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TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA E INVERSIÓN. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

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Ejercicios resueltos de tangencias aplicando los conceptos de potencia e inversión. Problemas de Apolonio.

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TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA E INVERSIÓN. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

  1. 1. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO TANGENCIAS PROBLEMAS DE APOLONIO TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 3518 18 18 35 Tc T2 T4 T5 T3 O2 O3 T1 A N O A´ C1 C2
  2. 2. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Apolonio de Pérgamo (Pergamo, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos. También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra. Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos,
  3. 3. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Dado tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados Este problema da lugar a 10 casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular En los siguientes casos nos referiremos al punto, la recta y la circunferencia por sus iniciales: P: punto R: recta C: circunferencia
  4. 4. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos A B C
  5. 5. A B C 1. Trazamos las mediatrices de los segmentos que forman dos parejas de los puntos dados, en este caso de AB y BC, y obtenemos el punto O PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos O
  6. 6. A O B C 2. Si hacemos centro en O y trazamos un arco de radio OA, el arco pasará por los tres puntos A, B y C PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
  7. 7. A O B C Este procedimiento también se puede utilizar a la inversa para encontrar el centro desconocido de una circunferencia dada. Se trazan dos secantes y sus mediatrices PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
  8. 8. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  9. 9. Trazamos las bisectrices de los tres ángulos interiores que forman las rectas, obteniendo el INCENTRO de dicho triángulo. Recuerda que el incentro es el centro de la CIRCUNFERENCIA INSCRITA en el triángulo, que es TANGENTE a los lados del mismo PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  10. 10. Antes de trazar la circunferencia tenemos que encontrar los puntos de tangencia de las rectas, que se hayan trazando PERPENDICULARES A LAS RECTAS DESDE EL INCENTRO PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  11. 11. Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar la circunferencia tangente PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  12. 12. También hay otras tres soluciones fuera del triángulo PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  13. 13. Para ello debemos trazar las bisectrices de los ángulos exteriores, que se cortan dos a dos en los centros de las otras tres soluciones PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí O1 O3 O2
  14. 14. Una vez hallamos los centros, buscamos los puntos de tangencia PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí O1 O3 O2
  15. 15. Teniendo los puntos de tangencia, podemos trazar las circunferencias. Podemos comprobar que la prolongación de las bisectrices de los ángulos interiores pasan por los centros de las circunferencias tangentes exteriores PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí O1 O3 O2
  16. 16. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta B A r
  17. 17. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta En primer lugar, sabemos que habrá dos circunferencias solución que pasen por los puntos A y B y a su vez sean tangentes a la recta r. También sabemos que los centros de estas dos circunferencias se encontrarán en la mediatriz de AB (ver caso PPP), por tanto lo primero que hacemos es la mediatriz entre A y B B A r
  18. 18. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Trazamos la recta AB, que será el EJE RADICAL DE las dos circunferencias solución. prolongamos la recta AB hasta que corta a la recta r en el punto P B A r P
  19. 19. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Trazamos la circunferencia auxiliar de diámetro AB, para posteriormente calcular los puntos de tangencia desde P a dicha circunferencia B A P r
  20. 20. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Calculamos los puntos de tangencia desde P a la circunferencia auxiliar (consultar tangentes de un punto a una circunferencia) B A P T1 T2 M EDIATRIZ r
  21. 21. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Trazamos la circunferencia de P a T1 y T2. Esta circunferencia cortará a la recta r en los puntos de tangencia T3 y T4, que son los puntos de tangencia de la recta r con las circunferencias que estamos buscando. B A P T1 T3 T4 T2 r
  22. 22. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Desde T3 y T4 trazamos ambas perpendiculares que cortarán a la mediatriz de AB en los puntos O1 y O2, que son los centros de las dos circunferencias solución B P O1 O2 A T1 T3 T4 T2 r
  23. 23. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Desde T3 y T4 trazamos ambas perpendiculares que cortarán a la mediatriz de AB en los puntos O1 y O2, que son los centros de las dos circunferencias solución B P O1 O2 A T1 T3 T4 T2 r
