El documento describe el método algebraico para determinar la pendiente de la tangente a una curva en cualquier punto. Explica que este método involucra cuatro pasos: 1) calcular el incremento en x, 2) calcular el incremento en y, 3) dividir los incrementos, y 4) tomar el límite para obtener la derivada. Además, provee un ejemplo para ilustrar cómo aplicar este método algebraico para encontrar la pendiente de la tangente en puntos específicos de la curva y = x2.

1. Actividad 2.2
Aplicando el Álgebra a la Interpretación
Geométrica de la Derivada
G. Edgar Mata Ortiz

2. El cálculo aritmético de la pendiente de la recta tangente a la curva, aunque
es intuitivamente muy sencillo, resulta demasiado laborioso, especialmente
cuando la función es un polinomio con muchos términos.
En el presente material se determina la pendiente de la tangente a la curva,
pero no en un punto específico, sino en el punto (x, y); por lo que el
procedimiento que se sigue será algebraico.
Al resolver algebraicamente estos problemas, se puede determinar la
pendiente de la tangente a la curva en cualesquiera puntos.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto................................................................2
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:...............................................................2
Método de los 4 pasos para obtener la derivada de una función, también conocida como derivación por
incrementos..................................................................................................................................................2
Paso 1: ......................................................................................................................................................2
Paso 2: ......................................................................................................................................................3
Paso 3: ......................................................................................................................................................3
Paso 4: ......................................................................................................................................................3
Tabulación. ...................................................................................................................................................4
Gráfica. .........................................................................................................................................................4
Ejercicio 1..........................................................................................................................................................5
Método de los 4 pasos para obtener la derivada de una función, también conocida como derivación por
incrementos..................................................................................................................................................5
Paso 1: ......................................................................................................................................................5
Paso 2: ......................................................................................................................................................5
Paso 3: ......................................................................................................................................................5
Paso 4: ......................................................................................................................................................5
Obtener las ecuaciones de las tangentes indicadas en el ejercicio..............................................................5
Tabulación. ...................................................................................................................................................6
Gráfica. .........................................................................................................................................................6
Ejercicios...............................................................................................................................................................7
Bibliografía................................................................................................................................................................8

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Introducción.
Los procesos que se realizaron en la actividad 2.1 tienen por objetivo
comprender el significado de la derivada como un límite, sin embargo, el
trabajo aritmético es insuficiente cuando se trata de problemas con
mayor complejidad.
En esta sección vamos a determinar la derivada aplicando el concepto del
límite de un cociente de incrementos, este método recibe el nombre de
regla de los 4 pasos.
Es muy parecido a los ejercicios resueltos en la actividad 2.1, pero en esta
ocasión, en lugar de aritmética, recurriremos al álgebra.
Explica en las siguientes líneas el procedimiento que empleaste para
determinar la pendiente de la tangente a la curva y = x2
en el punto x = 1.
Organiza la información de forma tal que se pueda describir en cuatro
pasos.
Paso 1: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Paso 2: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Paso 3: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Paso 4: ______________________________________________________
____________________________________________________________
En las siguientes páginas vamos a relacionar este procedimiento
aritmético con el método de los 4 pasos, independientemente del
método que se use para obtener la derivada, es muy importante trazar la
gráfica de la función para visualizar, con mayor claridad, el
comportamiento de la derivada.
The method of
Mathematics.
“In a widely republished 1945
essay, Hempel stated that the
method of mathematics is
Deductive”
En este ensayo, se afirma que el
método empleado en
matemáticas es el método
deductivo, es decir, a partir de
algunos axiomas y postulados, se
obtienen todos los teoremas
aplicando los principios de la
lógica aristotélica.
Esta es una idea errónea, aunque
se busca, efectivamente, aplicar
el método axiomático deductivo,
esto ocurre solamente cuando ya
se han generado las nuevas ideas
matemáticas y deben ser
formalizadas.
En realidad, la matemática
emplea tanto el método
inductivo como el deductivo. En
el desarrollo de nuevas ideas, se
aplica la inducción, la heurística,
y otras estrategias destinadas a
descubrir inventar y crear nuevo
conocimiento; posteriormente,
se aplican los modelos
deductivos para formalizar el
conocimiento recién producido.
Así sucedió con el cálculo
infinitesimal; en sus orígenes, se
aplicaron conceptos y estrategias
que no resistían el juicio de la
formalidad matemática, y
después de un tiempo, se
fundamentaron mediante la
teoría de límites y el análisis
matemático.
Una vez formalizado, el cálculo se
emplea en la resolución de
problemas.

