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Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático y Físico.
Nació el 30 de Abril de 1777, Brunswick, Sacro Imperio
Romano Germanico y...
“Todo número entero distinto de ±1 o bien es un número
primo, o bien se puede escribir como ±1 por un producto de
números ...
DEMOSTRACIÓN

Basta demostrarlo para los enteros positivos:

(I) Sea a Є Ζ, a>1. Demostraremos la existencia de tal descom...
(II) Probemos ahora que tal descomposición de a, es única, salvo el orden de
los factores:
(1) Supongamos que:
a= P1.P2. …...
Luego, por la ley cancelativa resulta:
P2.P3. … .Pn= Q1.Q2. … .Qm

Por hipótesis inductiva se cumple la igualdad y como P1...
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Teorema fundamental de la aritmética

Teorema Fundamental de la aritmética
Gauss
Descomposición en factores primos

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Teorema fundamental de la aritmética

  1. 1. Johann Carl Friedrich Gauss Matemático y Físico. Nació el 30 de Abril de 1777, Brunswick, Sacro Imperio Romano Germanico y fallece el 23 de Febrero de 1885 (77 años) Gotinga, Reino de Hanóver.
  2. 2. “Todo número entero distinto de ±1 o bien es un número primo, o bien se puede escribir como ±1 por un producto de números primos positivos. Esta descomposición es única salvo el orden de los factores.” Este teorema, fue enunciado por Euclides, matemático griego, en el siglo III a.C. aunque con ciertas lagunas en su demostración. Gauss no sólo rellenó esas lagunas sino que generalizo el teorema para ciertas estructuras algebraicas llamadas ideales y dominios de integridad son aquellos tales que si un producto de sus elementos es cero entonces uno de los factores también ha de serlo.”
  3. 3. DEMOSTRACIÓN Basta demostrarlo para los enteros positivos: (I) Sea a Є Ζ, a>1. Demostraremos la existencia de tal descomposición por inducción sobre a, usando la segunda forma del principio de inducción. (1) Si a=2, a es primo y la descomposición es válida en un solo factor. (2) Si a>2 y supongamos que existe la descomposición en producto de factores primos positivos para todo número natural menor que a [H.I.] (3) Probemos que a también puede escribirse de esa manera: - Si a es primo la propiedad se verifica; - Si a no es primo, entonces a tiene como divisor propio y podemos escribir: a=b.c ; con 1<b<a ; 1<c<a Por la Hipótesis inductiva b y c se pueden expresar como productos de factores primos positivos y por lo tanto lo mismo sucede con a. Hemos Demostrado que tanto entero positivo distinto de ±1 puede escribirse como producto de factores primos positivos.
  4. 4. (II) Probemos ahora que tal descomposición de a, es única, salvo el orden de los factores: (1) Supongamos que: a= P1.P2. … . Pn ; a= Q1.Q2. … . Qm Son descomposiciones de a en factores primos positivos: Probar que: n=m y que Pi=Qi , Para todo i igual a 1, 2, …, m perteneciente a los naturales Sea n=1 entonces a=P1 es un número primo entonces a=P1=Q1.Q2. … . Qm; por lo tanto Q1/P1, y como P1 es primo se obtiene P1=Q1 y por lo tanto Q2.Q3. … . Qm=1 Por lo tanto, P1=Q1 (2) Sea n>1, y supongamos que la unicidad de la descomposición vale cuando el número de factores es n-1 [H.I.] Probar que: Vale para n (3) Sea a= P1.P2. … . Pn=Q1.Q2. … . Qm entonces P1/Q1.Q2. … . Qm de donde resulta por propiedad que Pi=Qi ;
  5. 5. Luego, por la ley cancelativa resulta: P2.P3. … .Pn= Q1.Q2. … .Qm Por hipótesis inductiva se cumple la igualdad y como P1=Q1, Resulta que n=m y Pi=Qi para i=1,2,…,n. Por lo tanto de (I) y (II) la propiedad queda demostrada para todos los enteros positivos, lo cual es suficiente. Ejemplo: 30=2.3.5 ; 55=5.11 Este teorema tiene otras aplicaciones mas importantes como es el de hallar el máximo común múltiplo y mínimo común divisor, entre otras cosas, hasta mas importantes.

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