Una experiencia de aula. Programación de un curso completo de 4º de ESO a través de la historia de las matemáticas. Materiales, actividades, trabajos, resultados y opiniones de los alumnos

1. La armonía del Universo.
De Pitágoras a Mandelbrot
Entre maestros
Antonio Pérez Sanz
http://platea.pntic.mec.es/aperez4
aperez4.blogspot.com.es
aperez.sanz@gmail.com

2. PRIMER DÍA DE CLASE.
4º DE ESO. LA PREGUNTA DEL
MILLÓN
Escribe el nombre de los matemáticos famosos
que conozcas, por ejemplo Pitágoras

3. Los resultados
Matemáticos conocidos
20
11
9 8
5
3 3 2 2 2 2 2 2
0
5
10
15
20
25
Pitágoras
Einstein
Thales
Newton
Aristóteles
Sócrates
Arquímedes
Platón
Sófocles
Galileo
Copérnico
Rufini
Eúfrates

4. 1ª Conclusión
El panorama es más que desolador. Pitágoras y
poco más constituye todo su bagaje cultural
sobre la historia de una asignatura que están
estudiando desde los 6 años.
Para los alumnos las matemáticas no tienen autores,
detrás de los resultados, de las fórmulas y de los
teoremas no hay personas, ni épocas, ni caras.
¡No hay nada!

5. Pero la culpa no es suya
¿Cuántos de nosotros hemos eludido la
consideración de la experiencia acumulada en
la Historia de la Matemática y nos hemos
conformado con repetir mecánicamente
fórmulas, definiciones y teoremas, sin pensar
ni siquiera por qué y para qué, comunicar ese
conocimiento?

6. Presentación en clase
de las Matemáticas
matemáticas
ahistóricas
resultados matemáticos
terminados y cerrados
muy poco de las
personas y las peripecias
matemáticas rigurosas pero muertas
formalismo lógico-simbólico

7. UN CURSO LLENO DE...
EXCURSIONES POR LA HISTORIA
DE LAS MATEMÁTICAS
DE PITÁGORAS A MANDELBROT
MATEMÁTICAS - HISTORIA - INVESTIGACIÓN

8. Propuesta didáctica 2000-2007
Investigar
Historia Visualizar
Descubrir
DIVULGACIÓN
CURRÍCULO
Juego. Belleza

9. Objetivos del curso
 Trabajar las actitudes.
 Proporcionar una visión distinta de las
Matemáticas.
 “Conocer” al menos a 20 personajes
matemáticos, vinculados a resultados
curriculares concretos

10. Los protagonistas de la
clase de Matemáticas...
 No son los radicales y los polinomios, las fracciones y
los logaritmos...
 Son: Pitágoras, Teano, Euclides, Arquímedes, Al-
Kuwaritmi, Fibonacci, Tartaglia, Cardano, Galois, Abel,
Gauss, Newton, Leibniz, Euler, Ramanujan, Apolonio,
Galileo, Kepler, Laplace, Legendre, Lagrange, Monge,
Mme. de Châtelet, Fermat, Sophie Germain, Sofía
Kovaleskaya, María Agnesi...

11. Los alumnos han ido descubriéndolos no de
manera ajena al desarrollo de las clases,
impuestos como divertimento histórico,
sino al hilo de los temas matemáticos que
íbamos tratando a lo largo del curso.

12. Los materiales
 Libros de divulgación de historia de las Matemáticas.
Ed. Nivola y otros
 Vídeos: Universo Matemático y Más por Menos
 Internet: aula de informática, ordenador en el aula +
cañón de proyección
 Exposiciones y murales
 Programas de matemáticas

13. INVESTIGACIÓN
Investigaciones aritméticas
http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/software.htm
hojamat

14. Aritmética.
Sur de Italia. Siglo VI antes de Cristo
La lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la
Razón.
El principio.
No todo en la vida son radicales y progresiones aritméticas y geométricas.
Pitágoras.
 El nacimiento de las matemáticas como ciencia.
 La búsqueda de la armonía del Universo.
 El primer modelo matemático para explicar el mundo. El
misticismo numérico
 El nacimiento de la Aritmética: laTeoría de Números.