  24. 24. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas r1 Este ejercicio tiene dos soluciones: 1: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR 2: Por HOMOTECIA P r2
  25. 25. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 1. Sabemos que si las circunferencias resultantes han de ser tangentes al ángulo sus centros estarán en la bisectriz del mismo, por tanto trazamos la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. Si cabe en el papel se prolongan las rectas hasta que corten, si no se aplica cualquiera de los procedimientos que ya conocemos para cuando no se ve el vértice s r A B P r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  26. 26. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 2. Trazamos una perpendicular a la bisectriz desde el punto P P r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  27. 27. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 3. Hallamos el punto simétrico a P respecto a la bisectriz de las dos rectas P A Q r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  28. 28. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 4. Trazamos la circunferencia auxiliar de diámetro PQ. De esta manera vamos a resolver el problema como en el caso anterior de PPR. Nos olvidamos de r1 y resolvemos el problema entre r2, P y Q. (consultar caso anterior PPR) P A Q r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  29. 29. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 5. La recta que pasa por PQA será el eje radical de las circunferencias resultantes. Ahora, trazamos los puntos de tangencia de las tangentes desde el punto A a la circunferencia auxiliar P Q T1 T2 A r2 MEDIATRIZ RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  30. 30. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 r2 6. Trazando el arco At1 conseguimos T3 y T4, puntos de tangencia de las circunferencias que buscamos P Q T1 T3 T4 T2 A RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  31. 31. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 r2 7. Alzamos dos perpendiculares en r2 desde T3 y T4, que cortarán a la bisectriz en O1 y O2, que serán los centros de las circunferencias soluciónP Q T1 T3 O1 O2 T4 T2 A RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  32. 32. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 r2 8. Calculanos los otros dos puntos de tangencia y trazamos las circunferencias solución P Q T1 T3 O1 O2 T4 T2 A RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  33. 33. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P 1. Trazamos la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. DOS CIRCUNFERENCIAS SON SIEMPRE HOMOTÉTICAS Sus centros están alineados con el centro de homotecia y sus radios homotéticos (que se trazan desde las intersecciones de las circunferencias con rectas secantes concurrentes en el centro de homotecia) son paralelos. r1 r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  34. 34. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P 2. Trazamos una circunferencia auxiliar tangente a las dos rectas r1 r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  35. 35. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P r1 r2 3. Trazamos una recta que pase por el vértice del ángulo y el punto P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  36. 36. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA 4. Dicha recta produce en la circunferencia auxiliar los puntos 1 y 2, desde los cuales trazamos dos radios de dicha circunferencia 1 2 r1 r2 P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  37. 37. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA O1 O2 r1 r2 5. Desde el punto P trazamos paralelas a los radios trazados en el paso anterior. Estas paralelas cortan a la bisectriz en los centros de las circunferencias solución, O1 y O2 1 2 P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  38. 38. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA O1 O2 r1 T1 T4 T3 T2 r2 6. Hallamos los puntos de tangencia 1 2 P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  39. 39. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P O1 O2 r1 r2 7. Trazamos las circunferencias 1 2 T1 T4 T3 T2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  40. 40. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas POR DILATACIÓN Para resolver este problema lo reduciremos a un problema de PRR. Lo haremos DILATANDO el ángulo formado por las rectas y convirtiendo la circunferencia en un punto para encon- trar las dos circunferencias tangentes exteriores a la dada y a las rectas. Posteriormente, CONTRAEREMOS EL ÁNGULO para obtener las dos circunfe- rencias tangentes interiores. Las soluciones las podemos obtener por homotecia o por potencia r1 r2 O
  41. 41. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 r O r r 1. Contraemos la circunferencia dada reduciéndola a un punto (su centro) y dilatamos las rectas r1 y r2 trazando paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia dada. Ahora nos quedamos con el punto O y las nuevas rectas r1' y r2' y resolvemos el problema como si fuera PRR
  42. 42. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O 2. Si lo resolvemos por homotecia, lo primero que hacemos es trazar la bisectriz del ángulo y trazar una cir- cunferencia auxiliar que sea tengente a r1' y r2'
  43. 43. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O 3. Trazamos la recta que une el vértice del ángulo dilatado con el centro O de la circunferencia dada.
