anual 2

2. PLANA DE TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA

3. SISTEMAS DE
MEDIDAS ANGULARES

4. Determinar la relación numérica
entre los sistemas de medición
angular
Conocer las características de los
ángulos trigonométricos
Conocer los sistemas de medición
angular y las relaciones que
existen entre ellos.
Determinar la relación numérica
entre los sistemas de medición
angular
OBJETIVOS

5. INTRODUCCIÓN
Los ángulos son importantes y el uso de ellos los podemos
encontrar en la geografía, arquitectura, medicina e ingeniería,
y es justo que estas dos disciplinas nos dan un ejemplo con la
creación del robot cirujano “Da Vinci”. Veamos como funciona.
Da Vinci SP Surgical System - YouTube

6. ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
DEFINICIÓN:
Es aquel ángulo generado por la rotación de
un rayo alrededor de un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial hasta una
posición final.
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝜃
𝐴
𝑂
𝐵
“𝜃 es la medida del ángulo
trigonométrico AOB”
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
TIPOS:
𝜃
𝛽
𝛼
"𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜" "á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜" "á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎
𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎"
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
𝑎𝑛𝑡𝑖ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
𝐼. 𝐼𝐼. 𝐼𝐼𝐼.
EJEMPLOS:
110° −50°
80°
−80°
𝐼. 𝐼𝐼. 𝐼𝐼𝐼.
Pero , ¿en que unidades se mide un ángulo?.
Eso veremos a continuación.

7. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
360
= 1°
✓ 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑:
✓ 𝑆𝑢𝑏 − 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:
1°
1′
; 1′′
✓ 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠:
𝐼.
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
4° =
SISTEMA SEXAGESIMAL
∴ ∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 360°
1° = 60′
1′ = 60′′
1° = 3600′′
𝐴°𝐵′𝐶′′ = 𝐴° + 𝐵′ + 𝐶′′
𝐵 < 60 𝑦 𝐶 < 60
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
Ejemplos:
4.1° = 4. (60′
) = 240′
𝐼𝐼𝐼.
𝐼𝑉. 40°30′
53′′
= 40° + 30′
+ 53′′
𝐼𝐼. 2𝑎° + 3𝑎° = 5𝑎°
𝑉.
3𝑥′
+ 5𝑥′
− 2𝑥′
= 6𝑥′
20°
50° 70°
Aplicación:
𝑆𝑖
53°
2
= 𝑎°𝑏′, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 + 𝑏.
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
53°
2
= 𝑎°𝑏′
=
→
53°
2
= 𝑎° + 𝑏′
26° +
1°
2
𝑎° + 𝑏′
26° +
60′
2
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜:
= 𝑎° + 𝑏′
26° + 30′
= 𝑎° + 𝑏′
𝑎 = 26 𝑦 𝑏 = 30
∴ 𝑎 + 𝑏 = 56

8. ∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
400
= 1𝑔
✓ 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑:
✓ 𝑆𝑢𝑏 − 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 1𝑚
; 1𝑠
✓ 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠:
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
1𝑔
SISTEMA CENTESIMAL
∴ ∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 400𝑔
1𝑔 = 100𝑚
1𝑚
= 100𝑠
1𝑔 = 10 000𝑠
𝐴𝑔
𝐵𝑚
𝐶𝑠
= 𝐴𝑔 +
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝐵𝑚 + 𝐶𝑠
𝐵 < 100 𝑦 𝐶 < 100
5𝑔
= 5. 1𝑔
= 5(100𝑚
) = 500𝑚
𝐼.
𝐼𝐼. 120𝑔
80𝑚
55𝑠
= 120𝑔
+ 80𝑚
+ 55𝑠
𝐼𝐼𝐼. 3𝑥 𝑚 + 5𝑥 𝑚 = 8𝑥 𝑚
𝐼𝑉. 𝑦𝑔
+ 4𝑦𝑔
+ 5𝑦𝑔
= 10𝑦𝑔
Ejemplos:
𝑉.
20𝑔
55𝑔 75𝑔
Aplicación:
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛:
12𝑚 + 1 300𝑠
1𝑚
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
12𝑚 + 1 300𝑠
1𝑚
12𝑚 + 13𝑚
1𝑚
1300𝑠
= 13.100𝑠
= 13. 1𝑚
= 13𝑚
25𝑚
1𝑚
= 25 = 5