15. Para empezar bien la
aritmética …un buen día…
Siglo XVII. En un regimiento de artillería apilaban sus balas
de cañón formando una pirámide. Una tormenta empapó
las balas y el coronel ordenó extenderlas en el suelo para
secarlas.
Cuando lo hicieron formaban un cuadrado perfecto.
¿Cuántas balas había?, ¿cómo era la pirámide?, ¿cuántos
pisos tenía?...

16. Primos, perfectos, amigos,
poligonales...los números
 ¿Cuál es el número mínimo de naranjas con las que puedo formar o
bien un cuadrado o bien una pirámide de base cuadrada?
 1, 5, 14, 30, 55... a(n)?
 N = D + D + D
 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ??
Pitágoras, Euclides, Fermat, Euler, Gauss, Cauchy...

17. Propuesta didáctica de
trabajo de investigación
Regularidades numéricas: Los números poligonales.
 Teoremas particulares.
 Teoremas generales
 Fórmulas para cada tipo de números
 A la caza de una fórmula general.
 Los números poligonales a través de la historia. Hipsicles, Teón, Nicómaco, Diofanto,
Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy...
Material complementario:
Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático). Números triangulares números
cuadrados. (Ojo Matemático).
Libros: Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. La Gaceta de la RSME. Nº 2.
Filosofía y mistica del número. M. Ghyka. Apóstrofe.
GeoGebra. MAT-TIC

18. Los pitagóricos
Las expresiones «números triangulares» o
«números cuadrados» no son meras
metáforas sino que esos números son,
efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos,
triángulos y cuadrados.
Pitágoras. El filósofo del número. Pedro M. González Urbaneja. Ed. NIVOLA. Madrid 2001

19. Perspectivas
Números poligonales en la Historia
Integración de recursos visuales
Actividades de investigación
GeoGebra

20. Resultados algebraicos
Polig Gnomon Recurrencia Descomp. triangular
T(n) n T(n) = T(n–1) + n
C(n) 2n–1 C(n) = C(n–1) + (2n–1) C(n) = T(n) + T(n–1)
P(n) 3n–2 P(n) = P(n–1) + (3n–2) P(n) = T(n) + 2T(n–1)
H(n) 4n–3 H(n) = H(n–1) + (4n–3) H(n) = T(n) + 3T(n–1)
········ ········ ········ ········
Pr(n) (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = Pr(n–1) + (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = T(n) + (r–3) T(n–1)
Formulas particulares
Triangulares Cuadrados Pentagonales Hexagonales
1,3,6,10... [n(n+1)]/2 1,4,9,16.. n2
1,5,12,22.. [n(3n–1)]/2 1,6,15,28... n(2n–1)
Fórmula general:
2
)1()2(
,

+
nnd
nN nd

21. Los otros resultados...
Los números poligonales a través de la historia.
 Hipsicles,
 Teón,
 Nicómaco,
 Diofanto,
 Boecio,
 Bachet,
 Fermat,
 Descartes,
 Euler,
 Lagrange,
 Gauss,
 Cauchy...

22. Fase 1
 Introducción de los números triangulares y
cuadrados.
 Regularidades numéricas de las sucesiones

23. NÚMEROS POLIGONALES

24. NÚMEROS POLIGONALES
 En todos los casos las series numéricas son
sumas parciales de los primeros términos de
progresiones aritméticas cuyo primer término
es siempre 1 y cuya diferencia es d.
 Siendo d el número de lados del polígono
asociado a la serie menos dos unidades

25.  Lo que viene a demostrar, que sin ningún
apoyo algebraico, y utilizando
exclusivamente modelos geométricos, los
pitagóricos dominaban los métodos para
sumar progresiones aritméticas simples del
tipo
 y seguramente del tipo
k
k
n

1
( )2 1
1
k
k
n



k
k
n
2
1


26. Esta visión geométrica les permitió obtener los
primeros resultados generales sobre propiedades
de los números naturales:
"La suma de los n primeros números naturales es
un número triangular".
2
1)n(nn...4321Tn ++++++
n
n + 1

27. Fase 2
 Los primeros teoremas geométricos
 Conocemos a Hipsicles,Teón de Esmirna,
Nicómaco de Gerasa y Boecio

28. "La suma de los n primeros números
impares es un número cuadrado"
 C1 = 1
 C2 = 1+3
 C3 = 1+3+5
 ...
 Cn = 1+3+5+...+2n -1
n2 = 1 + 3 + 5 + ... +(2n -1)

