Actividades ludicas y concretas para contar

1. ACTIVIDADES LÚDICAS Y CONCRETAS PARA CONTAR
Nelly A. León Gómez
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Instituto Pedagógico de Maturín
Venezuela
nellyleong@hotmail.com
PRESENTACIÓN:
La Matemática Discreta es la parte de la Matemática que se encarga
de los conjuntos discretos o infinitos numerables, se emplea cuando se
cuentan objetos, cuando se estudian relaciones entre conjuntos
contables y cuando se analizan procesos con un número finito de
pasos. Estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por
uno separadamente. Es la base del desarrollo de la ciencia de la
computación relacionándose con todos los procesos digitales.
Lo que caracteriza la Matemática Discreta, en contraposición a la
Matemática de lo continuo, conocida como el cálculo infinitesimal, es
que no se puede manejar las ideas de aproximación y suavización de
curvas. Por ejemplo, en Matemática Discreta podemos decir que un
conjunto tiene 4 elementos, pero no podemos hacer aproximaciones
por la derecha de este número con valores como 4,1; 4,01;4,0001…., o
por la izquierda con 3,9; 3,99; 3,999; es decir, la noción de límite no tiene
cabida en esta rama de la Matemática.
A través del estudio de estructuras discretas se pueden responder
preguntas como: ¿Cuál es el camino más corto entre dos ciudades,
utilizando un medio de transporte?, ¿De cuántas formas se puede
escoger una contraseña bancaria?, ¿Cuántas formas hay de pagar una
factura de $. 100.000 usando billetes de las distintas denominaciones
que circulan en un país?, entre otras interesantes cuestiones que tienen
sentido en el contexto cotidiano de los individuos.
La Matemática Discreta abarca contenidos tales como:
-Lógica proposicional
-Razonamientos recursivos e inductivos
-Teoría de Conjuntos
-Teoría Combinatoria
-Teoría de Grafos
-Estructuras Discretas
-Teoría de la Información
-Algoritmos

2. En el currículum escolar en muchos países aun no han sido incorporados
contenidos de esta rama de la Matemática, por la tendencia
generalizada a abarcar sólo los contenidos tradicionales. En otros
casos, algunos contenidos como la teoría de conteo y las
demostraciones por inducción aparecen en los programas de
educación secundaria, pero, o no son abordados por el docente o lo
son de manera mecánica e inapropiada, como simple aplicación de
procedimientos algorítmicos y fórmulas rutinarias.
Muchas veces, los docentes piensan que se requiere un nivel de
razonamiento para comprender estos contenidos, superior al que se
pone en juego cuando se trabaja con el cálculo. No obstante, estudios
recientes confirman que la mente del individuo se orienta más hacia
alguna de las dos tendencias: a la Matemática Discreta o a la
Matemática de la continuidad y el cambio, es decir, al Cálculo.
No se puede asegurar que una de ellas sea más fácil que la otra, ambas
presentan un alto nivel de complejidad, pero con los avances de la
informática y de la computación digital se ha visto la necesidad de una
iniciación más temprana en el estudio de lo discreto.
Lo que queremos en este taller es trabajar algunas ideas para introducir
de una manera amena contenidos referidos a Teoría de Conteo,
Recursividad y Teoría de Grafos. Dentro de estos encontramos
problemas bien interesantes que pueden presentarse en el contexto
histórico en el que surgieron sirviendo así de motivación al desarrollo de
estos contenidos.
PROPÓSITO:
Con este taller se pretende mostrar a los participantes algunos de estos
problemas para que sean resueltos en forma individual y grupal, luego
generar una discusión sobre las diversas estrategias de solución
empleadas y estudiar algunos aspectos teóricos y metodológicos
vinculados a tales problemas, porque pensamos que muchos docentes
han estudiado la Matemática Discreta con el nivel que se da en la
Universidad pero no saben como llevarla al aula en niveles educativos
inferiores. No debe entenderse esto que pretendemos dar recetas a los
docentes sobre cómo enseñar los tópicos de Matemática Discreta, sino
más bien motivarlos para que presten atención al tema y que en
conjunto exploremos toda una gama de alternativas que existen y hasta
lleguemos a crear otras más novedosas.

