Clase21

1. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos Superficies cuádricas Jana Rodriguez Hertz GAL2 IMERL 9 de noviembre de 2010

2. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación:

3. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0

4. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0 o, equivalentemente, XtAX + 2BtX + c = 0

5. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0 o, equivalentemente, XtAX + 2BtX + c = 0 con A matriz simétrica, B vector de R3, c constante.

6. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición ejemplo 1 ejemplo 1 la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1 es una cuádrica

7. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición ejemplo 1 ejemplo 1 la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1 es una cuádrica

8. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición ejemplo 2 ejemplo 2 la cuádrica xy = 0

9. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición ejemplo 2 ejemplo 2 la cuádrica xy = 0 es la unión del plano x = 0 con el plano y = 0

10. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición ejemplo 2 ejemplo 2 la cuádrica xy = 0 es la unión del plano x = 0 con el plano y = 0

11. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida:

12. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica:

13. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal

14. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos:

15. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos: 1 tipo I: x2 +

16. y2 + z2 + = 0

17. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos: 1 tipo I: x2 +

18. y2 + z2 + = 0 2 tipo II: x2 +

19. y2 + z = 0

20. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ejemplos ejemplo el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con =

21. = = 1 y = 1

22. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida ejemplos ejemplo el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con =

23. = = 1 y = 1 el ejemplo 2 (xy = 0) no está en su forma reducida, ya veremos cuál es

24. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida objetivos 1 ver cómo se llega a una ecuación reducida

25. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida objetivos 1 ver cómo se llega a una ecuación reducida 2 ver cuál es el dibujo de la superficie en su forma reducida

26. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica centro de una cuádrica definición XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica

27. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica centro de una cuádrica definición XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica Q = (xQ; yQ; zQ) centro de la cuádrica si

28. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica centro de una cuádrica definición XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica Q = (xQ; yQ; zQ) centro de la cuádrica si A 0 @ xQ yQ zQ 1 A + B = ~0

29. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica observación puede haber un único centro (sistema compatible determinado)

30. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica observación puede haber un único centro (sistema compatible determinado) puede haber infinitos centros (sistema compatible indeterminado)

31. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica observación puede haber un único centro (sistema compatible determinado) puede haber infinitos centros (sistema compatible indeterminado) puede no haber centros (sistema incompatible)

32. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica

33. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica P1AP = diag(;

34. ; ) con P ortogonal

36. ; ) con P ortogonal Si existe un centro Q = (xQ; yQ; zQ)t , entonces

38. ; ) con P ortogonal Si existe un centro Q = (xQ; yQ; zQ)t , entonces haciendo el cambio de variables X = PX0 + Q

40. ; ) con P ortogonal Si existe un centro Q = (xQ; yQ; zQ)t , entonces haciendo el cambio de variables X = PX0 + Q la cuádrica queda tipo I: x02 +

41. y02 + z02 + F(Q) = 0

42. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos teoremas cuando no hay centro teorema 2 Si la cuádrica XtAX + 2BtX + c = 0 no tiene centro

43. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos teoremas cuando no hay centro teorema 2 Si la cuádrica XtAX + 2BtX + c = 0 no tiene centro ) PtAP = diag(;

44. ; 0) y

45. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos teoremas cuando no hay centro teorema 2 Si la cuádrica XtAX + 2BtX + c = 0 no tiene centro ) PtAP = diag(;

46. ; 0) y la ecuación reducida es de tipo II: x02 +

47. y0z + z0 = 0 con 6= 0

48. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I cuádricas de tipo I tipo I x2 +

49. y2 + z2 + = 0 cuádrica de tipo I

51. y2 + z2 + = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes:

53. y2 + z2 + = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 6= 0

55. y2 + z2 + = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 6= 0 2 = 0

57. y2 + z2 + = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 6= 0 ! 0x2 +

58. 0y2 + 0z2 = 1 2 = 0

60. y2 + z2 + = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 6= 0 ! 0x2 +

61. 0y2 + 0z2 = 1 2 = 0 ! x2 +

62. y2 + z2 = 0

63. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I clasificación de cuádricas de tipo I clasificación cómo se clasifican?

64. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I clasificación de cuádricas de tipo I clasificación cómo se clasifican? 1ero por 6= 0 o 6= 0

65. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I clasificación de cuádricas de tipo I clasificación cómo se clasifican? 1ero por 6= 0 o 6= 0 luego por signo de ;

67. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 elipsoide elipsoide elipsoide + + + 1 3x2 + y2 + 4z2 = 1

68. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 elipsoide elipsoide elipsoide + + + 1 3x2 + y2 + 4z2 = 1

69. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 hiperboloide de una hoja hiperboloide de una hoja hiperboloide de 1 hoja + + 1 x2 3y2 + z2 = 1

70. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 hiperboloide de una hoja hiperboloide de una hoja hiperboloide de 1 hoja + + 1 x2 3y2 + z2 = 1

71. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 hiperboloide de dos hojas hiperboloide de dos hojas hiperboloide de 2 hojas + 1 x2 + y2 z2 = 1

72. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 hiperboloide de dos hojas hiperboloide de dos hojas hiperboloide de 2 hojas + 1 x2 + y2 z2 = 1

73. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 cilindro elíptico cilindro elíptico cilindro elíptico + + 0 1 x2 + 2y2 = 1

74. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 cilindro elíptico cilindro elíptico cilindro elíptico + + 0 1 x2 + 2y2 = 1

75. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 cilindro hiperbólico cilindro hiperbólico cilindro elíptico + 0 1 x2 y2 = 1

76. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 cilindro hiperbólico cilindro hiperbólico cilindro elíptico + 0 1 x2 y2 = 1

77. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 dos planos paralelos dos planos paralelos dos planos paralelos + 0 0 1 4x2 = 1

78. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 dos planos paralelos dos planos paralelos dos planos paralelos + 0 0 1 4x2 = 1

79. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - 6= 0 otros casos 1 ! ; 0 1 ! ; 0 0 1 ! ;

80. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - = 0 cono cono cono + + 0 + 0 x2 + 2y2 z2 = 0

81. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - = 0 cono cono cono + + 0 + 0 x2 + 2y2 z2 = 0

82. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - = 0 planos que se cortan planos que se cortan planos que se cortan + + 0 + 0 x2 y2 = 0

83. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - = 0 planos que se cortan planos que se cortan planos que se cortan + + 0 + 0 x2 y2 = 0

84. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I - = 0 otros casos 0 un punto 0 0 una recta 0 0 0 un plano

85. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II tipo II tipo II x2 +

86. y2 + z = 0 con 6= 0

88. y2 + z = 0 con 6= 0 cómo se clasifican:

90. y2 + z = 0 con 6= 0 cómo se clasifican: por el signo de :

91. (el signo de no incide)

92. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II paraboloide elíptico paraboloide elíptico paraboloide elíptico :

93. 0 x2 + 2y2 = z

94. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II paraboloide elíptico paraboloide elíptico paraboloide elíptico :

95. 0 x2 + 2y2 = z

96. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico :

97. 0 4x2 2y2 = z

98. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico :

99. 0 4x2 2y2 = z

100. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II cilindro parabólico cilindro parabólico cilindro parabólico :

101. = 0 2x2 = z

102. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II cilindro parabólico cilindro parabólico cilindro parabólico :

103. = 0 2x2 = z

104. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0

105. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A

106. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A B = 0 @ 14 6 8 1 A

107. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A B = 0 @ 14 6 8 1 A Ecuación de centro: AQ + B = ~0

108. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A B = 0 @ 14 6 8 1 A Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) (1 centros)

109. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A B = 0 @ 14 6 8 1 A Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) (1 centros) ! TIPO I

110. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A B = 0 @ 14 6 8 1 A Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) (1 centros) ! TIPO I vap de A: det(A I) = 3 + 212 92 = 0

111. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 A = 0 @ 9 3 5 3 9 3 5 3 3 1 A B = 0 @ 14 6 8 1 A Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) (1 centros) ! TIPO I vap de A: det(A I) = 3 + 212 92 = 0 ) (x regla Descartes) dos raíces +, una 0

112. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 Q = (3y 1; y; 6y + 1)

113. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) ecuación reducida: x2 +

114. y2 + 0z2 + F(Q) = 0

115. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) ecuación reducida: x2 +

116. y2 + 0z2 + F(Q) = 0 F(Q) = F(1; 0; 1) = 7 0

117. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) 7 ecuación reducida: x2 +

118. y2 + 0z2 + F(Q) = 0 F(Q) = F(1; 0; 1) = 7 0 ecuación reducida: x2 +

119. y2 7 = 1

120. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 Q = (3y 1; y; 6y + 1) 7 ecuación reducida: x2 +

121. y2 + 0z2 + F(Q) = 0 F(Q) = F(1; 0; 1) = 7 0 ecuación reducida: x2 +

122. y2 7 = 1 cilindro elíptico

123. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo 1 Clasificar 9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0 ecuación reducida: 7x2 +

124. 7 y2 = 1 cilindro elíptico

125. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 2 ejemplo 2 Clasificar 5x2 y2 + z2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z 8 = 0 (cálculo en pizarrón)

126. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo 2 ejemplo 2 Clasificar 5x2 y2 + z2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z 8 = 0 (cálculo en pizarrón)

127. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo3 ejemplo 3 Clasificar x2 + yz + 2x 4z 5 = 0 (cálculo en pizarrón)

128. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1 ejemplo3 ejemplo 3 Clasificar x2 + yz + 2x 4z 5 = 0 (cálculo en pizarrón)

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