29. "Todo número cuadrado es suma de dos
números triangulares consecutivos".
Teorema de Teón
Cn = Tn + T n-1

30. Hipsicles. S II a. C.
N n,d = T n + (d-3)·T n-1
N n,d = n + (d-2)·T n-1

31. Nicómaco. s I d. C.
"Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden
y de una dimensión inferior más el nº triangular de orden
inferior".Teorema de Nicómaco
Cn =Tn +Tn-1
Pn = Cn +Tn-1...
Nd,n = Nd-1,n +Tn-1
GeoGebra

32. Fase 3
 ¿Cuánto suman los n primeros cubos?
 La sorpresa de Nicómaco

33. Nicómaco. s I d. C.
Introducción a la Aritmética
13 = 1;
23 = 3+5;
33 = 7+9+11;
43 = 13+15+17+19
...
13+23+33+...+n3 =
=1+3+5+7+...+n(n+1)-1=
= (1+2+3+...+n)2 =Tn
2

34. Fase 4
 La Edad Media.
 La herencia de Diofanto y Boecio.
 Los teoremas generales

35. Diofanto de Alejandría
( s. III d. de C)
Aparecen los números piramidales, que se obtienen
apilando en capas los sucesivos números poligonales
de un mismo orden
 Tetragonales: 1, 4, 10, 20...
 Los piramidales cuadrados:
1, 5, 14, 30...
 Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...

36. Diofanto de Alejandría
(s. III d. de C.)
Conjetura
«Todo número entero positivo se puede poner
como suma de a lo sumo cuatro números
cuadrados»
Hoja de cálculo

37. Boecio. Aritmética

38. Fase 5
 El Renacimiento.
 Bachet y su famosa edición de la Aritmetica
de Diofanto (1621)

39. Bachet de Meziriac. S XVII
Descomposición triangular
Todo número poligonal de tipo d es la
suma de un número triangular del
mismo orden y d–3 números
triangulares de orden previo
Nd, n = Tn + (d–3) T n–1

40. Fórmula general
Nd, n = Tn + (d–3) T n–1
N n,d = 1/2 ·(n+1)·n + 1/2 ·(d-3)·n·(n-1)
N n,d = n + 1/2 n·(n-1)·(d-2)
2
)1()2(
,

+
nnd
nN nd

41. Descubrir teoremas generales
no es tan difícil...
Números DN 1 2 3 4 5
 Triangul. 3 1 3 6 10 15
 Cuadrad. 4 1 4 9 16 25
 Pentag. 5 1 5 12 22 35
 Hexag. 6 1 6 15 28 45
 Heptag. 7 1 7 18 34 55

42. Fase 6
Descartes
Progymnasmata de Solidum Elementis
 Recupera los números piramidales e hiperpiramidales
descubriendo tanto los gnomons que permiten su
formación como las fórmulas generales de los mismos.
 También realiza un estudio profundo sobre los números
figurados sólidos basados en los poliedros regulares

43. Materiales diversos...


44. Pirámides cuadradas...
 PC(n)=1/6 n·(n+1)·(2n+1)





 +
+




 +

3
2n
3
1n
PC(n)
++++ 2n....232221

45. Pirámides triangulares...
 PT(n)=1/6 n·(n+1)·(n+2)





 +

3
2n
PT(n)

46. El Triángulo de Pascal
Presencia de tres tipos de números:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
tetragonales triangulares naturales

47. Modificando el triángulo
 ¿Qué pasa si cambiamos un lado de unos por doses...?
1
1 2
1 3 2
1 4 5 2
1 5 9 7 2
1 6 14 16 9 2
 Pirámides cuadradas – cuadrados – impares

48. Aportaciones modestas...
 Investigaciones aritméticas

49. Historia
A. J. Meyl demostró en 1878 que sólo hay 3
números tetragonales que sean cuadrados
 G. N.Watson demostró en 1918 que sólo
hay un número piramidal de base cuadrada
que a su vez sea un cuadrado

50. Para los inquietos
 ¿ Cuántos números hay que son a la vez
tetragonales y piramidales de base cuadrada?

51. Fase 7. Aritmética superior
Pierre de Fermat
Conjetura
"Todo número entero puede expresarse mediante
suma de, a lo sumo, n números n-gonales”
1772 1796 1815
Euler Lagrange Gauss Cauchy
Cuadrados Triangulares General

52. Gauss
Disquisitiones Arithmeticae
 293. Las disquisiciones precedentes también
proporcionan una demostración del famoso teorema
que dice que todo entero positivo se puede
descomponer en tres números triangulares, como
hace tiempo fue descubierto por Fermat, pero cuya
demostración rigurosa ahora se ha logrado.
Un largo viaje de más de 2500 años

53. Para hacerse famoso...
¿Existe algún número perfecto impar?
¿SI? ¿NO?
Responde, demuéstralo e...
Inscribe tu nombre en el gran libro de la Historia
de las Matemáticas...

