MATERIAL ADUNI - TRIGONOMETRÍA SEMANA 9

1. TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Aduni
Docente: Daniel Cantera

2. RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Temario:
1.- Objetivos.
2.- Introducción al tema.
3.-Repaso de clases anteriores.
4.- Resolución de triángulos rectángulos(definiciones y casos).
5.- Ejemplos y aplicaciones.
6.- Desarrollo de la práctica dirigida.

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Objetivos:
Reconocer y comprobar los casos de resolución de triángulos
rectángulos.
Utilizar los casos de resolución de triángulos rectángulos en la
resolución de problemas dirigidos y problemas tipo examen
de admisión.
Comprobar el área de una región triangular en su forma
trigonométrica mediante los casos de resolución de triángulos
rectángulos.
Contextualizar en lo cotidiano los casos de resolución de
triángulos rectángulos.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
https://www.youtube.com/watch?v=wtWkJX96R6c
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
https://www.youtube.com/watch?v=uxUtWUkGH0o

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
¿Qué necesitamos recordar?
(C.A)
(C.O)
(H)
𝜃
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒄𝒔𝒄𝜽 =
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒔𝒆𝒄𝜽 =
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝑪. 𝑶
𝑯
𝑯
𝑪. 𝑶
𝑪. 𝑨
𝑯
𝑯
𝑪. 𝑨
𝑪. 𝑶
𝑪. 𝑨
𝑪. 𝑨
𝑪. 𝑶
90° − 𝜃
60°
30°
2𝒂 𝒂 3
𝒂
45° 45°
𝒂
𝒂
𝒂 2
37°
53°
𝟓𝒂
𝟑𝒂
𝟒𝒂

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
¿Qué resolver un
triángulo?
Es encontrar la medida
de todos sus elementos ,
es decir sus lados y
ángulos.
¿ y que se necesita
para ello?
Se necesita conocer
algunos de sus
elementos del triángulo
para poder resolverlo.
37°
53°
Se necesita como mínimo
dos elementos, de los
cuales uno debe ser
necesariamente un lado.
¿ y como sería en un
triángulo rectángulo?
37°
53°
15 𝟗
𝟏𝟐
Como se puede observar con sólo
conocer dos ángulos( 90° y 37°) no es
suficiente para resolver el triángulo !!
Pero si nos dan un lado del triángulo
ya podemos resolver el triángulo,
veamos !!

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
37° 37° 37°
15
16
12
Entonces nos damos cuenta que
necesitamos un lado y un
ángulo como datos para poder
resolver el triángulo rectángulo.
Se observa que el lado dato puede estar en tres posiciones diferentes,
puede estar en la hipotenusa, cateto opuesto o cateto adyacente, es de
acuerdo a esa característica que tenemos 3 casos.
𝜃 𝜃 𝜃
𝒎
𝒎
𝒎
𝒎𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒎𝑡𝑎𝑛𝜃
𝒎𝑠𝑒𝑐𝜃
𝒎𝑐𝑜𝑡𝜃
𝒎𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰: 𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰𝑰: 𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰𝑰𝑰:
→ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
𝑚
→ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑦
𝑚
∴ 𝑥 = 𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃 ∴ 𝑦 = 𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃
→ 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑥
𝑚
→ 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑦
𝑚
∴ 𝑥 = 𝑚𝑐𝑜𝑡𝜃
∴ 𝑦 = 𝑚𝑠𝑒𝑐𝜃
→ 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑥
𝑚
∴ 𝑥 = 𝑚𝑡𝑎𝑛𝜃
→ 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑦
𝑚
∴ 𝑦 = 𝑚𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑥 =
𝑦 = 𝑥 =
𝑦 = 𝑦 =
𝑥 =

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝜃
𝒎 𝒎𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒎𝑐𝑜𝑠𝜃
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝜃
𝟓
40°
𝟔
𝟓𝑠𝑒𝑛𝜃
𝟓𝑐𝑜𝑠𝜃
𝟔𝑠𝑒𝑛40° 𝟔𝑐𝑜𝑠40°
37°
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝑠𝑒𝑛37°
𝟏𝟏𝑐𝑜𝑠37°
3
5
4
5
=
44
5
=
33
5
𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂:
Del gráfico se conoce que la
longitud de la escalera es de
2.5m y forma un ángulo de 60°
con el piso. Calcule la longitud
de la sombra en la pared y en
el piso.
𝟔𝟔°
𝒙
𝒚
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
✓ 𝑥 = 2.5 𝑚 𝑠𝑒𝑛66°
∴ 𝑥 = 2.5 𝑚 0.91 = 2.275 𝑚
✓ 𝑦 = 2.5 𝑚 𝑐𝑜𝑠66°
∴ 𝑦 = 2.5 𝑚 0.41 = 1.025 𝑚
𝟐. 𝟓 𝒎
𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰:

