resumen primero ciclo

1. Universidad Politécnica
Salesiana
MATEMÁTICAS III
Nombre: John LucasVillacís Loor
Curso: F1
Grupo: 1

2. Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales
Definición y terminología
Tipos de ecuaciones diferenciales, orden
Linealidad, cambios direccionales
Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
Familia soluciones, solución particular
Problemas con valores iniciales P.V.I
Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Factor de integración para EDO´S lineales de primer orden

3. Ecuaciones diferenciales exactas
Método variación de la constante
Sustituciones y transformaciones: Ecuaciones homogéneas
De la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺
𝑦
𝑥
De la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
Ecuaciones de Bernoulli
Ecuaciones de Ricatti
Unidad 3 y 4: Ecuaciones diferenciales de 2do orden y orden superior
Problemas con valores iniciales (n-ésimo orden)
Funciones linealmente independientes y dependientes. El wronskiano.

4. Wronskiano
Solución general: Ecuación no homogénea, reducción de orden
Tipos de ecuaciones diferenciales, orden
Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
Raíces reales y diferentes
Raíces reales e iguales
Raíces complejas conjugadas
Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes
Método de superposición
Método del anulador: operador anulador
Método por variación de parámetro

5. Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales
Definición y terminología
Una ecuación diferencial, es aquella que relaciona variables dependientes, sus
derivadas y variables independientes.
Ejemplo:
𝑑ℎ
𝑑𝑡
,
𝑑2ℎ
𝑑𝑡2
donde; 𝑑ℎ, es la variable dependiente y 𝑑𝑡, es la variable independiente.

6. Tipos de ecuaciones diferenciales:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): aquellas que presentan una sola variable
dependiente e independiente.
𝑦" − 𝑦′ = 1
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): aquellas que presentan dos o más
variables dependientes o independientes.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑦2 −
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2
Orden
El orden de una E.D está dada por la mayor derivada presente.
𝑦" − 𝑦′ = 1  2do orden

7. Linealidad
Una EDO es lineal si tiene la forma:
Cambios direccionales
EDO de 1er orden
Implícita: 𝐹 𝑦′, 𝑦, 𝑥 = 0  𝑦′ − 𝑥 − 𝑦
Explícita: 𝑦′
𝑥 = 𝑓(𝑦 𝑥 , 𝑥))  𝑦′
= 𝑥 + 𝑦

8. Solución de una ecuación diferencial e intervalo de
definición
• Una función 𝑦 = (𝑥)es una solución de una EDO de orden “n” en un intervalo I, si
sus “n” derivadas existen en el intervalo I, al reemplazarlo en la EDO, se obtiene
una identidad.
𝑌" + 4𝑦 = 0
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − cos 2𝑥
𝑦′ = 2 cos 2𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑦" = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12cos 2𝑥
(−4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12 cos 2𝑥) + 4(𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3 cos 2𝑥) = 0
0 + 0 = 0
0 = 0

9. Familia soluciones
La solución de una ecuación diferencial de orden n, en donde
nos conduce a una familia n- paramétrica de soluciones
A la solución dada para cada valor de ci, se le conoce como solución particular.
Solución particular
Si fijando cualquier punto 𝑃(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) por donde debe pasar necesariamente la
solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de
la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución
particular de la ecuación en el punto 𝑃(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) , que recibe el nombre de
condición inicial.
Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o
constantes) recibe un valor específico.

