte un conj. difuso NO normalizado en uno
normalizado, dividiendo por su altura:
Norm_A(x) = A(x) / Altura(A)
2. Concentración (concentration):
Su función de pertenencia tomará valores más
pequeños, concentrándose en los valores mayores:
Con_A(x) = Ap(x), con p1, (normalmente, p=2)
3. Dilatación (dilation):
Efecto contrario a la concentración. 2 formas:
Dil_A(x) = Ap(x), con pÎ(0,1), (normalmente, p=0.5).
Dil_A(x) = 2A(x) – A2(x).

Operaciones unarias en un Conjunto Difuso
45
4. Intensificación del Contraste (contrast intensification):
Se disminuyen los valores menores a 1/2 y se aumentan
los mayores:
Con p1. Normalmente p=2. Cuanto mayor p, mayor
intensificación.
5. Difuminación (fuzzification): Efecto contrario al anterior:

46
Relaciones entre Conjuntos Difusos
1. Igualdad (equality): Dos conjuntos difusos, definidos en el
mismo Universo, son iguales si tienen la misma función de
pertenencia: A = B Û A(x) = B(x), xÎX
2. Inclusión (inclusion): Un conjunto difuso está incluido en
otro si su función de pertenencia toma valores más
pequeños: A Í B Û A(x) £ B(x), xÎX
3. Inclusión Difusa: Si el Universo es finito, podemos relajar
la condición anterior para medir el grado en el que un
conjunto difuso está incluido en otro (Kosko, 1992):

47
Relaciones entre Conjuntos Difusos
Ejemplo:
A = 0.2/1+ 0.3/2+ 0.8/3+ 1/4 + 0.8/5 Card(A) = 3.1;
B = 0.2/2+ 0.3/3+ 0.8/4+ 1/5 + 0.1/6 Card(B) = 2.4;
S(A, B) = 1/3.1 {3.1 – {0.2+0.1+0.5+0.2+0+0} } = 2.1 / 3.1 =
0.68;
S(B, A) = 1/2.4 {2.4 – {0+0+0+0+0.2+0.1} } = 2.1 / 2.4 =
0.88;
B está más incluido en A, que A en B.

48
Teorema de Representación o Principio de Identidad:
Todo conjunto difuso puede descomponerse en una
familia de conjuntos difusos.
o, lo que es lo mismo:
donde Aa (x) Î {0,1}, dependiendo de si x pertenece o no
al a_corte Aa.

49
Reconstrucción: Cualquier conjunto difuso puede
reconstruirse a partir de una familia de conjuntos
a_cortes anidados.
Conclusiones:
• Cualquier problema formulado en el marco de los
conjuntos difusos puede resolverse transformando
esos conjuntos difusos en su familia de a-cortes
anidados, determinando la solución para cada uno
usando técnicas no difusas.
• Resalta que los conjuntos difusos son una
generalización.

50
Principio de Extensión (Extension Principle): Usado para
transformar conjuntos difusos, que tengan iguales o
distintos universos, según una función de transformación
en esos universos.
Sean X e Y dos conjuntos y f una función de transformación
de uno en otro: f: X ® Y
Sea A un conjunto difuso en X.
El Principio de Extensión sostiene que la “imagen” de A en
Y, bajo la función f es un conjunto difuso B=f (A), definido
como: B(y) = sup {A(x) | xÎX, y=f(x) }

51
Ejemplo, representado gráficamente:
La función sup se aplica si existen dos o más valores de x
que tengan igual valor f (x).
Ese caso no ocurre en el ejemplo.

El Principio de Extensión Generalización
• Se puede generalizar el Principio de Extensión para el caso en
el que el Universo X sea el producto cartesiano de n Universos:
52
o X = X1 ×X2 ×... ×Xn
o La función de transformación: f: X ® Y, y = f(x), con x =
(x1, x2, ... , xn)
o El Principio de Extensión transforma n Conjuntos Difusos
A1, A2, ... y An, de los universos X1, X2, ... y Xn
respectivamente, en un conjunto difuso B=f (A1, A2, ... ,
An) en Y, definido como:
B(y) = sup { min[A1 (x1), A2 (x2), ... , An (xn)] | xÎX, y=f(x) }

El Principio de Extensión Generalización
53
Ejemplos: Sean X e Y, ambos, el universo de los números
naturales.
Función sumar 4:
y = f (x) = x + 4:
A = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;
B = f (A) = 0.1/6 + 0.4/7 + 1/8 + 0.6/9;
Función suma:
y = f (x1, x2) = x1 + x2 :
A1 = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;
A2 = 0.4/5 + 1/6;
B = f (A1, A2) = 0.1/7 + 0.1/8 + 0.4/9 + 0.4/10 + 0.6/11;

