Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
Aplicación de powerpoint a problemas resueltos de elipses t1 elipse egv1 nº 1-01
1. 1
Hallar los elementos principales: Coordenadas
de los vértices del lado mayor y menor, las
coordenadas de los focos, los lados rectos, las
coordenadas de los extremos de los lados
rectos, las directrices, las asíntotas y las
gráficas de las siguientes ecuaciones:
𝟒𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟏𝟎
2
3
4
SALIR
𝟏𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟐𝟓𝒚 𝟐
− 𝟒𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝒚 − 𝟐𝟔𝟒 = 𝟎
𝟗𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 = 0
𝟐𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚 𝟐
= 𝟒𝟎𝟎
2. SOLUCIÓN 1
Datos del problema: 𝟗𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 =0
Dividimos ambos miembros entre el término
independiente, desarrollamos y operamos :
9𝑥2 + 16𝑦2 − 144 = 0 →
9𝑥2
144
+
16𝑦2
144
−
144
144
=
0
144
𝑥2
144
9
+
16𝑦2
144
16
− 1 = 0 →
𝑥2
16
+
𝑦2
9
= 1 (𝑎)
La ecuación (a) es de la forma:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ; que
representa la ecuación de una elipse horizontal
con centro C(0,0). Donde se tiene:
Semieje Mayor: 𝑎2 = 16 → 𝑎 = ±4
Semieje Menor: 𝑏2
= 9 → 𝑏 = ±3
A «c» que es la semidistancia focal lo obtenemos
con la aplicación del Teorema de Pitágoras para
elipses, es decir: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏2 →
𝑐 = ± 7
Luego las coordenadas de los vértices son:
El mayor es:
𝑉2 −𝑎, 0 𝑦 𝑉1 𝑎, 0 → 𝑉2 −4,0 𝑦 𝑉1 4,0
El menor es:
𝐵2 0, −𝑏 𝑦 𝐵1 0, 𝑏 → 𝐵2 0, −3 𝑦 𝐵1 0,3
IR AL MENÚ SIGUIENTE
3. Las coordenadas de los focos son:
𝐹2 −𝑐, 0 𝑦 𝐹1 𝑐, 0 → 𝐹2 − 7, 0 𝑦 𝐹1 7, 0
La excentricidad es: 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
7
4
→ 𝑒 = 0,7 < 1
El lado recto es: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅 =
2(3)2
4
→ 𝐿𝑅 =
9
2
Longitud del Lado mayor: 𝑉2 𝑉1 = 2𝑎 → 𝑉2 𝑉1 = 2 4 → 𝑉2 𝑉1 = 8
Longitud del Lado mayor: 𝐵2 𝐵1 = 2𝑏 → 𝐵2 𝐵1 = 2 3 → 𝐵2 𝐵1 = 6
Longitud de la distancia Focal: 𝐹2 𝐹1 = 2𝑐 → 𝐹2 𝐹1 = 2 7 → 𝐹2 𝐹1 = 2 7
Las ecuaciones de las directrices son:
𝐷1: 𝑥1 = ℎ +
𝑎2
𝑐
→ 𝐷1: 𝑥1 = 0 +
16
7
→ 𝐷1: 𝑥1 =
16
7
𝐷2: 𝑥2 = ℎ −
𝑎2
𝑐
→ 𝐷2: 𝑥2 = 0 −
16
7
→ 𝐷2: 𝑥2 = −
16
7
Los extremos de los lados rectos son:
𝐿𝑅1: 𝐿𝑅1 𝐴 7,
9
4
𝐿𝑅1 𝐵 7, −
9
4
𝐿𝑅2: 𝐿𝑅2 𝐷 − 7,
9
4
𝐿𝑅2 𝐸 − 7, −
9
4
La gráfica es la siguiente:
IR AL MENUANTERIOR
4. SOLUCIÓN 2
Datos del
problema:
𝟐𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚 𝟐
= 𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚 𝟐
= 𝟒𝟎𝟎 →
𝟐𝟓𝒙 𝟐
𝟒𝟎𝟎
+
𝟏𝟔𝒚 𝟐
𝟒𝟎𝟎
=
𝟒𝟎𝟎
𝟒𝟎𝟎
𝒙 𝟐
𝟏𝟔
+
𝒚 𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏, tiene la forma
𝒙 𝟐
𝒃 𝟐 +
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐 = 𝟏, que
representa la ecuación de una elipse vertical con
centro en C(0,0).
