ingeniería de riego

1. i
HIDROLOGIA PARA
INGENIEROS
TORIBIO MARCOS REYES RODRÍGUEZ
HUARAZ - PERÚ
2017

2. ii
PRESENTACIÓN
En esta publicación plasmo mis experiencias hidrológicas como catedrático en
pregrado y postgrado, y como consultor en el área de recursos hídricos por más
de 26 años.
Se consideran conceptos y aplicaciones que se emplean con más frecuencia en
temas relacionados los recursos hídricos con aplicaciones prácticas a la
ingeniería.
Aprovecho la oportunidad para agradecer a mis alumnos de pregrado y postgrado,
a los profesionales y empresas que me permiten ir aprendiendo cada día más esta
apasionante ciencia de la Tierra.
Estoy seguro que está publicación les será útil a muchos profesionales
relacionados a la ingeniería del agua y sus gestión.
Dr. Ing. Toribio Marcos Reyes Rodríguez

3. iii
Índice
Presentación ii
CAPÍTULO I
CUENCA HIDROGRÁFICA
1.1 Parámetros de forma 1
1.2 Parámetros de forma 2
1.3 Parámetros de relieve 4
1.4 Parámetros de drenaje 5
Bibliografía 8
CAPÍTULO II
HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA
2.1 Reglas de probabilidades 9
2.2 Coeficiente de variación y asimetría 12
2.3 Distribuciones de probabilidades discretas aplicadas a la hidrología 13
2.4 Distribuciones de probabilidades continuas aplicadas a la hidrología 17
2.5 Prueba de la bondad de ajuste según el método Gumbel 19
2.6 Prueba de normalidad por el método de Anderson – Darling 21
2.7 Detección de datos hidroambientales dudosos 23
2.8 Análisis de tendencia de una serie temporal hidroambiental 23
2.9 Período de retorno (T) 25
Bibliografía 26

4. iv
CAPÍTULO III
ANÁLISIS DE SEQUÍAS
3.1 Metodología para determinar el SPI 27
3. 2 Categorización de PSI 27
Bibliografía 30
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE LA INFILTRACIÓN EN SUELOS
4.1 Ecuación de Kostiakov 31
4.1.1 Tasa de infiltración
4.1.2 Lámina de infiltración acumulada
4.1.3 Tiempo de encharcamiento (tp)
4.1.4 Infiltración básica para la ecuación de Kostiakov
4.2 Ecuación de Horton 33
4.2.1 Tasa de infiltración
4.2.2 Lámina de infiltración acumulada
4.2.3 Infiltración básica para el modelo de Horton
4.3 Ecuación de Green – Ampt 38
4.3.1 Tasa de infiltración
4.3.2 Ecuaciones complementarias para el modelo de Green - Ampt
4.4 Ecuación de Philip 44
Bibliografía 45

5. v
CAPÍTULO V
ANÁLISIS DE LA EVAPORACIÓN Y EVAPOTRANSPIRACIÓN POTENCIAL
5.1 Modelo periódico de evaporación mensual 45
5.2 Evapotranspiración potencial modelo de Christiansen 45
5.3 Evaporación mensual en la cuenca del Santa (Perú) 48
Bibliografía 50
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS DEL PROCESO DE PRECIPITACIÓN Y ESCORRENTÍA
6.1 Deducción de la ecuación para la generación de la precipitación efectiva, 51
método del Soil Conservation Service – USA
6.2 Deducción de la ecuación para la abstracción continuada 52
6.3 Hidrograma unitario del SCS 53
Bibliografía 54
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS DE TORMENTAS
7.1 Modelos de curvas Intensidad – duración – frecuencia (IDF) 55
7.2 Relación entre las precipitaciones y sus duraciones 56
7.3 Hietograma triangular 57
7.4 Variabilidad de las tormentas desde el centro de su origen 58
Bibliografía 62
CAPÍTULO VIII
ANÁLISIS DE HIDROGRAMAS PRODUCIDOS POR TORMENTAS
8.1 Hidrograma unitario (HU) 63
8.2 Hidrogramas unitario para diferentes duraciones 63
8.3 Propiedades importantes de los hidrogramas 63
Bibliografía 72

6. vi
CAPÍTULO IX
BALANCE HÍDRICO
9.1 Método de Thornthwaite – Matter 72
9.2 Problema de aplicación 73
Bibliografía 74
CAPÍTULO X
TRÁNSITO HIDROLÓGICO A TRAVÉS DE EMBALSES
10.1 Tránsito de avenidas a través de embalses 75
10.2 Tránsito de avenidas a través de embalses 76
Bibliografía 82
CAPÍTULO XI
TRÁNSITO HIDROLÓGICO A TRAVÉS DE RÍOS
11.1 Modelo lineal de Muskingum 83
11.2 Modelo lineal inverso de Muskingum 86
11.3 Modelo convexo 91
Bibliografía 98

7. 1
CAPÍTULO I
CUENCA HIDROGRÁFICA
En cuanto a las denominaciones de cuenca pequeña, mediana y grande no hay un
acuerdo definido. Sin embargo, como referencia se tiene:
Cuenca pequeña: A ≤ 50 km2
Cuenca mediana: 50 ≤A ≤ 100 km2
Cuenca grande: A 100 km2
1.1 Parámetros de forma
a) Razón de Gravellius (Kc)
Es la razón del perímetro (P) de la cuenca con el perímetro equivalente de
un círculo que tiene un área (A) igual al de la cuenca.
Es un indicador de la forma de la cuenca, cuando Kc >1 la cuenca es
alargada y los caudales picos durante un tormenta no ocurrirán rápido.
√
(1.1)
Donde:
Kc = Razón de Gravellius
A = Área de la cuenca
P = Perímetro de la cuenca
b) Razón de elongación (Re)
Es la razón entre el diámetro equivalente del área (A) de la cuenca y la
longitud del cauce principal (L)
Es un indicador de la forma de la cuenca, cuando E ≤ 1 la cuenca es
alargada
(
√
)(
√
) (1.2)
Donde:
Re = Razón de elongación de una cuenca
A = Área de la cuenca
L = Longitud del curso principal

8. 2
c) Razón de circularidad (Rc)
Es la razón entre el área de la cuenca (A) y el área equivalente del
perímetro (P) de la cuenca
Es un parámetro de forma de la cuenca, cuando C ≤ 1 la cuenca es
alargada
(1.3)
Donde:
Rc = Relación de circularidad de una cuenca
A = Área de la cuenca (km2
)
P = Perímetro de la cuenca (km)
d) Razón de forma Horton
Horton definió como un indicador de la forma de una cuenca como:
A/(Lrecta)2
(1.4)
Donde:
Rf = Razón de forma de Horton
A = Área de la cuenca (km2
)
Lrecta = Longitud del río principal medida en línea recta (km)
1.2Parámetros de relieve
a) Pendiente longitudinal del río principal
Aplicando la ecuación de Chezy para canales abiertos se obtiene la
fórmula de Taylor Schwarz:
(
∑
∑
√
) (1.5)
Problema
Demuestre la fórmula anterior usando la ecuación de Chezy para canales
abiertos: √

9. 3
b) Curva hipsométrica
Es una curva que representa las áreas acumuladas por encima de cota
topográfica dada:
Tabla 1.1: Tabulación de datos para la curva hipsométrica
Z i Z i+1 Área Z i+1 - Zi Área acumulada % área acumulada
msnm msnm (km
2
) encima Zi (km
2
) encima Zi (km
2
)
2250 2510 0.82 156.20 100.00
2510 2770 2.24 155.38 99.48
2770 3030 3.79 153.14 98.04
3030 3290 4.80 149.35 95.61
3290 3550 6.51 144.56 92.54
3550 3810 10.58 138.05 88.38
3810 4070 14.99 127.48 81.61
4070 4330 27.72 112.49 72.02
4330 4590 58.90 84.77 54.27
4590 4850 25.87 25.87 16.56
4850 0.00 0.00
Suma 156.20
Figura 1.1: Curva hipsométrica de la subcuenca Quellaycancha
(Casma – Perú)
2250
2750
3250
3750
4250
4750
5250
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
ALtitud(m.s.n.m.)
Área acumulada (km2)

10. 4
c) Razón orográfica (Ro)
(1.6)
Donde:
Ro = Razón orográfica
Hm = Altitud media, cota topográfica correspondiente al 50% de áreas de la
curva hipsométrica
A = Área de la cuenca
Sirve para estimar el grado erosión de las cuencas, también es un indicador
de la similitud dinámica de las cuencas.
1.3 Parámetros de tiempo
Entre los indicadores de tiempo se tienen el tiempo de concentración y tiempo
de retardo. Se indican algunas fórmulas de tiempo de concentración:
Fórmula de Ven Te Chow:
*
√
+ (1.7)
Donde:
Tc = Tiempo de concentración (min)
L = Longitud del curso principal (km)
S = Pendiente del curso principal (%)
Fórmula de Sheridan:
*
√
+ (1.8)
Donde:
Tc = Tiempo de concentración (h)
L = Longitud del curso principal (km)
S = Pendiente del curso principal (m/m)
Fórmula de Natural Resources Conservation Service de USA, transformando
al sistema métrico se tiene:
( ) (1.9)

11. 5
Donde:
Tc= Tiempo de concentración en horas
L = Longitud del curso principal en km
Sc = Pendiente media de la cuenca Sc
NC = Número de curva
1.4 Parámetros de drenaje
a) Densidad de drenaje (Dd)
(1.10)
Donde:
Dd = Densidad de drenaje (km/km2
)
L = Longitud de cursos de agua (km)
A = Área de la cuenca
Si 0.6 ≤ Dd < 3 km/km2
la cuenca es bien drenada
Los valores altos de la densidad de drenaje indican cuencas con suelos
fácilmente erosionables o relativamente impermeables, con pendientes
fuertes y escasa cobertura vegetal.

12. 6
En las figura 1.2 se indica la subcuenca Yanayacu (Recuay – Ancash – Perú),
cuya área es 278.20 km2
y su perímetro es 69 km.
Figura 1.2: Subcuenca Yanayacu
Problema
Demuestre que la base y la altura del rectángulo equivalente están dadas por las
siguientes fórmulas:
√
[ √ ( ) ]
l
√
[ √ ( ) ]
Problema
Demuestre que una cuenca de área A y perímetro P se puede transformar a un
rectángulo equivalente si y sólo sí se cumple:
√

13. 7
Problema
Demuestre que una cuenca de área A y perímetro P se puede transformar a un
rectángulo equivalente si y sólo sí se cumple:
Problema
Demuestre que se cumple:
√
Problema
Demuestre que:
Problema
Demuestre que:

14. 8
Bibliografía
McCuen, Richard (2005). Analysis and Design Hydrology. Prentice Hall, USA.
Natural Resources Conservation Service (2003). National Water Quality
Handbook. USA.
Linsley, Ray. et. al. (1988). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw - Hill,
México.
Universidad Nacional de Cuyo (2005). Hidrología (PDF), Argentina.
Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.

15. 9
CAPÍTULO II
HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA
2.1 Reglas de probabilidades
a) Regla de probabilidad condicional
P(A/B) = P(A∩B)/p(B) (2.1)
b) Regla de Bayes
P(Si/E) = P(Si∩E)/p(E) (2.2)
Problema
Una bocatoma tiene los siguientes componentes básicos: barraje y ventana
de captación; las probabilidades de falla frente la ocurrencia de un caudal
extraordinario del barraje, y de la ventana de captación son 75% y 38%; y la
probabilidad de que fallen ambos componentes son 56%. ¿Cuál es la
probabilidad que falle el barraje o la ventana de captación?
Respuesta: 57%
Problema
Para calcular los caudales de diseño de centrales hidroeléctricas se
contratan tres empresas consultoras, las probabilidades que las empresas
consultoras sobreestimen los caudales de diseño son 30%, 20%, y 50 %.
Las probabilidades que una determinada central hidroeléctrica no opere
adecuadamente dado que los caudales de diseño fueron estimados por las
tres empresas consultoras son 1%, 3%, y 2% respectivamente.
Si una determinada central hidroeléctrica no opera adecuadamente ¿Cuál
de las empresas consultoras es más probable que haya sobrestimado el
caudal de diseño?
Respuesta: la tercera empresa (52.6%)

16. 10
Problema
Un desarenador tiene dos naves (A y B) la probabilidad que falle la nave A
es 10%, la probabilidad que falle la nave B dado que fallado la nave A es
5%. ¿Cuál es la probabilidad que fallen las dos naves?
Respuesta: 0.5 %
Problema
Las causas que pueden producir las inundaciones pueden ser las
tormentas: leves, moderadas e intensas; deslizamientos de tierra hacia el
cauce de un río: nulos, leves, moderadas e intensas.
La probabilidades de tormentas leves, moderadas e intensas son 17%, 8%,
75%; las probabilidades de deslizamientos hacia el cauce del río nulos,
leves, moderados e intensos son 3%, 15%, 4% y 78% respectivamente.
Las probabilidades de ocurrencia de una inundación dado que se ha
producido una tormenta leve, moderada, e intensa son 12%, 60%, 2%; las
probabilidades de ocurrencia de una inundación dado que se ha producido
un deslizamiento nulo, leve, moderado e intenso son 70%, 60%, 50%, y
10% respectivamente.
a) Hallar las probabilidades que las tormentas leves, moderadas, e
intensas son las causas de las inundaciones.
b) Hallar las probabilidades que los deslizamientos nulos, leves,
moderados, e intensos son las causas de las inundaciones.
Respuestas: 24.46%, 57.55%, 17.98%; 10.04%, 43.06%, 9.57%, 37.32%
Problema
Si la probabilidad que llueva y nieva de nuevo son 30 y 10 por ciento,
respectivamente, y la probabilidad de que nieva ya que ha llovido es 20 por
ciento, entonces la probabilidad que llueva dado que ha nevado es:
Respuesta: 60%

