1. Sistemas Inteligentes
y Redes Neuronales
(WOIA)
Sesión: 11
Operaciones Difusas
MSc. Ing. José C. Benítez P.

2. 2
Sesión 11. Operaciones Difusas
El teorema de la representación.
El principio de extensión.
Operaciones entre conjuntos difusos.
Propiedades básicas
Propiedades añadidas
Variables lingüísticas
Variables difusa.

3. 3
El teorema de la representación
Teorema de Representación o Principio de Identidad:
Todo conjunto difuso puede descomponerse en una familia
de conjuntos difusos.
o, lo que es lo mismo:
donde Aa (x) Î {0,1}, dependiendo de si x pertenece o no al
a_corte Aa.

4. 4
El teorema de la representación
Reconstrucción:
Cualquier conjunto difuso puede reconstruirse a partir de
una familia de conjuntos a_cortes anidados.
Conclusiones:
• Cualquier problema formulado en el marco de los
conjuntos difusos puede resolverse transformando esos
conjuntos difusos en su familia de a-cortes anidados,
determinando la solución para cada uno usando técnicas
no difusas.
• Resalta que los conjuntos difusos son una generalización.

5. 5
El principio de extensión
Principio de Extensión (Extension Principle):
Usado para transformar conjuntos difusos, que tengan
iguales o distintos universos, según una función de
transformación en esos universos.
Sean X e Y dos conjuntos y f una función de transformación
de uno en otro: f: X ® Y
Sea A un conjunto difuso en X.
El Principio de Extensión sostiene que la “imagen” de A en
Y, bajo la función f es un conjunto difuso B=f (A), definido
como: B(y) = sup {A(x) | xÎX, y=f(x) }

6. 6
El principio de extensión
Ejemplo, representado gráficamente:
La función sup se aplica si existen dos o más valores de x
que tengan igual valor f (x).
Ese caso no ocurre en el ejemplo.

7. 7
El principio de extensión
Se puede generalizar el Principio de Extensión para el caso
en el que el Universo X sea el producto cartesiano de n
Universos:
o X = X1 ×X2 ×... ×Xn
o La función de transformación: f: X ® Y, y = f(x), con x =
(x1, x2, ... , xn)
o El Principio de Extensión transforma n Conjuntos Difusos
A1, A2, ... y An, de los universos X1, X2, ... y Xn
respectivamente, en un conjunto difuso B=f (A1, A2, ... ,
An) en Y, definido como:
B(y) = sup { min[A1 (x1), A2 (x2), ... , An (xn)] | xÎX, y=f(x) }

8. El principio de extensión
Ejemplos: Sean X e Y, ambos, el universo de los números naturales.
Función sumar 4:
8
y = f (x) = x + 4:
A = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;
Hallar f(A).
B = f (A) = 0.1/6 + 0.4/7 + 1/8 + 0.6/9;
Función suma:
y = f (x1, x2) = x1 + x2 :
A1 = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;
A2 = 0.4/5 + 1/6;
Hallar B = f (A1, A2).
B = f (A1, A2) = 0.1/7 + 0.1/8 + 0.4/9 + 0.4/10 + 0.6/11;

9. 9
Operaciones entre conjuntos borrosos
Complemento difuso
Unión difusa
Intersección difusa
Condicional difusa

10. 10
Complemento difuso (NOT)
Complemento (negación difusa): El complemento de un
conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita
para alcanzar 1.
El complemento de A es todo lo que no pertenece a A o
está fuera de éste: = 1 − x no está cerca de A: x
está lejos de A

11. Complemento difuso (NOT)
Representación del complemento de un conjunto difuso ó negación
difusa.
11
μMedio
μ ¬Medio
μ
1
Temperatura

12. 12
Unión difusa (OR de Zadeth)
La unión (o disyunción) difusa, representa al conjunto difuso
más pequeño que contiene a A y que contiene a B.
El operador max (Ú), toma como valor verdadero el valor
máximo de la función de membresía del elemento x en A y B.
Asumiendo que A y B son dos conjuntos difusos, la unión de A y
B es un conjunto difuso = ∪ , en el cual () =
[(), ()] x está cerca de A o cerca de B

13. 13
Unión difusa (OR de Zadeth)
Representación de la Unión difusa ó disyunción difusa.
μBajaÈMedia
Temperatura
A B
μ
1

14. 14
Intersección difusa (AND de Zadeth)
En conjuntos difusos la intersección es el grado de
membresía que dos conjuntos comparten.
Una intersección difusa es el menor de la membresía de
cada elemento en ambos conjuntos.
A y B son dos conjuntos difusos. La intersección de A y B es
un conjunto difuso = ∩ = A.B, en el cual () =
[(), ()] x está cerca de A y cerca de B

