El documento presenta las definiciones y propiedades básicas de los números enteros (Z), incluyendo la adición, sustracción, multiplicación y división. Explica que los enteros incluyen los números naturales y sus opuestos, y define operaciones como la suma, resta, producto y cociente de números enteros. También establece teoremas clave sobre las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas de las operaciones con enteros.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
HUANCAVELICA
Docente Adscrito al Departamento Académico de
Ciencias y Humanidades
edgar.yalli@unh.edu.pe
http://www.unh.edu.pe/
Docente: Edgar YALLI HUAMAN
Facultad de Ciencias de la Educación
Matemática Computación e Informática
2. Se sabe que los números naturales son: ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
SISTEMA DE LOS NUMEROS ENTEROS
Extensión de los números naturales
Si: 𝑎 ≥ 𝑏 ⟹ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℕ
Si: 𝑎 < 𝑏 ⟹ 𝑎 − 𝑏 ∉ ℕ
Definición:
Sea 𝑓: ℕ × ℕ → ℤ , donde: ℤ = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
𝑎, 𝑏 → 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
7, 4 → 3
¿Determine los pares ordenados equivalentes a 7, 4 ?
3. SISTEMA DE LOS NUMEROS ENTEROS
Definición de Relación de equivalencia en los números enteros (ℤ):
El par ordenado de números naturas 𝑎, 𝑏 es equivalente al par 𝑐, 𝑑 y escribimos:
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2, ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ ℕ2 / 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐
Ejemplo: 2 , 3 ≡ 3, 4 ⟺ 2 + 4 = 3 + 3
Teorema:
La relación 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 es una relación de equivalencia, es decir goza de las siguientes propiedades:
Reflexiva: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2
/ 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑎, 𝑏
Simétrica: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2, ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ ℕ2 / 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 ⟺ 𝑐, 𝑑 ≡ 𝑎, 𝑏
Transitiva: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2, ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ ℕ2, ∀ 𝑒, 𝑓 ∈ ℕ2 / 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 ∧ 𝑐, 𝑑 ≡ 𝑒, 𝑓 ⟹ 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑒, 𝑓
4. Definición:
Sea a y b números enteros, donde:
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∧ 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 ; 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ∈ 𝑁
𝒂 + 𝒃 = 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏, 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
Notación de adición de a y b en Z
𝟐, 𝟓 + 𝟑, 𝟏 = 𝟐 + 𝟑, 𝟓 + 𝟏 = 𝟓, 𝟔
-3 2 -1
ADICIÓN DE NUMEROS ENTEROS
5. ADICIÓN DE NUMEROS ENTEROS
Definición del cero entero: 0 = 𝑎1, 𝑎2 ; Si: 𝑎1 = 𝑎2
Definición del uno entero: 1 = 𝑛 + 1, 𝑛 ; Si: 𝑛𝜖𝑁
Definición del entero opuesto: Si 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 es un entero, su opuesto es − 𝑎 = 𝑎2, 𝑎1