17. 11
Problema
Mary se casa mañana, en una ceremonia al aire libre en el desierto. En los
últimos años, ha llovido sólo 5 días cada año. Por desgracia, el hombre del
tiempo ha pronosticado lluvia para mañana. Cuando llueve en realidad, el
hombre del tiempo predice correctamente lluvia 90% del tiempo. Cuando no
llueve, se pronostica incorrectamente lluvia 10% del tiempo. ¿Cuál es la
probabilidad de que llueva el día de la boda de Mary?
Respuesta: 12%
Problema
Un servicio meteorológico local predice una 60% de probabilidad de lluvia.
Hay una probabilidad de 45% de los fuertes vientos si llueve y un 15% de
probabilidad de vientos fuertes si no llueve. ¿Cuál es la probabilidad de que
habrá fuertes vientos?
Respuesta: 33%
Problema
Los caudales máximos anuales ocurridos durante 60 años fueron
estadísticamente analizados. El sexto caudal máximo anual ordenado en
orden descendente fue 3000 m3
/s.
a) Determine la probabilidad de ocurrencia de un caudal máximo anual igual
o mayor a 3000 m3
/s en cualquier año.
b) Determine la probabilidad de ocurrencia de un caudal máximo anual igual
o mayor a 3000 m3
/s en los próximos 20 años.
Respuesta: 0.98%, 27.6 %
Problema
Las precipitaciones mensuales del mes de mayo correspondiente al
período 1981 – 1994 en la estación de Villarrica (Perú), tiene una media de
194.6 mm y una desviación estándar de 68.8 mm ¿Cuál es la probabilidad
que en un año cualquiera una precipitación mensual de 140 mm sea
igualada o superada correspondiente a este mes? Las precipitaciones de
este mes se ajustan a la distribución normal.
Respuesta: 78.6%

18. 12
Problema
Si las precipitaciones del mes anterior son independientes ¿Cuál es la
probabilidad que se tengan dos años consecutivos con precipitación iguales
a mayores a 140 mm?
Respuesta: 61.8 %
Problema
La probabilidad que el día de hoy este nublado y llueva es 40 % ¿Cuál es la
probabilidad que llueva hoy, si la probabilidad que llueva dado que está
nublado es 65%?
Respuesta: 61.5%
Problema
70% de las bombas hidráulicas producidos por una fábrica proceden de la
planta A y el 30
% de la planta B. La proporción de bombas hidráulicas defectuosas de la
planta A es 0.15 y de la planta B es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que
una bomba hidráulica de dicha fábrica sea defectuosa? ¿Cuál es la
probabilidad de que, sabiendo que una bomba hidráulica es defectuosa,
proceda de la planta A?
Respuesta: 24%, 44%
2.2 Coeficiente de variación y asimetría
Fair (1999), dice que un valor bajo del coeficiente de variación indica un flujo
estable de los caudales, y una posible existencia de lagos en las partes altas
de las cuencas.
El coeficiente de asimetría es fuertemente influenciado por los valores
extremos altos que los valores extremos bajo.

19. 13
2.3 Distribuciones de probabilidades discretas aplicadas a la hidrología
Existen un conjunto de distribuciones discretas que son de aplicación
frecuente en hidrología, se describen a continuación cada una de ellas:
a) Distribución de probabilidad binomial
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria binomial está
dada por:
( ) ( ) (2.3)
Donde:
p(x) = Probabilidad de x éxitos con n pruebas
p = Probabilidad de éxito en una sola prueba
q = 1 – p
n = Número de prueba
x = Número de éxitos en n pruebas
La media y la varianza de la variable aleatoria binomial son
respectivamente:
μ = np
σ2
= npq
Problema
La probabilidad de encontrar agua subterránea en la perforación de un
pozo tubular en un determinado valle de la costa del Perú es 0.20. ¿Cuál
es la probabilidad de encontrar 2 pozos tubulares con agua subterránea si
perforarán 10 pozos?
Solución:
( ) ( )
302.0)2( xp

20. 14
b) Distribución de probabilidad geométrica
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria geométrica está
dada por:
1
)( 
 x
pqxp (2.4)
Donde:
p(x) = Probabilidad de x éxitos en una sola prueba
p = Probabilidad de éxitos en una sola prueba
q = 1 – p
x = Número de éxitos en una prueba
La media y la varianza de la variable aleatoria geométrica son
respectivamente:
μ = 1/p
σ2
= q/p2
Problema
¿Cuál es la probabilidad de que una avenida de 20 años de periodo de
retorno ocurra la primera vez después de 10 años de haber terminado la
obra?
Solución:
( ⁄ ) ( )
( ⁄ ) ( )
Problema
Se lleva a cabo perforaciones de pozos tubulares y si existe una
probabilidad de 25 % de encontrar agua. ¿Cuál es la probabilidad de
encontrar agua en la primera perforación si se harán cinco perforaciones?
Respuesta: 0.079
c) Distribución de probabilidad hipergeométrica
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria hipergeométrica
está dada por:
( )
( )( )
( )
(2.5)

21. 15
Donde:
p(x) = Probabilidad de x éxitos en una muestra de n elementos
N = Número total de elementos
r = Número de resultados favorables en los N elementos
n = Número de elementos extraídos
x = Número de resultados favorables en los n elementos
La media y la varianza de la variable aleatoria hipergemétrica geométrica
son respectivamente:
μ = nr/p
σ2
= rn(N-r)(N-n)/(N2
(N-1))
Problema
En un registro de caudales medio anuales se tiene 20 datos iguales o
mayores que su media, y 21 datos menores que su media. Si de estos
datos se extrae aleatoriamente 10 datos, cuál es la probabilidad de tener
cuatro datos mayores que su media.
Respuesta: 23.45 %
d) Distribución binomial negativa
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria binomial negativa
está dada por:
( ) ( ) ( ) (2.6)
Donde:
p(n/r) = Probabilidad de que de x ensayos ocurran r éxitos
r = Número de éxitos en n ensayos
p = Probabilidad de ocurran r éxitos
La media y la varianza son respectivamente:
μ = r/p
σ2
= rp/(1-p)
Problema
La probabilidad de falla de una presa por overttoping es 0.10 ¿Cuál es la
probabilidad de falla en 10 overttopings?

22. 16
Solución
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Problema
¿Cuál es la probabilidad que la segunda ocurrencia de una avenida de 25
años de período de retorno ocurra en 15 años?
Solución
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Problema
¿Cuál es la probabilidad de que la tercera inundación de 20 años de
período de retorno ocurra en el sexto después que la obra se haya
comenzado la obra?
Solución
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Problema
Un pueblo es vulnerable a la inundación de 100 años. Si hay 3 o más
inundaciones en los próximos 20 años la presión política será tal que el
pueblo será reubicado. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?
Respuesta: 0.001
Problema
¿Cuál es la probabilidad que la tercera ocurrencia de una inundación de 25
años de período de retorno sea dentro de 35 años?
Respuesta: 0.97 %

23. 17
e) Distribución de probabilidad Poisson
La distribución de probabilidad Poisson para una variable aleatoria Poisson es:
!
)(
x
e
xp
x 
 
 ; (x = 0,1, 2,…)
La media y la varianza de una variable aleatoria Poisson son:
μ = λ
σ2
= λ
Problema
Suponga que el número de goteros con falla por lote de goteros (x) tiene una
distribución Poisson aproximadamente. Además, suponga que el número
promedio de goteros con falla por lote es 2.5
a) Calcule la media y desviación estándar de x
b) Calcule la probabilidad de que un lote de goteros escogido al azar tenga
exactamente cinco goteros con falla
c) Calcule que p(μ - 2σ < x μ + 2σ). ¿El resultado concuerda con la regla
empírica?
Solución
a) μ = 2.5 goteros con falla por lote
σ2
= 2.5
σ = 1.58 goteros con falla por lote
b)
!
)(
x
e
xp
x 
 

0067.0
!5
)5.2(
)5(
5.25


e
p
c) p(2.5 – 2*1.58 < x < 2.5 + 2*1.58) = p(0.662 < x < 5.662)
= p(0 ≤ x ≤ 5) = p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5) = 0.9581
2.4 Distribuciones de probabilidades continuas aplicadas a la hidrología
a) Distribución de probabilidad normal
Esta distribución de probabilidades se aplica a eventos hidrometeorológicos
medios.
Para 0 ≤ z ≤ 5.5, se tiene:















165)/703(
562)35183(
exp5.0)(
z
zz
zZp (2.7)

24. 18
Problema
Después de realizar el monitoreo de la calidad de aguas en un río se obtuvo
que la media de los coliformes totales es 149 organismos/100ml y la
desviación estándar es 493 organismos/100ml. Si el límite máximo
permisible es 200 organismos/100 ml. ¿Cuál es la probabilidad que el LMP
sea excedido?
Solución
̅
458.0)103.0( Zp
b) Distribución de probabilidades Gumbel
Esta distribución también es conocida como Distribución de Valor Extremo
tipo I, se utiliza para realizar el análisis de probabilidades de eventos
hidrometeorológicos máximos.
Las ecuaciones más usuales y conocidas son:
( ) ( ( )) (2.8)
(2.9)
(2.10)
̅ (2.11)
( ( )) (2.12)

25. 19
2.5 Prueba de la bondad de ajuste según el método Gumbel
Ho: los datos se ajustan a la distribución M
H1: los datos se ajustan a la distribución M
Se aplica a datos no agrupados y para cualquier distribución teórica de
probabilidades.
Procedimiento:
1. Se ordenan los datos en forma ascendente
2. Se halla la probabilidad empírica pE(X< Xo)
Para distribución normal se usa la fórmula de Bloom:
( )
( )
(2.13)
Para la distribución Gumbel se usa la fórmula de Weibull:
( )
( )
(2.14)
Donde:
i = Posición del dato ordenado
n = Número de datos hidrometeorológicos
3. Se halla la probabilidad teórica correspondiente pT(X<Xo)
4. Se halla la diferencia D =máx│pE(X<Xo) - pT(X<Xo)│
5. Si D ≤ Dc los datos se ajustan al modelo probabilística teórico
6. Los valores Dc (crítico):
Para la distribución Gumbel al 5% de nivel de significancia el valor crítico
está dada por la fórmula:
(
√
√
) (2.15)
Para la distribución normal al 5% de nivel de significancia el valor crítico
está dado por la fórmula:
(
√
√
) (2.16)
Donde n es el número de datos hidrometeorológicos.

26. 20
Problema
Realizar la prueba de la bondad de ajuste de los caudales máximos
instantáneos anuales de la estación Recreta (Ancash).
Solución
Tabla 2.1. Prueba de la bondad de ajuste de los QMIA de la estación Recreta a la
distribución Gumbel por el método de Smirnov - Kolmogorov
Año i QMIA (m3/s) QMIA (m3/s) PE (Q<Qo) PT (Q<Qo) Abs(D)
1953 1 18.40 6.17 0.033 0.003 0.031
1954 2 38.20 8.80 0.067 0.011 0.056
1955 3 23.50 11.90 0.100 0.039 0.061
1956 4 23.00 13.20 0.133 0.060 0.073
1957 5 21.50 17.08 0.167 0.157 0.010
1958 6 38.00 18.40 0.200 0.200 0.000
1959 7 25.78 21.48 0.233 0.315 0.081
1960 8 21.48 21.50 0.267 0.315 0.049
1961 9 37.60 21.97 0.300 0.334 0.034
1962 10 34.10 23.00 0.333 0.374 0.041
1963 11 27.01 23.10 0.367 0.378 0.012
1964 12 21.97 23.50 0.400 0.394 0.006
1965 13 17.08 25.19 0.433 0.460 0.027
1966 14 29.09 25.78 0.467 0.482 0.016
1967 15 8.80 26.96 0.500 0.526 0.026
1968 16 13.20 27.01 0.533 0.528 0.005
1969 17 39.90 27.65 0.567 0.551 0.016
1970 18 40.00 29.09 0.600 0.600 0.000
1971 19 53.55 31.26 0.633 0.667 0.034
1972 20 26.96 34.10 0.667 0.742 0.075
1973 21 40.35 37.60 0.700 0.815 0.115
1974 22 27.65 38.00 0.733 0.822 0.088
1975 23 31.26 38.20 0.767 0.825 0.059
1976 24 25.19 38.80 0.800 0.835 0.035
1977 25 11.90 39.90 0.833 0.852 0.019
1978 26 23.10 40.00 0.867 0.854 0.013
1979 27 6.17 40.35 0.900 0.859 0.041
1980 28 54.70 53.55 0.933 0.964 0.030
1981 29 38.80 54.70 0.967 0.968 0.001
Media 28.22
STD 11.96

27. 21
α 9.32
μ 22.83
D máx 0.115
Los datos se ajustan a la distribución Gumbel con 95 % de confiabilidad
porque Dmáx < 0.246
2.6 Prueba de normalidad por el método de Anderson – Darling
Ho: Los datos se ajustan a la distribución normal
H1: Los datos no se ajustan a la distribución normal
Se calcula AD mediante la fórmula:
,
[∑ ( )[ ( ) ( ( )]]
- (2.17)
Para hallar p (OAi) y p(ODi) se puede utilizar la función correspondiente en
excel:
Después se calcula el valor crítico de Anderson Darling al 95 % de
confiabilidad para datos menores o iguales de 10 mediante la fórmula:
( )
(2.18)
Si n > 10 entonces ADc = 0.752
Se acepta la Ho si AD ≤ ADc
Problema
Realice la prueba de AD para determinar si los datos hidroambientales (Xi)
que se indican se ajustan a la distribución normal.