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto.
El concepto de derivada que hemos estado comentando es:
La pendiente de la recta tangente (mTan) es igual al límite cuando x2 tiende a x1, de la pendiente de la recta
secante (mSec), simbólicamente podemos expresarlo como:
𝑚𝑇𝑎𝑛 = lim
𝑥2→𝑥1
𝑚𝑆𝑒𝑐
Otra forma de decirlo es:
La pendiente de la recta tangente (mTan) es igual al:
Límite (cuando 𝑥2 − 𝑥1 tiende a cero) de
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Simbólicamente:
𝑚𝑇𝑎𝑛 = lim
𝑥2−𝑥1→0
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Ésta pendiente de la recta tangente de la que hemos estado hablando recibe el nombre de derivada. Solamente
se escribe de otra forma, pero finalmente el concepto es el mismo.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆ 𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
¿Por qué es importante la derivada? Porque nos proporciona un método rápido y sencillo para encontrar
máximos y mínimos de una función con base en su rapidez de cambio. En esta expresión de la derivada se
encuentra un método para calcularla (la pendiente de la recta tangente a la curva) en cualquier punto,
simplemente se sigue un procedimiento de cuatro pasos. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:
𝑦 = 𝑥2
en 𝑥1 = −2, −1, 0, +1, +2, …
De acuerdo con la definición de derivada:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆ 𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
Método de los 4 pasos para obtener la derivada de una función, también conocida como derivación por
incrementos.
Paso 1: Tomar el valor de 𝑥1 igual a equis, incrementar dicho valor para obtener 𝑥2 y calcular el valor del
incremento de equis: ∆𝑥
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥 + ℎ
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 = 𝑥 + ℎ − 𝑥
∆𝑥 = ℎ
El incremento en equis es h:
∆𝑥 = ℎ

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Paso 2: Sustituir los valores de 𝑥1 y 𝑥2 en la función (𝑦 = 𝑥2
) para calcular el incremento de ye: ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑦 = 𝑥2
𝑦1 = 𝑥2
𝑦2 = (𝑥 + ℎ)2
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑦 = (𝑥 + ℎ)2
− 𝑥2
∆𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 𝑥2
∆𝑦 = +2𝑥ℎ + ℎ2
Paso 3: Dividir los incrementos: ∆𝑦 entre ∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
=
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= 2𝑥 + ℎ
Paso 4: Obtener la derivada tomando el límite del cociente calculado, cuando el incremento en equis tiende a
cero.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
Ya se ha obtenido la derivada en cualquier punto, ahora solamente falta trazar la gráfica de la función y de dos
o tres de las rectas tangentes señaladas en la redacción del problema, en este caso en:
𝑥1 = −2, −1, 0, +1, +2, …
En el punto 𝑥1 = −2 debemos obtener el valor de 𝑦1 = ? y la pendiente, sencillamente sustituyendo el valor de
equis uno en la función original y en la derivada.
𝑦1 = 𝑥2
= (−2)2
= 4
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 = 2(−2) = −4
La ecuación de la recta se obtiene sustituyendo en la fórmula: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 4 = −4(𝑥 − (−2)) ∴ 𝑦 − 4 = −4(𝑥 + 2) ∴ 𝑦 − 4 = −4𝑥 − 8
𝑦 = −4𝑥 − 8 + 4 ∴ 𝑦 = −4𝑥 − 4
La ecuación de la recta tangente, en la forma pendiente intersección es: 𝑦 = −4𝑥 − 4
Ahora debemos tabular, tanto la función original como la recta tangente y trazar la gráfica. No olvides
obtener las ecuaciones de las demás rectas tangentes y trazar al menos otras dos en el mismo plano
cartesiano.
El incremento en ye es el resultado de
una simplificación algebraica y queda:
∆𝑦 = 2𝑥ℎ + ℎ2
El resultado de la división de incrementos es:
∆𝑦
∆𝑥
= 2𝑥 + ℎ