  44. 44. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O O1 O2 4. Trazamos los radios de la circunferencia auxiliar que van a la intersección de la recta trazada anteriormente con dicha circunferencia, y posteriormente las paralelas a estos radios por O. Así obtenemos los centros O1 y O2 de las circunferencias tangentes externas a la dada y a las rectas
  45. 45. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O O1 T1 T4 T3 T2 O2 5. Trazamos las dos primeras circunferencias solución
  46. 46. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas Ahora tenemos que hallar las otras dos circunferencias solución, las tangentes internas. Para ello, comen- zaremos por CONTRAER EL ÁNGULO con la misma distancia del radio de la circunferencia auxiliar r1 r2 O
  47. 47. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r2 r r r 1. Una vez contraído el ángulo con la medida del radio, nos quedamos con un problema de RRP (r1,r2,O), ya que la circunferencia la reducimos a un punto, el centro O O
  48. 48. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 2. En este caso, vamos a realizar la solución por potencia/eje radical. Comenzamos por trazar la bisectriz r1 r2 O r1'' r2''
  49. 49. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 3. Trazamos una perpendicular de O a la bisectriz r1 r2 O r1'' r2''
  50. 50. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 4. Trazamos el simétrico P de O respecto a la bisectriz, y la circun- ferencia auxiliar de diámetro OP r1 r2 O P r1'' r2''
  51. 51. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 5. Ahora hallamos los puntos de tangencia del punto Q a la circunferencia auxiliar, A y B r1 r2 O P BA Q r1'' r2''
  52. 52. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 6. Trazamos el arco con centro en Q y radio QA o QB, que corta a la recta r2 en los puntos 1 y 2, que serían los puntos de tangencia de las soluciones en caso de que el ángulo dado fuera r1'r2'. r1 r2 O P BA 1 2Q r1'' r2''
  53. 53. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 7. Trazamos perpendiculares a r2' en los puntos 1 y 2. De esta forma, obtenemos los centros O3 y O4 de las circunferencia solución en la bisectriz, y los puntos de tangencia T5 y T6 sobre la recta r2 r1 r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T6 r1'' r2''
  54. 54. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 8. Calculamos los puntos de tangencia T7 y T8 en r1 y trazamos las dos circunferencias solu- ción que buscábamos r1 r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T7 T8 T6 r1'' r2''
  55. 55. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 8. Calculamos los puntos de tangencia T7 y T8 en r1 y trazamos las dos circunferencias solu- ción que buscábamos r1 r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T7 T8 T6 r1'' r2''
  56. 56. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas Estas serían las cuatro soluciones del problema r1 r1'' r2'' r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T7 T8 T6 r1 r1' r2' r2 O O1 T1 T4 T3 T2 O2
  57. 57. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia Este problema lo resolveremos por POTENCIA. Hallaremos un eje radical auxiliar que nos ayudará a encontrar el centro radical de la circunferencia del enunciado y las dos de la solución O P Q
  58. 58. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 1. Trazamos la recta que pasa por los dos puntos P y Q, y hallamos la mediatriz del segmento que pasa por ambos puntos, ya que sobre esta mediatriz estarán los centros de las soluciones O P Q
  59. 59. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 2. Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz de PQ y que pase por ambos puntos O P Q
  60. 60. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 3. Trazamos el eje radical entre la circunferencia dada y la auxiliar, que corta a la recta que pasa por P y Q en el centro radical Cr de las circunferencias solución con la dada O P Cr Q
  61. 61. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 4. Hallamos los puntos de tangencia T1 y T2 de las rectas tangentes exteriores desde Cr a la circungferen- cia dada O. Estos puntos serán los puntos de tangencia de las soluciones finales. O P T1 Cr Q T2
  62. 62. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 5. Unimos T1 y T2 con el centro O de la circunferencia dada, y ambas rectas cortarán a la mediatriz de PQ en O1 y O2, centros de las circunferencias solución. O O1 P T1 Cr Q T2 O2
  63. 63. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 6. Trazamos las circunferencias solución O O1 O2 P T1 Cr Q T2
  64. 64. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia Si el problema tuviera uno de los puntos en la circunferencia la solución hubiera sido más fácil y rápida de ejecutar O Q P
  65. 65. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia La solución sería una única circun- ferencia que tendría su centro en la intersección de la mediatriz que une los dos puntos con la recta que une el centro de la circunferencia y el punto que está en la misma (Q) O O1 Q P
  66. 66. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia La solución sería una única circun- ferencia que tendría su centro en la intersección de la mediatriz que une los dos puntos con la recta que une el centro de la circunferencia y el punto que está en la misma (Q) O O1 P Q
  67. 67. r PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas Aunque se puede resolver por otros métodos, aquí se va a desarrollar mediante INVERSIÓN. De las cuatro circunferencias solución, primero haremos dos mediante una inversión positiva, y luego las otras dos por una inversión negativa O O O P P P
  68. 68. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.1. Trazamos una perpendicular a la recta dada que pase por el centro de la circunferencia. Situamos en el extremo superior el centro de inversión O1, siendo el otro extremo del diámetro el punto A, y A’, situado en la recta, su inverso. De esta forma, hemos convertido la recta r en la inversa de la circunferencia O A’ A O1 r P
