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1. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 1 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 1
TEORÍA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de constantes y potencias de variables que
estén ligadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.
Ejemplos:
2x2y + 3
x
y
, 4xy – 1 –
1
23x - y .
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Cuando las variables no están afectadas por la radicación ni su exponente es fraccionario.
Pueden ser:
Ejemplos:
3 x3yz – 1 ; x3 + 5x2 y – 4 ; 2x3 + 5y9 – 7z6
RACIONALES ENTERAS: Cuando los exponentes de las variables son números enteros
no negativos.
Ejemplos:
3 x3yz2; x3 + 5x2 y 4 ; 2x3 + 5y9 – 7z6
RACIONALES FRACCIONARIAS: Cuando por lo menos hay una variable en el
denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente
entero negativo.
Ejemplos:
3 x3yz – 1 ;
2
x
y
+ 5x2 y – 4 ; 2x3 + 5y – 5
EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Cuando hay una variable afectada por la radicación.
Ejemplos:
x
y
2
3
+ 5x2 y – 4 ; 2x2y + 3
x
y
, –
1
23x y .
Potenciación
an = b, donde an : potenciación

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Semana Nº 1 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
a : base
n : exponente
b : potencia
Definición: an =
n veces
a . a ... a
n veces
a . a ... a , si n  N, a R.
Observación: la potencia 00 no está definida.
Propiedades
1. a a am n m+n
. = 7.
m
n
a
a
= m n
a - , a  0
2. 0
a 1 , a  0 8. n
n
1
a
a
-  , a  0
3.  
n n n
ab = a .b 9.  
nm mn
a a
4.
n
a
b
 
 
 
=
n
n
a
b
, b  0 10.
 nmnm
a a

 , a  0
5.
n
a
b

 
 
 
=
n
b
a
 
 
 
, a  0, b  0 11.   mnpq
  
qpnm(a ) = a
6. um;aaaa lulm
lt
n
m
t
q
p
nm







Radicación en R
Sea  n 1
  n 1n 1
n 1
n 1n 1 n 1 tal que n es par ; a > 0 ó n es impar, se cumple:
n
na b a b  
n
a b
Observación : En el caso de que  n 1
  n 1n 1
n 1
n 1n 1 n 1 tal que n es par ; a > 0 entonces b >0
Propiedades
Si los radicales de ambos miembros existen, se tiene que:
1.
m
n m n
a a ; n  2, n  N.
2.
n
n
n
a a
b b
 , b  0
índice
radical
raíz

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3.
nnn p pm m
a . a a . a
4.
nm m
n
p n p
a a
b b
 , b  0
5.
n n n n
abc a . b . c
6.    
p mpnn nmpm
a a a 
7. pqrs n
a =
p q r s n
a
8.
(xn+y)p+z
m py mnpx zn
a a a = a
Ejemplo 1:
Halle el valor de
1 1 1
21 124
9 31 1 1
M
343 36 2

  
        
   

     
       
     
Solución:
33
1 1 1
1 12 24
9 3
1 1 3
3 2
1 1 1
M
343 36 2
1 1 1
343 36 2
343 36 2
7 6 8 21
M 21 .
   
        
   
 
   
 


     
       
     
     
       
     
  
   
 
Ejemplo 2:
 
x 1
Si x ,
2
x
 halle el menor valor de x.

4. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
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Solución:
1
12
41 1 1 1
x x x
2 4 2 4
1 1
x x
4 16
1
el menor valor de x es .
16
x
   
        
   
  

Algunas propiedades de Productos Notables:
1)  2 2
a b =(a b)a +b- -
2) 2 2 2
(a±b)= a ±2ab+b
3) 2 2 2 2
(a+b)+(a b)= 2(a +b )-
4) 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )   3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )   a b (a b)(a ab b )3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )3 3 2 2
   3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )3 3 2 2
5) Si a b c 0   entonces se cumplen:
 3 3 3
a b c 3abc  
 2 2 2
a b c 2(ab ac bc)    
6)  
3 3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b    
EJERCICIOS DE CLASE
1. Sea la expresión algebraica racional entera :
   
  
    
2
2
n 3 5 n 2n 5n 5 nn 1 n 12
M(x,y,z) x y x
– 2
z
n 1 n
.
Si los coeficientes de dicha expresión son enteros, halle el doble de la raíz cuadrada
del triple del producto de los coeficientes.
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10
2. Si

 

a b a a a
...
a b b b b
;   
 
a,b , halle el valor de
a b
b
.
A) 2 B) 1 C) 2 D)
1
2
E)
2
2

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3. Si

 
   
 
1
nm np bp
an
ba bc
x x
x x
; donde mn ab an  ,    x 0 ,x 1,x 1 ;
  
 
a,b,c,m,n,p , halle
mnp
abc
.
A) 2 B)
1
2
C) 2 D)
1
2
E) 1
4. Si  
77
7
y
7y , halle la suma de cifras de 7 y4
.
A) 15 B) 12 C) 17 D) 13 E) 11
5. Si



 
  
   
     
  
   
  
  
7
x
1 x 1
1 x
x
1
1 x
1 x
x.x 1
5
x .x 1
, halle el valor de x.
A) 5
5 B) 7
7 C) 3
3 D) 4
2 E) 3
5
6. Juana tiene 2
x 12
x soles y al comprar 12 pulseras a 2
x 14
x soles cada una, le sobra
x 1
x soles. ¿Cuánto dinero tenía Juana antes de la compra?
A) S/. 526 B) S/. 652 C) S/. 254 D) S/. 246 E) S/. 256
7. Halle el producto de los valores que satisfacen
 
2 2 2
2
x
4 2 7
1

2x .
A)
2
8
B) 1 C)
1
16
D)
2
16
E)
1
64

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8. María y Juan desean comprar arroz y para ello disponen de m soles y J soles
respectivamente; donde
b 1 1 b 2 2b b b 1 b
a a a a .a
m x .x ,x 0
   
 
  , y

2016 radicales
J 6 6 6 6 36 . ¿ Cuántos kilos de arroz pueden comprar entre ambos,
si el kilo de arroz tiene un precio de S/. 3.5 ?
A) 2 kg B) 1 kg C) 3 kg D) 4 kg E) 5 kg
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1. Dada la expresión algebraica racional entera de tres términos
      
6 4
n 4 m n 2n 1 m 1V(x,y) (m n)x y x y (m 3)y ,
halle la suma de sus coeficientes.
A) – 5 B) 1 C) – 3 D) 2 E) – 1
2. Halle el menor valor de “n” en
2n n n n
3 8 6 3 8 18. .  
A) – 5 B) – 4 C) – 3 D) – 2 E) – 1
3. Si   
4 16 48
P A Z
P A Z 2 ; donde  
 
P,A,Z halle el valor de PAZ .
A) 16 7
2 B) 16 9
2 C) 16 11
2 D) 16 5
2 E) 16 9
2
4. Simplifique
72
4
12
6
3 9
x
x
x
T
2 x x
x
 
 
 
 
  
 
.
A) 1 B) 4
x C) 2
x D) 3
x E) 10
x
5. Si
y
y3
x 3 , halle
x x yy 2y
T x

 .
A)
3
3 B)
3
9 C)
3
6 D)
3
12 E) 3

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6. Después de dictar la clase de teoría de potenciación y radicación, el profesor Orlando
deja el siguiente ejercicio :” Si se cumple que
3a 1 5
25a 
 ,
n n
1n
n n
75 b
a
b 3



y


 
13 52 4 4 c b
c c c c ; c 1, halle el valor de abc” , ante lo cual sus cinco
mejores estudiantes : María , Mónica, , Juan , Pedro y Tino dieron como respuesta,
150,144,148,156 y 160 respectivamente. ¿Quién de ellos obtuvo la respuesta
correcta?
A) María B) Tino C) Juan D) Pedro E) Mónica
7. Si
 
 
 
  
 
  
 
 
n
2
2
M
2
1 3 3 3...
...
; donde 
 
n , halle el menor valor de M.
A) n
2 B) 1 C) n
2 D) 1
2 E) 2
8. Halle “n” , si
n 30 n 20
8 4
2 4
 
 .
A) 135 B) 131 C) 137 D) 133 E) 139

8. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 2
NÚMEROS REALES, RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN
LOS NÚMEROS REALES
Antes de mencionar a los números reales, veamos los siguientes conjuntos:
 los números naturales  0,1,2,3,...   0,1,2,3,... 
 los números enteros  . . . , 2, 1,0,1,2, . . .  . . . , 2, 1,0,1,2, . . .    . . . , 2, 1,0,1,2, . . .  . . . , 2, 1,0,1,2, . . .
 los números racionales  
m
/ m,n ; n 0
n
 
   
 
 
 
 
 
m m
   / m,n ; n 0 / m,n ; n 0 / m,n ; n 0   / m,n ; n 0 
 
 
 
 
 
   
 
 
m m
 
m m
/ m,n ; n 0
 
/ m,n ; n 0 / m,n ; n 0
 
/ m,n ; n 0 / m,n ; n 0 
 
 / m,n ; n 0   / m,n ; n 0 
 
 / m,n ; n 0 / m,n ; n 0 / m,n ; n 0 / m,n ; n 0 / m,n ; n 0
 
 
 
 
n n
 
 
    
 
   / m,n ; n 0 / m,n ; n 0
 
/ m,n ; n 0 / m,n ; n 0 / m,n ; n 0   / m,n ; n 0 
 
 / m,n ; n 0   / m,n ; n 0 
 los números irracionales  I p/p no puede ser expresado como una fracción
Es decir, los números irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresión
decimal con infinitas cifras y no periódicas.
Ejemplos:
 2 1,414213562. . .
 3,141592654 . . . 
Definición: el conjunto de los números reales es definido como I I  .
Observaciones:
1) De las definiciones anteriores, se tiene el siguiente esquema
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NÚMEROS REALES, RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN

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2) El conjunto de los números reales está provisto de dos operaciones: adición y
multiplicación, y una relación de orden "< " que se lee "menor que"; esta relación de orden
tiene las siguientes propiedades:
 
 
i) Si x y y z x z ; x,y,z
ii) Si x y x z y z ; x,y,z
iii) Si x y z 0 xz yz.
      
      
    
.
.
RECTA REAL
Los números reales se representan gráficamente por una recta, llamada “recta real”.
Nota: a < b significa que sobre la recta real “a” se encuentra a la izquierda de “b”.
DESIGUALDAD
Es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro.
Definiciones:
I. a b (a b a b)    
II. a b (a b a b)    
Propiedades
1. ab = 0  [a = 0  b = 0]
2. Si ac = bc y c  0  a = b
3. a < b < c  a < b  b < c
4. a < b  c < d  a + c < b + d
5. a < b  – a > – b
6. a > b  c < 0  ac < bc
7. a  0  a2 > 0
8. Si 0  a < b  0  c < d  ac < bd
9. Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b  a–1 > b–1
10. ab > 0  [(a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0)]
11. ab < 0  [(a < 0  b > 0)  (a > 0  b < 0)]
12.  a  + , a +
1
a
 2
13.  a  – , a +
1
a
 – 2
14. Sean  a,b,c,d 
 
/
a
b
<
c
d

a
b
<
a c
b d


<
c
d
15. a2 + b2 = 0  a = 0  b = 0
16. Si 2
b 0, entonces a b a b a b      
17. Si 2
b 0, entonces a b b a b     

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INECUACIÓN
Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que
solo se verifican para determinados valores de la incógnita ó incógnitas.
Observación:
La media geométrica (MG) de dos números positivos no es mayor que la media aritmética
(MA) de los mismos números positivos.
Simbólicamente: MG MA .
INTERVALOS
Son subconjuntos de los números reales que gráficamente son segmentos de recta o
semirrectas y cuyos elementos satisfacen cierta desigualdad. Los intervalos sirven para
expresar el conjunto solución de las inecuaciones.
INTERVALOS DE EXTREMOS FINITOS
i) Intervalo abierto
 a,b x / a x b   a,b x / a x ba,b x / a x ba,b x / a x b   a,b x / a x b
ii) Intervalo cerrado
 a,b x / a x b     a,b x / a x ba,b x / a x ba,b x / a x b   a,b x / a x b
iii) Intervalo semiabierto por la izquierda
 a,b x / a x b   a,b x / a x ba,b x / a x ba,b x / a x b   a,b x / a x b
iv) Intervalo semiabierto por la derecha
 a,b x / a x b     a,b x / a x ba,b x / a x ba,b x / a x b   a,b x / a x b
Si a = b entonces  a,a a,a a ,a , pero a,a a     
a b
 a b
 a b
 a b

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Ejemplo 1
Si A x  /2x 14 3x 11 x 29     , halle el número de elementos enteros del
conjunto A.
Solución:
2x 14 3x 11 3x 11 x 29
3 x x 9
A 3,9
Elementos enteros de A son : 3, 4, 5,...,9
el númerode los elementos enteros de A es 7.
      
