Este documento describe seis tipos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, paraboloide, cono y paraboloide hiperbólico. Cada superficie se define mediante una ecuación de segundo grado y se ilustra gráficamente. El documento también incluye ejemplos y una bibliografía de tres libros de cálculo y geometría analítica.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
MATEMÁTICA III
Superficies cuádricas
Superficies cuádricas
Integrante:
Samuel Ramsbott C.I: 19.411.907
Profesor:
Rafael Zerpa
Barquisimeto, Octubre 2012

2. INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación ‫ܧ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ = 0, nos representa un lugar geométrico en el plano ‫ ,ݕݔ‬a la
ecuación ‫ܧ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
‫ݖ ݕ ݔ‬
También se conoce que todo se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
ܲ: ‫0 = ܦ + ݖܥ + ݕܤ + ݔܣ‬
De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura
geométrica, la cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única ecuación
rectangular de la forma:
݂ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ = 0
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie
esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación.
‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ + ‫ݖ‬ଶ = ‫ݎ‬ଶ

3. SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de la ecuación de segundo grado.
‫ ݔܣ‬ଶ + ‫ ݔܤ‬ଶ + ‫ ݔܥ‬ଶ + ‫0 = ܩ + ݖܨ + ݕܧ + ݔܦ‬
Cuando ‫ ܥ ݕ ܤ ,ܣ‬no son todos nulos, se dice que la gráfica de una ecuación de la forma
‫ ݔܣ‬ଶ + ‫ ݔܤ‬ଶ + ‫ ݔܥ‬ଶ + ‫ 0 = ܩ + ݖܨ + ݕܧ + ݔܦ‬es una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real. Por ejemplo
El cilindro elíptico
‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ
+ =1
4 9
Como el cilíndrico parabólico
‫ݕ = ݖ‬ଶ
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe considerando seis superficies cuádricas
adicionales y bien definidas.
ELIPSOIDE
Se dice que la gráfica de cualquier ecuación de la forma
‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ
+ + =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Es un elipsoide. Para|‫ݕ‬଴ | < ܾ, la ecuación
ଶ
‫ ݔ‬ଶ ‫ݖ‬ଶ ‫ݕ‬଴
+ ଶ =1− ଶ
ܽଶ ܿ ܾ
Representa una familia de elipses(o circunferencia si a=c) paralelas al plano ‫ ݔݖ‬que se forman
cortando la superficie mediante planos‫ݕ = ݕ‬଴ . Eligiendo, cada uno a su vez,‫ݔ = ݔ‬଴ , ‫ݖ = ݖ‬଴,
encontrarías que los cortes de la superficie son elipse (o circunferencias) paralelas a los planos
‫ ,ݕݔ ݕ ݖݕ‬respectivamente.

4. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma
‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ
+ − =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano ‫ݔ = ݖ‬଴ , paralelo al plano ‫ ,ݕݔ‬corta la
superficie en secciones transversales elípticas (o circulares, si a = 0). Las ecuaciones de estas
elipses son
ଶ
‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ‫ݖ‬଴
+ ଶ =1+ ଶ
ܽଶ ܾ ܿ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
La elipse más pequeña, ‫ݖ‬଴ = 0, corresponde a las traza en el plano ‫.ݕݔ‬

5. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una grafica de
‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ
− + − =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para |‫ݕ‬଴ | > ܾ la ecuación
ଶ
‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ ‫ݕ‬଴
+ ଶ = ଶ −1
ܽଶ ܿ ܾ
Describe la curva elíptica de intersección de la superficie con el plano ‫ݕ = ݕ‬଴

6. PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma
‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ
+ = ܿ‫ݖ‬
ܽଶ ܾ ଶ
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que para ܿ > 0, los planos‫ݖ = ݖ‬଴ > 0, paralelos al plano
‫ ,ݕݔ‬cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son
‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ
+ = ܿ‫ݖ‬଴
ܽଶ ܾଶ

7. CONO
Las graficas de una ecuación de la forma
‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ‫ݖ‬ଶ
+ =
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Son llamados cono elípticos (o circular, si a=b). Para ‫ݖ‬଴ arbitrario, los planos paralelos al plano ‫ݕݔ‬
cortan la superficie en elipses cuyas ecuaciones son
ଶ
‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ‫ݖ‬଴
+ ଶ= ଶ
ܽଶ ܾ ܿ
En la siguiente figura se muestra una grafica característica

8. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se conoce como paraboloide hiperbólico y es la
gráfica de toda ecuación de la forma
‫ݕ‬ଶ ‫ ݔ‬ଶ
− = ܿ‫ݖ‬
ܽଶ ܾ ଶ
ܽ > 0, ܾ>0
Observe que para ܿ > 0,los planos ‫ݖ = ݖ‬଴ , paralelos al plano ‫ ,ݕݔ‬cortan la superficie en hipérbolas
cuyas ecuaciones son
‫ݕ‬ଶ ‫ݔ‬ଶ
− = ܿ‫ݖ‬଴
ܽଶ ܾଶ

9. En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico.

10. EJEMPLOS

12. BIBLIOGRAFÍA
• Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
• Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
• G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica