2. EXPERIMENTO ALEATORIO
Definición.-Es un proceso que consiste de la ejecución de un acto una o más veces, cuyo resultado
en cada prueba depende del azar. Ejm.
𝐸1: Lanzamiento de una moneda dos veces
𝐸2:Lanzar un dado y observar el resultado.
𝐸3:Lanzar una moneda tantas veces hasta que aparezca una cara.
Espacio Muestral .- Es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio. Ejm.
Ω1 = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆}
Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ω3= {𝐶, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆𝐶 … }
3. Ejemplo:
4. Si el experimento aleatorio es medir la vida útil (en horas) de una marca de
artefacto eléctrico ¿Cuál es su espacio muestral?
Ω = {𝑡𝜖𝑅 /𝑡 ≥ 0}
5. Hallar el espacio muestral del lanzamiento de una moneda tres veces.
Ω = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐𝑠, 𝑐𝑠𝑐, 𝑠𝑐𝑐, 𝑠𝑠𝑐, 𝑠𝑐𝑠, 𝑐𝑠𝑠, 𝑠𝑠𝑠}
4. Eventos.- Se denomina evento a cualquier subconjunto de un espacio muestral. Ejemplo:
𝐴 = {2,4, 6}
𝐵:Obtener una cara en el lanzamiento de una moneda dos veces
𝐶:Obtener la cara en el segundo lanzamiento.
5. Ejemplo:
Del lanzamiento de una moneda tres veces escribir los siguientes eventos:
Ω = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐𝑠, 𝑐𝑠𝑐, 𝑠𝑐𝑐, 𝑠𝑠𝑐, 𝑠𝑐𝑠, 𝑐𝑠𝑠, 𝑠𝑠𝑠}
𝐴: Obtener una cara
𝐴 =
𝐵:Obtener a lo sumo una cara
𝐵 = { }
𝐶: Obterner al menos una cara
𝐶 = { }
𝐷: No obtener caras
𝐷 = { }
6. PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Se determina por:
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Axiomas de Probabilidad
• 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1, para todo evento 𝐴
• 𝑃 Ω = 1
• 𝑃 ∅ = 0
• 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴𝑐) o 𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃(𝐴)
7. • Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces,
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
• Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos cualesquiera, entonces,
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
• Sean 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 eventos cualesquiera:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴𝐵 − 𝑃 𝐴𝐶 − 𝑃 𝐵𝐶 + 𝑃(𝐴𝐵𝐶)
8. Ejemplo:
Una caja contiene 200 artículos de los cuales 100 son producidos por la máquina 𝐴, 60
producidos por la máquina 𝐵 y el resto producido por la máquina 𝐶. Si se escoge un artículo
al azar. Calcular las siguientes probabilidades.
𝐴: Artículo producido por la máquina 𝐴.
𝐵: Artículo producido por la máquina 𝐵.
𝐶: Artículo producido por la máquina 𝐶.
• El artículo sea producido por la máquina 𝐵.
𝑃 𝐵 =
• El artículo no sea producido por la máquina 𝐶.
𝑃 𝐶𝑐 =
• El artículo sea producido por la máquina 𝐵 𝑜 𝐶.
𝑃 𝐵 ∪ 𝐶 =
9. Ejemplo:
La probabilidad de que una computadora tenga instalado al programa A es 0.6 y de que
tenga el programa B es 0.5. Si la probabilidad de que tengan instalados los dos programas
es 0.2, calcule la probabilidad de que:
𝐴: Computadora que tiene el programa 𝐴
B: Computadora que tiene el programa 𝐵
• Tenga el programa B.
• Tenga alguno de los dos programas.
• No tenga ninguno de los programas.
10. Técnicas de conteo
Permutación.-
Dado un conjunto que tiene 𝑛 elementos diferentes, se llama permutación a cualquier grupo
ordenado de 𝑟 elementos diferentes escogidos entre los 𝑛 elementos dados:
𝑃𝑟
𝑛 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo:
¿Cuántas permutaciones de 3 letras iniciando con G pueden ser hechas de la palabra INTEGRAL?
11. Permutación con repetición
Dado un conjunto que tiene 𝑛 elementos diferentes, de modo que el primer elemento aparezca 𝑛1,
el segundo 𝑛2 veces,…, el k-ésimo 𝑛𝑘 veces donde 𝑛 = 𝑛𝑖
𝑃𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑘
𝑛
=
𝑛!
𝑛1! ∗ 𝑛2 ! ∗ ⋯ . 𝑛𝑘!
Ejemplo:
¿Cuántas formas diferentes hay de permutar 12 objetos iguales en todo, salvo el color, de los cuales
3 son negros, 4 son blancos y 5 son rojos?
12. Permutaciones circulares
Son arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o
centro) señalado.
𝑃𝑐 = (𝑛 − 1)!
Ejemplo:
Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubica seis vasos diferentes, ¿de cuántas formas pueden
ser ubicados?
13. Combinaciones
Una combinación de 𝑛 elementos tomados de 𝑟 en 𝑟es una selección de 𝑟 elementos a partir de los
𝑛 dados sin tener en cuenta el orden.
𝐶𝑟
𝑛 =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo:
En un grupo de dieciocho alumnos hay que formar grupos de seis ¿De cuántas maneras puede
hacerse?
14. Ejemplo:
En un estrado se sientan al azar las personas: I, J, K, L y M. Encontrar la probabilidad de
que J y K no se sienten juntos.
𝐴: Las personas J y K se sientan juntos
𝐴′
: Las personas J y K se no sientan juntos
𝑃 𝐴 =
15. Ejemplo:
Una persona realiza una jugada de la Tinka, que es un juego de lotería que consiste en
elegir seis números de 45 números posibles. Encontrar la probabilidad de que con un
boleto de seis números se acierte con todos los números seleccionados.
𝐴: Ganar la Tinka
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
