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Transformaciones 2D y representación matricial
- 1. INSTITUTO TECNÓLOGICO SUPERIOR DE LA MONTAÑA INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES DOCENTE: ING. NOEL DOMÍNGUEZ CARDONA ASIGNATURA: “GRAFICACIÓN” TLAPA DE COMONFORT, GRO., 2O DE ABRL DE 2015 ACTIVIDAD: INVESTIGACIÓN DE LOS SIGUIENTES TEMAS 2.3 Transformación bidimensional. 2.3.1 Traslación. 2.3.2 Escalamiento. 2.3.3 Rotación. 2.4 Representación matricial. ALUMNO: JOSÉ LUIS REYES OLEA No. CONTROL: S12120012
- 2. 1 Índice Introducción ................................................................................................................. 2 2.3 Transformación bidimensional. .............................................................................. 3 2.3.1 Traslación. .......................................................................................................... 4 2.3.2 Escalamiento. ..................................................................................................... 5 2.3.3 Rotación.............................................................................................................. 6 2.4 Representación matricial........................................................................................ 8 Conclusión ................................................................................................................. 10 Bibliografías ............................................................................................................... 11
- 3. 2 Introducción A continuación veremos los temas que se presentaron anteriormente, es tan interesante conocer cuál es la función de cada uno de estos así como la aplicación que tiene en el mundo real. Se preguntaran ¿en dónde se aplica? Esto lo vemos a diario lo podemos ver en cielo, lo maravilloso que es nuestro universo, otra seria en las películas vemos ejemplos de escalamiento, un ejemplo de rotación lo podemos encontrar en los programas que son para diseño. Claro para poder entender bien estos temas debemos tener conocimiento previos de cálculo. Espero y al terminar esta investigación hayas aprendido algo sobre gráficos.
- 4. 3 2.3 Transformación bidimensional. La composición de transformaciones bidimensionales consiste en la mezcla de las transformaciones bidimensionales básicas como son traslación, sesgado y escalado. Notemos que no mencionamos la rotación como una transformación básica, esta es en realidad la combinación de escalado y sesgado. Estas transformaciones se representan mediante un matriz de tres por tres como esta en la siguiente figura. Los elementos a, b, c,d, tx y ty. Las posiciones adicionales u, v y w no las tomaremos en cuenta porque por el momento no son importantes. El significado para cada posición es la siguiente a escalado en el eje x. b sesgado en el eje y. c sesgado en el eje x. d escalado en el eje y. tx traslación en el eje x ty traslación en el eje y
- 5. 4 2.3.1 Traslación. Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. Se traslada un punto de la posición coordenada (x,y) a una nueva posición (x', y') agregando distancias de traslación, Tx y Ty , a las coordenadas originales: x' = x + Tx, y' = y + Ty El par de distancia de traslación (Tx,Ty) se denomina también vector de traslación o bien vector de cambio. Los polígonos se trasladan agregando las distancias de traslación especificadas a las coordenadas de cada punto extremo de la línea en el objeto. Los objetos trazados con curvas se trasladan cambiando las coordenadas definidoras del objeto. Para cambiar la posición de una circunferencia o elipse, se trasladan las coordenadas centrales y se vuelve a trazar la figura en la nueva localidad. Las distancias de traslación pueden especificarse como cualquier número real (positivo, negativo o cero). Si un objeto se traslada más allá de los límites del despliegue en coordenadas del dispositivo, el sistema podría retornar un mensaje de error, suprimir partes del objeto que sobrepasan los límites del despliegue o presentar una imagen distorsionada. Los sistemas que no contienen provisiones para manejar coordenadas que sobrepasan los límites del despliegue distorsionaran las figuras debido a que los valores coordenados desbordan las localidades de la memoria. Esto produce un efecto conocido como doblez en redondo, donde los puntos que sobrepasan los límites coordenados en una dirección se desplegaran en el otro lado del dispositivo del dispositivo de despliegue
- 6. 5 2.3.2 Escalamiento. Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalamiento. Esta operación puede efectuarse con polígonos multiplicando los valores coordenados (x,y) de cada vértice de frontera por los factores de escalamiento Sx y Sy para producir las coordenadas transformadas (x', y'). X' = x.Sx Y' = y.Sx El factor de escalamiento Sx hace objetos a escala en la dirección x, mientras que Sy lo hace en la dirección y. Cualquier valor numérico positivo puede asignarse a los factores de escalamiento Sx y Sy. Los valores menores que 1 reducen el tamaño de los objetos; los valores mayores que 1 producen un agrandamiento. Si se especifica un valor de 1 para Sx y Sy se mantiene inalterado el tamaño de los objetos. Cuando a Sx y Sy se les asigna el mismo valor, se produce un escalamiento uniforme, la cual mantiene las propiedades relativas del objeto a escala. A menudo se utilizan valores desiguales de Sx y Sy en aplicaciones de diseño, donde las figuras se construyen a partir de unas cuantas formas básicas que pueden ser transformadas por transformaciones de escalamiento.
- 7. 6 2.3.3 Rotación. Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. Para generar una rotación, especificamos un ángulo de rotación "theta" y la posición (xr, yr) del punto de rotación (o punto pivote) en torno al cual se gira el objeto. Los valores positivos para el ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del punto pivote y los valores negativos giran los objetos en la dirección del reloj. También es posible describir esta transformación como una rotación sobre el eje de rotación que es perpendicular al plano de xy y pasa a través del punto pivote. El primer paso es determinar las ecuaciones de transformación para la rotación de la posición de un punto P cuando el punto pivote está en el origen de las coordenadas. Utilizando identidades trigonométricas podemos expresar las coordenadas transformadas en término de los ángulos "theta" y "phi" como: Las coordenadas originales del punto en las coordenadas polares son: Las rotaciones son transformaciones de cuerpos rígidos que mueven los objetos sin deformarlos. Se giran a través del mismo ángulo todos los puntos del objeto. Se gira un segmento de línea recta al aplicar las ecuaciones de rotación en cada extremo de la línea y se vuelve a trazar la línea entre las nuevas posiciones de los extremos.
- 8. 7 A continuación veremos otra imagen donde se aplica la rotación.
- 9. 8 2.4 Representación matricial. Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas: Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones. Cada transformación puede representarse como P’ = P M1 + M2 La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala. La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación. Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas coordenadas en cada transformación. P’’ = P’ M3 + M4 =… = P M1 M3 + M2 M3 + M4 Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales. Coordenadas homogéneas El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices.
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- 11. 10 Conclusión Todos alguna vez hemos necesitado mover, hacer más grandes los objetos, imágenes etc. O simplemente rotar para ver otra perspectiva de del objeto o imagen. Esto es usado muchísimo en programas de diseño, y estos programas nos ayudan bastante para hacer todos estos tipos de efectos de traslación, rotación, escalado entre otros. Si estas opciones no estuvieran disponibles tendríamos que dibujar muchas veces un objeto y darle los parámetros desde que se crea, es decir, si necesitamos rotar un objeto borraríamos el que ya hicimos o crearíamos uno nuevo con los ángulos que necesitamos ver. Para facilitar este trabajo se utilizan formulas o ecuaciones que son muy utilizadas en calculo vectorial y solo transportar la imagen original a través de la aplicación de la ecuación que se requiera. Es importante conocer la aplicación de todo esto ya nosotros como ingenieros debemos saber la raíz, cuales son los principios de la Graficación. Como sabemos que con una simple función matemática podemos crear figuras. Gracias al cálculo vectorial es más fácil aplicar esto a una aplicación.