1. LA ARITMÉTICA
GENERALIZADA
Angie Murillo

2.  La definición de Gauss, Kummer y Dedekind de los
enteros algebráicos.
 La restricción del teorema fundamental de la aritmética
a los campos de números de números algebraicos
debida a la introducción de os ideales por Dedekind.
 La obra definitiva de Galois sobre la solución de
ecuaciones algebraicas por medio de la teoría de los
campos que siguieron.
 La aplicación parcial de los conceptos aritméticos a
ciertas álgebras

3.  La teoría de la conducción del calor de
Fourier (1822) reveló tantas sutilezas
imprevistas en los conceptos de límite y
de continuidad que hizo revisar las ideas
básicas del cálculo.
 Durante el resto del siglo XIX muchos se
dedicaron a trabajar en esto. Poco a
poco se fue percibiendo que los
cardinales y los ordinales
1,2,3..necesitaban aclaración.

4.  Después de 25 años de lucha para
comprender el número se acabó por donde
Pitágoras había iniciado sus trabajos.
 Pitágoras confiaba en que
1,2,3…”explicaran” el universo incluyendo las
matemáticas; y el espiritu que animaba su
“explicación”era el razonamiento
estrictamente deductivo.

5. La divisibilidad generalizada
 Recordemos que Euclides en el siglo IV
a.c,demostró uno de los teoremas
fundamentales relativos a los números
primos racionales positivos :
Si un numero P divide al producto de dos
enteros racionales positivos necesariamente
ha de ser divisor de uno de ellos.

6.  El hacer definiciones es completamente
inutil a menos que se tenga a la vista un
objetivo concreto.. En este caso el teorema
fundamental de la aritmetica : los “enteros”
definidos se han de poder descomponer en
potencias de distintos numeros “primos” de
un solo modo , a parte de los factores
“unitarios” y de las permutaciones entre
otros factores.

7.  En el teorema de la aritmética racional “ si a
divide a b,b no divide a a menos que a y b
sean unidades” a,y b(b≠a) y las relaciones
de división son todas interpretaciones
determinadas en la generalización que se
diferencian de las de la aritmética racional.
Pero esas afirmaciones son tales que la
afirmación “ si a,etc” sigue siendo cierta
para nuevas interpretaciones.

8.  La ampliación de la aritmética racional a una
aritmética de los números algebraicos ,y
considerablemente después ,a una
aritmetización parcial del algebra lineal, tuvo
dos orígenes distintos:
 La demostración de Gauss en 1828-32,o antes
de la ley de la reciprocidad cuadrática la
tentativa que hizo Kummer en 1840-50 para
probar el ultimo teorema de Fermat.

9.  Si hay un entero racional tal que cuando n,py
q, sean numeros enteros positivos dados
(x^n)-q es divisible(sin residuo)por p,se dice
que q es un residuo n-simo de p.
Enunciandolo al modo de las congruencias
de Gauss