28. 22
Tabla 2.2: Prueba de la bondad de ajuste de los datos hidroambientales que se
indican a la distribución normal por el método de Anderson - Darling
i Xi
OA p(OA) OD 1- p(OD) ln(p(OA)) ln(1-p(OD)) (1-2i)/n c(a+b)
Xi Xi (a) (b) ( c )
1 16.3 11.3 0.0706 87.2 0.0137 -2.651 -4.287 -0.0400 0.2775
2 38.6 16.3 0.1096 72.8 0.0657 -2.211 -2.723 -0.1200 0.5921
3 28.4 16.8 0.1135 69.9 0.0863 -2.176 -2.450 -0.2000 0.9252
4 24.8 17.4 0.1199 68.7 0.0951 -2.121 -2.352 -0.2800 1.2525
5 11.3 18.8 0.1335 62.0 0.1632 -2.013 -1.813 -0.3600 1.3774
6 87.2 24.3 0.1996 61.4 0.1694 -1.611 -1.776 -0.4400 1.4902
7 61.4 24.8 0.2062 54.9 0.2618 -1.579 -1.340 -0.5200 1.5180
8 62.0 26.9 0.2361 51.5 0.3177 -1.444 -1.147 -0.6000 1.5541
9 54.9 27.5 0.2457 49.9 0.3455 -1.403 -1.063 -0.6800 1.6771
10 72.8 28.4 0.2600 45.5 0.4270 -1.347 -0.851 -0.7600 1.6705
11 41.6 38.6 0.4407 43.9 0.4584 -0.819 -0.780 -0.8400 1.3436
12 39.1 39.1 0.4497 43.1 0.4738 -0.799 -0.747 -0.9200 1.4226
13 16.8 41.6 0.4973 41.6 0.5027 -0.699 -0.688 -1.0000 1.3863
14 43.9 43.1 0.5262 39.1 0.5503 -0.642 -0.597 -1.0800 1.3384
15 26.9 43.9 0.5416 38.6 0.5593 -0.613 -0.581 -1.1600 1.3852
16 18.8 45.5 0.5730 28.4 0.7400 -0.557 -0.301 -1.2400 1.0639
17 24.3 49.9 0.6545 27.5 0.7543 -0.424 -0.282 -1.3200 0.9317
18 49.9 51.5 0.6823 26.9 0.7639 -0.382 -0.269 -1.4000 0.9122
19 51.5 54.9 0.7382 24.8 0.7938 -0.304 -0.231 -1.4800 0.7910
20 17.4 61.4 0.8306 24.3 0.8004 -0.186 -0.223 -1.5600 0.6369
21 27.5 62.0 0.8368 18.8 0.8665 -0.178 -0.143 -1.6400 0.5273
22 43.1 68.7 0.9049 17.4 0.8801 -0.100 -0.128 -1.7200 0.3917
23 68.7 69.9 0.9137 16.8 0.8865 -0.090 -0.120 -1.8000 0.3793
24 69.9 72.8 0.9343 16.3 0.8904 -0.068 -0.116 -1.8800 0.3460
25 45.5 87.2 0.9863 11.3 0.9294 -0.014 -0.073 -1.9600 0.1707
Media 41.7
S 20.6
n 25
Suma 25.361
AD 0.361
ADc 0.752

29. 23
Los datos se ajustan a la distribución normal AD < ADC, es decir se acepta la
Ho
2.7 Detección de datos hidroambientales dudosos
Test Chauvenet
a) Hipótesis
Ho: Todos los datos provienen de una misma población normal
H1: Algunos datos no provienen de una misma población normal
b) Estandarización de datos
̅
(2.19)
c) Nivel de significancia bilateral (α/2)
(2.20)
d) La hipótesis Ho se acepta si se cumple:
Abs(Zi) ≤ Zα/2 (2.21)
Caso contrario se acepta H1
2.8 Análisis de tendencia de una serie temporal hidroambiental
Método de Cox – Stuart
a) Hipótesis
Ho: No existe tendencia creciente
H1: Existe tendencia creciente
b) Se consideran los datos en la misma secuencia que ocurrieron
c) Se dividen los datos en dos, Xi, Xj
d) Signo
Si(Xj<>Xi, si (Xj > Xi, “+”, “-“),”0”)
e) Se determinan el número de ocurrencias : N(+), N(-), N(0)

30. 24
f) Se acepta Ho si:
p (X≥N (+)) = 1- p(X<N(+)-1) > α (nivel de significancia)
Problema
Determinar si los datos de precipitación total anual (PTM) de una estación
determinada tienen tendencia creciente.
Ho: Los datos tienen tendencia creciente
H1: Los datos no tienen tendencia creciente
Tabla 2.3: Análisis de tendencia de datos hidroambientales que se indican por el
método de Cox – Stuart.
Año PTM (mm) PTM (mm) Signo
1965 667.80 841.7 +
1966 764.1 639.1 -
1967 795.5 632.4 -
1968 727.5 701.2 -
1969 727.6 599.2 -
1970 926.2 463.9 -
1971 503.2 413.1 -
1972 1033.9 875.9 -
1973 1136.5 810.5 -
1974 791.6 664.9 -
1975 866.2 705.6 -
1976 739 700.5 -
1977 736.3 704.8 -
1978 679.4 767.3 +
1979 599 825.6 +
1980 739.8 786.7 +
1981 733.3 761.2 +
1982 741 731 -
1983 673.3 762.5 +
1984 846.5 621.7 -
N(+) 6
N(-) 14
N(0) 0
Suma 20
p(X≥N(+)) = 0.9793

31. 25
Se acepta la hipótesis Ho
2.9 Período de retorno (T)
Es el recíproco de la probabilidad de excedencia:
( )
La variable hidroambiental tiene relación directa con el período de retorno, tal
se puede observar en las ecuaciones obtenidas por Reyes (2009), al estudiar
los caudales máximos instantáneos en la cuenca del Río Santa (Perú)
encontró las siguientes fórmulas:
a) Para cuencas de 48 a 500 km2
:
b) Para cuencas de 500 a 10400 km2
:
( ( ))
( ( ))
Donde:
Q = Caudal máximo instantáneo anual (m3
/s)
A = Área de la cuenca (km2
)
T = Período de retorno (años)

32. 26
Bibliografía
Fair – Geyer – Okun (1999). Abastecimiento de Agua y Remoción de Aguas
Residuales. Editorial Limusa, México.
McCuen, Richard (2005). Modeling Hydrologic Change. Editorial: Lewis Publishers,
USA.
Reyes Rodríguez, Toribio (2009). Regionalización de los Caudales Máximos
Instantáneos Anuales de la Cuenca del Río Santa. I Congreso Nacional del
Agua. Lima, Perú.
Reyes Rodríguez, Toribio (2005). Métodos de Optimización en Ingeniería Agrícola.
UNASAM, Huaraz.
Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.

33. 27
CAPÍTULO III
ANÁLISIS DE SEQUÍAS
El análisis de sequías se realiza actualmente mediante el Standard Precipitation
Index (SPI), fue creada por McKee, Doesken y Kleist en 1993, consiste en:
3.1 Metodología para determinar el SPI
1) Ajustar los registros de precipitaciones a la distribución gamma de 2
parámetros o a la distribución log Pearson III.
En caso que se utilice la distribución gamma de dos parámetros, los
parámetros alfa (parámetro de forma) y parámetro beta (parámetro de
escala) se calcula así:
(
̅
) (3.1)
( )
̅
(3.2)
2) Con la distribución adecuada se calcula p(X< Xo) para todos los datos
3) Se halla la variable tipificada de la distribución normal empleando p(X<Xo)
que viene a ser el valor de SPI.
3.2 Categorización del PSI
Tabla 3.1 Categorización de SPI según Agnew
En el cuadro adjunto se indica el SPI de las precipitaciones anuales de la
estación Chavín (Huari – Ancash):
SPI Categorización
< 1.65 Extremadamente húmedo
1.28 a 1.64 Muy húmedo
0.84 a 1.28 Moderadamente húmedo
-0.84 a 0.84 Normal
-0.84 a -1.28 Moderadamente seco
-1.28 a -1.64 Muy seco
< -1.65 Extremadamente seco

34. 28
Tabla 3.2: SPI estación Chavín (Ancash)
Año Precipitación P(X<Xo) SPI
mm Gamma
1964 618.7 0.112 -1.21588752
1965 488.7 0.015 -2.17059373
1966 607.9 0.099 -1.28961809
1967 993.6 0.825 0.93470434
1968 610.2 0.101 -1.27384159
1969 825.4 0.521 0.05231575
1970 1010.4 0.845 1.01725404
1971 1034.6 0.872 1.13459785
1972 769.8 0.395 -0.26553542
1973 829.1 0.529 0.07295358
1974 778.9 0.416 -0.21248433
1975 959.3 0.777 0.76327339
1976 871.1 0.619 0.30303311
1977 809.4 0.485 -0.03764608
1978 740.1 0.329 -0.44166667
1979 937.5 0.743 0.65220974
1980 1072.4 0.906 1.31434608
1981 1203.6 0.972 1.90798928
1982 1106.6 0.930 1.47344605
1983 851.1 0.577 0.19441412
1984 794.4 0.451 -0.12307061
1985 1031.2 0.868 1.11822084
1986 790.9 0.443 -0.14315798
1987 649.2 0.156 -1.01230148
1988 733.8 0.316 -0.47963647
1989 657.8 0.170 -0.95607802
1990 805.5 0.476 -0.05975394
1991 693.4 0.233 -0.72850767
1992 484.2 0.014 -2.20664292
1993 1125 0.940 1.55772201
1994 865.2 0.607 0.2711644
1995 855.4 0.586 0.21790924
1996 751.3 0.354 -0.3746984
Promedio 828.96 0.506
D. estándar 179.30 0.295
α 21.375
β 38.781

35. 29
Figura 3.1: SPI de la estación Chavín (Huari - Ancash)
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996

36. 30
Bibliografía
Borgo, Marco (2005). Regional Rainfall Depth – Duration – Frequency Equations
for an Alpine Region. Italia. PDF. 29/12/2010.
Dal- RéTenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones
Mundi – Prensa, España.
McCuen, Richard (2005). Hydrologic Analysis and Desig.Editorial Prentice Hall,
New Jersey.
Moncho, Robert (2006). Estudio Climático del Exponente n de las Curvas IDF:
Aplicación para la Península Ibérica. España: Departamento de Física y
Termodinámica, Universidad de Valencias. PDF. 29/12/2010

37. 31
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE LA INFILTRACIÓN EN SUELOS
El análisis de la infiltración es muy importante en diferentes especialidades de la
ingeniería: en ingeniería agrícola sirve para la planificación, diseño y ejecución de
sistemas de riego; en ingeniería ambiental para el análisis de la infiltración de
contaminantes disueltos en el agua, etc.
Tabla 4.1 Tasa mínima de infiltración en suelos
Grupo hidrológico fc (mm/h)
A 7.62 a 11.43
B 3.81 a 7.62
C 1.27 a 3.81
D 0.00 a 1.27
Fuente: WWW.Oasificación.com
4.1 Ecuación de Kostiakov
4.1.1 Tasa de infiltración
b
attf )( (4.1)
Donde:
f(t) = Tasa de infiltración en el tiempo t > 0
t = Tiempo de infiltración t>0
a, b = Parámetros (a>0, 0<b<1)
f(t)
t
Gráfico 4.1: Tasa de infiltración – ecuación de Kostiakov