54. Una ayuda...
Euler demostró que si existe alguno ha de ser de
la forma
p 4q + 1 ·r 2 , con p = 4n + 1
Hoy sabemos:
 debe ser divisible por al menos 8 primos
 uno de ellos mayor que 10 20
 tiene al menos 29 factores primos
 y más de 300 dígitos

55. ¿cuántos primos hay menores que n?
Conjetura de Joseph Bertrand (1822-1900)
“entre n y 2n siempre hay un número primo, si n > 2 “
Demostrado por Chebichew en 1850
Conjetura de Gauss
Demostrado en 1896 porVallée -Puossin y Hadamard
 ( )n
n
Ln


56. Ganar un millón de dólares
El reto de Golbach (1742)
“TODO NÚMERO PAR, MAYOR QUE DOS, ES
SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS”
La historia continúa...

57. Sucesiones y Series…
Series infinitas

58. S+++++ ...
15
1
10
1
6
1
3
11
1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =
=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =
= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1
S = 2
Leibniz. 1673

59. Parecido, pero no igual
El problema de Basilea:
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =
“Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y nos
comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros
esfuerzos”
Jakob Bernoulli

60. 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =
2/6
El genial Euler

61. Los trabajos de los alumnos
Centenario de Euler
Examen
Presentaciones

62. Las cónicas
El Renacimiento
Un nuevo modelo geométrico: las cónicas.
Las esferas dejan paso a las cónicas de Apolonio.
 Las esferas de Aristóteles
 Los epiciclos de Ptolomeo
 La teoría heliocéntrica
 Las órbitas elípticas. Las cónicas
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño.
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE

63. Propuesta didáctica: Estudio
de las cónicas
 La secciones cónicas
 Definiciones
 Elementos característicos
 Propiedades métricas
 Propiedades físicas.
 Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler
Material complementario:
 Vídeos: Las cónicas: del baloncesto a los cometas. (Más por menos).
 Libros: Ptolomeo. Carlos Dorce, Galileo de J.M.Vaquero. Ed. NIvola
 Copérnico y Kepler. J.Luis García Hourcade. Ed. Nivola.
 Programas informáticos: Cabri, GEOGEBRA, Winplot

64. Las sombras en la caverna
 Platón
 Las matemáticas constituyen un universo de
ideas independientes del mundo de los
fenómenos.
 Forman un lenguaje intermedio que permite a
partir de lo sensible apuntar al mundo de las
ideas.
 Las formas perfectas:
 círculos y esferas… y poliedros regulares. ElTimeo

65. Aristóteles
El reino de las esferas y los
círculos

66. Ptolomeo
Círculos y más círculos

67. La duplicación del cubo.
Hipócrates de Quíos.
Arquitas
 Dado un cubo de arista a encontrar otro de volumen
doble.

68. Duplicando el cubo Menecmo
 Encontrar dos medias geométricas entre a y b
b
y
y
x
x
a 
33
2
2
2
2
ax
xay
yax











Si b = 2a
¡ La parábola !

69. Y nacen las cónicas...
Basándose en este planteamiento, Arquitas deTarento,
Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre otros, presentan
soluciones, ninguna de las cuales puede resolverse con el uso
exclusivo de la regla y el compás, cuestión que se demostró
imposible ya en el año 1837 gracias a los trabajos del
geómetra francés L.Wantzel.

70. Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler:
El mundo de las cónicas

71. El Renacimiento
 El modelo matemático de Ptolomeo es demasiado
complejo y poco útil a la hora de hacer predicciones a
largo plazo
 Copérnico pone en marcha un nuevo modelo
matemático que mejora las predicciones y sobre todo
que es más sencillo a la hora de calcular
 Galileo: la experimentación y la observación de la
realidad como criterio de validación de la teoría científica
 Kepler construirá toda su teoría y descubrirá las leyes del
movimiento de los planetas basándose en las precisas
observaciones deTycho Brahe.

