1. Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático y Físico.
Nació el 30 de Abril de 1777, Brunswick, Sacro Imperio
Romano Germanico y fallece el 23 de Febrero de 1885 (77
años) Gotinga, Reino de Hanóver.
2. “Todo número entero distinto de ±1 o bien es un número
primo, o bien se puede escribir como ±1 por un producto de
números primos positivos. Esta descomposición es única
salvo el orden de los factores.”
Este teorema, fue enunciado por Euclides, matemático
griego, en el siglo III a.C. aunque con ciertas lagunas en su
demostración. Gauss no sólo rellenó esas lagunas sino que
generalizo el teorema para ciertas estructuras algebraicas
llamadas ideales y dominios de integridad son aquellos tales
que si un producto de sus elementos es cero entonces uno
de los factores también ha de serlo.”
3. DEMOSTRACIÓN
Basta demostrarlo para los enteros positivos:
(I) Sea a Є Ζ, a>1. Demostraremos la existencia de tal descomposición
por inducción sobre a, usando la segunda forma del principio de inducción.
(1) Si a=2, a es primo y la descomposición es válida en un solo factor.
(2) Si a>2 y supongamos que existe la descomposición en producto de
factores primos positivos para todo número natural menor que a [H.I.]
(3) Probemos que a también puede escribirse de esa manera:
- Si a es primo la propiedad se verifica;
- Si a no es primo, entonces a tiene como divisor propio y podemos
escribir: a=b.c ; con 1<b<a ; 1<c<a
Por la Hipótesis inductiva b y c se pueden expresar como productos de
factores primos positivos y por lo tanto lo mismo sucede con a.
Hemos Demostrado que tanto entero positivo distinto de ±1 puede
escribirse como producto de factores primos positivos.
4. (II) Probemos ahora que tal descomposición de a, es única, salvo el orden de
los factores:
(1) Supongamos que:
a= P1.P2. … . Pn ; a= Q1.Q2. … . Qm
Son descomposiciones de a en factores primos positivos:
Probar que: n=m y que Pi=Qi , Para todo i igual a 1, 2, …, m perteneciente a los naturales
Sea n=1 entonces a=P1 es un número primo entonces a=P1=Q1.Q2. … . Qm; por lo tanto
Q1/P1, y como P1 es primo se obtiene P1=Q1 y por lo tanto Q2.Q3. … . Qm=1
Por lo tanto, P1=Q1
(2) Sea n>1, y supongamos que la unicidad de la descomposición vale cuando el
número de factores es n-1 [H.I.]
Probar que: Vale para n
(3) Sea a= P1.P2. … . Pn=Q1.Q2. … . Qm entonces P1/Q1.Q2. … . Qm de donde
resulta por propiedad que Pi=Qi ;
5. Luego, por la ley cancelativa resulta:
P2.P3. … .Pn= Q1.Q2. … .Qm
Por hipótesis inductiva se cumple la igualdad y como P1=Q1, Resulta que
n=m y Pi=Qi para i=1,2,…,n.
Por lo tanto de (I) y (II) la propiedad queda demostrada
para todos los enteros positivos, lo cual es suficiente.
Ejemplo:
30=2.3.5 ; 55=5.11
Este teorema tiene otras aplicaciones mas importantes como es el de hallar el máximo común
múltiplo y mínimo común divisor, entre otras cosas, hasta mas importantes.