38. 32
4.1.2 Lámina de infiltración acumulada
Integrando la ecuación (4.1) respecto al tiempo:
1
0
)()( 

 b
t
t
ba
a
dttftF
1
)( 

 b
t
ba
a
tF (4.2)
F(t) = Lámina de infiltración acumulada en el tiempo t
t = Tiempo de infiltración t >0
a, b = Parámetros
F(t)
t
Gráfico 4.2: Lámina acumulada de infiltración – ecuación de Kostiavok
4.1.3 Tiempo de encharcamiento (tp)
El encharcamiento ocurre bajo las siguientes condiciones:
i = f(t) (4.3)
F(t) = itp (4.4)
Donde:
i = Intensidad de precipitación
De la ecuación (4.3):
b
ati  (4.5)
De la ecuación (4.5):
b
a
i
t
/1






 (4.6)

39. 33
Sustituyendo (4.4) y (4.6) en (4.2):
)1(
)/(
1
)/1(1





b
ai
i
t
b
a
tp
bb
(4.7)
)1(
)/( )/1(


b
ai
tp
b
(4.8)
4.1.4 Infiltración básica para la ecuación de Kostiakov
La tasa de infiltración de Kostiakov:
( ) (4.9)
La condición para la tasa de infiltración básica:
( )
( ) (4.10)
De las ecuaciones anteriores se tiene:
( ) (4.11)
4.2 Ecuación de Horton
4.2.1 Tasa de infiltración
La ecuación diferencial de la tasa de infiltración se obtiene a partir de la
analogía con ley de enfriamiento de Newton:
( )
( ( ) ) (4.12)
kt
coc effftf 
 )()( (4.13)
Donde:
f(t) = Tasa de infiltración en el tiempo t
fc = Tasa de infiltración en el tiempo t ~ ∞
fo = Tasa de infiltración en el tiempo t = 0
k = Parámetro
e = Base de los logaritmos neperianos
t = Tiempo de infiltración

40. 34
f(t)
fo
fc
t
Gráfico 4.3: Tasa de infiltración – ecuación de Horton
4.2.2 Lámina de infiltración acumulada
Integrando la ecuación (4.13) respecto al tiempo:
   ktco
c
t t
kt
coc e
k
ff
tfdteffftftF 


   1
)(
)()()(
0 0
 ktco
c e
k
ff
tftF 


 1
)(
)( (4.14)
F(t) = Lámina de infiltración acumulada en el tiempo t
fc = Tasa de infiltración en el tiempo t ~ ∞
fo = Tasa de infiltración en el tiempo t = 0
k = Parámetro
e = Base de los logaritmos neperianos
t = Tiempo de infiltración
F( t )
t
Gráfico 4.4: Lámina acumulada de infiltración – ecuación de Horton

41. 35
4.2.5 Infiltración básica para el modelo de Horton
La condición para la tasa de infiltración básica:
( )
( ) (4.15)
La tasa de infiltración de Horton:
( ) ( ) (4.16)
De las ecuaciones anteriores se llega a demostrar que la infiltración básica
está dada por:
( ) (4.17)
Problema
Para los datos de infiltración de campo que se indican en la tabla 4.2,
determinar los parámetros de Horton.
Tabla 4.2: Datos de infiltración de campo
t (h), h 0.00 0.07 0.16 0.27 0.43 0.67 1.10 2.53
f(t), cm/h 0.66 0.53 0.43 0.33 0.23 0.13 0.08 0.03
Solución
Por procesos de optimización numérica se obtuvieron los resultados que se
indican en la tabla 4.3.
Tabla 4.3: Parámetros de infiltración de Horton
fo 0.652 cm/h fc 0.033 cm/h k 2.731 h
-1
t (h), h 0.00 0.07 0.16 0.27 0.43 0.67 1.10 2.53
f(t), cm/h 0.66 0.53 0.43 0.33 0.23 0.13 0.08 0.03
f(t)m, cm/h 0.65 0.54 0.43 0.33 0.22 0.13 0.06 0.03
EC 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Suma EC 0.00

42. 36
La ecuación de la tasa de infiltración de Horton obtenida es:
( ) ( ) ( )
En el gráfico 4.5 se indican las tasas de infiltración medidas en campo y las
de la ecuación de Horton:
Gráfico 4.5: Tasas de infiltración de campo y modelo de Horton
Problema
Para los datos de infiltración acumulada de campo que se indican en la tabla
4.4, determinar los parámetros de Horton.
Tabla 4.4: Datos de infiltración acumulada de campo
t (h), h 0.00 1.07 1.53 2.30 3.04 3.89 4.85 7.06
F(t), cm 0.00 0.54 0.75 1.00 1.20 1.40 1.60 2.00
Solución
Por procesos de optimización numérica se obtuvieron los resultados que se
indican en la tabla 4.5.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
Tasadeinfiltración(cm/h)
Tiempo (h)
Horton Campo

43. 37
Tabla 4.5: Parámetros de infiltración de Horton
fo 0.626 cm/h fc 0.156 cm/h k 0.508 h-1
fb 0.194 cm/h
t (h), h 0.00 1.07 1.53 2.30 3.04 3.89 4.85 7.06
F(t), cm 0.00 0.54 0.75 1.00 1.20 1.40 1.60 2.00
F(t)m, cm 0.00 0.55 0.74 1.00 1.20 1.40 1.60 2.00
EC 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Suma EC 0.00
La ecuación infiltración acumulada de Horton obtenida es:
( ) ( ) ( ( ))
En el gráfico 4.6 se indican la infiltración acumulada medidas en campo y las
de la ecuación de Horton:
Gráfico 4.6: Infiltración acumulada de campo y modelo de Horton
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
Infiltraciónacumulada(cm)
Tiempo (h)
Horton Campo

44. 38
4.3 Ecuación de Green - Ampt
4.3.1 Tasa de infiltración, f(t)
Z
Frente de mojado Agua
Suelo saturado
L
Área (A) Zo
Gráfico 4.5: Modelo de infiltración de Green - Ampt
Sea F(t) la profundidad de lámina infiltrada en el suelo, si el contenido
inicial de humedad en volumen es θi y la porosidad del suelo es η.
Además se sabe que contenido de humedad en el suelo en volumen se
define como:
L
tF
AL
tAF
V
V
t
w )()(
 (4.18)
De la ecuación (4.18):
LtF )( (4.19)
Adecuando la ecuación para condiciones del problema:
   LLtF i  )( (4.20)


)(tF
L (4.21)
Aplicando la ecuación de Darcy:
( ) (4.22)

45. 39
Donde:
h2 = Zo – Ψ = Carga en el frente de humedecimiento (4.23)
h1 = Zo + L = Carga en la parte superior del frente de humedecimiento
Ψ = Carga de succión en el frente de humedecimiento
Sustituyendo (4.21 y (4.23) en (4.22):
   





 

L
LZZ
KAQ oo 
   





 

L
LZZ
Kq oo 





 

L
L
Kq

(4.24)
Sustituyendo (4.21) en (4.24):



















)(
)(
tF
tF
Kq
Simplificando la ecuación anterior:





 

)(
)(
tF
tF
Kq

(4.25)
Si f(t) = q (4.26)
Entonces 




 

)(
)(
)(
tF
tF
Ktf

(4.27)

46. 40
Tabla 4.6: Parámetros de infiltración de la ecuación de Green – Ampt
Clase de suelo Porosidad
η
Porosidad
Efectiva
Θe
Cabeza de
succión en el
frente de
mojado, Ψ
(cm)
Conductividad
Hidráulica
K
(cm/h)
Arena 0.437 0.417 4.95 11.78
Arena margosa 0.437 0.401 6.13 2.99
Marga arenosa 0.453 0.412 11.01 1.09
Marga 0.463 0.434 8.89 0.34
Marga limosa 0.501 0.486 16.68 0.65
Marga arenoarcillosa 0.398 0.330 21.85 0.15
Marga arcillosa 0.464 0.309 20.88 0.10
Marga limo - arcillosa 0.471 0.432 27.30 0.10
Arcillosa arenosa 0.430 0.321 23.90 0.06
Arcilla limosa 0.479 0.423 29.22 0.05
Arcilla 0.475 0.385 31.63 0.03
Fuente: Vente Chow. Hidrología. 1998
4.3.2 Lámina de infiltración acumulada, F(t)





 

)(
)()(
tF
tF
K
dt
tdF 
(4.28)
Ordenando la ecuación (4.28):
Kdt
tF
tdFtF

 )(
)()(

(4.29)
Rescribiendo la ecuación (4.29) para facilitar la integración:
KdttdF
tFtF
tF











)(
)()(
)(




(4.30)
Integrando la ecuación (4.30):
 








ttF
KdttdF
tF 0
)(
0
)(
)(
1


(4.31)










)(
1ln)(
tF
KttF (4.32)

47. 41
4.3.3 Ecuaciones complementarias para el modelo de Green - Ampt
e
ri
r
ri
Se



 



 (4.33)
De la ecuación (4.33):
reei S   (4.34)
er   (4.35)
Sustituyendo (4.34) y (4.35) en la ecuación siguiente:
eSeSS eeereei  )1()( 
eSe  )1(  (4.36)
Donde:
Se = Saturación efectiva
θi = Contenido de humedad inicial del suelo en volumen
θr = Contenido de humedad residual del suelo en volumen
η = Porosidad del suelo
η - θr = Porosidad efectiva
Problema
Calcular la lámina infiltrada F y la velocidad de infiltración f después de
0.80 horas de infiltración en un suelo margoso que inicialmente tenía 35 %
de saturación efectiva. Suponga que el agua se encuentra encharcada con
una profundidad pequeña y despreciable.
Datos adicionales:
Porosidad efectiva: 0.434
Cabeza de succión: 8.89 cm
Conductividad hidráulica: 0.34 cm/h
Respuesta: 1.36 cm, 0.97 cm/h

48. 42
Problema
Calcular la lámina infiltrada F y la velocidad de infiltración f después de
1.20 horas de infiltración en un suelo margoso que inicialmente tenía 40 %
de saturación efectiva. Suponga que el agua se encuentra encharcada con
una profundidad pequeña y despreciable.
Datos adicionales:
Porosidad efectiva: 0.434
Cabeza de succión: 8.89 cm
Conductividad hidráulica: 0.34 cm/h
Respuesta: 1.66 cm, 0.81 cm/h
4.4 Ecuación de Philip
La ecuación de Philip para la lámina de infiltración acumulada está dada
por:
( ) √ (4.37)
Donde:
F(t) = Lámina de infiltración acumulada (cm)
S = Adsorción, función del potencial de succión del suelo (cm/h0.5
)
K = Conductividad hidráulica del suelo (cm/h)
Problema
Para los datos de infiltración acumulada de campo que se indican en la tabla
4.7, determinar los parámetros de Philip.
Tabla 4.7: Datos de infiltración acumulada de campo
t (h), h 0.00 1.07 1.53 2.30 3.04 3.89 4.85 7.06
F(t), cm 0.00 0.54 0.75 1.00 1.20 1.40 1.60 2.00
Solución
Por procesos de optimización numérica se obtuvieron los resultados que se
indican en la tabla 4.8 y el gráfico 4.7
El modelo de Philip obtenido es:
( ) √

49. 43
Tabla 4.7: Parámetros del infiltración de Philip
S 0.485 cm/h0.5
K 0.106 cm/h
t (h), h 0.00 1.07 1.53 2.30 3.04 3.89 4.85 7.06
F(t), cm 0.00 0.54 0.75 1.00 1.20 1.40 1.60 2.00
F(t)m, cm 0.00 0.62 0.76 0.98 1.17 1.37 1.58 2.04
EC 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Suma EC 0.01
Gráfico 4.6: Modelo de infiltración de Philip
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
Infiltraciónacumulada(cm)
Tiempo (h)
Philip Campo

50. 44
Bibliografía
Monsalve Saenz, Germán (1996). Hidrología en la Ingeniería. Editorial Escuela
Colombiana de Ingeniería, Primera edición. Colombia.
Linsley Ray, et. al (1998). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw Hill,
Primera edición. México.
Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2004). Técnicas del Riego Superficial.
Programa Cordillera Negra: Convenio República del Perú y la Unión Europea.
Huaraz.
Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.