15. 15
Intersección difusa (AND de Zadeth)
Representación de la Intersección de difusa ó conjunción difusa.
μ
1
Temperatura
A B
μBajaÇMedia

16. 16
Operadores difusos

17. 17
Operadores difusos

18. 18
Otras operaciones difusas

19. 19
Propiedades básicas
Conmutativa:
A U B = B U A; A Ç B = B Ç A;
Asociativa:
A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C;
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C = A Ç B Ç C;
Idempotencia:
A U A = A; A Ç A = A;
Distributiva:
A U (B Ç C) = (A U B) Ç (A U C);
A Ç (B U C) = (A Ç B) U (A Ç C);

20. 20
Propiedades básicas
Condiciones Frontera o Límite:
A U f = A; A U X = X;
A Ç f = f; A Ç X = A;
Involución (doble negación):
¬(¬A) = A;
Transitiva:
A Ì B y B Ì C, implica A Ì C;

21. 21
Propiedades añadidas
Se deducen de las anteriores.
(A Ç B) Ì A Ì (A U B);
Si A Ì B, entonces A = A Ç B y B = A U B;
Card(A) + Card(B) = Card(A U B) + Card(A Ç B);
Card(A) + Card(¬A) = Card(X)

22. 22
Otras propiedades

23. 23
Variables lingüísticas
Como un conjunto convencional, un conjunto difuso se
puede utilizar para describir el valor de una variable.
Por ejemplo, en la oración: “El porcentaje de humedad
es Bajo”, se utiliza el conjunto difuso “Bajo” para
describir la cantidad de humedad en un día.
Formalmente se expresa como: La humedad es Bajo
La variable humedad en este ejemplo demuestra un
concepto importante en la lógica difusa: la variable
lingüística.

24. 24
Variables lingüísticas
Son variables cuyos valores se representan mediante
términos lingüísticos. El significado de estos términos
lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos.

25. 25
Variables lingüísticas
Proporcionan una transición gradual de estados
Tienen capacidad para expresar y trabajar con
observaciones y medidas de incertidumbre
Por capturar medidas de incertidumbre son más
ajustadas a la realidad que las variables nítidas
Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las
leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos
como sean ciertas no se refieren a la realidad”

26. 26
Variables lingüísticas
Una variable lingüística se puede interpretar tanto
cualitativamente mediante un termino lingüístico
(etiqueta: nombre del conjunto difuso), como
cuantitativamente mediante su correspondiente función
de membresía (la cual expresa el significado del conjunto
difuso).
El termino lingüístico es utilizado para expresar conceptos
y conocimiento, mientras la función de membresía se
utiliza para procesar el dato numérico de entrada.

27. 27
Variables lingüísticas
Permiten la valoración de variables en términos lingüísticos,
como por ejemplo, poco, mucho, suficiente, etc.
Pueden ser representadas por conjuntos difusos.
Se definen por los siguientes elementos:
(, (),, ,
)
Donde:
es el nombre de la variable.
() es el conjunto de términos o valores lingüísticos de x.
es el universo del discurso de la variable x.
g es una regla sintáctica para generar términos lingüísticos.
es una regla semántica que asocia a cada x un significado.

28. 28
Variables lingüísticas
Ejemplo:
= la velocidad (variable lingüística)
() = { Despacio, moderado, Rápido }
={ 0-100Km/h }
Despacio: trapezoidal
g = Moderado: triangular
Rápido: trapezoidal
Despacio: Velocidad aprox. por debajo de 40 Km/h
= Moderado: Velocidad cercana a 55 Km/h
Rápido: Velocidad por encima de 70 Km/h

29. 29
Variables lingüísticas
Ejemplo:
= rendimiento (variable lingüística)
() = { Muy bajo, bajo, medio, alto, muy alto }
={ 0-20 }
Muy bajo: trapezoidal
Bajo: trapezoidal
= Medio: trapezoidal
Alto: trapezoidal
Muy alto: trapezoidal
Muy bajo: Nota aprox. por debajo de 05
Bajo: Nota alejada de 05 y cercana 12
= Medio: Nota alejada de 12 y cercana 14
Alto: Nota alejada de 14 y cercana 18
Muy alto: Nota por encima de 18

30. 30
Variables lingüísticas

31. 31
Modificadores lingüísticos: Hedges
Existen muchos descriptores lingüísticos como son:
moderado, normal, alto, algo caliente, muy bajo, medio
normal, mas o menos alto, etc.
Uno de los conceptos importantes en la Lógica Difusa es
que en vez de enumerar todos estos diferentes
descriptores, se pueden generar de un conjunto esencial
de términos lingüísticos (llamado: Conjunto Término)
utilizando modificadores (por ejemplo: muy, mas o menos)
y conectivas (por ejemplo: “y”, “o”).
En Lógica Difusa a dichos modificadores se les denomina:
Hedges.