10. Problemas con valores iniciales (P.V.I)
Consiste en encontrar una solución particular que cumpla con ciertas
condiciones dadas:
Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial:
su solución general es:
Esta solución es toda una familia de curvas
De entre éstas solo existe una solución particular que cumple la condición
y(1)=4
Por tanto, C = 4, y la solución particular con la condición y(1) = 4 es:

11. Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables
Se trata de ecuaciones de la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 ℎ(𝑦)
Se trata de arreglar de tal forma que la expresión nos quede en un miembro
solamente las x, y en el otro miembro sólo las y.
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Para así integrar ambos lados de la ecuación:
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦= 𝑔(𝑥)

12. Ejemplo:
Sea la ecuación diferencial:
que puede ser expresada en la forma:
y ahora integramos los dos miembros:
es decir, y - 3 Ln y = Ln x + Ln C
Lo cual en forma más simple: y = Ln Cx y3 , o sea, la solución general es:
ey = C x y3

13. Factor de integración para EDO´S lineales de primer orden
Se escribe la ecuación en su forma ordinaria:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Se encuentra el factor integrante:
𝑢 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Escribir de acuerdo a la fórmula:
𝑢𝑦 = 𝑢 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Resolver la integral y despejar “y”

14. Ejemplo:
Encontramos el factor integrante:


15. Ecuaciones diferenciales exactas
Una E.D 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si existe una función f(x,y)=0, tal que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
La E.D tiene que cumplir que:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Se elige el término de M o N más conveniente y se siguen los siguientes pasos:
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 ó 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + ℎ 𝑥
• 𝜕
𝜕𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝑀(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥 + 𝑔′(𝑦)
𝜕
𝜕𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑁(𝑥, 𝑦))𝑑𝑦 + ℎ′(𝑥)
• Despejar g(y) Despejar h(x)
• Reemplazar en la ecuación de f(x,y)

16. Ejemplo:
(4 x3 y3 - 2 xy) dx + (3 x4 y2 - x2 ) dy = 0
M = 4x3y3-2xy, N = 3x4y2-x2
(exacta)
du = (4x3y3-2xy) dx
A continuación hallamos j(y) según la condición (2) de arriba, la derivada
de u respecto de y es:

u = x4y3-x2y+C1 la solución general es u=c, esto es:
• x4y3-x2y+C1 = C2  x4y3-x2y = C

17. Método variación de la constante
Ejemplo:
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 6
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0  E.D homogénea variable separable
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦
• 𝑑𝑦
𝑦
= −3𝑑𝑥
• 𝑙𝑛 𝑦 = 3𝑥 + 𝑐
• 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒3𝑥+𝑐
• 𝑦 = ±𝑒 𝑐1 𝑒−3𝑥
• 𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥  Solución homogénea
1

18. • Considero “c” es una función de x.
• c=c(x)
• 𝑦 = 𝑐(𝑥)𝑒3𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐 𝑥 𝑒3𝑥)
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 + 3(𝑐 𝑥 )𝑒3𝑥
• Reemplazo “y” y
𝑑𝑦
𝑑𝑥
en 1
• 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 + 3 𝑐𝑥 𝑒3𝑥 − 3 𝑐 𝑥 𝑒3𝑥 = 6
• 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 = 6
• 𝑐′ 𝑥 = 6𝑒−3𝑥  𝑐 𝑥 = 6𝑒−3𝑥 𝑑𝑥  𝑐 𝑥 = −2𝑒−3𝑥 + 𝑐
• Reemplazo c(x) en 2
• 𝑦 = (−2𝑒−3𝑥 + 𝑐)𝑒3𝑥  𝑦 = −2 + 𝑐𝑒3𝑥  solución general
2

19. Sustituciones y transformaciones
Ecuaciones homogéneas
De la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺
𝑦
𝑥
• 𝑧 =
𝑦
𝑥
; 𝑦 = 𝑧𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑧
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
• 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = G(z)
• 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= G z − z
• 𝑑𝑧
𝐺 𝑧 −𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
 variables separables

20. Ejemplo
𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0
• 𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥=𝑥2
𝑑𝑦
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦+𝑦2+𝑥2
𝑥2  forma normal
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ (
𝑦
𝑥
)2 + 1  Ecuación homogénea
• 𝑧 =
𝑦
𝑥
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
• 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = z + 𝑧2 + 1  𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧2 + 1
• 𝑑𝑧
𝑧2+1
=
𝑑𝑥
𝑥
• arctan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐
• arctan
𝑦
𝑥
= ln 𝑥 + 𝑐  tan(arctan
𝑦
𝑥
) = tan(ln 𝑥 + 𝑐)
• 𝑦
𝑥
= tan(ln 𝑥 + 𝑐)
• 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛(ln 𝑥 + 𝑐)  solución general