  
   


OPERACIONES CON INTERVALOS
Con los intervalos se puede realizar las mismas operaciones entre conjuntos, como son
unión, intersección, diferencia, complemento.
Siendo I, J intervalos, se tiene que
I  J = {x  / x  I  x  J} ; I  J = {x  / x  I  x  J}
I – J = {x  / x  I  x  J} ; I ' = {x  / x  I}
   I J I J I J    
Ejemplo 2
Si I x  / 3 x 7  J x'  / x 1 x 9   , halle J I .'
Solución:
I x'  / x I
x  / x 3 x 7  
J x  / x J'
x  / 1 x 9 
INTERVALOS DE EXTREMOS INFINITOS
a,   = { x  : a < x }
[ a,+ = { x  : a  x }
, b  = { x  : x < b }
 , b ] = { x  : x  b }
 , + =
Propiedad.
Si { x, z }  I (intervalo) y si w  satisface x < w < z, entonces w  I .

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J I 1,3 7,9'     
Ejemplo 3
Si
4 2
,8
x 9
 
 
 
, halle el menor número real M; tal que x 2 M  .
Solución:
2 4 1
8 x 18
9 x 2
x 2 20 M 20,
M 20
    
     
 
RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN
1. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES
Si a  0, b  0 se cumple:
i) a b 2 ab  = a + b
ii) a b 2 ab  = a – b (si a  b)
iii) Fórmula:
a b =
a c
2


a c
2

, siendo c = 2
a b
Ejemplo 1.
8 24 320  = 8 (4 20) 2 80   = 8 (2 20) 
= 6 2 5 = 5 – 1
Ejemplo 2.
6 32 =
a 6
b 32



Luego c = 2
6 32 = 2
Entonces
6 32 =
6 2
2

+
6 2
2

= 4 2

13. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 2 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6
Ejemplo 3.
Dada la inecuación:  x 3 8 x 1 y 1 2 y 3 2 2        , tal que
0 ≤ y < 1. Halle x + y + 1.
Solución:
 x 3 2 2 x 1 y 1 2 y 3 2 2
x 1 2 1 y 2 1
x 1 y 0
x 1 0 y 0
x 1
x y 1 0
       
     
  
    
 
  
2. RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una expresión es reemplazar por una equivalente que no contenga
radical en el denominador. Esto se consigue multiplicando al numerador y
denominador por un factor racionalizante (FR).
Ejemplo 4.
4
5 1
=
4
5 1
( 5 1)
( 5 1)


= 5 1 ; en este caso FR = 5 – 1
Observación:
Para encontrar el factor racionalizante es conveniente tener en cuenta las identidades:
i) a2 – b2 = (a + b) (a – b)
ii) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
iii) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Ejemplo 5.
3 3
1
9 3 1 
=
3
3 3 3
1 ( 3 1)
x
( 9 3 1) ( 3 1)

  
=
3
( 3 1)
(2)

EJERCICIOS DE CLASE
1. La cantidad de peras que tiene María es numéricamente igual a un elemento de
 M x / 3 3x 3 8    M x / 3 3x 3 8M x / 3 3x 3 8M x / 3 3x 3 8    M x / 3 3x 3 8 y la cantidad de peras que tiene Paola es numéricamente
igual a un elemento de  N x /1 3x 2 10    N x /1 3x 2 10N x /1 3x 2 10N x /1 3x 2 10    N x /1 3x 2 10 . Si ambas tienen el mismo número
de peras, ¿cuántas peras tiene cada una?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

14. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 2 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 7
2. Las longitudes de los lados de un triángulo escaleno son iguales a las longitudes de
las dimensiones de una piscina que tiene la forma de un paralelepípedo de base
rectangular. Si el volumen de la piscina es 1000 m3, halle el menor valor entero que
puede tomar el perímetro de dicho triángulo.
A) 28 m B) 29 m C) 30 m D) 31 m E) 32 m
3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) Si a 1  entonces 2
a 1
ii) Si 4 2
a 1,1 a a   
iii) Si
1
a a
a

  a a
a a
a a  a a  a aa a
a a  a a
a a
A) FFV B) FFF C) VVF D) VVV E) FVF
4. Para los números reales x e y se definen los operadores y  con las siguientes
reglas de formación:  2 2
x y x 2 y  x y x 2 yx y x 2 yx y x 2 y  x y x 2 yx y x 2 y  x y x 2 y ;  x y x x 4 y   .
Si se cumple   2
a b c 4c 4 2ab 4b     2
a b c 4c 4 2ab 4ba b c 4c 4 2ab 4b 2
a b c 4c 4 2ab 4b2
a b c 4c 4 2ab 4b    a b c 4c 4 2ab 4b2
a b c 4c 4 2ab 4b2
    2
a b c 4c 4 2ab 4b2
, halle el valor de
 
 
a b c
J
c a b


 
a b c
.
A)
3
2
B) 1 C)
1
2
D) – 1 E) – 2
5. Si
2x 3
P / x 2,5
x 1
 
    
 
, halle menor elemento entero positivo del complemento de
P.
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 5
6. La posición de un móvil M que se desplaza en línea recta varía de acuerdo al intervalo
12,12   y la de otro móvil N de acuerdo a los elementos del conjunto
 2x 6 x 1,5 x 3,15     , determine la suma de los elementos enteros del
segmento de recta por la que solo se desplazó el móvil M.
A) – 30 B) – 34 C) –38 D) – 42 E) –50
7. Dados a y b tales que 6b a 12  , 2
M 4 b 2 8a 4a 4b 2ab 2a b        y
2
N 12 3b a 12 2 12a 3ab 36b 9b        . Determine el valor de b si
2 2
M 2N 8 .
A)
3
2
B) 1 C)
2
3
D)
1
3
E) 0

15. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 2 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 8
8. Sean
5 2
L 6 11
11 1
  

y
2 44
L ,L
x
 
 
. Halle el número de valores enteros que
toma x.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) Si 3 x 2,   entonces  1 x x 2 8   
ii) Si 2 x 2,   entonces
1 1
x 2 4


iii) Si
3x 1
3,
x 2



entonces x 2
A) FFV B) FFF C) VVF D) VVV E) FVF
2. El profesor Luis le dice al profesor Frank que bajo ciertas medidas en la economía de
nuestro país la inflación estaría en el intervalo   M x / x 1 x 1 x 0      M x / x 1 x 1 x 0      M x / x 1 x 1 x 0      M x / x 1 x 1 x 0 , con
lo cual la inversión del profesor Frank daría una utilidad de m miles de soles, donde
m es el cardinal del conjunto
2
x
N x / M
16
  
  
  
 x x   2 2
 
2 2
x x x x
 N x / M N x / M
16
 
16
 
 
 x x
 
x x
N x / M
 
N x / M N x / M
 
N x / M
x
N x / M
x x
N x / M
x
 
x
N x / M
x x
N x / M
x
N x / M N x / M N x / M N x / MN x / M N x / M N x / M N x / M
 16 16
 
 
 
16
 
16 16
 
16   16 16 16 16
. Bajo estas condiciones, ¿cuál es
la utilidad de la inversión del profesor Frank?
A) 10 000 soles B) 6000 soles C) 5000 soles
D) 4000 soles E) 3000 soles
3. Jorge le pregunta a Mario sobre su salario por mes y este le responde lo siguiente:
los elementos del conjunto  
1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
  
        
  
 

 
 
 

1 3m n 1 3m n     1 3m n 1 3m n 1 3m n 1 3m n
  U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n 
 
 
 
 1 3m n 1 3m n
 
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n
 
1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
 
  
 
    
 
   1 3m n 1 3m n 1 3m n 1 3m n
 
1 3m n 1 3m n 1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n
 
1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n 1 3m n
U x / m x 5 ; m,n
1 3m n
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n                          U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
      
 
 
 
      
 

 
      
 
 
 
      
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n      U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
 

 
 
 

m 4n 3m m 4n 3m
 
 
  
 
   
 
 U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,nU x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n 
 
 U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
   m 4n 3m m 4n 3m m 4n 3m m 4n 3m
 
 
 
 
 
 
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m
   
 
   
 
   
 
   U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m
 
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n
 
U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n U x / m x 5 ; m,n
m 4n 3m
U x / m x 5 ; m,n de
menor a mayor son dígitos que forman en ese orden mi sueldo mensual. Si Mario gana
mensualmente menos de 5000 soles, además los emolumentos por mes de Jorge
asciende a 2346 soles, se puede afirmar que:
I) Mario gana más que Jorge por mes.
II) Mario percibe anualmente 28140 soles.
III) Jorge gana más que Mario por mes.
A) Solo III B) Solo II C) I y II D) II y III E) Solo I

16. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 2 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 9
4. Sean
2
2
3x 12x 17
M ,x 1,5
x 4x 7
   
   
   
y
5x 2
N ,2x 1 9,3
x 5
 
     
 
. Si en una tienda
se ha vendido m focos de una caja que trae 24 unidades, ¿cuántos focos faltan vender
de la mencionada caja, si m es el número de elementos enteros de N – M?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
5. Dados los números reales x e y, halle la suma de cifras de x
y
si
 
1008
2 2
x 6x 9 25 10y y     .
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6. Durante el mes de diciembre del 2015, la menor temperatura registrada en un poblado
peruano viene dada por ( x 1 )° y la mayor temperatura por ( 2
x 3x 6  )°. Bajo esas
condiciones ¿para qué valor de x la variación de la temperatura que experimentó dicho
poblado fue mínima?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
7. Si T 9 2 3 2 5 2 15    y V 3 13 2 12 ,   determine la suma de cifras
de 4
(T V) .
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
8. Dados
3 2
M 4
6 3 2 2

 
  
y N 6 32  , si a N le falta m 2 n unidades
para ser igual a M, calcule el valor de m + n.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

17. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 3 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 3
Ecuaciones lineales y de segundo grado con una variable e
Inecuaciones lineales y de segundo grado con una variable
1. Ecuaciones Lineales con una incógnita
Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma:
… (I)
donde a y b son constantes y “x” se denomina variable, incógnita ó indeterminada.
1.1 Conjunto solución: El conjunto formado por todos los valores de “x” que
verifican (I) es llamado el conjunto solución (C.S.) de (I).
Observación: Teniendo en cuenta la ecuación (I) se presentan los siguientes casos:
Casos C.S.
i) a 0, b 
b
C.S.
a
 
  
 
