Determinante para establecer si una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden es linealmente independiente.

1. Wroskiano de una Ecuación
Diferencial
Asignatura: Matemáticas III
Alumno: José I. Yánez V.

2. Ecuaciones Diferenciales.
 Clasificaciones de una ecuación diferencial ED.
 Tipo
 Ecuación diferencial ordinaria EDO: una o más variables dependientes con
respecto a una independiente.
 Ecuación diferencial parcial EDP: una o más variables dependientes con
respecto a varias indepedientes.
 Orden
 De la mayor derivada en la ecuación.
 Linealidad*

3. Linealidad
 Una ecuación diferencial de n-ésimo orden:
F(x, y, y , . . . , y(n)) 0
 Es lineal si F es lineal en y, y, . . . , y(n).
 Significa que una EDO es lineal cuando la ecuación:
𝑎 𝑛(x)𝑦 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1(x)𝑦 𝑛−1
+ … + 𝑎1(x)𝑦′
+ 𝑎0(x)𝑦 – g(x) = 0
ó
𝑎 𝑛(x)
𝑑 𝑛y
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1(x)
𝑑 𝑛−1y
𝑑𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1(x)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(x)𝑦 = 𝑔(𝑥)

4. Wronskiano
Soluciones de Ecuaciones diferenciales.
Para funciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal.
El Wroskiano nos sirve para establecer el conjunto de n soluciones
𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden es
liealmente independiente.
Mediante el determinante de la matriz cuadrada de las
funciones y sus derivadas:
W(𝑓1, 𝑓2, ..., 𝑓𝑛) =
𝑓1
𝑓′1
𝑓1
𝑛−1
𝑓′2 …
𝑓′2 …
𝑓2
𝑛−1
…
𝑓𝑛
𝑓′ 𝑛
𝑓𝑛
𝑛−1

5. Wronskiano
Uso: Criterio para soluciones linealmente independientes.
 Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛 soluciones de la ecuación diferencial
lineal homogénea de n-ésimo orden en el intervalo I, si y solo
si:
W(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦 𝑛) ≠ 0 para toda x en el intervalo.

6. Ejemplo:
 𝑦1 = 𝑒 𝑥
; 𝑦2 = 𝑒2𝑥
; 𝑦3 = 𝑒3𝑥
, satisfacen la ecuación de tercer orden y’’’-6y’’+11y’-6y= 0.
Puesto que
W(𝑒 𝑥, 𝑒2𝑥, 𝑒3𝑥)=
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
𝑒2𝑥
2𝑒2𝑥
4𝑒2𝑥
𝑒3𝑥
3𝑒3𝑥
9𝑒3𝑥
= 2𝑒6𝑥 ≠ 0
 Para todo valor real de “x” las funciones 𝑦1, 𝑦2y 𝑦3 forman un conjunto fundamental de
soluciones en (-∞, ∞). Se concluye que 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒2𝑥
+ 𝑐3 𝑒3𝑥
es la solución general de
la ecuación diferencial en el intervalo.

7. Bibliografía
Zill G. D. (2009). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. 9na
Edición. Cengage Learning. México.