32. Modificadores lingüísticos: Hedges
Ejemplo:
Variables lingüísticas y valores lingüísticos.
Si edad es la variable lingüística, entonces su conjunto término
T(edad) puede ser:
joven no joven muy joven no muy joven
, , , , ,
, , ,
viejo no viejo muy viejo mas o menos viejo no muy viejo
, , , , , ,
32
( )
=
K
K
K
K
no muy joven y no muy viejo
,
medio viejo no medio viejo
T edad
Se observa que el conjunto termino consiste de varios términos
primarios (joven, viejo) modificados por la negación (no) y/o
los adverbios (muy, mas o menos, completamente,
extremadamente, etc.), y ligados por conectivas tales como y,
o, y ni.

33. 33
Modificadores lingüísticos: Hedges
Donde cada término en T(edad) se caracteriza por un
conjunto difuso de un universo de discurso X = [0, 100],
como se muestra en la siguiente figura.

34. 34
Modificadores lingüísticos: Hedges
Son operadores unarios que se aplican a conjuntos difusos.
Un modificador lingüístico es un operación unaria:
h: [0,1] - [0,1]
Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”,
“extremadamente”, etc.
No son aplicables a conjuntos nítidos.

35. 35
Modificadores lingüísticos: Hedges
Definiciones comunes de algunos modificadores lingüísticos:

36. 36
Modificadores lingüísticos: Hedges
Si h(a) a, el modificador h se denomina modificador
fuerte.
Si h(a) a, el modificador h se denomina modificador
débil.
Propiedades de los modificadores:
1. h(0) = 0 y h(1) = 1
2. h es una función continua
3. Si h es fuerte, h-1 es débil
4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h
con g y viceversa, es un modificador

37. 37
Modificadores lingüísticos: Hedges
Con el uso de modificadores lingüísticos se debe evitar
la ambigüedad.
Los modificadores lingüísticos y los conectivos permiten
obtener un amplio conjunto de términos compuestos
que amplían la potencia descriptiva de la variable
lingüística.
Si el nº de términos de una variable aumenta
indefinidamente se llegará a la indistinguibilidad
semántica de alguno de ellos.
Granularidad (Lofti Zadeh): Nivel de distinción entre los
distintos niveles de incertidumbre contenida en las
variables lingüísticas de forma que se pueda representar
correctamente la distinción que desea el usuario.

38. 38
Variables difusas
Concepto análogo al de variable lingüística
Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos no
tienen asociada una descripción lingüística.
Útiles en situaciones en las que sea más importante la
precisión que la descripción lingüística.
Se caracteriza mediante (U , X, R(U,x))
1. U es el nombre de la variable
2. X es el universo de discurso
3. x es un nombre genérico para los elementos de X
4. R(U,x) es un conjunto difuso en X que representa
una restricción en los valores de X impuesta por x.

39. Resumen
Realizar un resumen mediante mapas conceptuales (CMapTools)
Las Tareas que no cumplan las
indicaciones no serán considerados
por el profesor.
39
de esta diapositiva.
Serán mejor consideradas los resúmenes que tengan información
extra a esta diapositiva.
Las fuentes adicionales utilizadas en el resumen se presentarán
en su carpeta personal del Dropbox y deben conservar el nombre
original y agregar al final _S10.
Las fuentes y los archivos *.cmap deben colocarse dentro de su
carpeta personal del Dropbox, dentro de una carpeta de nombre:
SIRN_PaternoM_S10

40. Preguntas
El resumen con mapas conceptuales solicitado de la Sesión
al menos debe responder las siguientes preguntas:
1. ¿En que consiste el teorema de representación?.
2. ¿En que consiste el principio de extensión?.
3. ¿Cuales son las operaciones entre CD?.
4. ¿Cuales son las propiedades de las operaciones?.
5. ¿Qué es una variable lingüística?.
6. ¿Cómo se representa una VL?. Dar ejemplos.
7. ¿Qué es un modificador lingüístico?. Dar ejemplos.
8. ¿Qué es un conjunto termino?. Dar ejemplos.
9. Listar los tipos de modificadores. Dar ejemplos.
10. Listar las propiedades de los modificadores.
11. ¿Qué es una variable difusa?
12. Como se representa una VD?. Dar ejemplos
40

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Sesión 11. Operaciones difusos
Sistemas Inteligentes y Redes Neuronales
http://utpsirn.blogspot.com