Este documento presenta un programa de trigonometría que incluye temas como la resolución de triángulos rectángulos, razones trigonométricas de ángulos en posición normal, y el signo de las razones trigonométricas. El programa contiene seis secciones con objetivos de afianzar conocimientos sobre estos temas a través de ejercicios y problemas dirigidos.

1. TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Aduni
PLANA DE TRIGONOMETRÍA

2. REFORZAMIENTO
III

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Temario
1.- Objetivos
2.- Resolución de triángulos rectángulos.
3.- Aplicaciones y ejercicios.
4.- Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal(definición,
signo de las razones trigonométricas, ángulos cuadrantales)..
5.- Aplicaciones y ejercicios.
6.- Resolución de la práctica dirigida.

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Objetivos:
Afianzar los conocimientos obtenidos del tema de resolución
de triángulos rectángulos y de los ángulos verticales.
Aplicar los conocimientos adquiridos de los temas
desarrollados a los distintos problemas dirigidos y de tipo
examen de admisión.
Afianzar los conocimientos adquiridos del tema de razones
trigonométricas de un ángulo en posición normal; como
también el signo de las razones trigonométricas y de los
ángulos cuadrantales.

5. Resolución de los
triángulos
rectángulos

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂:
𝜃
𝒎
𝒎𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝜃
𝒎
𝒎𝑡𝑎𝑛𝜃
𝒎𝑠𝑒𝑐𝜃
𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐:
𝜃
𝒎
𝒎𝑐𝑜𝑡𝜃
𝒎𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑵𝒐𝒕𝒂:
𝜃
𝑎
𝑏
𝑆 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑆: á𝑟𝑒𝑎
𝛽
𝜃
✓ 𝛽: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
✓ 𝜃: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
ÁNGULOS VERTICALES

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑀 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃
5
15
𝜃
𝐴) 3 𝐵)4 𝐶)5 𝐷)6 𝐸)7
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
5
15
𝜃
𝜃
𝒎
𝒎𝑐𝑜𝑡𝜃
𝒎𝑐𝑠𝑐𝜃
𝜃 𝒎
𝒎𝑡𝑎𝑛𝜃
𝒎𝑠𝑒𝑐𝜃
Aplicación:

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación:
Una persona observa la parte mas alta de un
poste con un ángulo de elevación de 37°, luego
avanza 28 m hacia el poste, y lo vuelve a
observar pero ahora con un ángulo de elevación
de 53°. Si la persona tarda 3 segundos en llegar
a la base del poste, dese la segunda posición,
determine la velocidad constante en m/seg con
que se desplaza la persona.
𝐴)18 𝐵)16 𝐶)14 𝐷)12 𝐸)10
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
, 𝑠𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝜃
7
2
𝑈𝑛𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑚á𝑠
𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑎 𝑑𝑜𝑠
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙
𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒
37° 𝑦 45°. 𝑆𝑖 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
28 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜.
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎.
5
3
4 6
30°
𝐴)10 𝑢2
𝐵)15𝑢2
𝐶)20𝑢2
𝐷)30𝑢2
𝐴)
3
7
𝐵)
7
5
𝐶)
7
3
𝐷)
5
7
𝐴)20𝑚 𝐵)12𝑚 𝐶)14𝑚 𝐷)26𝑚
¡Ahora te toca a ti!
I.-
II.- III.-

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
¿Quién
invento el
calendario?
https://www.youtube.com/watch?v=GQ_Po8FSMr8

11. Razones
trigonométricas
de un ángulo en
posición normal

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
𝜽
𝑋
𝑌
✓ 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶
✓ 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
(𝑥; 𝑦)
𝑟
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑟
𝑥
𝑟
𝑦
𝑥 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑥
𝑦
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑟
𝑥
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑟
𝑦
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝑆𝑜
𝑟
𝐶𝑎
𝑟
𝑇𝑜
𝑎
Aplicaciones :
𝑋
𝑌
𝛽
𝐴( 3 ; −4 )
✓ 𝛽 ∈ 𝐼𝑉
✓ 𝑟 = (3)2+(−4)2
∴ 𝑟 = 5
→ 𝑠𝑒𝑛𝛽 =
→ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
=
−4
5
=
3
5
→ 𝑡𝑎𝑛𝛽 = =
−4
3
= −
4
3
= 25
𝒙 𝒚
𝑦
𝑟
𝑥
𝑟
𝑦
𝑥
= −
4
5
𝑟
II.-
(−6; 2)
(4; 8)
𝛼
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 𝑐𝑜𝑡𝛼
𝑋
𝑌
I.-
𝑀
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑀
𝑀: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
→ 𝑀
−6 + 4
2
;
2 + 8
2
= (−1 ; 5)
𝒙 𝒚
∴ 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
𝑥
𝑦
=
−1
5
= −
1
5

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
¡Ahora te toca a ti!
I.-
II.- III.-
3
4
𝛽
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝐴) Τ
4 5
𝐵) Τ
−4 5
𝐶) Τ
3 5
𝐷) Τ
−3 5
𝑋
𝑌
𝛽
53°
𝑋
𝑌
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 3𝑡𝑎𝑛𝛽 + 1
𝐴) − 1 𝐵)2 𝐶) − 2 𝐷)4
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛210°
𝐴) −
3
2
𝐵)
1
4
𝐶) −
1
2
𝐷)
1
2