Donde:
𝑏2 = 16 → 𝑏 = ±4; 𝑎2 = 25 → 𝑎 = ±5
El término «c» se halla mediante la relación
pitagórica, es decir: 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
→ 𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
=
25 − 16
𝑐2
= 9 → 𝑐 = ±3
Las coordenadas de los vértices mayor y menor
son:
𝑉2 0, −𝑎 𝑦 𝑉1 0, 𝑎 → 𝑉2 0, −5 𝑦 𝑉1 0,5
𝐵2 −𝑏, 0 𝑦 𝐵1 𝑏, 0 → 𝐵2 0, −4 𝑦 𝐵1 0,4
Las coordenadas de los focos son:
𝐹2 0, −𝑐 𝑦 𝐹1 0, 𝑐 → 𝐹2 0, −3 𝑦 𝐹1 0,3
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
3
5
< 1
Las Directrices es:
𝐷: 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
→
𝐷1: 𝑦1 = 𝑘 +
𝑎2
𝑐
→ 𝐷1: 𝑦1 = 0 +
25
3
𝐷2: 𝑦2 = 𝑘 −
𝑎2
𝑐
→ 𝐷2: 𝑦2 = 0 −
25
3
25 25
SIGUIENTEIR AL MENU
5. La distancia del eje Mayor es:𝑉2 𝑉1 = 2𝑎; 𝑉2 𝑉1=10
La distancia del Eje Menor es: 𝐵2 𝐵1 = 2𝑏; 𝐵2 𝐵1 =8
La distancia Focal es: 𝐹2 𝐹1 = 2c; 𝐹2 𝐹1 =6
Los lados rectos son:
Las coordenadas de los extremos del lado recto de arrib
𝐿𝑅1𝐼𝑍𝑄(ℎ −
𝑏2
𝑎
, 𝑘 + 𝑐) y 𝐿𝑅1 𝐷𝐸𝑅(ℎ +
𝑏2
𝑎
, 𝑘 + 𝑐)
𝐿𝑅1𝐼𝑍𝑄 ℎ −
𝑏2
𝑎
, 𝑘 + 𝑐 → 𝐿𝑅1𝐼𝑍𝑄(0 −
4 2
5
, 0 + 3)
𝑳𝑹𝟏 𝑰𝒁𝑸(−
𝟏𝟔
𝟓
, 𝟑)
𝐿𝑅1 𝐷𝐸𝑅 ℎ +
𝑏2
𝑎
, 𝑘 + 𝑐 → 𝐿𝑅1 𝐷𝐸𝑅(0 +
4 2
5
, 0 + 3)
𝑳𝑹𝟏 𝑫𝑬𝑹
𝟏𝟔
𝟓
, 𝟑
Las coordenadas de los extremos del lado recto de abaj
𝐿𝑅2𝐼𝑍𝑄(ℎ −
𝑏2
𝑎
, 𝑘 − 𝑐) y 𝐿𝑅2 𝐷𝐸𝑅(ℎ +
𝑏2
𝑎
, 𝑘 − 𝑐)
𝐿𝑅2𝐼𝑍𝑄 ℎ −
𝑏2
𝑎
, 𝑘 − 𝑐 → 𝐿𝑅2𝐼𝑍𝑄(0 −
16
5
, 0 − 3)
𝑳𝑹𝟐 𝑰𝒁𝑸(−
𝟏𝟔
𝟓
, −
𝟏𝟔
𝟓
)
𝐿𝑅2 𝐷𝐸𝑅 ℎ +
𝑏2
𝑎
, 𝑘 − 𝑐 → 𝐿𝑅2 𝐷𝐸𝑅(0 +
(4)2
5
, 0 − 3)
𝐿𝑅2 𝐷𝐸𝑅
16
5
, −
16
5
SIGUIENTEANTERIOR