21. De la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
• 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑎 + 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
𝑎
𝑏
• 1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
𝑎
𝑏
= 𝐺(𝑧)
• 1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
• 𝑑𝑧
𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
= 𝑏𝑑𝑥

22. Ejemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥 + 𝑦 + 2)2
• 𝑧 = 𝑥 + 𝑦;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 1 = (𝑧 + 2)2
• 𝑑𝑧
𝑑𝑥
= (𝑧 + 2)2 + 1
• 𝑑𝑧
(𝑧+2)2+1
= 𝑑𝑥
• arctan 𝑢 = 𝑥 + 𝑐
• arctan 𝑧 + 2 = 𝑥 + 𝑐
• arctan 𝑥 + 𝑦 + 2 = 𝑥 + 𝑐
• 𝑥 + 𝑦 + 2 = tan(𝑥 + 2)
• 𝑦 = tan 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 − 2

23. Ecuaciones de Bernoulli
Son ecuaciones de la forma:
donde P(x) , Q(x) son funciones dependientes de x, o constantes, y n es un número racional distinto de 0 y de 1 (de lo contrario la
ecuación es lineal).
Para su resolución, primeramente se transforma a ecuación lineal por medio de las siguientes pasos:
a) Dividimos a toda la ecuación entre yn (o lo que es lo mismo, multiplicamos por y-n )
y-ny’ + P(x) y-n+1 = Q(x)
b) Hacemos el cambio y-n+1 = z, y a continuación derivamos z:
z’ = (-n+1) y-n y’
c) La ecuación resultante con la variable z, es de tipo lineal:
en concreto, la ecuación en z resultante:

24. Ejemplo:
Para transformarla a ecuación diferencial lineal la dividimos entre y4 (es decir,
multiplicamos por y-4 )
Ahora realizamos el cambio: y-3 = z, a continuación derivamos z:
despejamos y-4y’ para poder sustituir en la ecuación:


25. La cual queda en la forma lineal si multiplicamos a la ecuación por (-3):
• La integral de u(x) puede realizarse por partes, su resultado es:
u(x) = - 2x e-x - e-x + C
z = ex (- 2x e-x - e-x + C)

26. Ecuaciones de Ricatti
Una ecuación que se pueda escribir de la forma:
𝑦′ = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅 𝑥 𝑦2
se denomina ecuación diferencial de Riccati.
Si se conoce una solución particular, y1, de (1), la ecuación de Riccati se puede reducir a una
de Bernoulli con n = 2 mediante la sustitución y = y1 + u.
Esta ecuación de Bernoulli se reduce a una ED lineal de primer orden efectuando una
sustitución pertinente:

27. Ejemplo:

28. Unidad 3 y 4: Ecuaciones diferenciales de 2do orden
y orden superior
Una ecuación diferencial de 2do orden es de la forma:
Si,
Se llama ecuación homogénea, por ejemplo:
Si,
Se llama ecuación no homogénea, por ejemplo:

29. Problemas con valores iniciales (n-ésimo orden)
Existencia y unicidad de un PVI (n-ésimo orden)
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un
intervalo I, entonces existe una única solución.
Ejemplo:
• 3𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 𝑦′ + 7𝑦 = 0
• 𝑦 1 = 0, 𝑦′ 1 = 0, 𝑦′′ 1 = 0
• Solución inicialY=0
• Por lo tanto, es única solución

30. Funciones linealmente independientes y dependientes. El wronskiano.
Se dice que las funciones linealmente independientes si la única
solución de la ecuación
Donde en caso contrario, las funciones son linealmente
dependientes.
Ejemplo:
1) Las funciones para ser linealmente independientes debe
cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es
entonces las funciones son linealmente independientes

31. Wronskiano
Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está
dado por:
El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es
linealmente independiente en un intervalo dado:
Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces
las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.
• Si w=0, entonces f1(x), f2(x), …, fn(x) son linealmente dependientes.
• Si w≠0, entonces f1(x), f2(x), …, fn(x) son linealmente independientes.