  69. 69. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.2. Hallamos el inverso de P. Para ello, trazamos una circunferencia auxiliar O2 que pase por A, A’ y por P, por lo tanto tendrá centro en las mediatrices de AP y AA’ O A’ A O1 r P
  70. 70. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.3. Trazamos la recta OP, que cortará a la circunferencia auxiliar en P’, inverso de P O P’ P A’ A O1 r
  71. 71. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.4. A partir de ahora el problema se convierte en PPR. PP’ es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada r en Cr O P’ P CrA’ A O1 r
  72. 72. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.5. A continuación, necesitamos una circunferencia auxiliar que pase por P y P’. Como ya tenemos la circunferencia auxiliar trazada anterior- mente podemos utilizarla. Desde Cr hallamos los puntos de tangencia 1 y 2 de las rectas tangen- tes a dicha circunferencia auxiliar O P’ 1 2 P CrA’ A O1 r
  73. 73. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.6. Trazamos el arco con centro en Cr y radio Cr1 o Cr2. Así obtenemos los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las dos circunferencias tangentes que buscamos. O P’ 1 2 P Cr T2T1 A’ A O1 r
  74. 74. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.7. Ahora que tenemos T1 y T2 volvemos al problema inicial y a sacar los puntos inversos de T1 y T2 respecto de la circunferencia dada. Para ello unimos T1 y T2 con O1, y donde ambas rectas corten a la circunferencia dada tendremos T3 y T4 O P’ 1 2 P Cr T2T1 T3 T4 A’ A O1 r
  75. 75. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.8. Teniendo los puntos de tangen- cia y el punto P, calculamos los cen- tros de las circunferencias solución. Donde se corten las mediatrices de T3T1 y T3P tendremos un centro (O2), y donde se corten las mediatri- ces de T4P y T2P tendremos el otro (O3) O P’ 1 2 PO2 O3 Cr T2T1 T3 T4 A’ A O1 r
  76. 76. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.9.Trazamos las circunferencias O P’ 1 2 PO2 O3 Cr T2T1 T3 T4 A’ A O1 r
  77. 77. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 Ahora, mediante una inversión negativa, trazaremos las dos circunferencias solución que nos quedan 2.1. En primer lugar, trazamos una perpendicular a r que pase por el centro de la circunferencia. Con esto ontendremos el centro de inversión O’, el punto A y su inverso A’. Así, la recta r es la inversa de la circunferencia dada. r A’ O’ A O P
  78. 78. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.2. Hallamos el inverso de P. Para ello, en primer lugar trazamos una circunferencia auxiliar que pase por AA’P. La trazamos con centro en la intersección de las mediatrices de AP y PA’. P
  79. 79. P’ Cr PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.2. Hallamos el inverso de P. En segundo lugar, trazamos la recta PO’, que cortará a la circunferencia auxiliar en P’, inverso de P. A partir de ahora el problema se convierte en PP’R. PP’ es el eje radical auxiliar que corta a la recta r en el centro radical auxiliar Cr PPP
  80. 80. P’ Cr 1 2 PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.3. Necesitamos una circunferencia auxiliar que pase por PP’, pero ya la tenemos. Hallamos los puntos de tangencia 1 y 2 de las rectas tangentes desde Cr hasta la circunferencia auxiliar. P
  81. 81. P’ Cr 1 2 PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.4. Trazamos el arco Cr1 o Cr2, que cortará a la recta r en los puntos T5 y T6, puntos de tangencia de las dos circunferencias que estamos buscando P T5 T6
  82. 82. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.5. Ahora regresamos al problema inicial para aprovechar la inversión y calcular los inversos de T5 y T6 sobre la circunferencia dada. Alineamos T5 y T6 con O’, y donde estas líneas cortan a la circunferencia dada tenemos los puntos de tangencia T7 y T8 P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T6 T6
  83. 83. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.6. Alineando los puntos de tangencia T7 y T8 con el centro de la circunferencia dada y trazando per- pendiculares a r por los puntos T5 y T6 ha- llamos los centros de las circunferencias solución (O4 y O5) P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T7 T8 O4 O5
  84. 84. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.6. Alineando los puntos de tangencia T7 y T8 con el centro de la circunferencia dada y trazando per- pendiculares a r por los puntos T5 y T6 ha- llamos los centros de las circunferencias solución (O4 y O5) r P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T7 T8 O4 O5
  85. 85. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas Estas serían las cuatro soluciones r P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T7 T8 O4 O5 O2 O3 T3 T4
  86. 86. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR INVERSIÓN Cuando el punto de tangencia está sobre la recta, el problema se simplifica mucho. Ahora el punto inverso se encontrará sobre su transformada (recta o circunferencia) lo cual hace posible resolverlo con pocos trazados T O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  87. 87. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1. El problema tendrá dos soluciones, y ambas se encontrarán sobre una perpendicular a la recta dada que salga del punto T de tangencia. O T CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  88. 88. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Ahora tenemos que aplicar dos inversiones: Una INVERSIÓN POSITIVA para conseguir la circunferencia tangente exterior, y una INVERSIÓN NEGATIVA para conseguir la circunferencia tangente interior. 2. Comenzamos por la INVERSIÓN POSITIVA: Situamos el centro de inversión (O1) en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta O O1 T CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  89. 89. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 3. Trazamos la recta OT y así obtene- mos T’, inverso de T. O O1 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  90. 90. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 4. Uniendo O con T’ obtenemos O2, centro de la primera circunferencia solución, en la intersección de dicha recta con la perpendicular en T O O2 O1 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  91. 91. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 5. Con radio O2T trazamos la primera solución O O2 O1 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  92. 92. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 6. Ahora hacemos la INVERSIÓN NE- GATIVA para hallar la circunferencia tangente interna. En primer lugar situamos el centro de inversión O3 en el extremo inferior del diámetro perpendicular a la recta. O O2 O1 O3 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  93. 93. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 7. Uniendo T con O3 cortamos la circunferencia en el punto T’’, inverso de T y punto de tangencia de la circunferencia solución O O2 O1 O3 T’’ T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  94. 94. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 8. Uniendo T’’ con O cortaremos la perpendicular de T en O4, centro de la circunferencia que buscamos O O2 O4 O1 O3 T’’ T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  95. 95. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta 9. Con radio O4T trazamos la segunda circunferencia solución O O2 O4 O1 O3 T’’ T T’ r POR INVERSIÓN
  96. 96. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 1. La perpendicular por el punto T dado a la recta contiene los centros de todas las circunferen- cias tangentes a la recta por el punto dado T O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  97. 97. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 2. Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en la perpendicular a r y que pase por T T O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  98. 98. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 3. Trazamos el eje radical de ambas circunferencias, obteniendo sobre r un centro radical auxiliar Cr. T Cr O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  99. 99. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 4. hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circun- ferencia dada desde Cr T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  100. 100. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 5. Trazamos el arco con centro en Cr y radio CrT1 o CrT2 T T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  101. 101. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 6. Uniendo O con T1 y T2, obtenemos los centros de las circunferencias solución sobre la perpendicular tra- zada desde el punto T a la recta r T T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA O4 O2
  102. 102. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 6. Uniendo O con T1 y T2, obtenemos los centros de las circunferencias solución sobre la perpendicular tra- zada desde el punto T a la recta r T T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA O4 O2
  103. 103. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 8. Con radio O4T trazamos la segunda circunferencia solución Igual que en el caso anterior, aplicaremos dos inversiones: Una INVERSIÓN POSITIVA para conseguir la circunferencia tangente exterior, y una INVERSIÓN NEGATIVA para conseguir la circunferencia tangente interior. O T r
  104. 104. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 1. Comenzamos por la INVERSIÓN POSITIVA: Situamos el centro de inversión (O1) en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta O O1 T r
  105. 105. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 2. Trazamos la recta O1T hasta cortar la recta r en el punto T’, inverso de T y punto de tangencia de una solución O O1 T T’ r
  106. 106. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 3. Levantamos la perpendicular a r desde T’, porque sabemos que en esa recta estará el centro de una de las soluciones O O1 T T’ r
  107. 107. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 4. Uniendo O con T cortamos la perpen- dicular en O2, centro de la primera solución O O1 T T’ O2 r
  108. 108. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 5. Trazamos la circunferencia O O1 T T’ O2 r
  109. 109. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 6. Para la Segunda solución, hacemos una INVERSIÓN NEGATIVA. Situamos el centro de inversión (O3) en el extremo inferior del diámetro perpendicular a la recta. O O1 O3 T T’ O2 r
  110. 110. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 7. Uniendo T con O3 obtenemos T’’, inver- so de T en la recta r, y punto de tangencia de la solución que buscamos. O O1 O3 T T’ T’’ O2 r
  111. 111. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 8. trazamos la perpendicular en T’’ O O1 O3 T T’ T’’ O2 r
  112. 112. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 9. Prolongamos la recta TO hasta cortar en la perpendicular anterior, y ya tenemos el centro O4, centro de la solución que queremos O O1 O3 T T’ T’’ O2 O4 r
  113. 113. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 10. Trazamos la circunferencia. O O1 O3 T T’ T’’ O2 O4 r
  114. 114. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 1. Trazamos la recta que pasa por, O y T, ya que en ella estarán los centros de las soluciones
  115. 115. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 2. Trazamos una perpendicular a la recta anterior. Esta recta es un eje radical que corta a la recta dada en Cr Cr
  116. 116. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 3. Con centro en Cr y radio CrT, trazamos un arco que corta la recta en T1 y T2, que serán los puntos de tangencia de las soluciones sobre la recta CrT1 T2
  117. 117. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 4. Levantamos dos perpendiculares, una en T1 y otra en T2, que cortarán a la recta que une O-T en O1 y O2, centros de las soluciones CrT1 T2 O2 O4
  118. 118. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O T r 4. Levantamos dos perpendiculares, una en T1 y otra en T2, que cortarán a la recta que une O-T en O1 y O2, centros de las soluciones CrT1 T2 O2 O4 CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia POR POTENCIA
  119. 119. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Este problemas se soluciona por INVERSIÓN. CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas O1 O2 P Las soluciones serán dos circunferencias tangentes, una exterior y otra interior
  120. 120. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1. Unimos los centros de ambas circunferencias CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas O1 O2 P
  121. 121. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 B’ 2. Buscamos en dicha recta el centro de inversión positi- va O,que coincide con el cen- tro de homotecia directa (que se obtiene trazando dos radios homotéticos que son paralelos y trazando la recta que une los puntos homotéticos de ambas circunferencias CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas A’ P A
  122. 122. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 3. Hallamos el inverso de P. Para ello, trazamos una circun- ferencia auxiliar que pase por A,A’,P (el centro lo calcula- mos con las mediatrices de A’A y AP) CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P A
  123. 123. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 3. Hallamos el inverso de P. Una vez hemos trazado la cir- cunferencia auxiliar, unimos P con el centro de inversión O y obtenemos P’, inverso de P CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ A
  124. 124. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 4. Ahora el problema se puede resolver como si fuera CPP’. OPP’ será el eje radical de las soluciones. Trazando una circunferencia que pase por P y P’ y sea secante a la circunferencia dada (por ejemplo, la que hemos trazado anterior- mente valdría) obtenemos otro eje radical auxiliar que en su intersección con el eje radical anterior nos da el centro radical de las soluciones. CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr A
  125. 125. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 5. A partir de Cr hallamos los puntos de tangencia T1 y T2de las rectas tangentes a una de las dos circunferencias dadas. T1 y T2 serán puntos de tangencia de las soluciones que buscamos CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr A T1 T2
  126. 126. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 6. Ahora volvemos al problema inicial para obtener, por inversión, los restantes puntos de tangencia (con la otra cir- cunferencia). Primero alineamos T1 y T2 con el centro de inversión O, y obtenemos los puntos de tangencia T3 y T4 al cortar a la otra circunferencia CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr T4 A T1 T2 T3
  127. 127. O1O O2 O4 A’B’ 7. Alineando T1 y T2 con O2 (o T3 y T4 con O1) obtene mos los centros que buscamos O3 y O4 en la intersección que ambas rectas hacen con la mediatriz de P y P’ . En este caso el centro O3 se saldría del formato utilizado. Quedaría así: PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr T1 T2 T4 A T3 O3 O1O O2 O4 A’B’ P P’ Cr T1 T2 T3 T4 A O3 O3 O3 O3
  128. 128. O1O O2 A’B’ P P’ Cr T1 T2 T3 T4 A O1O O2 O4 A’B’ 8. Teniendo los centros, trazamos las circunferencias tangentes. En este caso el centro O3 se saldría del formato utilizado. Quedaría así: PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr T1 T2 T3 T4 A O3 O3 O3 O3 O3 O4
  129. 129. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas Aplicaremos INVERSIÓN POSITIVA para la circunferencia externa e INVERSIÓN NEGATIVA para la circunferencia iunterna POR INVERSIÓN O2 T O1
  130. 130. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 1. En primer lugar, trazamos las rectas que unen O1T y O1O2 POR INVERSIÓN O2 T O1
  131. 131. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 2. Hallamos T’ mediante una inversión positiva de centro O (centro de homotecia directa) O2 T T’ O1 O POR INVERSIÓN
  132. 132. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencia tangente a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 3. Uniendo O2 con T’ obtenemos O3, centro de la primera solución que buscamos O2 T T’ O1 O3 O POR INVERSIÓN
  133. 133. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas O2 T O1 POR POTENCIA
  134. 134. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 1. Unimos O con T y trazamos una perpendicular a O1 en el punto T O2 T O1 POR POTENCIA
  135. 135. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 2. trazamos una circunferencia auxiliar que tenga el centro en la prolongación de O1T y sea tangente a O O1 en T e interseccione con O2 O2 T O1 POR POTENCIA
  136. 136. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 3. Hallamos el eje radical entre la auxiliar y O2, que al interseccionar con el eje radical trazado en T, nos dará el centro radical Cr de las circunferencias solución O2 T O1 POR POTENCIA Cr T1 T2
  137. 137. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 4.Hallamos los puntos de tangencia entre Cr y O2, y luego trazamos el arco con centro en Cr que cortará a la circunferencia O2 en T1 y T2 O2 T O1 POR POTENCIA Cr T1 T2
  138. 138. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas O2 T O1 O3 POR POTENCIA Cr T1 T2 5. Uniendo O1 y O2 con los puntos de tangencia, obtendremos los centros que buscamos. En este caso, uno de los centros se nos va bastante lejos de los límites del papel O2 T O1 O3 O4 Cr T1 T2
