Este documento discute varios métodos para interpolar una función desconocida a partir de valores muestrales conocidos, incluyendo polinomios interpolantes de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, y splines cúbicos. Explica que la interpolación consiste en construir una función que pase por los valores muestrales conocidos para aproximar el comportamiento de la función desconocida en el intervalo.

1. Katherine
Adjunta
C.I.: 20924957
ANÁLISIS
NUMÉRICO
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MIISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
I.U.P. “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN BARINAS

2. EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN
Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto
puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento
gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la
función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra
función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una
aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la
expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada
como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de
otros ya conocidos.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más
utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase
por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación
de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de
aproximación, hablamos de interpolación polinómica.
Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la
función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los
polos, se dice que estamos haciendo extrapolación.
Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El
estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida esta
unidad didáctica.

3. Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento
de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x));
se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que
aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede
establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los
datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se
deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se
estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es
una tabla típica de diferencias (ejemplo):

4. POLINOMIO INTERPOLANTE DE
NEWTON-GREGORY
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta
como un polinomio, se le puede aproximar al
polinomio que se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de
puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Newton-Gregory (en avance y
retroceso).
La fórmula usa la notación, que es el número de
combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo
que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada
por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido;
Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los
valores , que serán seleccionados de la tabla de
diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en
el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula
de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia
arriba y a la derecha.
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación
además del Método de Newton-Gregory, difieren de la
forma de las trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio
Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores
desde el punto de partida Xo serán seleccionados en
forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son
tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia
abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así
sucesivamente. En fórmula de avance los valores son
tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia
arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de
avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
POLINOMIO INTERPOLANTE DE
GAUSS

5. Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en
los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la
solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de
la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda
derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es
capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de
funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las
siguientes propiedades:
 s(x) es polinomio cúbico en .
 existen y son continuas en .
 s(x) interpola a la función f en los datos .
 s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones
mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se
fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x).
INTERPOLACIÓN USANDO SPLINES

6. Para construir un polinomio de grado menor o igual que n
que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j.
Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de
Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que
no se CONOCE EL GRADO DEL POLINOMIO. COMO no
se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone
un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente
grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de
convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el
procedimiento.
POLINOMIO INTERPOLANTE DE
LAGRANGE La diferencia dividida de Newton para la
Interpolación de Polinomios está entre los
modelos más populares y útiles. Para un
polinomio de grado n se requiere de n + 1
puntos. Se usan estos datos para determinar los
coeficientes para las diferencias divididas.
Partiendo de una tabla de diferencias divididas.
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por
diferencias divididas de Newton, no es
necesario que los datos tabulados sean
necesariamente equiespaciados o que los
valores deban estar ordenados en forma
ascendente.
El valor que aporta el polinomio de Newton
está sujeto a un error.

7. Para datos tabulados en forma equiespaciada o no
esquiespaciada, a través de una serie de técnicas
que antes de la llegada de las computadoras tenían
gran utilidad para la interpolación, sin embargo,
con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss,
Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles
con computadoras y debido a las muchas funciones
tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están
descritos por ecuaciones diferenciales en las que
interviene un operador Laplaciano (la ecuación de
Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de
Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas
ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir,
ecuaciones de autovalores para un operador
diferencial autoadjunto. No entraremos en los
detalles de esta discusión. Sólo diremos que los
polinomios de Hermite son un caso particular de
soluciones a un problema de Sturm-Liouville.
Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con
cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios
ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y
típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores
de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos
nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen
de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será
extraño encontrar las mismas características que hemos identificado
en los polinomios de Hermite.