32. Ejemplo:

33. Solución general: Ecuación no homogénea
Sea yp, solución de (1) y y1, y2,…, yn, un conjunto final de soluciones de (2).
Entonces la solución general de (1) es:
𝑦𝑔 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝
sol. general sol. Homogénea sol. particular
Reducción de orden
Dada: 𝑎2 𝑥 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 = 0
Si y1 es una solución particular; entonces se puede definir otra solución
particular linealmente independiente y2, como:
𝑦2 = 𝑦1
𝑒 −𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
Por lo tanto;Yc=c1y1+c2y2 ( solución general)

34. Ejemplo
Hallar la solución general de: 𝑥2 𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 donde y1=𝑥2 es una solución
particular
• 𝑥2
𝑦′′
− 3𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0 /𝑥2
• 𝑦′′
−
3
𝑥
𝑦′
+
4
𝑥2 𝑦 = 0
• 𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 𝑒
− (−
3
𝑥)𝑑𝑥
𝑥4 𝑑𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 𝑒3𝑙𝑛𝑥
𝑥4 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑒 𝑙𝑛𝑥3
𝑥4 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑥3
𝑥4 𝑑𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 1
𝑥
𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥  𝑦 = 𝑐1 𝑥2 + 𝑐2 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥

35. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0
𝑎𝑖 = 𝑖 = 1, … , 𝑛  constantes
𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 (2do orden)
Existe una solución particular: 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
Ejemplo:
2𝑦′′ − 3𝑦′ − 2𝑦 = 0  𝑦 = 𝑒2𝑥, 𝑦′ = 2𝑒2𝑥, 𝑦′′ = 4𝑒2𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥
𝑎2 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎1 𝑚𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝑚𝑥 = 0
𝑒 𝑚𝑥(𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0)
𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0
𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0  Ecuación característica

36. Raíces reales y diferentes
Ejemplo:

37. Raíces reales e iguales
Ejemplo:

38. Raíces complejas conjugadas

39. Ejemplo:

40. Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes

41. Método de superposición
Este método nos permite encontrar una solución particularYp(x) para las ecuaciones
de la forma:
Donde a, b, y c son constantes y
Para resolverla, se tiene que hacer lo siguiente:
• Resolver la ecuación lineal homogénea asociada (función complementaria) con lo
que se obtiene 𝑦ℎ
• Obtener alguna solución particular 𝑦𝑝 de la ecuación no homogénea
• A partir de ellas: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

42. Ejemplo:

44. Método del anulador
Operador anulador
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de operador anulador.
Necesitamos encontrar L =Anulador en ambas partes de la ecuación.
)()( xLgxLf 
Regla 1 12
...,,1 
 n
n
n
xxxAnula
dx
dy
D
Regla 2
xnxxxn
exexxeeAnulaD 
 12
....,,)( 

Regla 3 xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn
  11222
,cos,,cos)](2[ 

xsene x


45. Ejemplo Regla 1: 12
...,,1 
 n
n
n
xxxAnula
dx
dy
D
)18(18 232
 xxDxxsea
1
 nn
xndondeD
)18( 2
 xxD
82'  xD
2'' D
0''' D
Ejemplo Regla 2:
xnxxxn
exexxeeAnulaD 
 12
....,,)( 

0'1)1(   xxxxxx
eeDeDeeDesea

46. Ejemplo Regla 3:
xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn
  11222
,cos,,cos)](2[ 

52)]2)1(()1(2[2cos5 21222

DDDDxesea x
121  nDonde 
0522
 DD

47. Resolución de un problema por el método del anulador en una
ecuación de segundo orden
2'''
23 xyyy Sea
Segundo Orden
No Homogénea
Paso 1: Sacar yc igualando a 0 el primer miembro de la ecuación.
023 '''
 yyyyc
Y se resuelve por el método de coeficientes
Constantes,
Recordemos que estamos buscando
pcG yyy 

48. 12 21  
0232
  )1)(2(  
xx
c eCeCy 
 2
2
1
Ya que tenemos yc . sacamos yp De la siguiente forma
Paso 2: Ahora anularemos a g(x).
22
)23( xyDDyp 
2'''
23 xyyy 
0)23( 2323
 xDyDDDyp
0)23( 23
 yDDDyp
Ahora tenemos que resolver Esa ecuación de la misma
forma que resolvemos la homogénea

49. Paso 3:Resolvemos la ecuación por el método de Coeficientes Constantes.
0)23( 23
 yDDDyp
)1)(2(0)23( 323
 
0321   12 54  
xx
eCeCxCxCCy 
 5
2
4
2
321
Vemos que esta es igual a la homogénea
Por lo tanto vamos a resolver el recuadro
Azul únicamente de la forma de Coeficientes
Indeterminados
2
CxBxAyp 
2
CxBxAyp 
CxByp 2' 
Cyp 2'
222'''
)(2)2(3223 xCxBxACxBCxyyy 

50. Paso 4: Una vez que hallamos derivado vamos a sustituir en nuestra ecuación
Original y resolvemos
2
1
12  CC
2
3
2
1
02)(6026 
 BBBC
4
7
2
3
2
1
02320232  
AAABC
4
7
2
3
2
1
 
py
222'''
)(2)2(3223 xCxBxACxBCxyyy 
22
)232()26(2 xABCxBCCx 
2
4
7
2
3
2
1
2
2
1 xxxeCeCy xx
G  

51. Método por variación de parámetro
Para emplear el método de variación de parámetro a una E.D de 2do orden, se
empieza por escribir la ecuación en la forma estándar
𝑦′′
+ 𝑃 𝑥 𝑦′
+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2
𝑐1 y 𝑐2 pasar a ser funciones 𝑢1 𝑦 𝑢2
𝑤 = 𝑦1 𝑦2 =
𝑦1 𝑦2
𝑦′1 𝑦′2
𝑢′1 = −
𝑦2 𝑓(𝑥)
𝑤
; 𝑢′2 =
𝑦1 𝑓(𝑥)
𝑤

52. Ejemplo:
• y’’ + 3y’ + 2y = 0
• Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogénea
asociada:
• m2 + 3m + 2 = 0
• (m + 2)(m + 1) = 0
• m1 = -2; m2 = -1
y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)
yh = C1 e-2x + C2 e-xç
y1 y2

53. • Por Cramer hallamosW(y1; y2)
W(y1; y2) = e-2x e-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x
-2e-2x -e-x
• Y después encontramos:
U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex)
W(y1; y2) e-3x
U’2 = y1f(x) = e-2x sen (ex) = ex sen (ex)
W(y1; y2) e-3x

54. • Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx
• u1 =∫ u’1 dx
• = ∫-e2x sen (ex) dx
z= ex
haciendo dz = ex dx
dx = dz/z

55. = -∫z2 sen(z) dz/z
= -∫z sen(z) dz
integrando por partes v = z dv = dz
dw = -sen zdz w = cos z
= z cos z -∫cos z dz
= z cos z - sen z
= ex cos(ex) - sen (ex)

56. u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx
=∫z sen z dz/z = ∫senz dz
= -cos z = -cos(ex)
yp = u1y1 + u2y2  solución particular
= [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex)
= -e-2x sen (ex)

57. • La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2
y = yh + yp
= C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)