Este documento describe la lemniscata de Bernoulli, una curva matemática definida como el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos fijos es constante. Explica que la lemniscata de Bernoulli se puede describir mediante ecuaciones polares y es un caso particular de los óvalos de Cassini. También presenta métodos geométricos para construir esta curva y algunas aplicaciones como en relojes de sol y diseño de carreteras.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
LEMNISCATA DE BERNOULLI
FIS. JUAN VELÁZQUEZ TORRES

3. Introducción
La lemniscata fue descrita por
primera vez en 1694 por
Jacob Bernoulli como la
modificación de una elipse,
curva que se define como el
lugar geométrico de los puntos
del plano tales que la suma de
distancias a dos puntos fijos es
una constante. La lemniscata
es el lugar geométrico de los
puntos del plano tales que el
producto de estas distancias
es una constante. Bernoulli la
llamó lemniscus, que en Latín
significa "cinta colgante".

5. Ecuación de la Lemniscata de Bernoulli
La Lemniscata de Bernoulli es
un tipo de curva descrita
mediante coordenadas
Polares según las siguientes
ecuaciones:
2 2
2
r a sen
2 2
cos 2
ó
r a





6. Óvalos de Cassini
La ecuación genérica de los
óvalos de Cassini en forma
polar es:
r4  a4 2a2r2 cos2  b4
La ecuación genérica de los
óvalos de Cassini en
coordenadas cartesianases:
    2
2 2 2 2 2 4 4 x  y  2a x  y  a b  0
La forma de la curva depende
de la relación b/a. Si es mayor
que 1 la curva tiene dos lazos;
si es menor que 1 la curva sólo
tiene un lazo y si es 1, la curva
es la Lemniscata de Bernoulli

8. Método geométrico para la construcción de una
Lemniscata de Bernoulli
1m
2m
2n
1 n
1 p 2 p
2 q
1 q
M
N
P
Q
1. Trazar dos rectas
perpendiculares r y s.
2. Trazar una
circunferencia
tangente a las dos
rectas con el radio
que se quiera.
3. Por O (intersección
de r y s), trazar
rectas secantes a la
circunferencia. Cada
secante corta a la
circunferencia en una
pareja de puntos,
como la pareja m1 y
m 2
4. Tomar la longitud
de cada cuerda y
situarse en la recta a
partir de O
obteniendo puntos de
la curva como M al
tomar la cuerda
m1m2, N para n1 n2, P
para p1 p2…
5. Al unir los
diferentes puntos M,
N, P… la curva
queda determinada.
r s
O

10. Dulce Lemniscata de Bernoulli
Si seccionamos un toro con un
plano paralelo a su eje,
obtendremos óvalos de Cassini
con diferentes formas según el
plano esté más cerca o lejos de
dicho eje (simplificando mucho
la forma de expresarlo). En las
imágenes está la Lemniscata de
Bernoulli, caso particular de los
óvalos de Cassini.

12. La Lemniscata de Bernoulli en las curvas de
las carreteras
Desde el momento en que un
vehículo en marcha por una
carretera entra en una curva,
actúa sobre él, además de la
fuerza gravitatoria, la fuerza
centrífuga.
La Lemniscata de Bernoulli
tiene radio de curvatura
variable por lo que junto a un
peralte adecuado puede
minimizar el efecto de la
fuerza centrífuga

14. Fuerza centrípeta
2
c
mv
F
r


16. Relojes de Sol
La imagen muestra un reloj
de Sol, conocido como
cuadrante vertical meridiano
(exactamente frente al sur),
con correcciones por
longitud y por ecuación del
tiempo. En dicho cuadrante
aparecen unas líneas en
forma de ocho muy
alargados, llamadas
Lemniscatas de Bernoulli,
que son las encargadas de
introducir la correción por la
ecuación del tiempo (E.T.)

18. Significado esotérico de la Lemniscata de Bernoulli
En el Tarot de Rider se
corresponde con el Arcano de
la Fuerza, el cual porta el
símbolo del infinito, la
Lemniscata de Bernoulli,
sobre la cabeza. Se asocia al
psiquismo, a la naturaleza
dulce de lo femenino, al lado
amable de la naturaleza
humana, que al sublimarse
logra maravillas, resultados
concretos. La fuerza
representa la conquista que
alguien ha logrado sobre si
mismo, teniendo ahora un
poder infinito como aliado
Frida Kalo con el símbolo de
infinito en su trenza

20. 
Al y
más allá
El símbolo de infinito fue
creado por el matemático
inglés John Wallis más o menos
por 1655. Tiene la forma de
una curva llamada Lemniscata
de Bernoulli, aunque no se
sabe de dónde sacó Wallis la
idea.