  139. 139. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q C Q P DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  140. 140. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 1. Dibujamos una circunferencia de centro E, secante a la circunferencia C y que pase por P y Q. Dicha circunferencia corta a la dada en los puntos A y B C E B A Q P D.T. 2º Bach. TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA 1DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  141. 141. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 2. Calculamos Cr, centro radical de todas las circunferencias que pasan por P y por Q, entre las que estarán las soluciones, y la dada de centro C C E Q P B A Cr DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  142. 142. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 3. Desde Cr se trazan las rectas tangentes a la circunferencia de centro C, y los puntos de tangencia T1 y T2 son, también, los puntos de tangencia de las circunferencias solución con la dada C E Cr T2 T1 Q P B A DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  143. 143. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 4. Los centros de las soluciones O1 y O2 se encuentran donde las rectas T1C y T2C cortan a la mediatriz del segmento PQ C E Cr T2 O1 O2 T1 Q P B A DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  144. 144. C Tr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  145. 145. C Tr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 1. Los centros de las circunferencias solución pertenecen a la perpendicular por Tr a la recta r DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  146. 146. C E A B Tr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 2. Se traza una circunferencia auxiliar de centro E, tangente a r en Tr. Dicha circunferencia cortará a la dada en dos puntos A y B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  147. 147. C E A B Tr Cr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 3. Con ayuda de E, calculamos el centro radical Cr del haz de circunferencias tangentes a r en T1, y de la de centro C dada. Cr debe pertenecer a r DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  148. 148. C E A B Tr CrT1 T2 r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 4. Una vez tenemos Cr, trazamos las tangentes a la circunferencia C y obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2 DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  149. 149. C E A B Tr Cr O2 O1 T1 T2 r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 5. Uniendo T1 y T2 con C, obtenemos dos líneas que cortan a la perpendicular que trazamos por Tr en O1 y O2, soluciones del problema DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  150. 150. C E A B Tr Cr O2 O1 T1 T2 r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 5. Uniendo T1 y T2 con C, obtenemos dos líneas que cortan a la perpendicular que trazamos por Tr en O1 y O2, soluciones del problema DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  151. 151. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 30º 120º r s 56 36 20 DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  152. 152. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 30º 120º r s 56 28 85 36 20 1. Posicionamos los centros A y B de las dos circunferencias iniciales. ten en cuenta que las medidas que te dan en el croquis hay que delinearlas a escala 1:2, por tanto el diámetro 30 se queda en 15, el de 48 en 24,... A B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  153. 153. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 30º 120º r s 56 36 20 2. Trazamos la primera tangente indicada que forma 30º con la horizontal, recta r 28 18 30º r 60º A B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  154. 154. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 30º 120º r s 56 36 20 3. A continuación, con los datos dados, podemos trazar la recta s 28 18 30º r s 60º 120º A B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  155. 155. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 A O2 B 30º 120º r s 56 36 20 4. Ahora, se trata de resolver, aplicando potencia, el caso de circunferencias tangentes a dos rectas r y s, que se cortan, y a la circunferencia de centro B y 36 mm de diámetro. Se trata de aplicar el procedimiento explicado en la páginas 46 de este documento (problema de Apolonio RRC). En primer lugar trazamos una circunferencia auxiliar con su centro E en el mismo eje donde estará el centro O buscado y que pase por el centro B 18 r s 120º E DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  156. 156. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 5. Hallamos B´, homólogo de B 18 r s 120º A B B´ DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  157. 157. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 6. Aplicamos la dilatación interior a r con distancia d 18 r r´ d d s 120º A B B´ DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  158. 158. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 7. En la unión de BB´y r´ tenemos Cr, centro radical entre r´, la circunferencia auxiliar y la circunferencia solución. 18 r s 120º A B B´ Cr DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN r r´ Cr d dB
  159. 159. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 8. Trazamos una tangente de Cr a la crcunferencia E, obteniendo así el punto de tangencia T 18 r s 120º A B B´ Cr T DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN r r´ Cr d dB
  160. 160. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 9. Trazamos el arco CrT, que corta a r´ en T´r 18 r s 120º A B B´ Cr T´r r´ DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN T d dB
  161. 161. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 10. El punto obtenido, T´r, es el punto Tr dilatado. Tr es el punto de tangencia de r con la circunferencia O buscada, que tendrá su centro en el eje vertical en que situamos la circunferencia auxiliar E 18 r s 120º A P B B´ O Cr r´ T´r Tr TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN d dB
  162. 162. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 11. calculamos el punto de tangencia TB uniendo O con B y trazamos la circunferencia solución 18 r s 120º A P B B´ O Cr r´ T´r Tr Ts TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN d dB