72. De Ptolomeo a Kepler
 De los círculos a la elipse

73. Kepler
 Las cónicas, esas atractivas curvas matemáticas estudiadas
por Apolonio hace tantos siglos van a constituir una
imprescindible herramienta matemática para explicar el
mecanismo celeste. La eficacia de las matemáticas en el
primero de los momentos estelares de la historia.
Las leyes de Kepler
Serie: Universo Mecánico. Annenberg/CPB
Proyect. 1987
Producción: California Institute of Tecnology
Distribuidora: Arait Multimedia S.A.

74. Kepler
 La batalla de Marte

75. Sus Leyes
 Primera Ley Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos
está el Sol.
 Segunda Ley Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta
son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
 Tercera Ley Los cuadrados de los períodos de revolución son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas.
La relación existente entre la distancia al origen del foco y el
semieje mayor se denomina excentricidad de la cónica.
En la elipse la excentricidad está comprendida entre 0 y 1
Si es 0, entonces la elipse es una circunferencia.
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
0,206 0,007 0,017 0,093 0,043 0,051 0,046 0,004 0,250

76. La parábola
 De los proyectiles de Galileo
 Hasta escuchar el Universo

77. La hipérbola


78. Pascal (1623-1662)
 Ensayo sobre las cónicas
 los puntos de intersección de los pares de lados opuestos de
un hexágono inscrito en una cónica están en línea recta

79. Geometría
Atenas. Siglo V a. de C.
LA GEOMETRÍA
 Una herencia pitagórica. El pentagrama y los sólidos platónicos.
 El más bello modelo geométrico-cosmogónico de la historia.
 Una de las primeras teorías matemáticas completa: los poliedros
regulares
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño.
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE

80. Platonismo
 Según la concepción platónica los matemáticos son,
como Colón, descubridores de continentes. El papel de
las matemáticas no es otro que el de ejercer de
mediador entre el mundo de los sentidos y el mundo
de las ideas con una existencia propia e independiente
del mundo sensible.
 Las teorías matemáticas tienen su existencia propia en
ese mundo ideal, el matemático sólo se limita a
interpretar las sombras de esas ideas en las paredes de la
caverna.

81. Propuesta didáctica. Timeo.
De la razón áurea a los poliedros
regulares.
 La razón aúrea y el pentagrama. Los inconmensurables
 Poliedros regulares. Definición pitagórico-platónica.¿Por qué 5
y solo 5?
 Propiedades. Construcción con varillas y plegados.
 Los poliedros regulares en elTimeo de Platón
 Los poliedros en los Elementos de Euclides. Las aristas
 En el Renacimiento: Piero de la Francesca, Luca Pacioli,
Durero y Kepler.
 Trigonometría elemental

82. Resultados
 Proposición 8.XIII de los Elementos de
Euclídes: = .GB
EG
EG
EB

BE
D C
A
G
F

83. Resultados: los irracionales
Proposiciones 13-18. XIII de los
Elementos de Euclides.
 AD = 2DB
 AH = AB, CL = KC
 AZ es la arista del tetraedro =
 BZ es la arista del cubo =
 BE es la arista del octaedro =
 MB es la arista del icosaedro =
 NB es la arista del dodecaedro =
A B
C D L
ZE
M
N
H
K
T
6
3
2
R
2R
3
3
2
R
 5510
5

R
 315
3

R

84. Material complementario
Vídeos
 Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático).
 El número Áureo (Más por menos).
Libros:
 Diálogos de Platón. Gredos
 Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola.
 Platón y la Academia de Atenas. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola.
 Euclides. La fuerza del razonamiento matemático. Ana Millán. Ed
Nivola.
 Elementos de Euclídes. Libros X-XIII. Gredos.
 Luca Pacioli. La divina proporción. Akal.
BE
D C
A
G
F

85. Y más sorpresas...
El número áureo y 1:
++++ 1111
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1

86. Funciones
Newton y Leibniz
La Naturaleza posee unas leyes matemáticas y el ser
humano puede encontrarlas.
 Funciones
 El problema de la tangente
 Máximos y mínimos
 El cálculo diferencial y el cálculo integral.
 La medida del Meridiano terrestre.
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño
Newton y Leibniz. Sobre hombros de gigantes
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000

87. Newton

88. Newton
 los Principia Mathematica, la explicación
matemática definitiva del sistema del mundo
 el cálculo diferencial y el cálculo integral
El mundo es un engranaje que funciona como un mecanismo
de relojería.
Las ecuaciones diferenciales podrán predecir el estado del
sistema conociendo las condiciones iniciales del mismo.