51. 45
CAPÍTULO V
ANÁLISIS DE LA EVAPORACIÓN Y EVAPOTRANSPIRACIÓN POTENCIAL
5.1 Modelo periódico de evaporación mensual
Reyes (2016) para la estación de Recuay (Ancash – Perú) empleando
métodos de optimización numérica encontró la fórmula periódica para la
evaporación mensual (mm/mes) en función del tiempo (mes):
( ) (5.1)
Gráfico 5.1: Modelo periódico de la evaporación mensual – estación Recuay
5.2 Evapotranspiración potencial modelo de Christiansen
Existen muchas ecuaciones para estimar la evapotranspiración potencial,
sólo se indicará las usadas en el Perú.
a) Modelo de Christiansen
(5.2)
Donde:
ETP = Evapotranspiración potencial (mm/día)
Rt = Radiación extraterrestre (Tabla 5.1)
60
85
110
135
160
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108
Evaporación(mm/mes)
Meses (Ene_2004 a 2012_Dic)
Ev observados Ev modelados

52. 46
( ) ( ) (5.3)
T = Temperatura media diaria (°C)
( ) ( ) (5.4)
V = Velocidad media diaria del viento (Km/h) a 2 m de altura
( ) ( ) (5.5)
HR = Humedad relativa media diaria (decimal)
( ) ( ) (5.6)
S = Porcentaje de luz solar medio diario (decimal), tabla 5.2
( ) (5.7)
Z = Altitud del lugar (msnm)
Tabla 5.1 Radiación extraterrestre, expresada en evaporación equivalente (mm/día)
Latitud Sur Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic
5 15.81 15.98 15.75 14.88 13.76 13.12 13.39 14.41 15.46 15.96 15.89 15.72
10 16.45 16.33 15.67 14.37 12.95 12.18 12.51 13.76 15.20 16.15 16.45 16.44
15 16.98 16.55 15.48 13.76 12.06 11.17 11.54 13.01 14.82 16.21 16.89 17.06
20 17.40 16.66 15.16 13.05 11.09 10.10 10.51 12.17 14.33 16.16 17.22 17.57
25 17.72 16.65 14.73 12.24 10.05 8.97 9.42 11.25 13.73 15.99 17.43 17.97
30 17.91 16.52 14.19 11.34 8.95 7.80 8.28 10.25 13.03 15.70 17.54 18.27
35 17.99 16.27 13.54 10.36 7.80 6.61 7.10 9.18 12.23 15.29 17.52 18.46
40 17.98 15.92 12.79 9.31 6.61 5.40 6.89 8.06 11.33 14.78 17.40 18.54
45 17.86 15.46 11.94 8.19 5.41 4.19 4.69 6.89 10.35 14.16 17.18 18.54
50 17.66 14.90 11.00 7.02 4.20 3.02 3.49 5.68 9.29 13.45 16.87 18.46
55 17.40 14.25 9.98 5.81 3.01 1.90 2.34 4.46 8.16 12.64 16.49 18.33
60 17.12 13.54 8.88 4.57 1.88 0.91 1.28 3.24 6.97 11.76 16.07 18.20
Fuente: FAO, Irrigation and Drainage, N° 24

53. 47
Tabla 5.2 Porcentaje de horas de sol medio diario
Latitud Sur Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic
5 28 28 28 27 27 27 27 27 27 28 28 28
10 29 28 28 27 26 26 26 27 27 28 28 29
15 29 28 28 27 26 25 26 26 27 28 29 29
20 30 29 28 26 25 25 25 26 27 28 29 30
25 31 29 28 26 25 24 24 26 27 29 30 31
30 31 30 28 26 24 23 24 25 27 29 31 32
35 32 30 28 25 23 22 23 25 27 29 31 32
40 33 31 28 25 22 21 22 24 27 30 32 34
45 34 32 28 24 21 20 20 23 27 30 34 35
50 35 32 28 24 20 18 19 23 27 31 34 36
55 38 33 28 23 18 16 17 21 26 32 36 39
60 40 34 28 22 17 13 15 20 26 32 38 41
Fuente: Martínez Alfaro, Pedro. Fundamentos de Hidrogeología, 2006.
Problema
Calcular la evapotranspiración potencial correspondiente al mes de enero en un
lugar ubicado a 10° S de latitud y altitud 3100 msnm. Temperatura media diaria
15 °C, velocidad del viento media diaria 7.2 km/h, humedad relativa media diaria
80%
Solución
Empleando los datos y las tablas correspondientes se tiene:

54. 48
b) Modelo de Hargreaves
Donde:
ETP = Evapotranspiración mensual (mm/día)
Rt = Radiación extraterrestre (Tabla 5.1)
( ) ≤ 1
HR = Humedad relativa media diaria (decimal)
( )
Z = Cota topográfica del lugar (msnm)
Problema
Calcular la evapotranspiración potencial correspondiente al mes de enero
en un lugar ubicado a 10° S de latitud y altitud 3100 msnm. Temperatura
media diaria 15 °C y humedad relativa media diaria 80%
Solución:
Empleando los datos y las tablas correspondientes se tiene:
5.3 Evaporación mensual en la cuenca del Santa (Perú)
Reyes (1994) obtuvo ecuaciones empíricas para la evaporación mensual
en la cuenca del río Santa, empleando registros de temperaturas medias
mensuales (°C) de las estaciones ubicadas en la cuenca del río Santa:
Lampas Alto No 2 (4030 m.s.n.m), Conococha (4020 m.s.n.m), Lampas
Bajo (3950 m.s.n.m), Querococha (3955 m.s.n.m), San Lorenzo (3750
m.s.n.m), Huaraz (3210 m.s.n.m), Caraz (2205 m.s.n.m), Safuna (4275

55. 49
m.s.n. m), La Rinconada (80 m.s.n.m) y Santa (30 m.s.n.m) y el registro de
las evaporaciones media mensuales de las mismas estaciones.
Tabla 5.3 Ecuaciones empíricas de evaporación en la cuenca del Santa
Mes Ecuación R
Enero
)000041.0247.0( Z
T
Ev

 0.97
Febrero
)000042.0269.0( Z
T
Ev

 0.96
Marzo
)000043.0266.0( Z
T
Ev

 0.95
Abril
)000049.0287.0( Z
T
Ev

 0.96
Mayo
)000038.0233.0( Z
T
Ev

 0.87
Junio
Z
TEv
98.3158
55.606.47  0.86
Julio
Z
TEv
72.3948
012.828.52  0.85
Agosto
Z
TEv
76.3348
57.639.65  0.85
Setiembre
)000048.026.0( Z
T
Ev

 0.98
Octubre
)00005.027.0( Z
T
Ev

 0.96
Noviembre
)000048.026.0( Z
T
Ev

 0.98
Diciembre
)000044.0249.0( Z
T
Ev

 0.97
Donde:
Ev = Evaporación mensual (mm)
T = Temperatura media mensual (°C)
Z = Cota topográfica de un lugar de la cuenca del río Santa (m.s.n.m)

56. 50
Bibliografía
Martínez Alfaro, Pedro et. al. (2006). Fundamentos de Hidrogeología. Editorial
Ediciones Mundi-Prensa,España.
Reyes Rodríguez, Toribio (2016). Propuesta Metodológica para Determinar la
Evaporación, Caso: Estación Meteorológica Recuay, período 2004 – 2014.
Tesis para optar en grado de doctor en Ingeniería Ambiental, Huaraz.
Universidad Nacional de Cuyo (2005). Hidrología (PDF), Argentina.
Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.

57. 51
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS DEL PROCESO DE PRECIPITACIÓN Y ESCORRENTÍA
Cuando se produce una tormenta en una cuenca después de un breve tiempo se
produce escorrentía. Para el análisis de esta escorrentía se desprecia la pérdida
por evapotranspiración porque el tiempo de escorrentía es relativamente breve.
6.1 Deducción de la ecuación para la generación de la precipitación efectiva,
método del Soil Conservation Service – USA
P
Pe
Ia Fa
t
Gráfico 6.1: Abstracciones y precipitación efectiva método de SCS
Supuestos y evidencias empíricas:
1. La abstracción continuada (Fa) es proporcional a la retención potencial
máxima (S) como la precipitación en exceso (Pe) es proporcional
precipitación total menos la abstracción inicial (P-Ia):
a
ea
IP
P
S
F

 (6.1)
2. La siguiente ecuación de continuidad es válida:
P = Pe + Ia + Fa (6.2)
3. Empíricamente se ha verificado que:
Ia = 0.20S (6.3)
De las ecuaciones (1) y (2):
)(
)(
a
eea
IP
P
S
PIP



(6.4)
De la ecuación (6.4) se tiene:

58. 52
)(
)( 2
SIP
IP
P
a
a
e


 (6.5)
Sustituyendo (6.3) en (6.5):
)8.0(
)2.0( 2
SP
SP
Pe


 (6.6)
Además, según la SCS para las condiciones normales de humedad
antecedente normal se tiene:
254
)(
25400

IICN
S (6.7)
Donde:
S = Retención potencial máxima (mm)
CN (II) = Número de curva para la condición de humedad antecedente normal
(adimensional)
Fórmulas para el número de curvas en condición seca (CN(I)) y húmeda
(CN(III)):
)(058.010
)(2.4
)(
IICN
IICN
ICN

 (6.8)
)(13.010
)(23
)(
IICN
IICN
IIICN

 (6.9)
6.2 Deducción de la ecuación para la abstracción continuada
De la ecuación (6.2):
Pe = (P- Ia) - Fa (6.10)
Sustituyendo (6.10) en la ecuación (6.1):
a
a
a
aaa
IP
F
IP
FIP
S
F




 1
)(
(6.11)
1
11








a
a
IPS
F
 )
)(
SIP
IPS
F
a
a
a


 (6.12)
Sustituyendo la ecuación (6.3) en (6.10):
 SP
SPS
Fa
8.0
)20.0(


 (6.13)

59. 53
6.3 Hidrograma unitario del SCS
Tr
qp
D Exceso de lluvia
t
Tp 1.67 Tp
Tb = 2.67 Tp
Gráfico 6.2: Hidrograma unitário del SCS
Fórmulas:
Tp
A
qp
08.2
 (6.14)
Donde:
qp = Caudal pico (m3
/s.cm)
A = Área de la cuenca (Km2
)
crp T
D
T
D
T 6.0
22

(6.15)
5.0
7.0
8.0
1900
9
1000
7.287
S
CN
L
Tc








(6.16)
Tp = Tiempo de ocurrencia del pico (horas)
D = Duración de la tormenta (horas)
Tc = Tiempo de concentración (horas)
L = Longitud del río principal de la cuenca (m)
S = Pendiente de la cuenca (%)

60. 54
Bibliografía
Dal - Ré Tenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones
Mundi – Prensa, España.
Reyes Rodríguez, Toribio (2004). Técnicas del Riego Superficial. Programa
Cordillera Negra – Convenio República del Perú y La Unión Europea. Huaraz.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.

61. 55
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS DE TORMENTAS
El análisis de tormentas es muy importante para el diseño de alcantarillas
pluviales, cunetas, en conservación de suelos, tránsito de avenidas, etc. Sin
embargo, la disponibilidad de la información es muy escasa, es decir se tienen
pocos pluviográfos que permitan registrar las alturas de lluvia en función del
tiempo. Si se dispone de información el análisis es relativamente fácil.
7.1 Modelos de curvas Intensidad – duración – frecuencia (IDF)
(Vélez, 2005) hace referencia a la ecuación de Kothyari (2000):
( ) ( ) (7.1)
Donde:
I = intensidad de la tormenta
T = período de retorno
D = duración de la tormenta
P24 = precipitación máxima anual de 24 horas
N = números de días con precipitaciones por año
PMA = precipitación media anual
Z = altitud
a,b,c,d,e,f,g = parámetros
(Minhn Nhat, 2006) indica la ecuación de Bernard (1931) y la ecuación de
Sherman - Horner respectivamente:
(7.2)
( )
(7.3)
También indica la ecuación de la Organización Meteorológica Mundial (1994):
( ( ))
( )
(7.4)
(Pereyra – Díaz, 2004) cita la ecuación de Demetris Koutsoyiannis (1998), tal
como se indica en la ecuación:
( ( ( )))
( )
(7.5)

62. 56
Donde:
I = intensidad de la tormenta
T = período de retorno
D = duración de la tormenta
Reyes (2011), encontró para la estación de Yanacancha (mina Antamina –
Ancash - Perú):
( ( ( )))
( )
(7.6)
R2
= 0.999
Donde:
I D, T = Intensidad de la tormenta de duración D y período de retorno T
D = Duración de la tormenta (min)
T = Período de retorno de la tormenta (años)
R2
= Coeficiente de determinación
(Ollier – Poirce, 1986), señalan las siguientes leyes referentes a las tormentas:
Primera ley
En una estación determinada, una lluvia de duración dada tiene una
frecuencia de aparición tanto más débil cuanto más fuerte es la intensidad.
Segunda ley
Una lluvia de frecuencia de aparición dada, tiene una intensidad tanto más
fuerte cuando su duración es más corta.
7.2 Relación entre las precipitaciones y sus duraciones
( ) (7.7)
Tabla 7.1 Valores de n y tipo de precipitación
Valores de n Precipitación
0.0 ≤ n < 0.4 Advectiva
0.4 ≤ n < 0.6 Efectiva
0.6 ≤ n < 1.0 Convectiva
Fuente: Moncho, 2006

63. 57
Borga (2005), indica que entre las precipitaciones máximas anuales y sus
duraciones presentan escalamiento simple si:
( ) ( ) (7.8)
Donde:
P = Precipitación máxima anual (mm)
D = Duración de la precipitación máxima anual (min)
λ = Factor de escala
n = Parámetro cuyos valores varían de 0.3 a 0.5
Reyes (2006), para la cuenca del Río Jequetepeque y Cuencas Vecinas
encontró las siguientes ecuaciones empíricas:
1) P(24,T) = 1.592Z0.4119
(0.525 + 0.680Log(T)) (7.9)
2) P(24,T) = 5.3906(Z-80)0.27
(0.525 + 0.680Log(T)) (7.10)
3) P(24,T) = 2.571Z0.325
T0.189
(7.11)
Donde:
P (24,T) = Precipitación máxima anual de 24 horas de duración y con período
de retorno T
Z = Cota topográfica del lugar (m.s.n.m)
7.3 Hietograma triangular
Si se conoce la altura de la precipitación P(D,T) = P para una determinada
duración y período de retorno, se puede calcular el histograma triangular:
i Ta Tb
Imáx
D Duración
Gráfico 7.1: Hietograma triangular