  163. 163. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 12. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48 18 r s 120º A O2 30 30 P B B´ O Cr r´ T´r Tr Ts TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN d dB
  164. 164. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 13. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48 18 r s 120º A O2 30 30 P B B´ O Cr r´ T´r Tr Ts TB TA TO DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  165. 165. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 14. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48 18 r s 120º A O2 30 30 P B B´ O Cr r´ T´r Tr TA TO Ts TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  166. 166. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc
  167. 167. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓNDT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc 1. Los centros de las circunferencias que buscamos han de pertenecer a la recta CTc
  168. 168. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc 2. Se establecen dos relaciones de inversión entre la recta r y la circunferencia de centro C, una positiva, de centro M, y otra negativa, de centro N N
  169. 169. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc 2. Se establecen dos relaciones de inversión entre la recta r y la circunferencia de centro C, una positiva, de centro M, y otra negativa, de centro N T2 O2 N M
  170. 170. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc T1 T2 O2 3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2, son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones N M
  171. 171. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C O2 O1 r Tc T2 T1 3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2, son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones N M
  172. 172. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C O2 O1 r Tc 3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2, son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones N M T2 T1
  173. 173. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P P r s
  174. 174. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P 1.Se traza una circunferencia cualquiera tangente a las rectas r y s. Dicha circunferencia tendrá su centro E en la bisectriz del ángulo que forman r y s V
  175. 175. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P V 2. Se establecen dos inversiones positivas de diferente potencia y centro V, punto de intersección de r y s, de modo que la circunferencia inversa de la de centro E en cada una de estas inversiones sea una de las soluciones. los inversos del punto P dado en las dos inversiones descritas, pertenecen a E y han de estar alineados con P y con M. son los puntos P1 y P2 P2 P1
  176. 176. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P O2 O1 P2 V 3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E, son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las rectas P1E y P2E P1
  177. 177. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P O2 O1 T1 T2 T3 T4 P2 V 3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E, son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las rectas P1E y P2E P1
  178. 178. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P O2 O1 P1 P2 V 3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E, son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las rectas P1E y P2E T1 T2 T3 T4
  179. 179. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 40 R18 R35 22
  180. 180. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 14 52 52 C1 C2 40 R18 R35 22 1. Con los datos que disponemos podemos dibujar la parte izquierda de la corredera, y las circunferencias de diámetro 40 y 22 de centro C2
  181. 181. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 A N A´ 40 R18 R35 22 2. Se establece una relación de inversión negativa de centro N entre la circunferencia de centro C1 y diámetro 24 y la de centro C2 y diámetro 40. Hay que tener en cuenta que este par de circunferencias, además de inversas son homotéticas en una homotecia negativa de centro N, intersección de las rectas C1C2 y AA´. C1 C2
  182. 182. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 Tc T1 A N A´ 40 R18 R35 22 3. Se calcula el punto inverso, o antihomotético, de Tc, punto T1, que será el de tangencia de la circunferencia que se busca con la de centro C2 C1 C2
  183. 183. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 Tc T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 4. Conocidos los puntos de tangencia Tc y T1, respectivamente, con las circunferencias de centros C1 y C2, se calcula el centro O de la circunferencia solución en las rectas C1Tc y C2T1. C1 C2
  184. 184. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 35 35 14 14 52 Tc T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 C1 C2 5. Trazamos el arco (radio 35) de unión de la recta horizontal superior y de la circunferencia de centro O.
  185. 185. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 35 35 14 14 52 Tc T2 O2 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 5. Trazamos el arco (radio 35) de unión de la recta horizontal superior y de la circunferencia de centro O. C1 C2
  186. 186. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 3518 18 35 14 14 52 Tc T2 O2 O3 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con la circunferencia de centro O. C1 C2 T3
  187. 187. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 3518 18 35 14 14 52 Tc T2 O2 O3 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con la circunferencia de centro O. C1 C2 T4 T3 18
  188. 188. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 3518 18 18 35 14 14 52 Tc T2 T4 T5 T3 O2 O3 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con la circunferencia de centro O. C1 C2

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