3. CONTENIDO
El curso abarcará los siguientes problemas y situaciones:
1. Algo de recursividad:
- Números poligonales
- El Problema de los conejos de Fibonacci
- La Torre de Hanoi y el Acertijo del Mandarín
2. Algo de Teoría de Grafos
- Los Puentes de Konigsberg
- Problemas de coloreado de mapas.
3. Algo de Estructuras Discretas
- Grupos de Klein (Un grupo para solitarios)
4. Algo de Sistema Binario
- El juego de NIM.
Números Poligonales
Son números que pueden recomponerse en la forma de un polígono
regular: un triangulo equilátero (números triangulares), un cuadrado
(Números cuadrados)…
La idea es, con el uso de piedritas o algún otro recurso, ir
construyendo, en primer lugar los números triangulares: el primero, el
segundo, el tercero, etc. e ir contando el número de piedras
necesarias, luego hacer preguntas como ¿Cuántas piedras hacen
falta para el décimo número triangular?, permitiendo que los
participantes exploren la situación y a través de un razonamiento
recursivo lleguen a la respuesta a este tipo de preguntas.
El problema de los conejos de Fibonacci
Este es un problema muy conocido enunciado de la siguiente
manera:

4. "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a
partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos,
que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de
conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado
número de meses?.“
A cada participante se le entregará un número determinado de
fichas con el dibujo de una pareja de conejos para que le sirva de
recurso en la construcción de una respuesta recursiva a este
problema. Este proceso llevará a la definición de la Sucesión de
Fibonacci y al estudio de algunas de sus propiedades que nos
conectará con algunas nociones matemáticas importantes como el
número y el rectángulo áureo y la espiral logarítmica.
La Torre de Hanoi y el Acertijo del Mandarín
La Torre de Hanoi es un juego popular del siglo XIX, inventado por
Édoard Lucas que se compone de tres barras montadas sobre una
base junto con discos de diferentes tamaños. Al comenzar el juego
los discos se colocan todos sobre la primera barra ordenados de
menor a mayor diámetro. Las reglas del juego permiten mover los
discos de uno en uno para cambiarlos de barra, con la restricción de
que un disco nunca puede colocarse sobre uno más pequeño. El
objetivo es pasar todos los discos a la segunda barra, ordenados de
la misma forma, con el menor número de movimientos.
Con el uso de un modelo concreto de este juego se pretende que
los participantes lleguen a la respuesta de manera recursiva
trabajando con diferentes números de discos. Una vez que se tenga
la respuesta se introducirá una demostración recursiva de dicho
resultado.
Los puentes de Konigsberg
Königsberg fue una populosa y rica ciudad de la Prusia Oriental. Hoy
en día su nombre es Kaliningrado y pertenece a Rusia. Está situada
en las orillas y en las islas del río Pregel, que en el siglo XVIII estaba
atravesado por siete puentes.

5. Es conocida por ser la cuna del filósofo I. Kant (1724-1804), pero en la
historia de las Matemáticas es famosa por la disposición de sus
puentes que dio lugar a un juego, precisamente en la época de
Kant, que atrajo la atención de los más famosos matemáticos del
momento, cuyo enunciado es el siguiente:.
Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y
con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo
empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme,
cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?
Este problema fue resuelto por Leonhar Euler dando origen a la Teoría
de Grafos. La idea es, a partir de este problema, ir explorando otras
situaciones que lleven a la definición de caminos y ciclos Eulerianos y
Hamiltonianos y a las condiciones para su existencia.
Un grupo para solitarios
En el siglo XVIII un aristócrata francés fue confinado en una celda de
La Bastilla, allí inventó un solitario para soportar su soledad. Este se
puede jugar en un tablero de ajedrez y 32 fichas tapando las
esquinas para que quede como se muestra en la figura:

6. Las fichas se mueven una encima de otra (Izquierda, derecha, arriba,
abajo) siempre que haya un cuadro vacío, entonces se “come” la
ficha por encima de la cual se saltó. Se gana el juego si queda una
sola ficha en la posición indicada al inicio.
Después de explorar varias estrategias, se presentará una que
siempre da la opción de completar el solitario; esta se basa en los
grupos de Klein.
El Juego de NIM
• Este es un juego viejo e interesante.
• NIM, en inglés antiguo, es “quitar” o “retirar”
• Es un juego para dos personas A y B
• Se colocan fichas en filas. Se puede usar cualquier número de
filas y de fichas.

7. • El jugador A puede quitar una o más fichas de la fila que escoja.
Luego B hace lo mismo.
• Gana el que se lleve la última ficha.
Los participantes se organizarán en parejas para jugar varias partidas y
luego se les pedirá que busquen una estrategia para ganar. Luego, se
presentará una estrategia basada en el sistema binario.
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
De la descripción anterior de los juegos y otras situaciones se observa
que la estrategia metodológica se centrará en el uso de materiales
concretos que permitan a los participantes la posibilidad de explorar
situaciones particulares para luego llegar a las soluciones generales y
formalizarlas matemáticamente. La idea es que los participantes
internalicen una forma de trabajo que luego les permita introducir en su
nivel educativo de desempeño algunos temas vinculados con la
Matemática Discreta.
RECURSOS
Se necesitarán algunos materiales fotocopiados y recursos concretos
que serán aportados por la facilitadores. Igualmente se proveerá un
listado de referencias bibliográficas para aquellos participantes
interesados en prefundir en la temática de la enseñanza de la
Matemática Discreta.
Además se requerirá video bean, pizarra y marcadores de diferentes
colores.