54
Operaciones entre conjuntos borrosos
Complemento difuso
Unión difusa
Intersección difusa
Condicional difusa

55
Complemento difuso (NOT)
Complemento (negación difusa): El complemento de un
conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita
para alcanzar 1.
El complemento de A es todo lo que no pertenece a A o
está fuera de éste: = 1 − x no está cerca de A: x
está lejos de A

56
Unión difusa (OR de Zadeth)
La unión (o disyunción) difusa, representa al conjunto difuso
más pequeño que contiene a A y que contiene a B.
El operador max (Ú), toma como valor verdadero el valor
máximo de la función de membresía del elemento x en A y B.
Asumiendo que A y B son dos conjuntos difusos, la unión de A y
B es un conjunto difuso = ∪
, en el cual (

)] x está cerca de A o cerca de B

57
Intersección difusa (AND de Zadeth)
En conjuntos difusos la intersección es el grado de
membresía que dos conjuntos comparten.
Una intersección difusa es el menor de la membresía de
cada elemento en ambos conjuntos.
A y B son dos conjuntos difusos. La intersección de A y B es
un conjunto difuso = ∩
= A.B, en el cual (

)] x está cerca de A y cerca de B

60
Propiedades básicas
Conmutativa:
A U B = B U A; A Ç B = B Ç A;
Asociativa:
A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C;
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C = A Ç B Ç C;
Idempotencia:
A U A = A; A Ç A = A;
Distributiva:
A U (B Ç C) = (A U B) Ç (A U C);
A Ç (B U C) = (A Ç B) U (A Ç C);

61
Propiedades básicas
Condiciones Frontera o Límite:
A U f = A; A U X = X;
A Ç f = f; A Ç X = A;
Involución (doble negación):
¬(¬A) = A;
Transitiva:
A Ì B y B Ì C, implica A Ì C;

62
Propiedades añadidas
Se deducen de las anteriores.
(A Ç B) Ì A Ì (A U B);
Si A Ì B, entonces A = A Ç B y B = A U B;
Card(A) + Card(B) = Card(A U B) + Card(A Ç B);
Card(A) + Card(¬A) = Card(X)

64
Variables lingüísticas
Como un conjunto convencional, un conjunto difuso se
puede utilizar para describir el valor de una variable.
Por ejemplo, en la oración: “El porcentaje de humedad
es Bajo”, se utiliza el conjunto difuso “Bajo” para
describir la cantidad de humedad en un día.
Formalmente se expresa como: La humedad es Bajo
La variable humedad en este ejemplo demuestra un
concepto importante en la lógica difusa: la variable
lingüística.

65
Son variables cuyos valores se representan mediante
términos lingüísticos. El significado de estos términos
lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos.

66
Proporcionan una transición gradual de estados
Tienen capacidad para expresar y trabajar con
observaciones y medidas de incertidumbre
Por capturar medidas de incertidumbre son más
ajustadas a la realidad que las variables nítidas
Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las
leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos
como sean ciertas no se refieren a la realidad”

67
Una variable lingüística se puede interpretar tanto
cualitativamente mediante un termino lingüístico
(etiqueta: nombre del conjunto difuso), como
cuantitativamente mediante su correspondiente función
de membresía (la cual expresa el significado del conjunto
difuso).
El termino lingüístico es utilizado para expresar conceptos
y conocimiento, mientras la función de membresía se
utiliza para procesar el dato numérico de entrada.

68
Permiten la valoración de variables en términos lingüísticos,
como por ejemplo, poco, mucho, suficiente, etc.
Pueden ser representadas por conjuntos difusos.
Se definen por los siguientes elementos:
(

es el nombre de la variable.
(

) es el conjunto de términos o valores lingüísticos de x.
es el universo del discurso de la variable x.
g es una regla sintáctica para generar términos lingüísticos.
es una regla semántica que asocia a cada x un significado.

69
Ejemplo:

= la velocidad (variable lingüística)
(

) = { Despacio, moderado, Rápido }
={ 0-100Km/h }
Despacio: trapezoidal
g = Moderado: triangular
Rápido: trapezoidal
Despacio: Velocidad aprox. por debajo de 40 Km/h
= Moderado: Velocidad cercana a 55 Km/h
Rápido: Velocidad por encima de 70 Km/h

70
Ejemplo:

= rendimiento (variable lingüística)
(

) = { Muy bajo, bajo, medio, alto, muy alto }
={ 0-20 }
Muy bajo: trapezoidal
Bajo: trapezoidal
= Medio: trapezoidal
Alto: trapezoidal
Muy alto: trapezoidal
Muy bajo: Nota aprox. por debajo de 05
Bajo: Nota alejada de 05 y cercana 12
= Medio: Nota alejada de 12 y cercana 14
Alto: Nota alejada de 14 y cercana 18
Muy alto: Nota por encima de 18

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