(I) presenta solución única.
ii) a 0,b 0  C.S.  (I) presenta infinitas soluciones.
iii) a 0, b 0  C.S.   (I) no admite solución.
Ejemplo:
Halle el conjunto solución de
3x 1 x 3
4 5
 

Solución:
5(3x 1) 4(x 3)
15x 5 4x 12
11x 7
7
x
11
  
  
 
 
7
C.S.
11
 
  
 
2. Ecuaciones de Segundo Grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:
 2
ax bx c 0; a 0 , a,b,c   
ax b 0 
Ecuaciones lineales y de segundo grado con una variable e

18. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 3 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
donde 2
b 4ac  es llamado discriminante de la ecuación de segundo grado.
Esta ecuación tiene dos soluciones:
1 2
b b
x y x
2a 2a
     
 
2.1 Naturaleza de las soluciones
Casos Tipos de soluciones
0  Reales y distintas
0  Reales e iguales
0  No reales y conjugadas
Además se cumple que: 1 2 1 2
b c
x x , x x
a a
  
Observación : Se puede construir una ecuación donde m y n sean soluciones,
dicha ecuación es:
2
x (m n)x mn 0   
Ejemplo: Forme una ecuación donde 3 y – 5 sean las soluciones .
La ecuación es :
 2
x 3 ( 5) x (3).( 5) 0     
2
x 2x 15 0   
3. Desigualdades e inecuaciones
3.1 Desigualdades: Son aquellas expresiones de la forma:
a < b , a  b, a >b, a b .
3.1.1 Propiedades
i) Si a < b y b < c  a < c.
ii) Si a < b  a c b c ; c     .
iii) Si a < b y c > 0  ac < bc.
iv) Si a < b y c < 0  ac > bc.
3.2 Inecuaciones lineales en una variable
Son aquellas desigualdades que presentan una incógnita o variable y que
pueden reducirse a la forma:
ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; a 0        

19. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 3 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
Ejemplo: Halle el conjunto solución de
x a x b
; a 0 b .
3b 2a
 
  
Solución:
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x bx a
0
3b 2a
2a 3b x 3b 2a
0 ; a 0 b
6ab
2a 3b x 3b 2a 0 ; 2a 2b b b
2a 3b x 2a 3b ; 2a 3b b 0
2a 3b 2a 3b
x C.S ,
2a 3b 2a 3b

 
  
   
       
       
 
    
 
4. Inecuaciones de segundo grado
Si a 0 a,b,c  , las inecuaciones de segundo grado son de la forma:
2 2 2 2
ax bx c 0 ó ax bx c 0 ó ax bx c 0 ó ax bx c 0            .
Su solución se obtiene usando propiedades de números reales o por medio de la naturaleza
de las raíces r1, r2 del trinomio
2
ax bx c 0,   y
b
r
2a
  
 .
2
( b 4ac es su discriminante) 
FORMA DE LA INECUACIÓN SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN
2
ax bx c 0  
CONJUNTO SOLUCIÓN
(C.S.)
2
ax bx c 0 , a 0   
soluciones diferentes
1 2
,r r ,  
soluciones real única
 r r
soluciones no reales
2
ax bx c 0 , a 0   
soluciones diferentes 1 2
r ,r
soluciones real única 
soluciones no reales 
2
ax bx c 0 , a 0   
soluciones diferentes
1 2
,r r ,   
soluciones real única
Soluciones no reales
2
ax bx c 0 , a 0   
soluciones diferentes
 1 2r ,r
soluciones real única
 r
soluciones no reales 
Ejemplo : Resolver 2
x 7x 10 0  
21
rr 
21
rr   r
21
rr 
21 rr 
21
rr   r
21 rr 
21
rr   r

20. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 3 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
Solución: Factorizando se tiene
(x 5)(x 2) 0
C.S. , 5 2,
  
       
4.1. Teorema ( Trinomio Positivo )
Sea 2
ax bx c  , donde  a 0 , a,b,c  , se cumple que :
2
ax bx c 0 , x a 0 0 .         ax bx c 0 , x a 0 0 .ax bx c 0 , x a 0 0 .ax bx c 0 , x a 0 0 .         ax bx c 0 , x a 0 0 .
Ejemplo: 2
x 2x 7 0   su conjunto solución es puesto que
2
(2) 4(1)(7) 0   y su coefieciente principal es positivo .
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si la ecuación en “x” : m n
3 x 2 81( x 1) –17   tiene infinitas soluciones, determine
el valor de 2n – m.
A) 4 B) 2 C) 8 D) 6 E) 12
2. En un parque de forma rectangular se tiene que el largo es 8 m más que de ancho. Si
se disminuye el largo en 5 m y se aumenta el ancho en 2 m, el área no varía. Calcule
el perímetro inicial del parque.
A) 40 m B) 24 m C) 12 m D) 36 m E) 18 m
3. Si 2 es una solución de la ecuación en x
2
x 2(a 2– )x a 5  ,
halle el valor de
–
–
n 5 5
J 1,
n 2 m– 3
–

donde m y n son soluciones de
2
–x ax a .– 2
A) – 3 B) 0 C) 2 D) – 1 E) 4
4. Si a y b son las soluciones de 2
x 5x– 1 0  , construya una ecuación cuadrática con
soluciones
1 1
a b
 y
2 2
a b
5b 5a
 .
A) 2
x 27x 110 0   B) 2
– –x 27x 110 0 C) 2
–x 27x 110 0 
D) 2
x x 1– – 10 0 E) 2
x 27x 0– 110 

21. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 3 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
5. En una reunión de socios, se sabe que si se toma la cuarta parte de, el número de
socios disminuído en 20 el resultado es mayor que 8, pero si tomamos la sexta parte
de, el número de socios aumentado en 6, el resultado es menor que 10. Indique la
cantidad de socios.
A) 17 B) 49 C) 50 D) 53 E) 52
6. Las edades de Paco y María representan las soluciones de la ecuación
2
x (2 k)x– – –4 2k 0 . Determine el menor valor de la suma de edades de Paco y
María, sabiendo que Paco es mayor que María.
A) 6 B) 9 C) 7 D) 10 E) 8
7. Sean I(x) y C(x) el ingreso y costo total de una fábrica al producir y vender x productos
respectivamente, con precio unitario de venta de S/.(2x – 2) y costo unitario de
S /. (x 4) . Si los costos fijos suman S/. 160, halle el mínimo número de unidades que
se debe vender para que la fábrica obtenga utilidades.
A) 17 B) 16 C) 10 D) 8 E) 18
8. Halle el conjunto de valores de m, para los cuales se verifica
2 2 2
– – –m x 4mx 7x 12x 2 ;– x   .
A) 1, 12  B) 2,12  C) 1, 11  D) 1–1, 1  E) 3, 12 
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si la ecuación en “x”:
12 18 2 32
m(3
–
–mx 2x 1 ) 2 8 –x–
2


  no tiene
solución, halle el valor de m.
A) –
2
3
B) –
4
3
C) –2 D) –
1
3
E)
2
3
2. Si al triple de un número se le añade 7 veces su duodécima parte y a este resultado
se le quita 5 unidades, se obtiene el número aumentado en 150. Halle la mitad de
dicho número.
A) 30 B) 60 C) 62 D) 32 E) 34
3. Si la ecuación en x, 2
3x 2bx 27 0  tiene soluciones reales, donde a es la suma de
los dos menores valores enteros de 2
(b 9) , determine la suma de las soluciones de
la ecuación 2
x –100ax 124x –100 – a .
A) 324 B) 99 C) 124 D) 224 E) 148

22. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 3 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6
4. Al terminar su clase un profesor de álgebra deja la siguiente tarea:
I. Hallar las áreas de dos cuadrados de lados (x– 4) m. y (x 2) m.
II. Resolver la ecuación que resulta de, sumar las áreas de los cuadrados e igualarlo
al cuadrúplo del producto de los lados, agregándole 4.
III. Construir una ecuación cuadrática cuyas soluciones sean las longitudes de los
lados de los cuadrados mencionados.
¿ Cuál es la ecuación pedida por el profesor?
A) 2
x 10x– 9 0  B) 2
x x–14 55 0  C) 2
x 8x– 7 0 
D) 2
x x–12 36 0  E) 2
x x–10 16 0 
5. Ángel le pregunta a Luis cuál es el costo de la matrícula en su colegio, este le
responde: El costo de mi matrícula al cuadrado, disminuido en 20 veces el costo no
es menor a S/. 25 500. Indique el costo mínimo de la matrícula de Luis.
A) S/. 150 B) S/. 151 C) S/. 170 D) S/. 490 E) S/. 149
6. Resuelva
x b b a
b x a b
   ; donde 0 b a  .
A)
2
b
,
a



 B)
2
b
, 0 ,a
a
 
 
 
  C) 0, a 
D)
2
b
a,
a



 E)
b
0,
a
7. Panchito realizó un trabajo recibiendo por sus honorarios más de S/. 530, luego gasta la
raíz cuadrada de lo que recibió, quedándole menos de la tercera parte de, el doble de
sus honorarios, aumentado en S/. 550. Halle la suma de cifras de los honorarios de
Panchito sabiendo que esta cantidad es un cuadrado perfecto.
A) 14 B) 16 C) 18 D) 12 E) 13
8. Si la ecuación cuadrática 2
( 1)x ( –2 3 –)x 2 0       tiene soluciones no
reales y la expresión algebraica
22 3
2
17 2 1
p(x,y,z) 3x y
–
z
3
    
 
 
es entera,
determine el valor de
5
. .
M

 

  


, si se sabe que 1
M 
 
.
A)
1
8
B)
1
2
C)
1
6
D)
1
4
E)
1
3

23. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 -I
Semana Nº 4 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 4
1. VALOR ABSOLUTO
1.1 Definición
Sea a , el valor absoluto de a denotado por a se define por:
a , si a 0
a
a , si a 0

 
 
Propiedades:
Si  a,b  , se tiene las siguientes propiedades
.0bsi,
b
a
b
a
)v
aa)iv
baab)iii
0a0a)ii
0a)i





Observaciones
i)
n n
a a si n 
 
y n es par.
ii)
n n
a a , si  n 1
  n 1 n 1 
n 1
n 1n 1 n 1 y n es impar.
iii)
22 2
a a a  .
1.2 Ecuaciones con valor absoluto
i)  p(x) q(x) q(x) 0 p(x) q(x) p(x) q(x)        
ii)  p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) q(x)    
iii) p(x) . p(x) ;    
Ejemplo 1:
Si a, b (a > b) son soluciones de la ecuación  2
x 2 x 3 6 x 1    , halle el
valor de 2a – 3b.

24. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 -I
Semana Nº 4 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
Solución:
   
   
2
2
x 6x 9 2 x 3 15
x 3 2 x 3 15 0
x 3 5 x 3 3 0
Como x 3 3 0 , x
x 3 5
x 3 5 x 3 5
x 8 x 2
a 8 y b -2
luego 2a 3b 2 8 3 2 22
    
    
    
    
  
     
  
 
   
1.3 Inecuaciones con valor absoluto
i)  p(x) q(x) q(x) 0 q(x) p(x) q(x)        
ii)  p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) q(x)     
iii)        p(x) q(x) p x q x . p x q x 0          
Ejemplo 2 :
Resuelva
22 2
x 1 3 x 1 4 0    
Solución:
   2 2
2
2 2
2 2
x 1 4 x 1 1 0
Como x 1 1 0 , x
x 1 4 4 x 1 4
3 x 5 0 x 5
x 5 , 5
    
    
       
      
  
2. NÚMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los números de Complejos se denota por :
 2
a bi /a b i 1       2
a bi /a b i 12
a bi /a b i 12
            a bi /a b i 1      a bi /a b i 12
a bi /a b i 12
      2
a bi /a b i 12
Notación: z = a + b i, donde a = Re(z) y b = Im(z).

25. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 -I
Semana Nº 4 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
2.1 Igualdad de números Complejos
a + b i = c + d i[ a = c  b = d ]
2.2 Operaciones con números Complejos
Si z a bi y w c di entonces   
i)db()ca(wz 
z.w (ac bd) (bc ad)i   
2.3 Definiciones: Si z a bi  es un número Complejo
z a bi  se llama conjugado de z.
2 2
z a b  se llama módulo de z.
Observación: Se cumple
2 2 1 i 1 i
(1 i ) 2i ; (1 i ) 2i ; i ; i
1 i 1 i
 
      
 
2.4 Propiedades:
Sean z, w C se tiene las siguientes propiedades.
1.
2
z. z z 6. z w z w  
2.  z z 2.Re(z), z z 2.Im(z) i    7. z w z w  
3. z z z   8. z.w z.w
4. z.w z . w 9. z z
5.
zz
con w 0
w w
  10.

 Zn,zz
nn
2.5 Potencias de la unidad imaginaria i
o o o o
4 4 1 4 2 4 3
i 1, i i, i 1, i i  
     
Ejemplo 3:
Si z es un número complejo que verifica la ecuación
6 4i 2i
2i
5 i z

 
 
, halle z 1 .

26. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 -I
Semana Nº 4 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
Solución:
   6 4i 5 i 2 i
2i
26 z
26 26 i 2 i
2 i
26 z
2 i
1 i 2i
z
2 i
1 i
z
2 i 1 i 2 2i
z x 1 i
1 i 1 i 2
z 1 i
luego z 1 1
  
 
 
 
   
  
  
   
   
 
 
EJERCICIOS DE CLASE Nº 4
1. La edad de Mercedes hace 10 años coincide con la menor solución de la ecuación
x 2 2 x x 1 3 x      ; halle la suma de cifras de la edad de Mercedes.
A) 4 B) 5 C) 1 D) 3 E) 2
2. Halle la validez de las siguientes proposiciones
1 1 1
I. x 3 entonces ,
x 7 4 10
1 1
II. x 5 1 entonces 1
3 x 3
1
III.3 10x 6 1 3x 2 5x 3 9x 3 entonces C.S. 2,
2
 
      
   

 
         
 
A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFV
3. Nicolás Lunié quiere darle propina (en soles) a su sobrino Luis y le dice: “si la
diferencia positiva del doble de lo que te daré con 11 es equivalente a la propina
aumentada en 5”. ¿Cuánto le quedó a Luis, si se compró una pelota que cuesta 9
soles?
A) 3 soles B) 4 soles C) 5 soles D) 6 soles E) 7 soles
4. Dados los conjuntos
1
A x / 1
2x 5
  
  
  
   1 1 1 1
A x / 1
 
A x / 1 A x / 1
 
A x / 1
1
A x / 1
1 1
A x / 1
1
 
1
A x / 1
1 1
A x / 1
1   
 
   1 1 1 1
 
1 1 1 1
A x / 1
 
A x / 1
 
A x / 1
 
A x / 1 A x / 1
 
A x / 1
 
A x / 1
 
A x / 1
1
A x / 1
1 1
A x / 1
1 1
A x / 1
1 1
A x / 1
1
 
1
A x / 1
1 1
A x / 1
1 1
A x / 1
1 1
A x / 1
1
  A x / 1 A x / 1A x / 1 A x / 1
2x 5
 
2x 5
A x / 1 A x / 1 A x / 1 A x / 1A x / 1 A x / 1 A x / 1 A x / 1A x / 1 A x / 1 A x / 1 A x / 1A x / 1
 
A x / 1 A x / 1
 
A x / 1 A x / 1
 
A x / 1 A x / 1
 
A x / 1 
 
  
 
 
2x 5
 
2x 5 2x 5
 
2x 5      2x 5 2x 5 2x 5 2x 5
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
2x 5
 
2x 5 2x 5
 
2x 5 2x 5
 
2x 5 2x 5
 
2x 52x 52x 5 2x 52x 5 2x 52x 5 2x 52x 5
y  2
B x / 9 x 7   2
B x / 9 x 7B x / 9 x 72
B x / 9 x 72
B x / 9 x 7B x / 9 x 7B x / 9 x 7   B x / 9 x 7B x / 9 x 7   B x / 9 x 72
B x / 9 x 72
   2
B x / 9 x 72
, halle la
cantidad de soluciones enteras de A BA B.
A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 1

27. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 -I
Semana Nº 4 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
5. Halle el número de elementos enteros del conjunto solución de
2
2
x 20x
x 1 x 1

 
.
A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 6
6. Fabrizio le pregunta a Jean Pierre: ¿cuántos números enteros satisfacen que la
diferencia positiva entre 3 y la reciproca de la sexta parte del consecutivo del número
buscado, es menor que 2?.
A) 5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7
7. Pedro busca un número complejo z que tenga módulo igual a 10 y que sus partes real
e imaginaria sean positivas y proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Halle el valor
de n, si 2
8n n z z   .
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
8. Francisco es un jugador que proviene de las divisiones inferiores del club Universitario.
Él recuerda que debutó en el primer equipo en el año
a 10 (a 4010)i
5 3i
   
  
cuando
tenía

 

6 b
a 10 2
(1 i) años de edad, anotando en ese campeonato 299b
35i goles. ¿a los
cuántos años Francisco debutó en el primer equipo del club Universitario?.
A) 18 años B) 19 años C) 16 años D) 17 años E) 20 años
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°4
1. Halle el número de soluciones reales de x 6 4 8 8    .
A) 0 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
2. José tiene una cierta cantidad de soles; se compra un polo cuyo precio es el valor
absoluto de la diferencia de dicha cantidad con 5 y recibe de vuelto la diferencia
positiva de la misma cantidad con 11. ¿Cuánto le darán de vuelto a José, si compra
un short que cuesta 12 soles?
A) 5 soles B) 10 soles C) 4 soles D) 3 soles E) 6 soles
3. Gabriela le pide a Francesca que halle la suma de cifras del valor de x 5 2  , si las
tres expresiones:
2
4x x , x 2 6, 4x 8 8     están en progresión aritmética (en ese
orden).
A) 7 B) 1 C) 2 D) 5 E) 6
4. Si a es la solución de la ecuación x 2 x 3 6    , halle el valor numérico de
1
6a 3a
 .
A) 9 B) 13 C) 7 D) 10 E) 12

28. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 -I
Semana Nº 4 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6
5. Si  9 3 19    9 3 199 3 19            9 3 19    9 3 192
A x / x y  2
B x / x. x 2 2 x 8    2
B x / x. x 2 2 x 8B x / x. x 2 2 x 82
B x / x. x 2 2 x 82
B x / x. x 2 2 x 8B x / x. x 2 2 x 8B x / x. x 2 2 x 8    B x / x. x 2 2 x 8B x / x. x 2 2 x 8    B x / x. x 2 2 x 82
B x / x. x 2 2 x 82
    2
B x / x. x 2 2 x 82
, calcule el número
de elementos enteros de A BA B .
A) 2 B) 6 C) 3 D) 4 E) 5
6. Cuántos elementos enteros tiene el conjunto 
x 2
M 2 / x 3,3
x 4
 
    
 
.
A) 4 B) 10 C) 2 D) 6 E) 5
7. Si
2 4
4 2
(3 4i) ( 3 3 3 i)( 3 i)
z
( 1 i) ( 4 3i)
   

   
es un número complejo, halle z .
A) 10 B) 21 C) 13 D) 24 E) 25
8. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones para los números complejos
z y w:
   
 
    
I. Si z 2 z entonces Re(z) 1
II. Si z w entonces Re(z) Re(w)
III.Si z 3i z 2 entonces 4z 10 13
A) FVV B) FVF C) VVF D) VVV E) VFV

29. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 5 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 5
Polinomios
DEFINICIÓN
Llamaremos polinomio de grado n en la variable x a la expresión algebraica definida por:
01
2n
2n
1n
1n
n
n
axa...xaxaxa)x(p  



donde n 0

0

y
n210
a,...,a,a,a son números en un conjunto numérico llamados
coeficientes del polinomio y además el coeficiente 0an
 es llamado coeficiente
principal.
Al coeficiente 0
a lo llamaremos término independiente.
EJEMPLOS
Polinomio Grado Coeficiente
Principal
Término
Independiente
p(x) = 4x9 – 8x11 + 3 – x 11 – 8 3
q(x) = – 7 + 5x3 – 2x + x2 3 5 – 7
TEOREMA: Dado un polinomio p(x) se cumple:
1) La suma de coeficientes de p(x) es igual a p(1)
2) El término independiente de p(x) es igual a p(0)
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios en una variable y del mismo grado de las formas
01
2n
2n
1n
1n
n
n
axa...xaxaxa)x(p  



, y
01
2n
2n
1n
1n
n
n
bxb...xbxbxb)x(q  



son idénticos si y solo si:
nn
ba  , ... , 22
ba  , 11
ba  , 00
ba  .
OBSERVACIÓN:
También decimos que los polinomios p(x) y q(x) son idénticos si p(α) = q(α); α IR .
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Un polinomio en una variable es idénticamente nulo si:
  0aa...aaaxa...xaxaxp 011nn01
1n
1n
n
n  

 .
OBSERVACIÓN:
El polinomio p(x) es idénticamente nulo si y solo si p() = 0 ; α IR .

30. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 5 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
POLINOMIO ORDENADO
Diremos que un polinomio es ordenado en forma creciente (o decreciente) respecto a una
de sus variables, cuando los exponentes de la variable mencionada solo aumentan (o
disminuyen).
EJEMPLOS
1) En p(x) = x4 – 2x3 + x2 + 3, los exponentes de la variable x son 4, 3, 2, 0; en ese orden
 p(x) está ordenado en forma decreciente.
2) En   154 z3z32z3zq  , los exponentes de la variable z son 1, 4, 15; en ese orden
 p(x) está ordenado en forma creciente.
3) En 293653 yxy7xy6xyx2xy)s(x,  solo los exponentes de la variable x están
aumentando  y,xs está ordenado en forma creciente respecto a la variable x.
GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO RESPECTO A UNA VARIABLE (G R)
Es el mayor exponente de la variable en referencia que aparece en el polinomio
EJEMPLO
966114 3xyyx18y5xy)p(x,   GR x [p(x,y)] = 6  GRy [p(x,y)] = 11
GRADO ABSOLUTO (G A)
A) Para un monomio: El grado absoluto de un monomio se obtiene sumando los exponentes
de las variables que aparecen.
EJEMPLO
7435 zyx2z)y,p(x,   GA [p(x, y, z)] = 14
B) Para un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados
absolutos de los monomios que lo conforman.
EJEMPLO
3758653 yx
3
4
y2x1yx3ay)q(x,   GA [q(x, y)] = 13
POLINOMIO COMPLETO
Diremos que un polinomio de varias variables es completo respecto a una de sus variables
si en cada término del polinomio está la variable elevada a un exponente diferente en otro
término que lo contiene, desde cero hasta el grado relativo del polinomio respecto de esa
variable.
EJEMPLOS
1) En 32 8x67x5xp(x)  ,
    xpx,x,x,xtérminoslostienenademás;3xpGA 3210
 es un
polinomio completo de grado 3.
2) En   4534322
yx7yx14yx8yx3x5y,xs  ,    ;4y,xsGR y  además
aparecen
0 1 2 3 4
y ; y ; y ; y ; y . Entonces el polinomio es completo respecto a la variable y.

31. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 5 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
3) En el ejemplo anterior: x
GR s(x,y) 5   pero no está  y,xsx0
 no es completo
respecto de x.
POLINOMIO HOMOGÉNEO
Un polinomio es homogéneo si cada término del polinomio tiene el mismo grado absoluto.
Al grado absoluto común se lo denomina grado de homogeneidad.
EJEMPLO
   6 2 4 5 6
p(x,y) 14x 27x y 28x y 9y  el polinomio es homogéneo
y su grado de homogeneidad es 6.
6GA  6GA  6GA  6GA 
EJERCICIOS DE CLASE Nº 5
1. Dado el polinomio 2 2
p(x x 1) x x    , halle el valor de p(11).
A) 8 B) 10 C) 11 D) 14 E) 16
2. Sean los polinomios 2 3
p(x 1) a( x 1) b( x 1) cx      y 2
q(x 2) bx ax c(x 2)     ,
tales que p(1) 8 y q(0) 2  .Halle el valor de t(1), si t(x) p(x 1) q(x 2)    .
A) 128 B) 48 C) 63 D) 78 E) 41
3. Si        3 2 2
p(x) a x 1 b x 3 x 2 c x 2x 1 x 1 x 2           y
3 2
q(x) 3(x 4x x 3)    son polinomios idénticos, halle el valor de  2 2 2
p c b a  .
A) 15 B) 24 C) 21 D) 27 E) 25
4. Si el polinomio
n 5 n 6 n 7
p(x) nx (n 1)x (n 2)x ...  
     
es completo y ordenado, halle el mayor coeficiente de p(x) .
A) 2 B) 5 C) 2 D) 1 E) 3
5. Si el polinomio 2 2 2 2 2
p(x,y,z) x y z 6x 8y 4z 29 a 9b 6ab          se anula
para ciertos valores enteros 0 0 0
x , y ,z y una relación entre a y b, halle el valor de
0 0 0
2 2 2 a
x z
b
y   .
A) 26 B) 25 C) 14 D) 30 E) 12
6. Dado el polinomio
2m n 4 m n 2 2m n 3 m n 1 2m n 2 m n
p(x,y) x y x y x y          
   tal que GA p(x,y) 28  
y yxGR p(x,y) GR p(x,y) 6        , halle el valor de m n.
A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8

32. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 5 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
7. Si p(x,y) es un polinomio homogéneo de grado absoluto tres tal que p(2,3) 4,
halle el valor de p(4,6) .
A) 18 B) 14 C) 12 D) 32 E) 24
8. Si n n 1 n 1 n
p(x,y) y y x ... yx x 
     es un polinomio homogéneo y completo en “x”
e “y” tal que la suma de los grados absolutos de sus términos es 182, halle el número
de términos de p(x,y).
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
EVALUACIÓN Nº 5
1. Sea p 3m n t 1 a m b n
q(x) (m 7)x (p a)x (t m)x t x (p 2)x   
         un polinomio
mónico ordenado y completo. Si la edad de Geny es q(1) años, ¿cuántos años le falta
a Geny para que tenga el cuadrado de la edad que ahora tiene?
A) 8 años B)12 años C) 6 años D) 20 años E) 26 años
2. Si      
3 2
p(x) x 2 3m x 1 nx 1 2m 3 tx 9x          y
  32
q(x) n(1 x) mx x 4 t x r 5x         son polinomios idénticos en [ x][ x], ¿cuánto
me falta para comprar una blusa que cuesta p(0).p(1) soles, si tengo p(3) soles?
A) p(2) soles B) 15 soles C) 37 soles D) 12 soles E)  p(2) 4 soles
3. Dado el monomio 2a b a 2b
M(x,y) abx y 
 de GA M(x,y) 45   y x
y
GR M(x,y) 2
,
GR M(x,y) 3
   
  
halle el valor de 2a b .
A) 15 B) 12 C) 13 D) 18 E) 25
4. Las edades de varios hermanos están representadas por los exponentes de un
trinomio p(x,y) homogéneo y ordenado en forma creciente respecto a la variable “x” y
en forma decreciente respecto a “y” . Si x y
GR p(x,y) 30 , GR p(x,y) 24        y cada
uno de los hermanos se llevan más de dos años de diferencia, halle la edad del tercer
hermano sabiendo que hay dos hermanos cuyas edades son múltiplos de 7 y el grado
de homogeneidad de p(x,y) es 35.
A) 24 años B)28 años C) 21 años D) 18 años E) 11 años
5. Si el polinomio
a 1 2n m c a b n 2n 5 a
p(x,y) bx cx y ax y ny    
   es homogéneo y p(1,1) 4,
halle el valor de 2 2
m n .
A) 20 B)10 C) 15 D) 30 E) 25

33. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 5 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
6. Halle el valor de  p p(2) p( 2)  si m n 2 n
p(x) x x n 
   es un polinomio completo y
ordenado.
A) 21 B) 16 C) 18 D) 14 E) 20
7. Si el x
GA p(x,y) 17 y GR p(x,y) 10        , halle el valor de p(1, 1) , donde
m 2 n m 6 m n m m 6 n 4
p(x,y) 9x y 3x 5x 3x yy    
    .
A) 0 B)1 C) 3 D) 2 E) 4
8. Si el polinomio n 1 m 2t m 2 n t
p(x,y,z) mx y z nx y z 
  es homogéneo tal que la suma
de coeficientes de p(x,y,z) es 1, halle el valor de p( 1,1, 1)  .
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

34. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
Productos Notables
Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede
recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación.
1. Binomio al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplo: Efectuar (3x – y)2
Solución:
(3x – y)2 = (3x)2 – 2 (3x) (y) + (y)2
= 9x2 – 6xy + y2
2. Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
3. Diferencia de cuadrados
(am + bn) (am – bn) = a2m – b2n  (a + b) (a – b) = a2 – b2
m,n
4. Binomio al cubo
(a +b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 +b3 = a3 +b3+3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3– 3ab(a – b)
Ejemplo:
Si 2
2
1
x 5
x
 
  
 
2
, halle el valor de 6 6
M x x
  .
Solución:
Del dato se tiene: 2
2
1
x 5
x
 
Elevando al cubo:  2
2
3 31
x 5
x
 
  
 

35. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
   
  
1 1 1
1
1
.
  
     
  
  
  
36 2 2
6 2 2
6
6
6
6
3 5
3 1 5 5 5
2 5
x x x
x x x
x
x
x
x


5. Suma y diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Ejemplo: Si
5 5
2 2
2 2
a b ab
M a b
b a a b
  
    
  
, halle M .
Solución:
   
  
 
 
6 6
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2 4 2 2 4
2 2
2 2
2
4 2 2 4 2 2
2
2 2 2 2
a b ab
M a b
ab a b
a b
a b
a b
a b a a b b
a b
a b
a 2a b b a b
M a b a b
   
   
  
 
  
  
 
   
  
 
 
    
    
6. Multiplicación de binomios con un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + ( ab + bc + ac) x + abc
Ejemplo: Si (x + 2) (x – 5) = x2 + 3m x + n+1, determine el valor de m + n.
Solución:
(x + 2) (x – 5) = x2 + (2 + (–5)) x + 2 (–5) = x2 – 3 x –10
Luego:
3m = – 3 y n + 1 = –10
Entonces m = – 1 y n = –11
Por lo tanto, m + n = –12.

36. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
7. Cuadrado de un trinomio
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)
8. Cubo de un trinomio
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b)(b+c)(a+c)
(a + b + c)3 = 3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c 3(a b a c b a b c c a c b) 6abc        
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)( ab + bc + ac) – 3 abc
9. Identidades de Lagrange
(ax + by)2 + (bx – ay)2 = (x2 + y2) (a2 + b2)
(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2+ z2)
10. Identidades condicionales
Si a + b + c = 0, entonces
I)  2 2 2
a b c 2 ab bc ac     
II) 3 3 3
a b c 3abc  
III)  
 
2
2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c 2 a b a c b c
2
 
     
IV)  5 5 5
a b c 5abc ab ac bc     
11. Otras identidades
  
  3 3 3 2 2 2
4 2 2 2
a b c – 3 abc a b c a b
a a
c – ab – ac
1 a a 1 a a 1
–bc      
      
Ejemplo:
Si 3 3 3 2 2 2
a b c 6 y a b c 4      , simplifique
  a b c 4 ab bc ac
M
abc 2
    


.
Solución:
   3 3 3
2 2 2
a b c a b c ab bc ac a b c 3abc 6 3abc
M
abc 2 abc 2 abc 2
          
  
  
3(2 abc)
M 3.
(2 abc)

  
 

37. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Sobre la cantidad p de personas presentes en un congreso juvenil, donde
   2 4 84p 256 38 6 2 6 4 6 16     , dos personas dijeron lo siguiente:
Jahir : “Somos  q 10 personas en esta reunión”.
Brianna : “En esta reunión, estamos presentes abc(c 3) personas.
Si ambos dijeron la verdad, halle el valor de 1(q 26)(abc)
 .
A) 81 B) 72 C) 74 D) 82 E) 56
2. En un mes, un comerciante de Gamarra vende (m 1)(m 4)(m 4)   polos a (5m) soles
la unidad, donde
3 2 3
3 3
8x 12x y 162y
m
8x 27y
 


y es tal que
1 4 1
2x 2x 3y 3y
 

. ¿Cuál es
el ingreso mensual del comerciante?
A) S/ 4500 B) S/ 5000 C) S/ 5500 D) S/ 6000 E) S/ 6500
3. Si
n n
x y
62 ; n ,x 0 , y 0
y x
   
       
  
62 ; n ,x 0 , y 0
62 ; n ,x 0 , y 0
62 ; n ,x 0 , y 062 ; n ,x 0 , y 0    62 ; n ,x 0 , y 062 ; n ,x 0 , y 0
62 ; n ,x 0 , y 0    62 ; n ,x 0 , y 0
62 ; n ,x 0 , y 0, halle el valor de
n n
n n
3
x y
T
x y

 .
A) 5 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4
4. Si
1 1 1
0
a b c
  , halle el valor numérico de
     
2 2 2
2 2 2
3a 2c b 3b 2a c 3c 2b a
M
a b c
      

 

; a 0, b 0, c 0.  
A) 1 B) 3 C) 14 D) 16 E) 18
5. Si 2 2 2 2
(m n p) 3(mn mp np x y z )       , halle el valor de
7 7 7
3 3 3 3
2 2 2 5 5 5
m n p
J ( x y z 3 )
(m n p )(m n p )
  
     
     
; donde    m,n,p,x,y,z 0  m,n,p,x,y,z 0m,n,p,x,y,z 0m,n,p,x,y,z 0 m,n,p,x,y,z 0 .
A) 0 B) 1 C) 3 D) 9 E) 27

38. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
6. Con respecto a los puntos A, B y C, ubicados en la recta real con coordenadas a, b y
c respectivamente,tres estudiantes realizan los siguientes cálculos: Isabel halla la
suma de los cubos de las coordenadas a,b y c; Jaime halla la suma de las
coordenadas a y c; y Daysi resta la coordenada a de c y al resultado le aumenta una
unidad. Si el resultado que halla Isabel es igual al opuesto del triple del producto de
los resultados hallados por Jaime y Daysi; además a 1, b 0 y c 1,    ¿ cuántas
unidades (u) dista el punto C de A?
A) 2u B) 1u C) 3u D) 4u E) 5u
7. En una tienda de abarrotes los precios del kilogramo de fideos,arroz y azúcar son
respectivamente S/ x , S/ y y S/ z con xyz 36 . Al finalizar el día, el dueño analiza
las ventas y encuentra que se vendieron “y” kg de fideos, “z” kg de arroz y “x” kg de
azúcar, obteniendo un ingreso de S/ 33 y vendiendo en total 10 kg. ¿Cuánto hubiese
sido el ingreso, si se hubieran vendido 2
x kg de fideos, 2
y kg de arroz y 2
z kg de
azúcar?
A) S/ 191 B) S/ 181 C) S/ 100 D) S/ 108 E) S/ 118
8. Si    a,b,c 0  a,b,c 0a,b,c 0a,b,c 0 a,b,c 0 tal que
b c a
c a b
  , determine el valor de
6 3 6 3 6 3 3 3 3
M a c b a c b 3(a b c 1)     .
A)  3 B) 3 C) 0 D) 1 E)  1
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Deborah se casó el 28 de marzo del año 19(4m 2)(4m 7)  , donde
2 2
a b a b
m
2ab 3b
 
  y es tal que 2
(a 2b) 8ab .¿ Cuántos años de matrimonio celebró
Deborah el 28 de marzo del 2016?
A) 42 años B) 44 años C) 38 años D) 52 años E) 48 años
2. La nutricionista Karen explica a un padre de familia que, en una dieta, la comida y la
cena deben corresponder, cada uno, a m% de la ración diaria, el desayuno a n% y
los refrigerios a p%. Si 2 2 2
m n p 1725 y (862,5 mn np mp) 2112,5     ;
además m excede a n en 15 unidades y n excede a p en 10, ¿cuál es el porcentaje de
la razón diaria correspondiente al desayuno?
A) 25% B) 15% C) 20% D) 30% E) 10%
3. El restaurant turístico “El Mocherito” se encuentra ubicado en una carretera recta a
“m” km al norte de la ciudad de Lima, donde 2 2
m [a b(1 2a)] b a(1 2b)] 24[     
y  2 2 2 2
a b a b 10a 10b 26 ; a,b      . Si Ricardo se encuentra en la misma
carretera a 15 km del norte de la ciudad de Lima, ¿cuántos km tendría que recorrer
Ricardo para llegar a dicho restaurant?
A) 47 km B) 56 km C) 65 km D) 67 km E) 62 km

39. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6
4. Si 2
x x 1 0   , 2
y y 1 0   , 2
z 2z 4 0   y 2
w 6w 36 0  , tal que x 1,
y 1  , z 2 y w 6 , halle el valor de
   
3 3 3 2 2
2 2x z w 1 1
M x y z 1 w 3 18.
y y z 2 2
         
                    
        
A)
63
2
 B) 63 C) 2 D) 60 E)
63
2
5. Sea T,2T 1,4T 3,...  una secuencia de expresiones algebraicas, donde
2 2 4 4 2 2 4 2 2 43T (m n )(m n m n ) 3(m n m n )      . Siguiendo la misma secuencia,
halle el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando m 3 y n 2. 
A) 40 B) 39 C) 47 D) 23 E) 46
6. Si a b c 45   , halle el valor numérico de
   
   
3 3 3 2 2 2
a b c 45 a b c 15 a b c 15 5
T
a 5 b 5 c 5
        

  
.
A)  5 B) 2 C)  3 D) 1 E) 3
7. El doctor Urquía, especialista en cardiología, realizó un examen de presión arterial a
su paciente Jaime y resultó que el promedio de presión arterial diurno fue de
 22p 8 13p mmHg/ , donde
 6 6 6
2 2 2 3 3 3 3 3 3
18 a b c
p
27a b c 6a b 6b c 6a c
 

  
y a b c .
¿Cuál fue el promedio de presión arterial diurno?
A) 140/78 mmHg B) 138/76 mmHg C) 140/76 mmHg
D) 136/78 mmHg E) 138/78 mmHg
8. Si a b c 0  , halle el valor de
   
4 2
2 2 2 4 4 4
4 4 4
a b c 3 a b c
M
a b c
    

 
; donde
   a,b,c 0  a,b,c 0a,b,c 0a,b,c 0 a,b,c 0
A)  11 B)  3 C) 1 D) 7 E) 11

40. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 7
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
1. DEFINICIÓN: Es la operación cuya finalidad es obtener las expresiones algebraicas
llamadas cociente: q(x) y resto: r(x); dadas otras dos expresiones denominadas
dividendo: D(x) y divisor:d(x).
Esquema:
2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: Dados D(x), d(x)  K [x]; d(x)  0, existen
polinomios q(x) y r(x) únicos, tales que:
D(x) = d(x) q(x) + r(x) … (1)
donde r(x) = 0 ó grad [r(x)] < grad [d(x)] . Los polinomios q(x) y r(x) se denominan
cociente y residuo respectivamente.
Ejemplo: x3 – 5x + 2 = (x – 3) ( x2 + 3 x + 4 ) + 14
D(x) d(x) q(x) r(x)
Propiedades
i. grad [D(x)]  grad [d(x)]
ii. grad [q(x)] = grad [D(x)] – grad [d(x)]
iii. grad [r(x)]max = grad [d(x)] – 1
CLASES DE DIVISIÓN
EXACTA: Si r(x) = 0 INEXACTA: Si r(x)  0
De (1): D(x) = d(x) q(x)
i) D(x) es divisible por d(x).
ii) d(x) es un divisor ó es un factor
de D(x).
De (1): D(x) = d(x) q(x) + r(x)
donde: 0  grad [r(x)] < grad [d(x)]

41. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
2.1. Criterios para dividir polinomios:
2.1.1. Métodos de división de polinomios:
Dos de los métodos de división son:
A) Método de Horner: Aplicable a polinomios de cualquier grado.
i) El dividendo y el divisor deben ser polinomios ordenados
generalmente ordenados en forma decreciente) y completos,
respecto a una misma variable.
ii) Se completará con ceros los términos faltantes en el
dividendo y divisor.
iii) La línea vertical que separa el cociente del residuo se obtiene
contando de derecha a izquierda tantas columnas como nos indica
el grado del divisor.
iv) El resultado de cada columna se divide por el coeficiente principal
del d(x), y este nuevo resultado se multiplica por los demás
coeficientes del d(x), colocándose los resultados en la siguiente
columna y hacia la derecha.
Ejemplo:
Dividir D(x) = 15x5 – x2 + 21x3 – 11x4 + 3 por d(x) = 3x2 + 2 –x
Solución:
Ordenando y completando los términos del dividendo y divisor:
D(x) = 15x5 – 11x4 + 21x3 – x2 +0x+ 3 , d(x) = 3x2 – x + 2

42. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
B) Método de Ruffini: Es un caso particular del método de Horner aplicable sólo a
divisores binómicos de la forma (x  b), o transformables a binomios.
El esquema de Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra
vertical, tal como se muestra en la figura.
Ejemplo:
Dividir p(x) = 3x5 – 10x3 + x2 + 5x – 1 por d(x) = x – 2.
Solución:
El siguiente teorema nos permite encontrar el resto sin efectuar la división.
3. TEOREMA DEL RESTO El resto de dividir un polinomio p(x) por un binomio de la
forma ax  b, es igual al valor numérico que se obtiene al reemplazar en el dividendo
x = 
a
b
.
En conclusión: Si p(x)  (ax – b)  r = p 





a
b
.
Regla práctica:
 Divisor se iguala a cero.
 Se elige una variable conveniente y se despeja esta variable.
 La variable elegida se busca en el dividendo para reemplazarla, luego se
realizan las operaciones indicadas y tenemos el resto.
Ejemplo:
Hallar el resto al dividir 20 18 19 16 5
p(x) x x – 2x – 4x x – 1   por
d(x) = x – 2.
Solución: 1º d(x) = 0  x – 2 = 0
2º Despeje conveniente: x = 2
3º resto = 20 18 19 16 5
p(2) (2) (2) – 2(2) – 4(2) 2 – 1  
 resto = 31
q(x) = 3x4 +6x3
+2x2
+5x+15
r = 29

43. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
4. DEFINICIÓN: Diremos que r es raíz o cero de p(x) si p(r) = 0.
5. TEOREMA DEL FACTOR: Si “a” es un cero de p(x), entonces (x – a) es un factor de
p(x).
p(x) = (x – a) q(x)
5.1. Propiedades
1º p(x) es divisible separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c)  p(x) es
divisible por (x – a) (x – b) (x – c).
2º Si p(x) d(x)
q(x)
r(x)
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si r(x) es el resto de repartir 215 5 3
p(x) 3x (x 2x 2) 6(x 2) 6x 8        pelotas
entre 2
d(x) x x  niñas. ¿Cuántas pelotas sobran si se tiene 380 niñas?
A) 360 B) 376 C) 300 D) 370 E) 375
2. Halle la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir el polinomio
80 79
p(x) 4x 2x x b    por d(x) x 1  .
A) 161 B) 162 C) 163 D) 164 E) 165
3. José tiene 4 3
2x x lapiceros, María tiene 3 2
2x 10x lapiceros y Pedro
2
2x 4x 1  lapiceros. Si los reunen y reparten entre 2
x (x 1)  estudiantes, cada
uno recibe 2
ax bx c  . Halle el valor de 2
(a b c)  .
A) – 3 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 3
4. Sea r(x) mx n  el resto que se obtiene al dividir
5 6
p(x) (x 13) (x 3) 10     por (x a)(x b)  . Si la división de
4 3
t(x) bx ax 6x 4    entre 2
3x x 2  es exacta, halle el valor de “m”.
A) 1100 B) 1100 C) 110000 D) 11 E) 1000
p(x) . m d(x) m  Resto verdadero =
m
m.(x)r
q(x)
r(x) . m
p(x)  m d(x)  m  Resto verdadero =
m
(x)r
. m
q(x)
r(x)  m

44. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
5. Se ha reunido 2015 2017 2019 2021
ax bx cx dx 7    soles y se compró libros cuyo
precio unitario es de x 2017 soles, quedando 10 soles de vuelto. ¿Cuánto dinero
quedará si con la misma suma de dinero se compra libros cuyo precio unitario es
x 2017 soles?
A) 2 soles B) 4 soles C) 6 soles D) 7 soles E) 12 soles
6. Un polinomio p(x) de sexto grado y de coeficientes positivos es divisible por
2
s(x) x 7  .Si p(1) 576 , p(0) 196 y p(x) es exacta, halle el resto
de dividir p(x) por x 5 .
A) 16900 B) 2025 C) 3634 D) 9216 E) 14400
7. Si r(x) es el resto que se obtiene al dividir el polinomio
2 2 2
p(x) (x 9x 18)(2x 6x) (x 2) 3x 9        por 2
d(x) x 6x 3   , halle el
valor de r( 10) .
A) 10 B) – 16 C) 36 D) – 26 E) – 23
8. Se ha cosechado 15 11
x x manzanas que se reparten entre 2
x x 1  niños. Si
sobran 8 manzanas, ¿cuántos niños hay?
A) 91 B) 90 C) 85 D) 92 E) 94
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si r(x) ax b  es el resto de dividir 6 4
p(x) (x 1) a(x 2)    por  2
x 1 y q(x) es
el cociente de la misma división tal que q(1) 2 y q( 1) 0   , halle el valor de
a 6b.
A) – 10 B) 10 C) 20 D) – 20 E) 15
2. Si el polinomio 4 3 2
p(x) mx nx 16x 7x 20     es divisible por
  2
d(x) 2x 3x 4, halle el residuo de dividir 100 17
t(x) (m n)x (m n)x mn     por
2
s(x) x x 1   .
A) 12x 9 B) 17x 19 C) 12x 19  D) 13x 19 E) 0
3. Si 2x 9 es el resto que resulta al dividir el polinomio
3 2
p(x) 2ax bx ax 3    por 2
d(x) 2x 7x 3   , halle p(2).
A) – 25 B) – 38 C) – 32 D) – 21 E) – 29

45. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6
4. El polinomio mónico p(x) de grado (n 2) es divisible por n 1
(x 5)
 . Si el resto de
dividir p(x) separadamente por (x 1) y (x 3) son respectivamente 30 y 1736, halle
el valor de Grad p(x) p(0)   .
A) 26 B) 18 C) 30 D) 24 E) 8
5. Determine la suma de coeficientes del resto que resulta al dividir
2
3 3 2 6
p(x) (x a) (x a) 6xa 1 x x        
 
por 2
q(x) (x x 1)(x 1)    .
A) 5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7
6. Un móvil recorre 4 3 2
mx nx 14x 81x 36 Km    en exactamente
2
2x 7x 3  horas. ¿Cuál es su velocidad para x 10 Km ?
A) 71 Km/h B) 98 Km/h C) 47 Km/h D) 11 Km/h E) 59 Km/h
7. Sea q(x) el cociente de dividir el polinomio 10 6 2
p(x) x 5x 4x 3    por
1
2
d (x) x 2.  Halle el resto de dividir q(x) por 2
2 2
d (x) (x x 1)(x x 1)     .
A) 1 B) – 4 C) 0 D) – 1 E) 3
8. Si r(x) es el resto de dividir
27 19 3 2
p(x) x 3x 5x 2x 8     por 2
d(x) x x 1   , determine el valor de r(r(1)).
A) – 12 B) 17 C) 25 D) – 16 E) 21

46. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 8 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
Binomio De Newton
(a + b)n = n1n22n1nn
b
n
n
ab
1n
n
...ba
2
n
ba
1
n
a
0
n






























 
(a + b)n = 







n
0k
kkn
ba
k
n
; n  Z+ , k Z0
+ .
El desarrollo de (a + b)n tiene (n + 1) términos.
Observaciones
1. Si a = b = 1  (1 + 1)n = 






n
0k
k
n
= 2n, además se tiene:
i)
1n
imparlugardetérminosdeSuma
2
8
n
6
n
4
n
2
n
0
n 






























  

ii)
1n
parlugardetérminosdeSuma
2
9
n
7
n
5
n
3
n
1
n 






























  
 .
2. TC: término central
a) Si n es par, se tiene un único término central  TC =
1
2
nT

b) Si n impar, se tiene dos términos centrales  TC =
2
1nT  y TC =
1
2
1nT


Cálculo de un término cualquiera: 1kT  , en el binomio (a + b)n
kkn
1k ba
k
n
T 
 






0  k  n, k  Z
Cocientes Notables

47. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 8 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
Forma general de un cociente notable
ax
ax nn


= xn – 1  xn – 2 a + xn – 3 a2  xn – 4 a3 + . . .  an – 1 , con n Z+
El desarrollo de un cociente notable tiene n términos.
Propiedad.
sq
rp
yx
yx


es un cociente notable si y solo si el número de términos es
q
p
=
s
r
, q
 0, s  0.
Caso División
indicada
Cociente Notable Residuo: R
1
ax
ax nn

 xn – 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 + . . .  an – 1
R = 0, n Z+
2
ax
ax nn

 xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . - an – 1 R = 0,
n Z+, par
3
ax
ax nn

 xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . + an – 1 R = 0,
nZ+, impar
4
ax
ax nn

 No es cociente notable R ≠ 0,
nZ+
Cálculo de un término cualquiera: KT , de un cociente notable.
1. Para el caso 1 :
Tk = xn – k ak – 1 ; 1  k  n
2. Para los casos 2 y 3 :
Tk = (-1)k-1
xn – k ak – 1 ; 1  k  n
El término central (TC)
a) Si n es impar, se tiene un único término central  TC =
2
1nT 
b) Si n es par, se tiene dos términos centrales  TC =
2
nT y T’C =
1
2
nT


48. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 8 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
EJERCICIOS DE CLASE
1. Halle el término independiente en el desarrollo de
6
3
5 3
1
3x
x
 
 
 
 
.
A) – 12 B) – 15 C) – 18 D) – 21 E) – 24
2. En referencia al binomio  
12
3 34 5
x x , Juan dice lo siguiente:
La edad de mi abuelo y mi edad están en proporción a los coeficientes de los términos
3 y 12 respectivamente, ¿Qué edad tenía mi abuelo cuando yo tenía 10 años?
A) 55 años B) 66 años C) 58 años D) 62 años E) 69 años
3. En el desarrollo del binomio
5n 2
2
x y
,
y x

 
  
 
el término de lugar 25 es de la forma
44 k
Mx y ; halle el valor de 2
n .
A) 6
10 B) 8
10 C) 4
10 D) 10 E) 2
10
4. En el desarrollo del binomio  
6
2
2x 3yx , cuyo único término central es de la forma
b
a2Cy x , tenemos que
a
b
es de la razón de las edades de Abigail y Génesis
respectivamente, además sus edades suman 25 años. ¿Qué podemos afirmar?
A) Génesis es 5 años mayor que Abigail.
B) Abigail tiene 10 años.
C) A Génesis le falta 8 años para tener mayoria de edad.
D) Abigail está por cumplir 18 años.
E) Abigail no es una quinceañera.
5. En el cociente notable
 
m
2 n
4 2
x 1 x
x 3x 1
 
 
, su décimo término es de la forma  
8
4 2 2
x x x
. Si el 6
grado(t ) t , halle m n 16 t .  
A) 36 B) 26 C) 46 D) 30 E) 32
6. Si el cociente notable
n m
3 4
x y
x y


tiene 14 términos en su desarrollo; además el  7
GA t
representa la edad de Adrián dentro de 3 años, halle m n edad de Adrian 32   .
A) 24 B) 12 C) 20 D) 16 E) 10

49. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 8 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
7. El grado absoluto del término de lugar 6 del cociente notable
3n 9 3n
3 2
x y
x y



es igual a
m, halle la suma de cifras de m.
A) 10 B) 12 C) 9 D) 8 E) 14
8. Si los grados absolutos de los términos del cociente notable
mn n
m
x y
x y


van
disminuyendo de 2 en 2, además el  4
GA t 21. Halle el número de términos de su
desarrollo.
A) 20 B) 12 C) 14 D) 8 E) 10
EVALUACIÓN DE CLASE
1. En el binomio de newton  
5
3 2 2 3 2 2
8x 36x y 54x y 27y x 2xy y      , halle el valor
numérico del 5
t de su desarrollo para x 1, y 1.  
A) 5
4
6561C B) 6561 C) 5
4
6000C D) 5
4
C E) – 1280
2. En un laboratorio, se estudia el comportamiento de una especie de bacteria y se
comprueba que a temperatura ambiente las bacterias se reproducen cada m minutos,
partiendose en tres, donde m representa el término independiente en el desarrollo de
5
3
1
x
x
 
 
 
. Si el número inicial de bacteria es (2m 10) . ¿Cuántas bacterias habrá
al cabo de 2 horas?
A) 11
3 10. B) 10
3 10. C) 12
3 10. D) 9
3 10. E) 8
3 10.
3. Sabiendo que el desarrollo de  
n
x y tiene 13 términos y además la suma de sus
coeficientes es 8 veces la suma de coeficientes del desarrollo de  
m
x y , halle m 1.
A) 12 B) 10 C) 14 D) 16 E) 18
4. En el programa de televisión “Naturalmente sano” un especialista en nutrición informa
que las cantidades de Selenio requeridos por día son:
(a 5) ug en los recién nacidos,  4a ug en los niños y (b 74) ug en los adultos,
donde a y b son tales que 15 b
ax y es el término de lugar 15 en el desarrollo del binomio
 
2n 1
3 2
x y

 . Halle el requerimiento de Selenio por día en los adultos aumentado en
(n+9) ug.
A) 105 ug B) 115 ug C) 110 ug D) 100 ug E) 120 ug

50. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 8 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
5. Si el cociente notable
99 99
(5x 1) (5x 1)
x
  
tiene un término de la forma 2 b
a(25x 1)
, halle el residuo de dividir 5 3b 5
p(x) 3 x 3x a
22
 
    
 
por d(x) x 1 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. Si p(x) representa el término central del desarrollo del cociente notable
   
   
n 5 n 15
n 7 n 5
x 2 x 3
x 2 x 3
 
 
  
  
, halle el grado de p(x) .
A) 14 B) 3 C) 20 D) 16 E) 35
7. Dada la expresión 1000 998 104 102
p(x) x x x x...     , halle el valor de  p 2 .
A)  51 400
2 2 1 B)  51 450
2 2 1 C) 51
2
D) 450
2 1 E) 450
2
8. Halle el valor de ab en el cociente notable
5a b 6b 3
b a 5
x y
x y
 



,si su término central es
16 12
x y .
A) 18 B) 16 C) 32 D) 64 E) 28

51. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 9 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 9
RAÍCES DE UN POLINOMIO
1. Definición: Un polinomio de grado n en la variable x es una expresión algebraica de
la forma:
N 
 n;0a;xaxaxaxaa)x(p n
n
n
1n
1n
2
210  ,
donde los coeficientes n1n210 a,a,,a,a,a  son constantes (reales o complejas).
1.1 Observación:
Si p(x)  K[x], diremos que los coeficientes del polinomio p(x) son constantes
que pertenecen al conjunto K; donde K puede ser Z, Q, R, ó C.
1.2 Ejemplo:
1) p(x) = 1.5x4
+
3
4
x3
+ 6  Q[x].
2) p(x) = 3ex5
+ 4
3 x2
– x +1  R[x].
3) p(x) = 4x6
+ (3i – 1)x2
+ x  C[x].
2. Definición:  es una raíz de p(x)  K ];x[ si p() = 0.
Ejemplo:
1)
3
2
es raíz de 8x10x3)x(p 2
 ; dado que 0
3
2
p 





.
2) 3 + 2i es raíz de 13x6x)x(p 2
 ; dado que   0i23p  .
3. Definición:  es una raíz de multiplicidad mZ+
de p(x) si
);x(q)x()x(p m

donde 0)(q 
3.1 Ejemplo:
Si 59
)6x)(5x()1x()x(p 
Raíces  de p(x) Multiplicidad m
 = 6 m = 5

52. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 9 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
 = – 5 m = 1 (raíz simple)
 = 1 m = 9
3.2 Observación: La multiplicidad indica el número de veces que se repite una raíz.
4. Raíces de un polinomio cuadrático:
las raíces de p(x) son:
a2
ac4bb
xy
a2
ac4bb
x
2
2
2
1




4.1 Observación: ac4b2
 es llamado el discriminante de p(x).
4.2 Naturaleza de las raíces de p(x) ]x[R .
ac4b2
 Raíces de p(x) son:
0 Reales y diferentes
0 Reales e iguales
0 Complejas no reales y
conjugadas
5. Relación entre raíces y coeficientes de un polinomio
5.1 Polinomio de grado 2
0a;cbxax)x(p 2

Si las raíces de p(x) son 21 xyx , entonces se cumple:
i)
a
b
xx 21 
ii)
a
c
xx 21 
5.2 Polinomio de grado 3
0a;dcxbxax)x(p 23

Si las raíces de p(x) son 321 xyx,x , entonces se cumple:
i)
a
b
xxx 321 
0a];x[cbxax)x(p 2
 R

53. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 9 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
ii)
a
c
xxxxxx 323121 
iii)
a
d
xxx 321 
6. Propiedades
i) Si ]x[)x(p R y bia  es una raíz de p(x), donde
a y b 0by R entonces bia  es otra raíz de p(x).
ii) Si ]x[)x(p Q y rba  es una raíz de p(x), donde a y b Iryr,  
QQ
entonces rba  es otra raíz de p(x).
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si 3 – 2i es una raíz del polinomio Q }n,m{;nmx)nm(x)x(p 222
, halle el
valor de 12m.
A) – 65 B) 49 C) 58 D) 19 E) 25
2. Si  y son las raíces de 3xx)x(p 2
 y
1
3
1
3
R




 representa la
edad que tenía Javier hace 15 años, ¿dentro de cuánto tiempo Javier cumplirá 40
años?
A) 25 años B) 23 años C) 20 años D) 19 años E) 16 años
3. Si las raíces del polinomio 1mx)2m3(x)x(p 22
 son como 1 es a 3, calcule la
suma de los valores de m.
A)
11
36
B)
11
37
C)
6
17
D)
12
37
E)
7
12
4. Si las raíces del polinomio 312xxx)x(p 23
 son tres números enteros que
están en progresión aritmética cuya razón es 5, halle el valor de  .
A) 25 B) 109 C) 8 D) 143 E) – 25

54. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 9 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
5. Si el precio en soles del kilogramo de uva es igual a la multiplicidad de la raíz positiva
del polinomio 6x5x
3
16
x)x(p 23
 . ¿Cuántos kilogramos de uva podrá comprar
Goyito con S/. 





3
13
p9 ?
A) 80 kg B) 45 kg C) 40 kg D) 39 kg E) 25 kg
6. Sabiendo que i1 es una raíz del polinomio ;)1n(x)5m(mxx)x(p 223

Q}n,m{ , y que m representa el ingreso mensual en miles de soles que tiene Manuel
y n representa sus gastos al mes en miles de soles, ¿a cuánto asciende el ahorro
mensual de Manuel?
A) S/ 1 000 B) S/ 5 000 C) S/ 4 000 D) S/ 3 000 E) S/ 2 000
7. Si 52  es una raíz de 2mxaxx)x(p 23
 , }m,a{ Q , halle el número de
elementos enteros del conjunto solución de a16mx  .
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
8. Si )x(p es el polinomio mónico de menor grado con coeficientes racionales cuyas raíces
son i3,32,1  ; el cual representa la utilidad de una compañía cuando se produce al
menos un artículo, donde )x(p está expresado en miles de soles y x es cantidad de
artículos producidos y vendidos, expresado en cientos de unidades. Determine la suma de
cifras de la utilidad que se obtiene cuando se producen 500 unidades.
A) 18 B) 24 C) 38 D) 48 E) 58
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si m y n son raíces de baxx)x(p 2
 , determine el valor de
mn
nm
an
1
n
1
bn
an
M
2





 ; abn  0.
A) 1 B) 0 C) 1 D)
b
a
E)
b
a


55. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 9 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5
2. Si m y n son raíces del polinomio 5x3x)x(p 2
 , determine el valor de
4
5n2
1n
5m2
1m
2n
5n
2m
5m
M 











 .
A)
5
1
B)
5
2
 C)
7
5
D)
5
8
E)
5
1

3. Si 2 + i es una raíz del polinomio ]x[mx19x2x)x(p 23
Z , y el término
independiente de p(x) representa la edad de Jorge en años, determine la suma de
cifras de la edad que tendrá Jorge dentro 5 años.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 D) 9
4. En las últimas elecciones presidenciales del Perú ( 1aa5 2
 ) millones de electores
acudieron a ejercer su derecho ciudadano. Si 2 es una raíz del polinomio
ax7x7ax)x(p 23
 , determine la cantidad de electores.
A) 19 millones B) 20 millones C) 23 millones
D) 25 millones E) 30 millones
5. Si a, b y c son las raíces del polinomio 4xx)x(p 23
 , halle el valor de
2b
b
c
2c
2a
a
G
22





 .
A) 2 B) 3 C) 4 D)
2
1
E)
2
5
6. Alonso le dice a Lucio que encontró que 2 es una raíz del polinomio
10k2x)2k(x)x(p 23
 y le pide que halle la suma de inversas de los cubos de
las otras raíces.
A) 5 B)
8
1
 C) 2 D) 3 E)
8
5
7. Jorge recuerda que, en un examen del CEPUSM, había una pregunta de álgebra en
la cual un polinomio de tercer grado, mónico, con coeficiente del termino cuadrático
igual a 5 tenía por raíz a 532  . Sabiendo que la raíz es correcta, determine el
coeficiente del término lineal del polinomio dado, si aquel polinomio tiene coeficientes
enteros.
A) –37 B) –30 C) –25 D) –20 E) –12

56. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 9 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6
8. Respecto de un polinomio p(x), Pablo le dice a Pedro: “una raíz del polinomio es
3 – 4i ”, Pedro responde: “yo encontré que una raíz es 34  y, además, he verificado
que ]x[)x(p Q ”. El profesor observa que el trabajo de ambos es correcto, y además
les dice “tal polinomio es de grado mínimo y de coeficiente principal dos”. ¿Cuál es el
coeficiente del término cuadrático de p(x)?
A) – 278 B) 86 C) 126 D) 136 E) 172

57. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 10 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 10
Factorización de Polinomios
POLINOMIO SOBRE UN CONJUNTO
Los polinomios con coeficientes en K (Z, Q, R, ó C) forman un conjunto denominado K[x]; es
decir       KK enescoeficientconpolinomiounesxp/xpx  .
Por ejemplo, el polinomio  x1x41x2)x(p 2
Z pues sus coeficientes 2, 41 y
–1 pertenecen a Z.
DEFINICIÓN
Sean         .0xg,xenxg,xf K Decimos que g(x) es un divisor de f(x) en K x (o g(x)
divide a f(x) en K x ), si existe h(x) K x tal que:
f(x) = h(x)  g(x)
DEFINICIÓN
Sean        xenxh,xg,xf K tal que   .1)x(fgrad  Decimos que f(x) es un polinomio
irreducible o primo sobre  xK si      xgxhxf  implica que h(x) o g(x) es polinomio
constante.
Si f(x) no es irreducible sobre  xK decimos que es reducible o factorizable sobre  xK .
Como consecuencia se puede deducir que todo polinomio de grado 1 es irreducible.
Ejemplos
1)   17xxp 2
 es reductible en R[x], pues     17x17xxp  ; además los
coeficientes   R 17,17,1 .
2) p(x) = x2
– 17 es irreductible en Q[x],
3)   3x4xq 2
 es irreductible en Q[x] y R[x] pero es reductible en C[x], porque
       i3x2i3x23x23x2xq  , los coeficientes
  i3,i3,2 C.
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Semana Nº 10 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2
FACTOR PRIMO DE UN POLINOMIO
Decimos que g(x) es un factor primo de un polinomio p(x), si g(x) es un divisor irreducible
de p (x) en K x .
Ejemplos
1) Los factores primos del polinomio q(x) = 8x(x – 1)4
(x + 6) son x, (x – 1) y (x + 6) en Z[x].
2) El factor (x – 1)4
en Z[x], no es primo porque (x – 1)4
= (x – 1)2(x – 1)2.
DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN
La factorización, es el proceso algebraico mediante el cual un polinomio se puede expresar
como la multiplicación indicada de sus factores primos o potencias de éstos, dentro de un
conjunto K[x] (Z[x], Q[x] , R[x] ó C[x] ).
TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA
Sea K = R ó C, entonces todo polinomio      0xxf K puede ser escrito en la forma
     xp...xp.axf m1
donde a  K        xp,...,xpyxpy0 m21 son todos polinomios irreducibles sobre
 xK (no necesariamente distintos). Más aún, tal expresión es única salvo de la constante
a y del orden de los polinomios      xp,...,xp,xp m21 .
Ejemplo:
El polinomio p(x) = x2
+ 5x – 14 en Z[x], admite la siguiente factorización única
p(x) = (x – 2)(x + 7). Excepto:
 En otro orden: p(x) = (x + 7) (x – 2)
 Factores afectados por constantes no nulas:
p(x) = (2 – x)( – x – 7) y p(x) = ( – x – 7)(2 – x)
NÚMERO DE FACTORES Y FACTORES PRIMOS DE UN POLINOMIO
Supongamos que
 m,,...b,a);x(p...)x(p).x(p).x(p)x(p m
n
c
3
b
2
a
1 Z+
donde )x(p,...,)x(p),x(p),x(p n321 son factores primos y primos entre si dos a dos, en un
conjunto entonces
a) El número de factores primos de p(x) es n.
b) El número de factores (o divisores) de p(x) está dado por:

59. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 10 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3
Nº de factores =   1)1m)...(1c)(1b)(1a( 
Ejemplo
Sea el polinomio 11)(x4)(x12)(xp(x) 56
 , tenemos que:
 El número de factores primos de p(x) es 3. (No se cuenta el número de veces que
aparece el factor)
 Número de factores de p(x) es (6 + 1)(5 + 1)(1 + 1) – 1 = 83.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1. Factor Común por agrupación de términos: Consiste en observar si el polinomio
tiene uno o más factores comunes, que pueden ser monomios o polinomios.
Ejemplo
Factorizar p(x) = x4
– x3
– 27x + 27 en C x .
Solución:
 
        
   
    




















i
2
3
2
3
xi
2
3
2
3
x1xxp
9xx3x1x
27xxx1xxxp
27xxxxp
2
33
34
33
)3x(
3
1127
27
2. Por Adición o Sustracción (QUITA y PON): Consiste en convertir binomios o
trinomios a trinomios cuadrados perfecto (T.C.P). El procedimiento a seguir lo
presentamos en los siguientes ejemplos.
Ejemplos
i) Factorizar p(x) = x4
+ 1 en R[x].
Solución
p(x) = x4
+ 1
x2
1
2(x2
)(1) = 2x2

60. UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 10 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4
Luego de extraer la raíz cuadrada a ambos términos, el paso siguiente es
considerar siempre el doble del producto de dichos resultados, obteniendo el término
que se debe sumar y restar.
Entonces sumamos 2x2
(PON) y restamos 2x2
(QUITA) para completar un trinomio
cuadrado perfecto y además obtener una diferencia de cuadrados.
p(x) = x4
+ 1 + 2x2
– 2x2
= (x4
+ 1 + 2x2
) – 2x2
= (x2
+ 1)2
– 2x2
= (x2
+ 1)2
– ( 2 x)2
= (x2
+ 1 – 2 x) (x2
+ 1 + 2 x)
Por lo tanto,
p(x) = (x2
– 2 x + 1) (x2
+ 2 x + 1)
ii) Factorizar p(x,y) = x4
+ x2
y2
+ y4
en R[x,y].
Solución:
p(x,y) = x4
+ y4
+ x2
y2
x2
y2
2(x2
)(y2
) = 2x2
y2
Observemos que p(x,y) no es un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), para que
p(x,y) sea T.C.P., análogamente al ejemplo anterior, el segundo término debe ser
2x2
y2
, lo cual se consigue sumando x2
y2
(PON) y para que no se altere la igualdad
se resta x2
y2
(QUITA), así tenemos
p(x,y) = x4
+ y4
+ x2
y2
+ x2
y2
– x2
y2
= (x4
+ y4
+ 2x2
y2
) – x2
y2
= (x2
+ y2
)2
– x2
y2
= (x2
+ y2
)2
– (xy)2
= (x2
+ y2
– xy) (x2
+ y2
+ xy)
entonces
p(x,y) = (x2
– xy + y2
) (x2
+ xy + y2
)
3. Aspa Simple: Se emplea para factorizar trinomios de la forma:
CBxAx)x(p nn2
 ó m2mnn2
CyyBxAx)y,x(p  ; m, n  Z+.