64. 58
Del gráfico 7.1:
DIP máx
2
1
 (7.12)
D
P
Imáx
2
 (7.13)
Coeficiente de avance la tormenta ( r ):
D
T
r a
 (7.14)
De la ecuación (7.14):
rDTa  (7.15)
DrTb )1(  (7.16)
En USA el valor de r promedio es 0.338
7.4 Variabilidad de las tormentas desde el centro de su origen
Con los datos del US Army Corps of Engineers, tomado de (Linsley, 1994),
se llegó a determinar que la profundidad de la precipitación disminuye a
medida que se incrementa el radio de acción de la formante medida desde su
centro de origen y para un mismo radio de acción a mayor duración de la
tormenta le corresponde mayor profundidad de lluvia.
Tabla 7.2: Profundidad de lluvia – duración y área (USA)
Área Duración (horas)
(Km2
) 6h 12h 18h 24h 36h 48h 72h
26 627 757 922 983 1062 1095 1148
259 498 668 826 894 963 988 1031
518 455 650 798 869 932 958 996
1295 391 625 754 831 889 914 947
2590 340 574 696 767 836 856 886
5180 284 450 572 630 693 721 754
12950 206 282 358 394 475 526 620
25900 145 201 257 307 384 442 541
51800 102 152 201 244 295 351 447
129500 64 107 135 160 201 226 292
259000 43 64 89 109 142 168 226
Fuente: (Linsley, 1994)

65. 59
Al representar los valores anteriores se obtuvo el siguiente gráfico 7.2:
Gráfico 7.2: Profundidad de lluvia – duración y área (USA)
La fórmula correspondiente para los datos indicados es:
245.0
421.0
16.887
A
D
P 
Donde:
P = Profundidad de lluvia, mm
D = Duración de la tormenta, horas
A = Área de influencia del centro de la tormenta, km2
Grafico: PAD
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
26
259
518
1295
2590
5180
12950
25900
51800
1E+05
3E+05
Area (Km2)
Profundidaddelluvia(mm)
D = 6h
D = 12 h
D = 18 h
D = 24 h
D = 36 h
D = 48 h
D = 72 h

66. 60
PROBLEMAS
Problema
Para la estación pluviográfica Melozal de la VII Región de Chile, se tiene el
siguiente registro:
Tabla 7.3: Precipitaciones máximas anuales y sus duraciones
Año Duración (horas)
1 2 4 6 8 12 24
1982 9.20 18.40 28.90 36.90 37.70 56.20 75.70
1983 12.70 21.00 31.00 41.80 51.60 66.40 87.40
1984 8.80 10.60 18.30 26.20 30.80 32.80 32.80
1985 8.00 9.30 16.80 20.60 18.00 24.00 35.00
1986 9.30 14.80 25.90 30.60 33.60 42.70 69.10
1987 9.50 16.00 26.60 34.20 39.40 48.10 70.60
1988 7.70 13.80 26.30 37.40 42.30 43.50 45.20
1989 8.20 14.00 20.80 27.10 32.50 30.00 50.40
1990 5.90 7.50 13.70 14.80 17.90 23.80 38.40
1991 13.10 19.00 27.60 35.90 37.70 43.70 56.70
1992 23.00 37.90 57.20 65.80 85.20 111.80 133.70
1993 9.60 9.60 10.60 13.20 15.20 10.90 19.30
1994 7.40 10.70 13.80 16.20 20.90 18.90 30.00
1995 7.60 9.80 18.60 15.70 19.60 19.60 19.60
1996 10.10 10.10 12.70 13.10 13.10 13.10 14.90
1997 14.60 26.40 29.50 44.10 43.80 46.10 52.30
1998 8.40 11.80 18.40 22.60 21.70 29.30 47.60
Fuente: Pizarro, Roberto (2001).
Problema
Halle modelos estadísticos que relacionen las precipitaciones de diferentes
duraciones en función de las precipitaciones de 24 horas de duración , con los
datos de la tabla 7.3:
Solución
Con el software SPSS 20.0 se hizo las regresiones con los datos de la tabla 7.3,
obteniéndose las siguientes fórmulas:
2
24241 00139.0091.00132.10 PPP 
R = 0.86
2
24242 00116.00632.0007.8 PPP 
R = 0.88

67. 61
2
24244 00148.0139.096.10 PPP 
R = 0.95
246 427.013.7 PP 
R = 0.90
971.0
2412 828.0 PP 
R = 0.95

68. 62
Bibliografia
Borgo, Marco (2005). Regional Rainfall Depth – Duration – Frequency Equations
for an Alpine Region. Italia. PDF. 29/12/2010.
Dal-Ré Tenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones
Mundi – Prensa, España.
Moncho, Robert (2006). Estudio Climático del Exponente n de las Curvas IDF:
Aplicación para la Península Ibérica. España: Departamento de Física y
Termodinámica, Universidad de Valencias. PDF. 29/12/2010.
Linsley Ray, et. al (1994). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw – Hill,
segunda edición, México.
Pizarro Tapia, Roberto (2001). Análisis Comparativo de las Curvas IDF en Seis
Estaciones Pluviográficas de la VII Región de Maule. Documento en PDF
Chile.
Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2011). Modelos de las Curvas de Intensidad –
Duración y Frecuencia en la Estación Meteorológica de Yanacancha (San
Marcos – Huari – Ancash). Oficina de Investigación y Cooperación Técnica de
la Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo, Huaraz.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.

69. 63
CAPÍTULO VIII
ANÁLISIS DE HIDROGRAMAS PRODUCIDOS POR TORMENTAS
8.1 Hidrograma unitario (HU)
Es un hidrograma producido por una tormenta de una duración dada sobre una
cuenca, con las siguientes características relevantes:
a) La lámina de agua equivalente al volumen escurrido (flujo directo) es igual a
1 cm en el sistema métrico.
b) El tiempo de duración del HU se conoce como tiempo base. Tormentas de
igual duración sobre una misma cuenca generan hidrogramas de igual
tiempo base.
c) La convolución del HU y la precipitación efectiva produce la escorrentía
directa del hidrograma de una tormenta.
8.2 Hidrogramas unitario para diferentes duraciones
Si se suma un HU generada por una tormenta de duración de t horas con otro
HU pero retrasado t horas, el hidrograma resultante tiene una lámina escurrida
equivalente de 2 cm producida por una tormenta de 2t horas de duración
8.3 Propiedades importantes de los hidrogramas
a) Tormentas de igual duración sobre una cuenca producen hidrogramas de
flujo directo de igual tiempo base, indistintamente de las láminas de agua
generadas por estas tormentas
b) Tormentas de igual duración sobre una cuenca producen hidrogramas de
flujo directo de igual tiempo base, las ordenadas de estos hidrogramas son
directamente proporcionales a las láminas de agua generadas por estas
tormentas. (Principio de afinidad)
c) Tormentas sucesivas de igual duración pero con diferentes láminas de agua
sobre una cuenca producen un hidrograma de flujo directo que se obtienen
sumando las ordenadas de los hidrogramas generados por las tormentas
individuales pero desfasadas igual al tiempo de duración de estas
tormentas. (Principio de superposición)

70. 64
PROBLEMAS
Problema
El hidrograma que se indica en la tabla fue producido por una tormenta de 6 horas
de duración sobre una cuenca de 785 km2
Tabla 8.1: Caudales generados por una tormenta de 6 horas
t (h) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Q (m3
/s) 18 44 228 393 216 113 75 54 42 35
Qb (m3
/s) 18 32 54 75 73 63 55 47 40 35
Hallar el HU de seis horas para la cuenca.
Solución
Tabulando los datos se tiene la tabla 8.2:
Tabla 8.2: Generación de HU de 6 horas de duración
t Q Qb Qd HU (6)
(horas) m3
/s m3
/s m3
/s m3
/s*cm
0 18 18 0 0
6 44 32 12 6
12 228 54 174 87
18 393 75 318 159
24 216 73 143 71.5
30 113 63 50 25
36 75 55 20 10
42 54 47 7 3.5
48 42 40 2 1
54 35 35 0 0
V (m3
) 1.568E+07 363
L (cm) 2.00 1.00

71. 65
Gráfico 8.1: Hidrogramas total, base, directo e HU (6)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60
Q Qb Qd HU (6)

72. 66
Problema
Si una tormenta con una intensidad aproximadamente constante y duración de
seis horas sobre una cuenca de área de 785 km2
produjo los caudales que se
indican en la tabla 8.3:
Tabla 8.3: Generación de HU de 6 horas de duración
Complete la tabla para obtener el hidrograma unitario de seis horas de duración
t Q Qb Qd HU (6) t Q Qb Qd HU (6)
(horas) m3
/s m3
/s m3
/s m3
/s*cm (horas) m3
/s m3
/s m3
/s*cm
0 18 18 30 113 63.0
2 21 20 32 97 60
4 28 25 34 84 57
6 44 32 36 75 55
8 70 40 38 66 52
10 118 47 40 59 49
12 228 54 42 54 47
14 342 61 44 49 44
16 413 68 46 46 42
18 393 75 48 42 40
20 334 79 50 40 38
22 270 77 52 38 37
24 216 73 54 36 35
26 171 69 56 34 34
28 138 66 56 34 34

73. 67
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Caudal(m3/s)
Tiempo (horas)
Q Qb Qd HU (6)
Solución
Tabla 8.4: HU de 6 horas de duración generado
t Q Qb Qd HU (6) t Q Qb Qd HU (6)
(horas) m3
/s m3
/s m3
/s m3
/s*cm (horas) m3
/s m3
/s m3
/s*cm
0 18 18 0 0.0 30 113 63.0 50.0 25.0
2 21 20 1 0.5 32 97 60 37.0 18.5
4 28 25 3 1.5 34 84 57 27 13.5
6 44 32 12 6.0 36 75 55 20 10.0
8 70 40 30 15.0 38 66 52 14 7.0
10 118 47 71 35.5 40 59 49 10 5.0
12 228 54 174 87.0 42 54 47 7 3.5
14 342 61 281 140.5 44 49 44 5 2.5
16 413 68 345 172.5 46 46 42 4 2.0
18 393 75 318 159.0 48 42 40 2 1.0
20 334 79 255 127.5 50 40 38 2 1.0
22 270 77 193 96.5 52 38 37 1 0.5
24 216 73 143 71.5 54 36 35 1 0.5
26 171 69 102 51.0 56 34 34 0 0.0
28 138 66 72 36.0 56 34 34 0 0.0
Gráfico 8.2: Hidrogramas total, base, directo e HU (6)

74. 68
Problema
Dado el hidrograma unitario producida por una tormenta de 6 horas de duración.
Calcule el hidrograma producida por una tormenta que en las 6 primeras horas
produjo un exceso de lluvia de 5 cm y en las siguientes 6 horas 15 cm de exceso
de lluvia.
Tabla 8.5: HU de 6 horas de duración
Tiempo HU (1,6)
(Horas) (m
3
/s*cm)
0 0.00
6 1.80
12 30.90
18 85.60
24 41.80
30 14.60
36 5.50
42 1.80
Solución
Tabla 8.6: Hidrograma (20, 12)
Tiempo HU (1,6) H (5,6) H (15,6) H (20,12)
(Horas) (m
3
/s*cm) (m
3
/s) (m
3
/s) (m
3
/s)
0 0.00 0.00 0.00
6 1.80 9.00 0.00 9.00
12 30.90 154.50 27.00 181.50
18 85.60 428.00 463.50 891.50
24 41.80 209.00 1284.00 1493.00
30 14.60 73.00 627.00 700.00
36 5.50 27.50 219.00 246.50
42 1.80 9.00 82.50 91.50
48 27.00 27.00
Suma 182.00 2730.00 3640.00
Lámina, cm 1.00 15.00 20.01

75. 69
Problema
Utilice el hidrograma unitario de seis horas de duración y obtenga un hidrograma
unitario de 12 horas para la misma cuenca. Use el método de la curva S y grafique
los hidrogramas de 6 y 12 horas.
Solución
Haciendo la tabulación correspondiente se tiene:
Tabla 8.6: Hidrograma unitario (1,12)
t(h)
HU (6)
m3
/s*cm
HU desplazado S Sd
H
(2,12)
HU
(1,12)
0 0 0 0 0.00
6 1.8 0 1.8 1.8 0.90
12 30.9 1.8 0 32.7 0 32.7 16.35
18 85.6 30.9 1.8 0 118.3 1.8 116.5 58.25
24 41.8 85.6 30.9 1.8 0 160.1 32.7 127.4 63.70
30 14.6 41.8 85.6 30.9 1.8 0 174.7 118.3 56.4 28.20
36 5.5 14.6 41.8 85.6 30.9 1.8 0 180.2 160.1 20.1 10.05
42 1.8 5.5 14.6 41.8 85.6 30.9 1.8 0 182 174.7 7.3 3.65
48 0 1.8 5.5 14.6 41.8 85.6 30.9 1.8 0 182 180.2 1.8 0.90
54 182 182 0 0.00
60

76. 70
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Caudales(m3/s)
Horas
S Sd H(2,12) HU (12)
Gráfico 8.3: Curva S, Sd, H (1,12) y HU (12)

77. 71
Bibliografía
Dal-Ré Tenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones
Mundi – Prensa, España.
Monsalve Saenz, Germán (1995). Hidrología en la Ingeniería. Editorial Escuela
Colombiana de Ingeniería, primera edición.
Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2006). Modelos Altimétricos y Frecuenciales de
las Precipitaciones Máximas Diarias en la Cuenca del Río Jequetepeque y
Cuencas Vecinas. Oficina General de Investigación de la Universidad Nacional
Santiago Antúnez de Mayolo. Huaraz.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.