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Tabulación.
Tabulación de la función:
𝑦 = 𝑥2
Tabulación de recta tangente:
𝑦 = −4𝑥 − 4
Tabulación de recta tangente:
_______________
-2 -2 -2
-1.5 -1.5 -1.5
-1 -1 -1
-0.5 -0.5 -0.5
0 0 0
0.5 0.5 0.5
1 1 1
1.5 1.5 1.5
2 2 2
Gráfica.

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Ejercicio 1. Obtén la derivada por los cuatro pasos de la función siguiente, determina las pendientes de las
tangentes a la curva en los puntos señalados y traza la gráfica de la función y de, al menos, dos rectas
tangentes.
𝑦 = 0.5𝑥2
− 1 en los puntos cuyas ordenadas son 𝑥1 = −2, −1, 0, +1, +2, …
Método de los 4 pasos para obtener la derivada de una función, también conocida como derivación por
incrementos.
Paso 1: Tomar el valor de 𝑥1 igual a equis, incrementar dicho valor para obtener 𝑥2 y calcular el valor del
incremento de equis: ∆𝑥
Paso 2: Sustituir los valores de 𝑥1 y 𝑥2 en la función, para calcular el incremento de ye: ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
Paso 3: Dividir los incrementos: ∆𝑦 entre ∆𝑥
Paso 4: Obtener la derivada tomando el límite del cociente calculado, cuando el incremento en equis tiende a
cero.
Obtener las ecuaciones de las tangentes indicadas en el ejercicio.

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Tabulación.
Tabulación de la función:
𝑦 =_________________
Tabulación de recta tangente 1:
𝑦 =____________________
Tabulación de recta tangente 2:
𝑦 =____________________
-2 -2 -2
-1.5 -1.5 -1.5
-1 -1 -1
-0.5 -0.5 -0.5
0 0 0
0.5 0.5 0.5
1 1 1
1.5 1.5 1.5
2 2 2
Gráfica.

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Ejercicios.
Utiliza el formato 2.2. Derivación por los cuatro pasos, para obtener la derivada a partir de su definición y
encontrar las ecuaciones de tres rectas tangentes en diferentes puntos elegidos por ti.
1. 𝑓(𝑥) = 0.25𝑥2
− 2𝑥
2. 𝑓(𝑥) = −0.15𝑥2
− 2𝑥 + 1
3. 𝑓(𝑥) = 0.125𝑥3
− 𝑥
4. 𝑓(𝑥) = −0.115𝑥3
+ 0.5𝑥 − 2.5
5. 𝑓(𝑥) = 0.11𝑥4
− 0.1𝑥2
− 1.5
6. 𝑓(𝑥) = −0.05𝑥4
+ 0.15𝑥2
+ 2.5
7. 𝑓(𝑥) = 0.03𝑥5
− 0.01𝑥3
− 0.25
8. 𝑓(𝑥) = −0.02𝑥5
+ 0.015𝑥3
+ 0.75
9. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
− 1
10. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥−1
+ 1
11. 𝑓( 𝑥) =
−1
𝑥−2
+ 1
12. 𝑓( 𝑥) =
−1
1−𝑥
− 2
13. 𝑓( 𝑥) =
1
1−2𝑥
+ 2
14. 𝑓( 𝑥) =
−3
1−3𝑥
− 3
15. 𝑓( 𝑥) =
−2
−2+𝑥
+ 4

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Bibliografía.