Restos potenciales

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. Sabiendo que: 364 (227)42𝑏𝑏
= ̇9 + 𝑏𝑏
Hallar el menor valor de “b”
Para pensar:

4. RESTOS POTENCIALES
Son los diferentes residuos positivos que se obtienen de
analizar las potencias consecutivas de un número entero
positivo mayor que la unidad con respecto a cierto módulo
(divisor)
Esquema
𝑎𝑎𝑛𝑛
= ̇𝑚𝑚 + 𝑟𝑟𝑛𝑛
Donde:
n : 0; 1; 2;…
m : módulo
a ∈ ℤ+ > 1

5. Ejemplo
Nos damos cuenta que los residuos 1; 3; 4 y 2 se repiten
periódicamente.
Resolución
3𝑛𝑛 = ̇5 + 𝑟𝑟𝑛𝑛
30 = ̇5 + 1
31
= ̇5 + 3
32 = ̇5 + 4
33
= ̇5 + 2
34 = ̇5 + 1
35
= ̇5 + 3
36 = ̇5 + 4
37
= ̇5 + 2
38 = ̇5 + 1
39
= ̇5 + 3
310 = ̇5 + 4
311
= ̇5 + 2
Calcule los restos potenciales de las potencias de 3, con respecto
al módulo 5.

6. GAUSSIANO(G)
Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes
posibles que forman el período.
Del ejemplo anterior: Gaussiano = g = 4
También se puede observar:
34 = ̇5 + 1
38 = ̇5 + 1
312
= ̇5 + 1
.
.
.
34𝑘𝑘 = ̇5 + 1
31 = ̇5 + 3
35 = ̇5 + 3
39
= ̇5 + 3
.
.
.
34𝑘𝑘+1 = ̇5 + 3
32 = ̇5 + 4
36 = ̇5 + 4
310
= ̇5 + 4
.
.
.
34𝑘𝑘+2 = ̇5 + 4

7. 33 = ̇5 + 2
37 = ̇5 + 2
311
= ̇5 + 2
.
.
.
34𝑘𝑘+3 = ̇5 + 2
Resumiendo:
34𝑘𝑘
= ̇5 + 1
34𝑘𝑘+1
= ̇5 + 3
34𝑘𝑘+2
= ̇5 + 4
34𝑘𝑘+3
= ̇5 + 2
Se puede afirmar entonces que:
3403
= ̇5 + 2
3𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢
= ̇5 + 1

8. Calcule los restos potenciales de las potencias de 10, con respecto
al módulo 7.
Resolución

9. Hallar el residuo al dividir 7300 entre 5.
Resolución