9. =
1° + 1′
1′
=
+ 1′
1′
60′
=
61′
1′
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏;
1°1′
1′
=
1′
1° + 1′
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒:
1°1′
1′
SISTEMA RADIAL
∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
2𝜋
= 1𝑟𝑎𝑑
∴ ∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑛𝑜𝑡𝑎:
𝜋 = 3,14159 …
Aplicaciones:
𝐼.
= 61
𝐼𝐼. 𝑆𝑖: 22°30′
=
𝑎°
𝑏
, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒
𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 + 𝑏.
𝐷𝑒𝑙 𝑑𝑎𝑡𝑜: 22°30′ =
𝑎
𝑏
22°30′
=
30′
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏;
. 1
22° + 30′
= 22° + ∴ 𝑎 + 𝑏 =
𝑏 = 2
= 22° + 30′
.
1°
60′
47
1° = 60′
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛: 𝑎 + 𝑏
.
1°
60′
(𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛)
= 22° + 30′
1°
60′
= 1
1
2
= 22° +
1°
2 =
44° + 1°
2
=
45°
2
∴ 22°30′ =
𝑎°
𝑏
=
𝑎°
𝑏
45°
2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑎 = 45 𝑦

10. CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
RELACIÓN ANGULAR ENTRE SISTEMAS
360°
∢ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = = 400𝑔
∴ 180° = 200𝑔
= 𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 2𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
9° = 10𝑔
✓ 180° = 𝜋𝑟𝑎𝑑
✓ 180° = 200𝑔 →
✓ 9° = 10𝑔 9 . 1° = 10. 1𝑔
9 .
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
→
(60′
)
∴ 27′ = 50𝑚
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 50𝑔 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛
=
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑜
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑜
→ 50𝑔
=
𝜋 𝑟𝑎𝑑
4
= 10 . (100𝑚)
3
5
Aplicaciones:
𝐼.
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 36° 𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
𝜋 𝑟𝑎𝑑
50𝑔
.
∴ 50𝑔
=
200𝑔
→
𝐼𝐼.
36° .
1
∴ 36° = 40𝑔
36° =
10𝑔
9°
4
1
4
𝐼𝐼𝐼.
𝑥°
10𝑥𝑔
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑒 𝑥.
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:

11. RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE SISTEMAS
𝜃
𝐸𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃 𝑚𝑖𝑑𝑒:
• 𝑆° 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
• 𝐶𝑔
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
• 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙
𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑆
180
=
𝐶
200
=
𝑅
𝜋
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑆: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝐶: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝑅: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠.
Ejemplos:
=
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑
45°= 50𝑔
∴ 𝑆 = 45 , 𝐶 = 50 , 𝑅 =
𝜋
4
𝐼.
𝐼𝐼. 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 45° 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
𝑆
180
=
𝐶
200
=
𝑅
𝜋
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 45° → 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝑆 = 45
∴
𝑆
180
=
𝑅
𝜋
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜:
45
180
=
𝑅
𝜋
1
1
4
=
𝑅
𝜋
𝜋
4
= 𝑅
∴ 45° 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟á
4
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑

12. 𝑛𝑜𝑡𝑎:
𝑆
180
=
𝐶
200
=
𝑅
𝜋
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑆 = 180𝑘
= 𝑘
𝐶 = 200𝑘
𝑅 = 𝜋𝑘
÷ 20
𝑆 = 9𝑘
𝐶 = 10𝑘
𝑅 =
𝜋𝑘
20
Aplicaciónes:
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑆 𝑦 𝐶 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛:
𝐴 =
𝐶 + 𝑆
𝐶 − 𝑆
+
4𝑆
𝐶 − 𝑆
𝐼.
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑆 = 9𝑘
𝐶 = 10𝑘
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝐴 =
10𝑘 + 9𝑘
10𝑘 − 9𝑘
+
4(9𝑘)
10𝑘 − 9𝑘
𝐴 =
19𝑘
𝑘
+
36𝑘
𝑘
𝐴 = 19 + 36
𝐴 = 19 + 6
𝐴 = 25
∴ 𝐴 = 25
⋕ 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
⋕ 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
⋕ 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
⋕ 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
= 60𝑆
= 36000𝑆
= 100𝑆
= 10000𝑆
𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

13. RESUMEN
SISTEMA
SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL
∡1𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 360° ∡1𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 400𝑔 ∡1𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 2π 𝑟𝑎𝑑
𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑: 1𝑔 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑: 1𝑟𝑎𝑑
𝑆𝑢𝑏 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 1′, 1′′ 𝑆𝑢𝑏 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 1𝑚
; 1𝑠
𝜋 = 3.1415 …
1° = 60′ ; 1′ = 60′′ 1𝑔 = 100𝑚
; 1𝑚
= 100𝑠
1°
= 3600′′ 1𝑔
= 10000𝑠
𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑: 1°
𝜋 ≅
22
7
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS
✓ 180° = 200𝑔
= 𝜋 𝑟𝑎𝑑
✓ 9° = 10𝑔
✓ 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∧ 200𝑔
= 𝜋 𝑟𝑎𝑑
RELACIÓN NUMÉRICA
✓ 𝑆 = 9𝑘
✓ 𝐶 = 10𝑘
✓ 𝑅 = 𝜋𝑘/20

14. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e