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝜃
𝒎
𝒎𝑡𝑎𝑛𝜃
𝒎𝑠𝑒𝑐𝜃
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝜃 40°
30°
𝟕
𝟕𝑡𝑎𝑛𝜃
𝟕𝑠𝑒𝑐𝜃
𝒂𝟐
𝒂𝟐
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝒂𝟐
𝑠𝑒𝑐𝜃 𝟔 𝟑
𝟔 𝟑𝑡𝑎𝑛30°
𝟔 𝟑𝑠𝑒𝑐30°
2
3
1
3
= 12
= 6
𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆:
Se sabe que la sombra que
produce el árbol es de 2m;
calcule la altura del árbol.
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 ∶
𝐻 = (2𝑚)𝑡𝑎𝑛49°
𝐻 = (2𝑚)(1.15)
∴ 𝐻 = 2.3 𝑚
𝑡𝑎𝑛49° = 1.15
49° 𝟐 𝒎
𝑯
𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰𝑰:

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝜃
𝒎
𝒎𝑐𝑜𝑡𝜃
𝒎𝑐𝑠𝑐𝜃
𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜:
40°
𝟏𝟐
𝟏𝟐𝑐𝑜𝑡40°
𝟏𝟐𝑐𝑠𝑐40°
30°
𝟐 𝟓
𝟐 𝟓𝑐𝑜𝑡30°
𝟐 𝟓𝑐𝑠𝑐30°
3
= 2 15
= 4 15
Se sabe que la altura del árbol es de
3m y de la colina es de 1m, calcule
la longitud de la sombra del árbol
para poder protegerse de los rayos
del sol.
3𝑚
1𝑚
𝒙
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
𝑥 = (4 𝑚)𝑐𝑜𝑡42°
𝑥 = (4 𝑚)(1.11)
∴ 𝑥 = 4.44 𝑚
𝑐𝑜𝑡42° = 1.11
𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰𝑰𝑰:
2

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝟑𝟎°
𝑀 = 13 𝑘𝑔
𝟔𝟎°
13 10 = 130 𝑁
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑭𝟐
𝑭𝟏
𝟔𝟎°
𝟔𝟎°
𝟏𝟑𝟎 𝑵
𝑆𝑒 𝑜𝑏𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∶
✓ 𝐹1 = 130𝑁 𝑠𝑒𝑛60°
3
2
∴ 𝐹1 = 65 3 𝑁
✓ 𝐹2 = 130𝑁 𝑐𝑜𝑠60°
1
2
∴ 𝐹1 = 65 𝑁
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠:
Aplicación 1

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝜃
3
15
3
𝜃
𝜃
90° − 𝜃
3𝑐𝑜𝑡𝜃 3𝑡𝑎𝑛𝜃
15
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎:
3𝑐𝑜𝑡𝜃 + 3𝑡𝑎𝑛𝜃 = 15
∴ 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 5
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒:
𝑀 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃
∴ 𝑟𝑠𝑝𝑡𝑎: 𝑀 = 5
Aplicación 2
resolución:

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝜃
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝑆𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝜃
7
2
7
2
90° − 𝜃
𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝑠𝑒𝑛𝜃
7𝑐𝑜𝑠𝜃
7𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
7𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 7𝑠𝑒𝑛𝜃
5𝑐𝑜𝑠𝜃 = 7𝑠𝑒𝑛𝜃
5
7
=
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
∴ 𝑟𝑠𝑝𝑡𝑎:
5
7
Aplicación 3 resolución:

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Área de una región triangular:
𝑎
𝑏
𝜃
𝑆 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑆: á𝑟𝑒𝑎
𝑏
𝑎
𝜃
𝒂𝑠𝑒𝑛𝜃
Á𝑟𝑒𝑎 =
(𝑏)(𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃)
2
∴ Á𝑟𝑒𝑎 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃
Ejemplo:
30°
3
8
∴ Á𝑟𝑒𝑎 =
1
2
3 8 𝑠𝑒𝑛30°
Á𝑟𝑒𝑎 =
1
2
24
1
2
→ Á𝑟𝑒𝑎 = 6 𝑢2
Calcule el área sombreada.

17. w w w . a d u n i . e d u . p e