El Método de Fermat: Pendiente de la tangente Fermat's Method

1. El Método de Fermat
G. Edgar Mata Ortiz

2. Fermat
Pierre Fermat nació el 17 de Agosto
de 1601 en Beaumont-de-Lomagne
(Francia) y murió el 12 de Enero de
1665. Tuvo dos hermanas y un
hermano.
En 1634 fue nombrado Consejero
del Rey en el Parlamento de
Toulouse y Comisario de
demandas de Palacio y en 1638 fue
nombrado miembro del tribunal
Criminal, fue, aunque su verdadera
vocación fueron las matemáticas

3. Su afición por las
matemáticas le
condujo a plantear
y resolver
numerosos
problemas, uno de
ellos, es el que
trataremos en esta
presentación.

4. El problema está expresado en
forma general, es decir, para
cualquier curva y = f(x) y en
cualquier punto x1 = x.
Determinar la pendiente de la recta
tangente a la curva: y = x2, en el
punto cuya abscisa es x1 = 2
Lo resolveremos para un caso particular

5. Determinar la pendiente de la recta
tangente a la curva: y = x2, en el
punto cuya abscisa es x1 = 2
Conocemos
solamente la
abscisa (x) del
punto que
llamaremos A,
vamos a determinar
la ordenada (y).
Para calcular el valor de y1, vamos a
sustituir x1 = 2 en la ecuación y = x2.
𝑥1 = 2
𝑦1 = (2)2→ 𝑦1 = 4

6. Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: y = x2, en el punto cuya abscisa es x1 = 2
Puesto que ya ha sido calculado el
valor de y1, podemos escribir:
𝑥1 = 2
𝑦1 = (2)2
→ 𝑦1 = 4
Determinar la pendiente de la recta
tangente a la curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el
punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)

7. En cualquier problema geométrico es
necesario, antes que nada, trazar la
gráfica, para ello, se va a tabular.
Tomaremos valores de tabulación
entre menos tres y más tres porque el
punto de interés tiene como abscisa el
valor dos.
Pueden tomarse números enteros o, si
se tabula mediante alguna herramienta
informática, con algunos decimales.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
x y
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Tabular
x y
-3 9
-2.5 6.25
-2 4
-1.5 2.25
-1 1
-0.5 0.25
0 0
0.5 0.25
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
Tabular

8. Mediante tabulación se traza la
gráfica de la función en el intervalo
seleccionado; entre -3 y +3.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
x y
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Tabular x y
-3 9
-2.5 6.25
-2 4
-1.5 2.25
-1 1
-0.5 0.25
0 0
0.5 0.25
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
Tabular

9. Cuando trazamos la gráfica, no
tenemos información acerca de
la pendiente, ni mucho menos
de la ecuación de la recta
tangente, de modo que no
podemos trazarla por
tabulación.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recordando el concepto básico de
tangente la trazamos a mano alzada;
sólo debe tocar a la curva en el punto
A(2, 4), sin cortarla.
Recta
Tangente

10. Para calcular la tangente se
necesitan dos puntos, y
solamente disponemos del
punto A, es decir, de los
valores de equis uno, ye
uno.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1

11. La estrategia seguida por
Fermat consiste en tomar un
segundo punto, que
llamaremos B, cercano a x1 = 2.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
El valor de equis de dicho
punto podría ser: x2 = 0.

12. Punto B, cercano a x1 = 2.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente
Se toma: x2 = 0, y para
obtener y2 se utiliza la
única ecuación disponible,
la de la función y = x2.
𝑥2 = 0
𝑦2 = (0)2
→ 𝑦2 = 0

13. Punto B, cercano a x1 = 2.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente
Con esta estrategia contamos con un
segundo punto B, que será utilizado
para calcular la pendiente.
𝑥2 = 0
𝑦2 = (0)2→ 𝑦2 = 0
𝒎 = 𝟐
𝑚 =
0 − 4
0 − 2
𝑚 =
−4
−2

