Apuntes unidad potencias y raíces

1. POTENCIAS DE IGUAL BASE
Multiplicación División
n m n m n m n m
a a  a a :a  a
a  IR ; m , n  Z a  IR  0; m , n  Z
POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
Multiplicación División
n n n n n n
a  b  (a  b ) a : b  (a : b )
a , b  IR ; n  Z a , b  IR ; b  0 ; m , n  Z
POTENCIA DE UN PRODUCTO POTENCIA DE UN CUOCIENTE
n
a an
(a  b)n  an  bn    n
b b
a , b  IR ; n  Z
a , b  IR ; b  0 ; n  Z
POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
n m nm n n
(a )  a 1 a b
a n  ;    
a  IR ; n , m  Z an b a
a , b  IR ; a , b  0 ; n  Z 
Utiliza las propiedades anteriores para poder responder los siguientes ejercicios:
1) Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, ¿la superficie es también el doble?
2) Los antiguos griegos tenían el siguiente problema: el altar de Delfos era un cubo de
piedra de 1 m de lado.
Para honrar a su divinidad, Apolo, quería duplicar el altar manteniendo la forma
cúbica ¿Cuánto debería medir el lado del nuevo altar?
3) Cada persona tiene dos padres. Cada padre tiene dos padres y cada abuelo tiene
dos padres. ¿Cuántos tatarabuelos crees que tiene cada persona? Explica tu
respuesta.
4) Resuelve cada una de las expresiones:
1. a6 · a3 = 2. a-5 · a = 3. ax+y · a2x-3y = 4. b · bx =
5. 23 · 22 = 6. (a5)6 = 7. (b-2)-4 = 8. (a3x)4 =
9. 350 = 10. (-4)0 = 11. 3a0 = 12. 40 + 50 =
13. 2x0 + 3y0 = 14. (a + b)0 = 15. 2n · 5n = 16. (-3)a · 4a =
17. (1/3)x · (2/5)x = 18. (-2)5 = 19. (2/3)-4 = 20. 2-2 + 2-3 =
21. a-1 · a = 22. (2 + 3/4)-2 = 23. (-1)2 - (-1)3 - (-1)4 = 24. an : a =
25. a : a1-n = 26. bx+3 : bx+4 = 27. (ax+1)x-2 = 28. a-2 : a-3 =
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval

2. 1
POTENCIAS DE LA FORMA a n
4
¿Sabes cómo calcular 3 7 ? ¿Sabes lo que significa?
4 1
Para resolver lo que podemos hacer es: 3 7  34 7   1
 81 7  ?
1
Lo que significa el exponente significa la raíz séptima de 81.
7
7
Por lo tanto esto queda: 81  1,873444005 ....
EJERCICIOS RESUELTOS
1
1) 121 2  121  11
3 1
4
2) 81 4  (813 ) 4  813  27
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1 1 1 1 1 1
Usando tu calculadora, resuelve: 8 3 , 27 3 , 16 4 , 625 4 , 7776 5 , 32 5 , 729 6
RAICES DE NUMEROS REALES
CONTEXTO
Las raíces nacen de la siguiente expresión: bn  p , ¿por qué?
Considera las siguientes situaciones:
3
a) Si, 2  x , cuánto vale x = ?
Al hacer el cálculo llegamos a que x = 8
3
b) Si, x  8 , cuánto vale x = ?
Qué cálculo deberías hacer para encontrar el valor de x.
3
Si aplicamos a toda la expresión , al igual que como elevamos al
cuadrado en una ecuación, nos queda.
3 3 3
x  8
x2
pero, ¿qué son las raíces? O que significan las raíces?
Si 32  9 ; y 9  3 , ¿qué sacas por conclusión?
EJERCICOS RESUELTOS
a) 64  8 , por que 82  64
3
b) 27  3 , por que 33  27
5
c)  243  3 , por que  3 5  243
d) Que pasa con 9  ?
EJERCICOS PROPUESTOS
Calcula las siguientes raíces de los siguientes números (sin usar calculadora), si no
existe, justifica por qué.
1
1) 196 4)
3
 27 7 )4
16
5 3
2) 32 5)  512 8)  36
3 1 6
3) 125 6) 5  9)  144
243
Como se habrán dado cuenta la radicación es una propiedad inversa a la potenciación, y
todas las propiedades de las potencias son aplicables a las raíces, así tenemos lo siguiente:
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval

3. La raíz cuadrada, cúbica y de índice cualquiera:
La raíz cuadrada de un número “a” es otro número “b” que elevado al cuadrado nos da el
primero. Consecuencias:
a) Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas.
b) Los números negativos no tienen raíz cuadrada.
c) La obtención de la raíz cuadrada es la inversa de elevar al cuadrado . Así :
2
7 7
2
 3 3
La raíz cúbica de un número “a” es otro número ”b” que elevado al cubo nos da el primero.
Consecuencias:
a) Todo número positivo tiene una única raíz cúbica.
b) Los números negativos si tienen raíz cúbica
c) La obtención de la raíz cúbica es la inversa de elevar al cubo . Así :
3 3
7 7 3 3  4 4
La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” que elevado a n nos da el primero.
índice na b
radicando
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Suma y resta de raíces:
Solo se pueden sumar y restar raíces del mismo índice y mismo radicando:
16  16  2 16
Como se puede comprobar, la raíz de una suma o resta no es la suma de raíces:
16  9  16  9
Producto y división de raíces:
Solo se pueden multiplicar y dividir raíces del mismo índice:
3
a)
3
8 • 3 27  8  27  3 216  6
b) 64 : 4  64 : 4  16  4
También se puede decir al revés, es decir, la raíz de un producto es el producto de raíces (lo
mismo para el cociente):
16 16 4
16 • 4  16 • 4  4  2  8  
25 25 5
Por otro lado veamos el siguiente ejemplo:
2
 14   14 • 14  14 2  14
De este ejemplo se puede obtener que el exponente de una potencia y el índice de una raíz
se pueden simplificar si son iguales y también que el exponente de una raíz se puede pasar
dentro de ella.
EJERCICOS PROPUESTOS
Aplica las propiedades de suma, multiplicación y división:
3 2
a) 2 3 2 b) 3  4 3  11 3  7 3 c) 3 a  ab  3 ab
4 2 4 2 3 3
d) ab  a b e) 8 : 2 f) 81 : 9
Propiedad fundamental de las raíces:
Si se multiplican o dividen el índice de una raíz y el exponente del radicando por el
mismo número, el valor de la raíz no varía.
Esta propiedad nos permite multiplicar y dividir raíces de distinto índice.
EJERCICOS RESUELTOS
3 3 9
a) 27  33  39  3
3 6
b) 25  2,9240...  252  2,9240...
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4. EJERCICOS PROPUESTOS
Amplifica el índice de la raíz y el exponente del radicando por 4, -5, y 14 en cada
uno de los siguientes ejercicios:
5
8 3  1
1. 44 2. 3 3. 3  
3
Raíz de una raíz:
Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices.
EJERCICOS RESUELTOS
1
 1 2 1
Calcular:
 

7  7 2  7 4 4 7 
 
EJERCICOS PROPUESTOS
Calcula las siguientes raíces:
5 5 5 3 3 5
1.
3
64 2. x 3. 32 4. 2x 2 5. ab2 6. x12
Potencia de una raíz:
La potencia de una raíz es la raíz de la potencia.
3
  
1
Ejemplo: Calcular
3
8  8 3 2
 82  8
3
 
EJERCICOS PROPUESTOS
Resuelve los siguientes casos.
4 3
1.  2x 3 2.
 x2y 




3.
 5 9 xy 4 




Otras operaciones con raíces:
En algunas ocasiones se puede simplificar las raíces convirtiendo el radicando en producto
de potencias:
a) 108  27  22 • 22 • 22 • 2  2 • 2 • 2 • 2  8 2
b) 180  22 • 32 • 5  6 5
3
c)
3
576  26 • 32  43 9
En otras ocasiones lo que se intenta es introducir números dentro de una raíz, para lo cual
debemos de elevarlos al índice de la raíz:
3 3
3 5  45 2 10  80
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval