Este documento presenta tres ejercicios de programación lineal resueltos mediante los métodos dual y primal. Cada ejercicio maximiza una función objetivo sujeta a restricciones de igualdad y desigualdad, y encuentra la solución óptima, los valores óptimos de las variables de decisión y la holgura de cada restricción.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA CPA
DEBER 04.
Nombre: RAUL LOGROÑO
Curso: 5to Semestre
Paralelo: “A”
Fecha: 26 de Mayo del 2015
Tema:
PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO DUAL
EJERCICIO 01
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=4000x1+5000x2
RESTRICCIONES
(1) 4x1+6x2≤ 24
(2) 2x1+x2≤ 6
(3) x1≤2
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x1, x20

2. SISTEMAS ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
4(0)+6(0)≤24 2(0)+1(0)≤ 6 0≤2
0≤24 0≤ 6
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
Punto X1 X2 z
A 0 0 0
B 0 4 20000
C
3
2
3 21000
D 2 2 18000
(1) (2) (3)
4x1+6x2≤ 24 2x1+x2≤ 6 x1≤2
x1 x2 x1 x2
0 4 0 6
6 0 3 0

3. C.
CÁLCULO DE LA HOLGURA
RESTRICCIÓN 1 RESTRICCIÓN 2 RESTRICCIÓN 3
4x1+6x2+ H1≤ 24 2x1+x2+ H1≤ 6 x1+H3≤2
4(
𝟑
𝟐
)+6 (3)+H1≤24 4(
𝟑
𝟐
)+1(3)+H2≤6 (
𝟑
𝟐
)+H3≤2
H1≤0 H2≤0 H3≤
𝟏
𝟐
CUADRO DE RESPUESTAS DE LA HOLGURA
RESTICCIONES DISPONIBLE OCUPADO HOLGURA
RESTRICCIÓN 1 24 24 0
RESTRICCIÓN 2 6 5 0
RESTRICCIÓN 3 2 3
2
1
2
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 21000
VALORES ÓPTIMOS
x1=
𝟑
𝟐
x2=3
HOLGURA
H1=0
H2=0
H3=
𝟏
𝟐
Restricciones Activas: 2,1
Restricciones Inactivas: 3
(1) 4x1+6x2= 24
(2) -12x1-6x2= -36
X1=
𝟑
𝟐
X2=3

4. MÉTODO DUAL
FUNCIÓN OBJETIVO.
Mim. Z= 24y1+6y2+2y3
LIM.
(1) 4y1+2y2+y34000
(2) 6y1+y25000
CONDICIÓN TÉCNICA
(3) y1+y2+y30
SISTEMAS ECUACIONES
y1=?
y2=?
y3=0
COMPROBACIÓN
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 21000
VALORES ÓPTIMOS
y1= 750
y2= 500
(1) 4(750)+2y2=4000
y2=500
(1) 4y1+2y24000
(2) 6y1+y25000
(1) 4y1+2y2=4000
(2) -12y1-2y2=-1000
y1=750
Z= 24y1+6y2+2y3
Z= 24(750)+6 (500)+2(0)
Z= 21000

5. EJERCICIO 02
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=200x1+300x2
RESTRICCIONES
(1) 2x1+3x2≤ 120
(2) x1+x2≤ 50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(3) x1, x20
SISTEMAS ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
2(0)+3(0)≤ 120 1(0)+1(0)≤ 50
0≤120 0≤ 50
VERDAD VERDAD
GRÁFICO
(1) (2)
2x1+3x2≤ 120 x1+x2≤ 50
x1 x2 x1 x2
0 40 0 50
60 0 50 0

6. ARCO CONVEXO
Punto X1 X2 z
A 0 0 0
B 0 40 12000
C 30 20 12000
D 50 0 10000
C.
CÁLCULO DE LA HOLGURA
RESTRICCIÓN 1 RESTRICCIÓN 2
2x1+3x2≤ 120 x1+x2≤ 50
2(30)+3(30)+H1≤120 1(30)+1(30)+H2≤50
H1≤0 H2≤0
CUADRO DE RESPUESTAS DE LA HOLGURA
RESTICCIONES DISPONIBLE OCUPADO HOLGURA
RESTRICCIÓN 1 120 120 0
RESTRICCIÓN 2 50 50 0
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 12000
VALORES ÓPTIMOS
x1=20
x2=30
HOLGURA
H1=0 H2=0
Restricciones Activas: 1,2
(1) -2x1-3x2= -120
(2) 2x1+2x2= 100
X2=20
X1=30

7. MÉTODO DUAL
FUNCIÓN OBJETIVO.
Mim. Z= 120y1+50y2
LIM.
(1) 2y1+y2 200
(2) 3y1+y2300
CONDICIÓN TÉCNICA
(3) y1+y2 0
SISTEMAS ECUACIONES
y1=?
y2=?
COMPROBACIÓN
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 12000
VALORES ÓPTIMOS
y1= 100
y2= 0
(1) 2(100)+y2=200
y2=0
(1) 2y1+y2 =200
(2) 3y1+y2=300
(1) 2y1+y2 =200
(2) -3y1-y2=-300
y1=100
Z= 120y1+50y2
Z= 120(100)+50(0)
Z= 12000

8. EJERCICIO 03
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=90x1+250x2
RESTRICCIONES
(5) 6x1+30x2≤ 600
(6) 4x1+8x2≤ 220
(7) x1≤50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(8) x1, x20
SISTEMAS ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
6(0)+30(0)≤600 4(0)+8(0)≤ 220 0≤50
0≤600 0≤ 220
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
(1) (2) (3)
6x1+30x2=600 4x1+8x2=220 x1=50
x1 x2 x1 x2
100 0 0 27,5
0 20 55 0

9. ARCO CONVEXO
C.
CÁLCULO DE LA HOLGURA
RESTRICCIÓN 1 RESTRICCIÓN 2 RESTRICCIÓN 3
6x1+30x2+H1≤600 4x1+8x2+H2≤220 x1+H3≤50
6(25)+30(15)+H1≤600 4(25)+8(15)+H2≤220 (25)+H3≤50
H1≤0 H2≤20 H3≤ 25
CUADRO DE RESPUESTAS DE LA HOLGURA
RESTICCIONES DISPONIBLE OCUPADO HOLGURA
RESTRICCIÓN 1 600 600 0
RESTRICCIÓN 2 220 220 0
RESTRICCIÓN 3 50 25 25
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 6000
VALORES ÓPTIMOS
x1= 25
x2=15
HOLGURA
Punto x1 x2 z
A 0 0 0
B 0 20 5000
C 25 15 6000
D 50 0 4500
(1) -24x1-120x2= -2400
(2) 24x1+48x2= 1200
x2=15
x1=25

10. H1=0
H2=0
H3=25
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,1
RESTRICCIONES INACTIVAS: 3
MÉTODO DUAL
FUNCIÓN OBJETIVO.
Mim. Z= 600y1+220y2+50y3
LIM.
(4) 6y1+4y2+y390
(5) 30y1+8y2250
CONDICIÓN TÉCNICA
(6) y1+y2+y30
SISTEMAS ECUACIONES
y1=?
y2=?
y3=0
COMPROBACIÓN
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 6000
VALORES ÓPTIMOS
y1=
35
9
y2=
50
3
(1) 6(
𝟑𝟓
𝟗
)+4y2+0=90
y2=
50
3
(1) 6y1+4y2+y3=90
(2) 30y1+8y2=250
(1) 48y1+32y2=720
(2) -120y1-32y2=-1000
y1=
35
9
Z= 600y1+220y2+50y3
Z= 600(
35
9
)+220(
50
3
)+50(0)
Z= 6000