14. Hemos obtenido el valor de la
pendiente: 𝒎 = 𝟐
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente

15. Hemos obtenido el valor de la
pendiente: 𝒎 = 𝟐
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente

16. Hemos obtenido el valor de la
pendiente: 𝒎 = 𝟐
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Recta
Tangente
En la gráfica se observa que hemos
determinado la pendiente de otra
recta, no de la recta tangente
𝑩(𝟎, 𝟎)

17. Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en
el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Hemos calculado la pendiente
de una recta secante.
Vamos a ir tomando valores
de equis, cada vez más
cercanos al 2 (𝑥1 = 2)
Así la secante se acerca a la
tangente
Para determinar la pendiente de la
recta tangente, seguiremos una
estrategia de aproximación numérica

18. Punto B, cercano a x1 = 2.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Se toma: x2 = 1, y para
obtener y2 se utiliza la
única ecuación disponible,
la de la función y = x2.
𝑥2 = 1
𝑦2 = (1)2
→ 𝑦2 = 1

19. Punto B, cercano a x1 = 2.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Se toma: x2 = 1, y para
obtener y2 se utiliza la
única ecuación disponible,
la de la función y = x2.
𝑥2 = 1
𝑦2 = (1)2
→ 𝑦2 = 1

20. Punto B, cercano a x1 = 2.
Determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Con esta estrategia contamos con un
segundo punto B, que será utilizado
para calcular la pendiente.
𝑥2 = 1
𝑦2 = (1)2→ 𝑦2 = 1
𝒎 = 𝟑
𝑚 =
1 − 4
1 − 2
𝑚 =
−3
−1

21. Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en
el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Hemos calculado la pendiente de dos
rectas secantes.
Vamos a seguir tomando
valores de equis, cada vez más
cercanos a 𝑥1 = 2.
Así la pendiente de la secante
se aproxima a la pendiente de
la tangente
Para determinar la pendiente de la recta
tangente, seguiremos aproximando valores

22. Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en
el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Para facilitar los cálculos, vamos a utilizar una tabla, en la que iremos
aproximando el valor de equis dos al de equis uno
x1 y1 x2 y2 m
2 4 0 0 2
2 4 1 1 3
2 4 1.5 2.25 3.5
2 4 1.7 2.89 3.7
2 4 1.9 3.61 3.9
2 4 1.99 3.9601 3.99
2 4 1.999 3.996001 3.999
Aproximando por la izquierda

23. Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en
el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Para facilitar los cálculos, vamos a utilizar una tabla, en la que iremos
aproximando el valor de equis dos al de equis uno
x1 y1 x2 y2 m
2 4 4.0000 16 6
2 4 3.0000 9 5
2 4 2.5000 6.25 4.5
2 4 2.3000 5.29 4.3
2 4 2.1000 4.41 4.1
2 4 2.0100 4.0401 4.01
2 4 2.0010 4.004001 4.001
Aproximando la pendiente por la derecha

24. Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva: 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en
el punto: 𝑨(𝟐, 𝟒)
Podemos concluir que la pendiente de la recta
tangente a la curva 𝒚 = 𝒙 𝟐
, en el punto 𝑨(𝟐, 𝟒) es
igual a cuatro.
x1 y1 x2 y2 m
2 4 4.0000 16 6
2 4 3.0000 9 5
2 4 2.5000 6.25 4.5
2 4 2.3000 5.29 4.3
2 4 2.1000 4.41 4.1
2 4 2.0100 4.0401 4.01
2 4 2.0010 4.004001 4.001
Aproximando la pendiente por la derecha
x1 y1 x2 y2 m
2 4 0 0 2
2 4 1 1 3
2 4 1.5 2.25 3.5
2 4 1.7 2.89 3.7
2 4 1.9 3.61 3.9
2 4 1.99 3.9601 3.99
2 4 1.999 3.996001 3.999
Aproximando por la izquierda
𝒎 = 𝟒

25. GraciasPor su Atención
Fuentes de Información en Línea:
http://licmata-math.blogspot.com/
http://proc-industriales.blogspot.com/
https://www.slideshare.net/licmata
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