89. Propuesta didáctica
 Introducción a las funciones.
 Máximos y mínimos.
 Introducción al cálculo diferencial
 Resolución de triángulos. Razones trigonométricas
Material complementario
 Vídeos: El lenguaje de las gráficas ( Más por Menos). Derivadas e
Integrales. (Universo Mecánico).
 Libros: Newton: el umbral de la ciencia moderna. J. Muñóz. Ed. Nivola.
Principios matemáticos de la Filosofía Natural. I . Newton. Ed.Tecnos.

90. Nuevos recursos
 Aplicaciones de Geogebra
 La página de Manuel Sada

91. Probabilidad
 Los orígenes de la teoría de la probabilidad:
Cardano, Fermat, Pascal, Jacques Bernoulli,
Laplace, Euler...
Vídeo
Las leyes del azar. Serie: Más por Menos.
TV2. 1996
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizador: Pedro Amalio López
Distribución: RTVE

92. Propuesta didáctica
 El problema del caballero de Mèré.
 Las partidas interrumpidas. La esperanza matemática
 Los juegos justos
 La ley de los grandes números. ¿Cuánto de grandes?
 El nacimiento de la combinatoria
 La aguja de Buffon. Modelos geométricos y analíticos para es estudio de la probabilidad
Material complementario
Vídeos: Las leyes del azar ( Más por Menos). Matemáticas en la Revolución Francesa.
(Universo Matemático).
Libros: Los Bernoulli. Viajeros y geómetras. C. Sánchez y C. Valdés. Ed. Nivola. Ensayo
filosófico sobre las probabilidades. P.S. de Laplace. Alianza editorial. Material
manipulable: Proyecto SUR

93. Problemas con historia
Dos jugadores apuestan 6 ducados cada uno
que se lleva el que gane 3 partidas. Lo
suspenden cuando el resultado es de 2 a 1.
¿Cómo han de repartirse los 12 ducados?

94. Euler
Dado un conjunto de n letras a, b, c, d, e, ...
Encontrar el número de maneras distintas en
que pueden colocarse sin que ninguna
regrese a la posición inicial que ocupaba

95. El siglo XX. Fractales y
Caos.
La Geometría de la Naturaleza
"las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las
costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son
lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta".
B. Mandelbrot
Orden y caos: la búsqueda de un sueño.
Universo Matemático. TV2. 2001
Fractales: la geometría del caos
Serie: Más por Menos. TV2. 1996

96. Fractales y Caos

97. Paradigmas científicos
 el determinista, con sus ecuaciones diferenciales, para
los sistemas simples;
 el estadístico para los sistemas complicados, con
muchos grados de libertad en los que reina el azar.
Lo que nadie podía imaginar es que un sistema simple pudiese
tener un comportamiento caótico; y ahí poco podían decir las
matemáticas

98. La geometría fractal
 Incluso en aquellas regiones de la naturaleza lejos de las
cómodas regularidades de las ecuaciones diferenciales,
las matemáticas se revelan como la herramienta
imprescindible para interpretar la naturaleza.
 Y por supuesto siguen manifestando de manera rotunda
su increíble eficacia.

99. La geometría del caos

100. M.C. Escher
La magia de las particiones
periódicas del plano

101. Las opiniones a final de curso
(2000-01)
 Este año he empezado a disfrutar de las matemáticas. En mi vida
me había enterado de tantas cosas en clase... Las clases de matemáticas
son amenas... Me entero de diversas cosas y de la biografía de diversos
personajes matemáticos por los que nunca me había interesado y por los
que ahora hasta me meto en internet para recaudar información.
 Durante ese curso he aprendido más matemáticas que durante cualquier
otro, pero también he aprendido a apreciarlas de forma diferente a
como lo hacía antes. Antes solo veía las matemáticas como una
herramienta imprescindible para muchas facetas de la vida. Ahora
además he conocido muchos nombres de matemáticos de la historia y
qué cosas lograron descubrir. Esto nos acerca de una forma más
humana a las matemáticas.
No nos hemos limitado a saber matemáticas, como los demás años,
también a saber de dónde han salido y por qué razón.