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
SIGNO DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
IC IIC IIIC IVC
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
360°
90°
180°
270°
𝑰𝑪
𝑰𝑰𝑪
𝑰𝑰𝑰𝑪 𝑰𝑽𝑪
𝑒𝑛
𝑆
𝑐𝑠𝑐
𝑇𝑎𝑛
𝑐𝑜𝑡
𝐶𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑐
𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicaciones :
✓ 𝑠𝑒𝑛 80° →
𝑰𝑪
✓ 𝑐𝑜𝑠 170° →
𝑰𝑰𝑪
✓ 𝑡𝑎𝑛 250° →
𝑰𝑰𝑰𝑪
✓ 𝑠𝑒𝑐 200° →
𝑰𝑰𝑰𝑪
𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝜃 < 0 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0
1.- Determine el signo : 2.- Determine el cuadrante :
→ 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶
𝑏) 𝑡𝑎𝑛𝜃 < 0 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0
→ 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐶
𝑆𝑖 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
1
3
𝑦 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶;
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 10(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
3.- Resolver:
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
✓ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝜃 ∈ 𝐼𝐶:
𝜃
2
3
𝟏𝟑
✓ 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜:
𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶
13 ( 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 13
= 13 −
5
13
= −5
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
3
2
ቇ
3
13
ቆ
2
13
+

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
¡Ahora te toca a ti!
I.-
II.-
III.-
𝑐𝑜𝑠𝛽 < 0 𝑦 𝑡𝑎𝑛𝛽 > 0; 𝛽 →
𝑠𝑒𝑛𝜃 > 0 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0; 𝜃 →
𝑠𝑒𝑐𝛼 > 0 𝑦 𝑐𝑠𝑐𝛼 < 0; 𝛼 →
𝐼𝐼𝐼𝐶
𝐼𝐼𝐶
𝐼𝑉𝐶
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒:
𝑆𝑖 𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐶 𝑦 𝑐𝑜𝑡2𝛼 =
1
16
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑛𝛼 + 2.
𝐴)3 𝐵) − 4 𝐶)5 𝐷) − 2
𝑆𝑖 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
3
5
𝑦 𝑠𝑒𝑐𝛼 < 0
ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 ∶ 5(𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝐴) − 1 𝐵) − 4 𝐶)7 𝐷)1

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ÁNGULOS CUADRANTALES
𝑆𝑖 𝜃 𝑒𝑠 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙:
→ 𝜃 = 90° 𝑛 𝑜
𝑛𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ
… ; −180°; −90°;
… ; −2𝜋; −
3𝜋
2
; −𝜋; −
𝜋
2
;
0°; 90°; 180°; 270°; …
0;
𝜋
2
; 𝜋:
3𝜋
2
; 2𝜋; …
0° 90° 180° 270° 360°
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tan 0 ND 0 ND 0
cot ND 0 ND 0 ND
sec 1 ND -1 ND 1
csc ND 1 ND -1 ND
𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙:
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicaciones :
𝑎) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ∶
𝐴 =
𝑠𝑒𝑛270° + 𝑐𝑜𝑠180°
𝑐𝑜𝑠180° − 𝑐𝑜𝑡90° + 𝑡𝑎𝑛360°
→ 𝐴 =
−1 + −1
−1 − 0 + 0
=
−2
−1
= 2
𝑏) 𝑆𝑖 𝑐𝑜𝑡270° = 𝑡𝑎𝑛𝛽 , 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠
0° < 𝛽 < 360°. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝛽.
→ 𝑐𝑜𝑡270° = 𝑡𝑎𝑛𝛽
∴ 𝛽 = 0°, 180°, 360°
0 = 𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑝𝑒𝑟𝑜: 0° < 𝛽 < 360°
→ 𝛽 = 180°
𝑐) ¿ 𝐶𝑢á𝑛𝑡𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠;
ℎ𝑎𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0° 𝑦 600°.
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
𝑆𝑒𝑎 𝜃 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙
→ 𝜃 = 90°(𝑛)
𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
ℎ𝑎𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0° 𝑦 600°
∴ 0° < 𝜃 < 600°
0° < 90° 𝑛 < 600°
0°
90°
< 𝑛 <
600°
90°
0 < 𝑛 < 6,66
÷ 𝟗𝟎°
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔
∴ ℎ𝑎𝑦 6 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
¡Ahora te toca a ti!
I.-
II.-
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒:
𝐸 =
𝑎2
+ 𝑐𝑜𝑠180°(𝑏2
)
𝑎𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 𝑏𝑠𝑒𝑐𝜋
𝐴) 𝑏 + 𝑎 𝐵)𝑎 − 𝑏 𝐶)𝑏 − 𝑎 𝐷)2𝑎
𝑆𝑖 𝛽 𝑒𝑠 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠180° + 𝑐𝑠𝑐90°;
𝐴) 9 𝐵)18 𝐶)19 𝐷)36
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛽/10°
𝑆𝑖 𝛼 𝑦 𝛽 𝑠𝑜𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒; 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 − 1 𝑦 𝛼 > 𝛽.
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: cos
𝛼 − 𝛽
3
𝐴) 1 𝐵)
2
2
𝐶)
1
2
𝐷)
3
2
III.-

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
BIBLIOGRAFÍA
✓ Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2018). Trigonometría, una visión analítica de
las funciones. Lumbreras editores.
✓ Lumbreras Editores. (2016). Trigonometría Esencial , Lima , Perú
✓ Swokowski, E. W., y Cole, J. A. (2009). Algebra y trigonometría con geometría
analítica. Thomson, décimo segunda edición.
✓ Zill, D. G., y Dewar, J. M. (2012). Algebra, trigonometría y geometría analítica.
McGraw Hill.

19. w w w . a d u n i . e d u . p e