Numeros Imaginarios

1. NÚMEROS IMAGINARIOS y
complejos.

2. UNIDAD IMAGINARIA
 Se define la unidad imaginaria 𝒊 como la raíz
cuadrada del número real negativo −1:
 Porque cuando elevamos al cuadrado 𝒊
obtenemos −1

3. NÚMEROS IMAGINARIOS
 Un número imaginario es igual a la multiplicación
de un número real cualquiera por la unidad
imaginaria.
 Un número imaginario se denota como 𝒃𝒊, dónde:
𝒃 es un número real.
𝒊 es la unidad imaginaria.

4. NÚMEROS IMAGINARIOS
• Ejemplos:
• Ejercicios: Expresar en números complejos
a) − 𝟒
−𝟒 = 𝟒 (−𝟏) = 𝟐𝟐 . −𝟏 = 𝟐𝒊
b) −𝟔𝟒
−𝟔𝟒 = 𝟐𝟔(−𝟏) = 𝟖 −𝟏 = 𝟖𝒊
a) 𝟑𝒊 b) 𝟏, 𝟎𝟒𝒊 c) − 𝟐, 𝟖𝒊 d)
𝟑
𝟒
𝒊

5. POTENCIAS DE LA UNIDAD
IMAGINARIA
 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso,
para saber cuánto vale una determinada potencia
de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el
exponente de la potencia equivalente a la dada.
• Ejemplo: 𝒊𝟐𝟐
• 𝒊𝟐𝟐 = 𝑖2 = −1
22 4
2 5

6. POTENCIAS DE LA UNIDAD
IMAGINARIA
A partir de los ejercicios
calcular:
•
𝑖3+ 𝑖123
𝑖2 − 𝑖504 =
−𝑖 −𝑖
−1 −1
=
−2𝑖
−2
= 𝑖

7. PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS IMAGINARIOS
 Propiedad Conmutativa: 𝟑𝒊 + 𝟒𝒊 = 𝟒𝒊 + 𝟑𝒊
 Propiedad Distributiva:
𝟔𝒊 + 𝟒 𝒊 . 𝟓𝒊 = 𝟔𝒊 . 𝟓𝒊 + (𝟒𝒊 . 𝟓𝒊)
 Elemento neutro: 𝟖𝒊 + 𝟎 = 𝟖𝒊

8.  A toda expresión de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 y 𝑏 son números reales e
𝑖 es la unidad imaginaria la llamaremos número complejo y se
designan con la letra 𝑍: así
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 (𝐚 ∈ ℝ; 𝒃 ∈ ℝ)
 Se llama Parte Real a la primera componente 𝑎 y se indica de la
siguiente forma:
𝑹𝒆(𝒛)= 𝒂
 Se llama Parte Imaginaria a la segunda componente 𝑏 y se indica de
la siguiente forma:
𝑰𝒎 𝒛 = 𝒃
NÚMEROS COMPLEJOS

9.  Todo número complejo se puede expresar de
dos formas:
 En forma binomial: la suma o resta de la
parte real y la parte imaginaria. Por
ejemplo:
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
 En forma cartesiana: como par ordenado
donde la primera componente es la parte
real y la segunda componente es el
coeficiente de la parte imaginaria.
𝒛 = 𝒂 , 𝒃
NÚMEROS COMPLEJOS

10.  CONJUGADO: el conjugado de un número
complejo es otro número complejo que sólo
difiere con el anterior en el signo de la parte
imaginaria y se denota con la letra ത
𝒛.
Si 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, entonces ത
𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
 NORMA: la norma de un número complejo 𝑍 =
𝑎 + 𝑏𝑖 se denota 𝑍 , es la distancia que hay
desde el origen del plano complejo a la pareja
ordenada 𝑎, 𝑏 .
𝑧 2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
CONJUGADO Y NORMA
DE UN NÚMERO COMPLEJO

11.  SUMA ALGEBRAICA: se suman respectivamente, las partes reales y las partes
imaginarias.
Dados 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖 y 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 + 𝑏2 𝑖
 Ejemplo:
Dados, 𝑧1 = 3 + 2𝑖, 𝑧2 = − 3 + 5𝑖, 𝑧3 = −7𝑖. Determinar 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 3 + 2𝑖 + − 3 + 5𝑖 + −7𝑖
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 3 − 3 + 2 + 5 − 7 𝑖
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0 + 0
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0
OPERACIONES CON
NÚMEROS COMPLEJOS

12.  MULTIPLICACIÓN:
 Se aplica la propiedad distributiva.
 Se resuelven las potencias de 𝑖.
 Se reducen términos semejantes.
Ejemplo:
Dados 𝒛𝟏 = 𝟑 − 𝟐𝒊, 𝒛𝟐 = −𝟐 + 𝟓𝒊, determinar 𝒛𝟏 . 𝒛𝟐
𝑧1 . 𝑧2 = 3 − 2𝑖 . −2 + 5𝑖
𝑧1 . 𝑧2 = − 6 + 15𝑖 + 4𝑖 − 10𝑖2
𝑧1 . 𝑧2 = − 6 + 19𝑖 − 10 −1
𝑧1 . 𝑧2 = − 6 + 19𝑖 + 10
𝑧1 . 𝑧2 = 4 + 19𝑖
OPERACIONES CON
NÚMEROS COMPLEJOS

13.  DIVISIÓN: Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador.
Ejemplo:
Calcular
3 −2𝑖
2+𝑖
3 − 2𝑖 . 2 − 𝑖
2 + 𝑖 2 − 𝑖
=
6 − 3𝑖 − 4𝑖 + 2𝑖2
22 − 𝑖2
=
6 − 7𝑖 − 2
4 + 1
=
4 − 7𝑖
5
=
4
5
−
7
5
𝑖
OPERACIONES CON
NÚMEROS COMPLEJOS

14.  Gid Hoffmann, J. (1993). Selección de Temas de Matemática 4.
Editores Individuales 3. Distrito Capital, Venezuela.
 Álvarez, R., Bautista, M., Chamorro, A. (2009). Matemática 1. (1era
Edición). Santillana. Venezuela.
REFERENCIAS