78. 72
CAPÍTULO IX
BALANCE HÍDRICO
Existen diferentes métodos para realizar el balance hídrico, el método más
conocido es de Thornthwaite – Matter.
9. 1 Método de Thornthwaite – Matter
Procedimiento:
1) Parámetros iniciales del modelo
Estimar la capacidad máxima de almacenamiento de agua en el suelo:
Smax = (Wcc – Wmp)ρapr
2) Procedimiento de cálculo
a) Se ingresan las precipitaciones (Pt) y evapotranspiración potencial
(ETPt).
b) Se halla: Dt = Pt - ETPt
c) Se hace St-1 = Smax que corresponde al mes más lluvioso.
d) Se halla el contenido de humedad actual del suelo (St):
Si (Dt < 0, Si ((St-1 + Dt) ≤ Smax, St-1 + Dt, Smax), St-1 exp (Dt /Smax))
e) Se calcula la variación de almacenamiento en el suelo
∆St = St – St-1
f) Se halla la evapotranspiración real (ETRt)
Si (Dt < 0, Pt + abs (ΔSt), ETPt)
g) Se halla el exceso de agua en el suelo (Exct)
Si (Dt > 0, Si (Δt+ ΔSt-1 > Smax, St-1 + Dt – Smax, 0),0)
h) Se halla el BH (BHt)
Si (Dt ≤ 0, (ETPt – ETRt), 0)
s) Se repite la secuencia de cálculo para el mes siguiente haciendo
St = St-1

79. 73
9.2 Problema de aplicación
Realizar el balance hídrico con los datos en sombreado que se en la tabla 9.1
con método Thornthwaite – Matter
Solución
Tabla 9.1: Balance hídrico método de Thornthwaite - Matter
% CC 14 % PM 8 Da 1.2 Pr 138.9 cm
Smáx 100.0 mm
Mes P ETP P - ETP S(i) S(f) ∆S ETR Exc BH
(mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm)
Ene 43.0 10.0 33.0 70.1 100.0 29.9 10.0 3.1 3.1
Feb 38.0 15.0 23.0 100.0 100.0 0.0 15.0 23.0 23.0
Mar 45.0 31.0 14.0 100.0 100.0 0.0 31.0 14.0 14.0
Abr 47.0 50.0 -3.0 100.0 97.1 -3.0 50.0 0.0 0.0
May 41.0 78.0 -37.0 97.1 67.0 -30.0 71.0 0.0 -7.0
Jun 29.0 116.0 -87.0 67.0 28.1 -39.0 68.0 0.0 -48.0
Jul 10.0 149.0 -139.0 28.1 7.0 -21.1 31.1 0.0 -117.9
Ago 11.0 135.0 -124.0 7.0 2.0 -5.0 16.0 0.0 -119.0
Set 33.0 91.0 -58.0 2.0 1.1 -0.9 33.9 0.0 -57.1
Oct 51.0 52.0 -1.0 1.1 1.1 0.0 51.0 0.0 -1.0
Nov 54.0 22.0 32.0 1.1 33.1 32.0 22.0 0.0 0.0
Dic 47.0 10.0 37.0 33.1 70.1 37.0 10.0 0.0 0.0
Suma 449.0 759.0 -310.0 606.7 606.7 0.0 408.9 40.1 -310.0

80. 74
Bibliografía
Dingman, l. (2002). Physical Hydrology. USA: Waveland Press, Inc.
Natural Resources Conservation Service (2003). National Water Quality
Handbook. USA.
Norman, H. Crawford, M., Steven, m. (1981). Hydrologic estimates for small
hydroelectric projects. USA: National Rural Electric Cooperative Association,
first edition.
Linsley, Ray. et. al. (1988). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw - Hill,
México.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.

81. 75
CAPÍTULO X
TRÁNSITO HIDROLÓGICO A TRAVÉS DE EMBALSES
El tránsito de avenidas a través de embalses es muy importante para el diseño de
vertederos de demasías en obras de represamiento, porque permite dimensionar
la estructura de excedencias a la vez que se pueden simular diferentes
condiciones de funcionamiento del aliviadero de demasías.
10.1 Tránsito de avenidas a través de embalses
I Q
Ii+1
∆S Q i+1
Ii Q i
t i t i+1 t t i t i+1
∆t ∆t
Gráfico 10.1: Modelo de tránsito de avenidas a través de un embalse
De la ecuación de continuidad para flujo permanente y transitorio se tiene:
QI
t
S



(10.1)
De la ecuación (10.1):
tQtIS  (10.2)
Escribiendo la ecuación (10.2) en forma discreta:
tQrt
QQ
t
II
SS iiii
ii 




 





 
 

22
11
1 (10.3)
Multiplicando por
t
2
la ecuación (10.3):
Qr

82. 76
QrQQII
t
S
t
S
iiii
ii
2)()(
22
11
1






(10.4)
QrQ
t
S
IIQ
t
S
i
i
iii
i
2
2
)(
2
11
1












(10.5)
10.2 Tránsito de avenidas a través de embalses
Problema
Realizar el tránsito de avenidas en un reservorio, si las características de
altura (H) – almacenamiento (S) y descarga (Q) se indican en la tabla 10.1:
Tabla 10.1: Relación H – S – Q
H S (106
) Q 2S/∆t + Q
(m) (m3
) (m3
/s) (m3
/s)
0.00 0.00E+00 0.0 0.00E+00
0.50 4.50E+07 156.3 2.66E+03
1.00 9.00E+07 442.0 5.44E+03
1.50 1.38E+08 812.0 8.48E+03
2.00 1.88E+08 1250.2 1.17E+04
2.50 2.43E+08 1747.2 1.52E+04
3.00 3.00E+08 2296.7 1.90E+04
Los caudales de entrada al reservorio se indican en la parte sombreada de la
tabla 10.2.
Solución
Haciendo uso de la ecuación (10.5) y de la tabla 10.1 se obtuvieron los
resultados que se indican en la tabla 10.2 y el gráfico 10.1

83. 77
Tabla 10.1: Tránsito de avenidas a través de un reservorio
Tiempo I Ii + I i+1 2S/∆t - Q 2S/∆t + Q Q S
(Horas) (m3
/s) (m3
/s) (m3
) (m3
) (m3
/s) (m3
)
0 200.00 0.00 0.00
10 960.00 1160.00 939.98 1160.00 89.06 1.85E+07
20 1720.00 2680.00 2906.67 3619.98 304.66 5.78E+07
30 2480.00 4200.00 5631.97 7106.67 672.43 1.13E+08
40 3240.00 5720.00 8851.76 11351.97 1218.70 1.81E+08
50 2860.00 6100.00 11497.24 14951.76 1766.63 2.39E+08
60 2480.00 5340.00 12851.86 16837.24 2084.65 2.69E+08
70 2100.00 4580.00 13274.63 17431.86 2189.36 2.78E+08
80 1720.00 3820.00 13035.12 17094.63 2129.72 2.73E+08
90 1340.00 3060.00 12321.23 16095.12 1956.93 2.57E+08
100 960.00 2300.00 11257.58 14621.23 1713.08 2.33E+08
110 580.00 1540.00 9923.48 12797.58 1429.40 2.04E+08
120 200.00 780.00 8366.92 10703.48 1128.26 1.71E+08
130 0.00 200.00 6751.67 8566.92 848.13 1.37E+08
140 0.00 0.00 5357.83 6751.67 631.65 1.08E+08
150 0.00 0.00 4274.14 5357.83 478.85 8.56E+07
160 0.00 0.00 3423.54 4274.14 368.10 6.82E+07
170 0.00 0.00 2750.95 3423.54 286.11 5.47E+07
180 0.00 0.00 2216.05 2750.95 224.35 4.39E+07
190 0.00 0.00 1788.72 2216.05 177.17 3.54E+07
200 0.00 0.00 1446.08 1788.72 140.71 2.86E+07
210 0.00 0.00 1170.56 1446.08 112.27 2.31E+07
220 0.00 0.00 948.51 1170.56 89.91 1.87E+07

84. 78
Gráfico 10.1: Caudales de entrada y salida
Problema
El hidrograma de avenida que entra a un embalse se indica en la tabla 10.2:
Tabla 10.2: Hidrograma de entrada de una avenida
t (horas) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
I (m3
/s) 5 35 75 140 212 285 297 270 216
t (horas) 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0
I (m3
/s) 165 112 80 55 30 13 5 5
Realizar el tránsito de avenidas en un embalse, si las características de
altura (H) – almacenamiento (S) y descarga (Q) se indican en la tabla 10.3:
La descarga se obtuvo con la ecuación de vertedero:
Considerando una longitud L = 8 m, y la cresta de vertedero ubicada en la
altitud 3340 m.s.n.m.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
Caudales(m3/s)
Horas
Hidrograma de entrada (I)
Hidrograma de salida (Q)

85. 79
Tabla 10.3: Relación H – S – Q
∆t (s) 1800
C 2
L 8 m
Altitud S Q 2S/∆t + Q
(m.s.n.m) (m3
) (m3
/s) (m3
/s)
3340 0.00E+00 0.0 0.00E+00
3341 2.40E+04 16.0 4.27E+01
3342 6.70E+04 45.3 1.20E+02
3343 1.40E+05 83.1 2.39E+02
3344 2.47E+05 128.0 4.02E+02
3345 3.89E+05 178.9 6.11E+02
3346 5.71E+05 235.2 8.70E+02
3347 7.97E+05 296.3 1.18E+03
3348 1.42E+06 362.0 1.94E+03
3349 1.83E+06 432.0 2.47E+03
3350 2.33E+06 506.0 3.10E+03
3351 2.94E+06 583.7 3.85E+03
3352 3.66E+06 665.1 4.73E+03
3353 4.50E+06 750.0 5.74E+03
3354 5.48E+06 838.1 6.92E+03
3355 6.61E+06 929.5 8.27E+03
3356 7.90E+06 1024.0 9.80E+03
3357 9.39E+06 1121.5 1.16E+04

86. 80
Solución
Haciendo uso de la ecuación (10.5) y de la tabla 10.2 y 10.3 se obtuvieron
los resultados que se indican en la tabla 10.4 y el gráfico 10.2
Tabla 10.4: Tránsito de avenidas a través de un reservorio
Tiempo I Ii + I i+1 2S/∆t - Q 2S/∆t + Q Q S
(Horas) (m3
/s) (m3
/s) (m3
) (m3
) (m3
/s) (m3
)
0.0 5.00 0.00 0.00
0.5 35.00 40.00 23.55 40.00 9.21 2.95E+04
1.0 75.00 110.00 78.98 133.55 30.51 9.85E+04
1.5 140.00 215.00 175.13 293.98 66.23 2.17E+05
2.0 212.00 352.00 317.32 527.13 116.41 3.90E+05
2.5 285.00 497.00 496.37 814.32 175.47 6.05E+05
3.0 297.00 582.00 664.65 1078.37 227.21 8.03E+05
3.5 270.00 567.00 763.91 1231.65 256.16 9.18E+05
4.0 216.00 486.00 775.82 1249.91 259.56 9.32E+05
4.5 165.00 381.00 715.31 1156.82 242.12 8.62E+05
5.0 112.00 277.00 609.43 992.31 210.61 7.38E+05
5.5 80.00 192.00 488.24 801.43 172.88 5.95E+05
6.0 55.00 135.00 376.77 623.24 136.50 4.62E+05
6.5 30.00 85.00 277.17 461.77 102.55 3.42E+05
7.0 13.00 43.00 190.96 320.17 71.97 2.37E+05
7.5 5.00 18.00 124.00 208.96 47.43 1.54E+05
8.0 5.00 10.00 79.24 134.00 30.61 9.89E+04
8.5 0.00 5.00 49.70 84.24 19.33 6.21E+04
9.0 0.00 0.00 29.28 49.70 11.44 3.66E+04
9.5 0.00 0.00 17.23 29.28 6.75 2.16E+04
10.0 0.00 0.00 10.13 17.23 3.98 1.27E+04
10.5 0.00 0.00 5.96 10.13 2.34 7.47E+03
11.0 0.00 0.00 3.50 5.96 1.38 4.39E+03

87. 81
Gráfico 10.2: Caudales de entrada y salida
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Caudales(m3/s)
Horas
Hidrograma de entrada (I)
Hidrograma de salida (Q)

88. 82
Bibliografía
Hydrologic Engineers Center (2006). User’s Manual of HEC – HMS. USA.
McCuen, R. (2005). Hydrologic Analysis and Design. Editorial Pearson Prentice
Hall, third edition, New Jersey.
Novak p – Moffat a – Nalluri c. (2001). Estructuras Hidráulicas. Editorial Mc Graw
Hill, segunda edición, Colombia.
Reyes Rodríguez, Toribio (2006). Ingeniería Hidrológica. UNASAM, primera
edición, Huaraz, Perú
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.

89. 83
CAPÍTULO XI
TRÁNSITO HIDROLÓGICO A TRAVÉS DE RÍOS
11.1 Modelo lineal de Muskingum
Durante el tránsito hidrológico a través de ríos se dos tipos de
almacenamiento:
1) Almacenamiento en prisma:
KQS 1 (11.1)
2) Almacenamiento en cuña:
)(2 QIKXS  (11.2)
Sumando las ecuaciones (11.1) y (11.2) se tiene el almacenamiento
total:
)( QIKXKQS  (11.3)
Ordenando la ecuación (12.3) se tiene:
 QXXIKS )1(  (11.4)
Dando los subíndices correspondientes a los términos de la
ecuación (11.4) para el almacenamiento temporal:
 111 )1(   iii QXXIKS (11.5)
 iii QXXIKS )1(  (11.6)
Restando la ecuación (11.6) de (11.5):
 iiiiii QXXIQXXIKSS )1()1( 111   (11.7)
Además por ecuación de continuidad se conoce que:

90. 84
t
QQ
t
II
SS iiii
ii 




 





 
 

22
11
1 (11.8)
Igualando (11.7) y (11.8):
iiii QCICICQ 32111   (11.9)
Donde:
)1(2
2
1
XKt
KXt
C



)1(2
2
2
XKt
KXt
C



)1(2
)1(2
3
XKt
tXK
C



Además se cumple: C1 + C2 + C3 = 1
La ecuación (11. 9) es llamada ecuación de Muskingum
K es el tiempo requerido para que la onda de creciente atraviese el tramo del
río.

L
K  (11.10)
Donde:
L = Longitud del tramo
ω = Velocidad promedio del pico de avenida
ω = 1.5 V
V = Velocidad media del agua
También el valor de K se puede estimar con las siguientes fórmulas según
(Linsley, 1998):
S
AbL
K  (11.11)
Donde:
b = 0.01 – 0.03
K = Tiempo requerido para que la onda de creciente atraviese el tramo del río
(horas)

91. 85
L = Longitud del cauce (km)
A = Área de la cuenca (km2
)
S = Pendiente longitudinal del fondo del río (adimensional)
S
CL
K  (11.12)
Donde:
c = 0.5 – 1.0
K = Tiempo requerido para que la onda de creciente atraviese el tramo del río
(horas)
L = Longitud del cauce (km)
S = Pendiente longitudinal del fondo del río (adimensional)
Dooge (1982) citado por McCuen (2005) indica que los valores de K y X se
pueden estimar con las fórmulas siguientes:
(11.13)
( ) ( ) (11.14)
Hjelmfelt (1985) indica que en la ecuación de Muskingum se debe cumplir:
(11.15)
(11.16)
Donde:
c = 0.5 – 1.0
K = Tiempo requerido para que la onda de creciente atraviese el tramo del río
(horas)
L = Longitud del cauce (m)
V = Velocidad media del agua en el cauce (m/s)
Fr = Número de Froude
So = Pendiente longitudinal del fondo del río (adimensional)
y = Tirante de agua (m)

92. 86
11.2 Modelo lineal inverso de Muskingum
De las ecuaciones (11.7) y (11.8) se deduce la ecuación (11.13):
(11.16)
Donde:
( )
( ( ))
( )
Además se cumple: C1 + C2 + C3 = -1
Problema
Transite el hidrograma de entrada aguas arriba a través de un canal usando
el método de Muskingum. El canal tiene un K = 2.45 horas y X = 0.18
Tabla 11.1: Caudales de entrada aguas arriba
Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 7
I (m3
/s) 2.52 3.92 5.82 8.96 12.32 15.40 17.92
Tiempo (h) 8 9 10 11 12 13 14
I (m3
/s) 19.04 19.32 18.76 17.64 15.96 13.16 10.92
Tiempo (h) 15 16 17 18 19 20
I (m3
/s) 9.24 7.00 5.04 3.64 2.80 2.52 0.00
Solución
Aplicando la fórmula (11.9) se tiene los resultados que se indican en la tabla
11.2 y en el gráfico 11.1:

93. 87
Gráfico 11.1: Hidrograma de entrada y salida
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Caudal(m3/s)
Horas
Inflow Outflow

94. 88
Tabla 11.2: Tránsito de avenidas en río – método de Muskingum
Datos
K 2.45 horas
∆t 1.00 horas
X 0.18
Qo 1.68 m3
/s
Resultados
C1 0.024 C2 0.375
C3 0.601 C1+ C2 + C3 1.0
t I Q
h m3
/s m3
/s
1 2.52 1.7
2 3.92 2.0
3 5.82 2.8
4 8.96 4.1
5 12.32 6.1
6 15.40 8.7
7 17.92 11.4
8 19.04 14.0
9 19.32 16.0
10 18.76 17.3
11 17.64 17.9
12 15.96 17.7
13 13.16 17.0
14 10.92 15.4
15 9.24 13.6
16 7.00 11.8
17 5.04 9.8
18 3.64 7.9
19 2.80 6.2
20 2.52 4.8
Max 19.32 17.87

95. 89
Problema
Usando los datos que se indica en la tabla 11.3, determinar los valores óptimos de
K y X (parámetros de Muskingum)
Tabla 11.3: Caudales de entrada y salida
Solución
Por procesos de optimización numérica se tienen los valores de K y X óptimos que
se indican en la tabla 11.3 y el gráfico 11.2:
t I Q
h m3
/s m3
/s
0 22.00 22.00
6 23.00 21.00
12 35.00 21.00
18 71.00 26.00
24 103.00 34.00
30 111.00 44.00
36 109.00 65.00
42 100.00 66.00
48 86.00 75.00
54 71.00 82.00
60 59.00 85.00
66 47.00 84.00
72 39.00 80.00
78 32.00 73.00
84 28.00 64.00
90 24.00 54.00
96 22.00 44.00
102 21.00 36.00
108 20.00 30.00
114 19.00 25.00
120 19.00 22.00
126 18.00 19.00

96. 90
Tabla 11.3: K y X óptimos – método de Muskingum
Datos
K 28.08 horas
∆t 6.00 horas
X 0.215
Qo 22.00 m3
/s
Resultados
C1 -0.121 C2 0.360
C3 0.761 C1+ C2 + C3 1.0
t I Q Qm EC
h m3
/s m3
/s m3
/s
0 22.00 22.00 22.00 0.00
6 23.00 21.00 21.88 0.77
12 35.00 21.00 20.70 0.09
18 71.00 26.00 19.78 38.71
24 103.00 34.00 28.18 33.86
30 111.00 44.00 45.13 1.28
36 109.00 65.00 61.15 14.84
42 100.00 66.00 73.69 59.18
48 86.00 75.00 81.68 44.66
54 71.00 82.00 84.53 6.39
60 59.00 85.00 82.74 5.12
66 47.00 84.00 78.50 30.24
72 39.00 80.00 71.92 65.24
78 32.00 73.00 64.88 65.87
84 28.00 64.00 57.49 42.35
90 24.00 54.00 50.91 9.53
96 22.00 44.00 44.71 0.50
102 21.00 36.00 39.39 11.50
108 20.00 30.00 35.11 26.09
114 19.00 25.00 31.61 43.70
120 19.00 22.00 28.59 43.44
126 18.00 19.00 26.41 54.98
Max 111.00 85.00 84.53
Suma 598.371

97. 91
Gráfico 11.2: Hidrograma de entrada, salida y transitado
11.3 Modelo convexo
Asume que el almacenamiento en el río es lineal:
(11.17)
Ecuación de continuidad para flujo incompresible y transitorio:
(11.18)
De las ecuaciones (11.14) y (11.15) se tiene:
( ) (11.19)
Haciendo:
(11.20)
De (11.19) y (11.20) se tiene:
0
20
40
60
80
100
120
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120
126
132
138
Caudales(m3/s)
Horas
Inflow Outflow Outflow tránsito

98. 92
( ) (11.21)
Problema
Transite el hidrograma de entrada aguas arriba a través de un canal usando
el método convexo. El canal tiene un K = 2.45 horas
Tabla 11.4: Caudales de entrada aguas arriba
Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 7
I (m3
/s) 2.52 3.92 5.82 8.96 12.32 15.40 17.92
Tiempo (h) 8 9 10 11 12 13 14
I (m3
/s) 19.04 19.32 18.76 17.64 15.96 13.16 10.92
Tiempo (h) 15 16 17 18 19 20
I (m3
/s) 9.24 7.00 5.04 3.64 2.80 2.52 0.00
Solución
Aplicando la ecuación (11.20) y (11.21) se tienen la tabla 11.5 y gráfico 11.3

99. 93
Tabla 11.5: Tránsito de avenidas en río – método convexo
Datos
K 2.45 horas
∆t 1.00 horas
Qo 22.00 m3
/s
Resultados
C 0.41
t I Q
h m3
/s m3
/s
0 22.00 22.00
1 23.00 22.00
2 35.00 22.41
3 71.00 27.55
4 103.00 45.28
5 111.00 68.84
6 109.00 86.05
7 100.00 95.42
8 86.00 97.29
9 71.00 92.68
10 59.00 83.83
11 47.00 73.70
12 39.00 62.80
13 32.00 53.09
14 28.00 44.48
15 24.00 37.75
16 22.00 32.14
17 21.00 28.00
18 20.00 25.14
19 19.00 23.04
20 19.00 21.39
21 18.00 20.42
Max 111.00 97.29

100. 94
Gráfico 11.3: Hidrograma de entrada y salida
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Caudal(m3/s)
Horas
Inflow Outflow

101. 95
Problema
Usando los datos que se indica en la tabla 11.6, determinar el valor óptimo de K
Tabla 11.6: Caudales de entrada y salida
Solución
Aplicando técnicas de optimización numérica se tiene la tabla 11.7 y gráfico 11.4:
t I Q
h m3
/s m3
/s
0 22.00 22.00
6 23.00 21.00
12 35.00 21.00
18 71.00 26.00
24 103.00 34.00
30 111.00 44.00
36 109.00 65.00
42 100.00 66.00
48 86.00 75.00
54 71.00 82.00
60 59.00 85.00
66 47.00 84.00
72 39.00 80.00
78 32.00 73.00
84 28.00 64.00
90 24.00 54.00
96 22.00 44.00
102 21.00 36.00
108 20.00 30.00
114 19.00 25.00
120 19.00 22.00
126 18.00 19.00

102. 96
Tabla 11.7: K óptimo – método convexo
Datos
K 27.16 horas
∆t 6.00 horas
Qo 22.00 m3
/s
Resultados
C 0.22
t I Q Qm EC
h m3
/s m3
/s m3
/s
0 22.00 22.00 22.00 0.00
6 23.00 21.00 22.00 1.00
12 35.00 21.00 22.22 1.49
18 71.00 26.00 25.04 0.91
24 103.00 34.00 35.19 1.43
30 111.00 44.00 50.17 38.08
36 109.00 65.00 63.61 1.94
42 100.00 66.00 73.63 58.26
48 86.00 75.00 79.46 19.86
54 71.00 82.00 80.90 1.21
60 59.00 85.00 78.71 39.50
66 47.00 84.00 74.36 92.92
72 39.00 80.00 68.32 136.49
78 32.00 73.00 61.84 124.51
84 28.00 64.00 55.25 76.56
90 24.00 54.00 49.23 22.74
96 22.00 44.00 43.66 0.12
102 21.00 36.00 38.87 8.26
108 20.00 30.00 34.93 24.27
114 19.00 25.00 31.63 43.95
120 19.00 22.00 28.84 46.79
126 18.00 19.00 26.67 58.78
Suma 799.07

103. 97
Gráfico 11.4: Hidrograma de entrada, salida y transitado
0
20
40
60
80
100
120
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120
126
132
138
Caudales(m3/s)
Inflow Outflow Outflow tránsito

104. 98
Bibliografía
Aparicio Mijares, Francisco Javier (1996). Fundamentos de Hidrología de
Superficie. Editorial Limusa, México.
Hydrologic Engineers Center (2000). User’s Manual of HEC – HMS. USA.
Linsley, Ray (1994). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw – Hill, segunda,
México.
McCuen, R. (2005). Hydrologic Analysis and Design. Editorial: Pearson Prentice
Hall, New Jersey.
Mays, L; Tung, Y. Hydrosystem Engineering and Management. Editorial Water
Resources Publications, LLC, USA.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.