102.  ...Además de todo esto, es demasiado interesante saber la
historia de los mejores matemáticos y los problemas que
tuvieron para dar a conocer, fueran ciertos o no, sus hipótesis
y teorías.
Una forma práctica de que veamos nosotros mismos lo que estamos
aprendiendo, que utiliza el profesor, es hacer que nosotros nos
veamos en el problema con que estaba el descubridor del
teorema que vamos a tratar.
 Ha sido el año, con diferencia, que más he aprendido, porque otros
años, sí, te enseñan cosas, fórmulas y métodos pero al cabo de dos
meses ya se me había olvidado todo.
 Las matemáticas han ido evolucionando a lo largo de la historia.
Euler, Pitágoras, Fibonacci... y también mujeres Teano, Hypatia,
Sophie Germain... nos han introducido en esta ciencia.

103.  Durante estos años siempre me han gustado las
matemáticas. En especial este año me han acabado por
cautivar y captar mi atención. El aumento de
conocimientos de esta ciencia en este último año me ha
permitido observar con más detenimiento la mágica
forma que posee ésta para presentarse en nuestra vida
cotidiana y en la naturaleza.
Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a un continuo
reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad
humana.
Este año la clase de matemáticas realmente nos ha
mostrado el mundo matemático.

104. Las matemáticas nos rodean, invaden nuestras
vidas y, aunque cerremos los ojos van a
seguir estando ahí. No podemos evitarlo, así
que tendremos que aprovecharlo, y no sólo
por obligación, sino por satisfacer nuestra
propia curiosidad, por tener el orgullo de
decir "veo todo lo que me rodea, pero
además lo entiendo”
Belén González. 4º ESO

105. Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a
un continuo reciclaje del presente que
mantiene viva la creatividad humana.
Este año la clase de matemáticas realmente
nos ha mostrado el mundo matemático.
Alejandro Martín. (Alumno de 4º de ESO)

106. Vídeos
Serie "Más por menos". RTVE. Autor: Antonio Pérez.
Realizador: Pedro Amalio López
1. Números naturales. Números primos
2. Fibonacci. La magia de los números
3. El número áureo
4. Un número llamado e
5. El mundo de las espirales
6. Cónicas: del baloncesto a los cometas
7. Fractales. La geometría del caos
8. Fibonacci. La magia de los números

107. Vídeos
Serie "Universo Matemático". RTVE. Autor: Antonio
Pérez. Realizadora: Ana Martínez
- Pitágoras. Mucho más que un teorema
- Fermat. El margen más famoso de la Historia
- Números y cifras. Un viaje en el tiempo
- Gauss. El príncipe de los matemáticos
- Euler. Una superestrella
- Newton y Leibniz
- Historias de pi

108. Libros: NIVOLA
http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes

109. Otros libros
Boyer, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza. Madrid 1987
Dunham, William. El universo de las matemáticas. Ed. Pirámide.
Madrid 1995.
Dunham, William. Euler. El maestro de todos los matemáticos. Ed.
Nivola Madrid 2000
Dunham, William. Viaje a través de los genios. Ed. Pirámide. Madrid
1993
Ghyka, Matila C. El número de oro. Ed. Poseidón. Barcelona 1978
Ghyka, Matila C. Filosofía y mística del número. Ed. Apóstrofe.
Barcelona. 1998

110. Libros
Ifrah,Georges. Historia Universal de las Cifras. Ed. Espasa. Madrid 1998
Kline, Morris. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días.
Ed.Alianza. Madrid 1992.
Pérez Sanz, A. Los números poligonales. La Gaceta de la RSME. Vol 3. Nº 2.
Madrid 2000
Singh Simon, El enigma de Fermat. Ed. Planeta. Barcelona 1998
Wussing H. Lecciones de Historia de las matemáticas. Ed. Siglo XXI. Madrid
1998
Mandelbrot B. La Geometría fractal de la naturaleza.Tusquets. Barcelona
1977
Martín M, Morán M, Reyes M. Iniciación al caos. Ed. Síntesis. Madrid. 1995
Río Sánchez, J. del. Lugares geométricos. Cónicas. Ed. Síntesis. Madrid 1991