Ejercicios sobre Relaciones, Cónicas, Relaciones de equivalencia

1. UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN – FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PRÁCTICA DIRIGIDA 1 – CÁLCULO I – INGENIERÍA CIVIL – IIC
1. Grafique las siguientes relaciones:
a) 𝑆1 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0} (recta)
b) 𝑆2 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0} (recta)
c) 𝑆3 = {( 𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3
, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 6 = 0} (plano)
d) 𝑆4 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 4𝑥2
+ 4𝑦2
− 12𝑥 + 24𝑦 + 9 = 0}
(circunferencia)
e) 𝑆5 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 4𝑦 + 𝑥2
− 4𝑥 = 0} (parábola)
f) 𝑆6 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦2
− 6𝑦 − 4𝑥 + 5 = 0} (parábola)
g) 𝑆7 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 4𝑥2
+ 9𝑦2
= 36} (elipse)
h) 𝑆8 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 16𝑥2
+ 9𝑦2
− 64𝑥 + 18𝑦 + 71 = 0}
(elipse)
i) 𝑆9 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 9𝑦2
− 4𝑥2
= 36} (hipérbola)
j) 𝑆10 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥2
− 4𝑦2
+ 2𝑥 + 24𝑦 − 51 = 0}
(hipérbola)
k) 𝑆11 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥𝑦 = −2} (hipérbola)
l) 𝑆12 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
: 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦 = 2} (hipérbola)
2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de las siguientes relaciones:
a) 𝑇1 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑥| + | 𝑦| = 𝑎, 𝑎 > 0}
b) 𝑇2 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑦| − | 𝑥| = 𝑎, 𝑎 > 0}
c) 𝑇3 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑥| − | 𝑦| = 𝑎, 𝑎 > 0}
d) 𝑇4 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑥| + | 𝑦| ≥ 2, 𝑠𝑖 𝑥𝑦 ≥ 0 ∨ | 𝑥| + | 𝑦| ≤
2, 𝑠𝑖 𝑥𝑦 < 0}
e) 𝑇5 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑥 + 1| ≤ 3 ∧ | 𝑦 − 2| > 1}
f) 𝑇6 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 2𝑥 + 3𝑦 − 12 ≤ 0 ∧ 2𝑥 − 5𝑦 + 5 < 0 }
g) 𝑇7 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + 2𝑦2
+ 4𝑦 − 3 ≥ 0}
h) 𝑇8 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 − 𝑥2
+ 10𝑥 ≥ 24 ∧ 𝑥 + 𝑦 − 6 < 0}
i) 𝑇9 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 4 ≥ 0}
3. Dada 𝑅 ⊆ 𝐴x𝐵, 𝑆 ⊆ 𝐵x𝐶. Demuestre las siguientes proposiciones
detalladamente
a) (𝑅 ∩ 𝑆)−1
= 𝑅−1
∩ 𝑆−1
b) (𝑅 ∪ 𝑆)−1
= 𝑅−1
∪ 𝑆−1
c) 𝑅 ∘ ( 𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇
4. Dadas las relaciones: 𝑆 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥2
+ 𝑦2
≥ 8}
𝑇 = {( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑥| + | 𝑦| ≤ 4}. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑆 ∩ 𝑇

2. UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN – FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PRÁCTICA DIRIGIDA 1 – CÁLCULO I – INGENIERÍA CIVIL – IIC
5. Sea 𝑯 = { 𝒗 ∈ 𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒗 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟},
𝒗 ∥ 𝒘 ⇔ 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝑘 ∈ 𝑹 ∶ 𝒗 = 𝑘𝒘
Definamos 𝑷 = {( 𝒗, 𝒘) ∈ 𝑅2
x𝑅2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒗 ∥ 𝒘 } ⊆ 𝑯𝐱𝑯 ⊆ 𝑅4
a) ¿ 𝑷 𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒗𝒂?
b) ¿ 𝑷 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂?
c) ¿ 𝑷 𝒆𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂?
d) Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se llama
relación de equivalencia. Hallar el conjunto cociente (investigue)
6. Sea 𝑴 = { 𝒗 ∈ 𝑹 𝟐
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒗 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟}
𝒗 ⊥ 𝒘 ⇔ 𝒗 = ( 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐), 𝒘 = ( 𝒘 𝟏, 𝒘 𝟐) 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝒗 𝟏 𝒘 𝟏 + 𝒗 𝟐 𝒘 𝟐 = 𝟎
Definamos 𝑶 = {( 𝒗, 𝒘) ∈ 𝑹 𝟐
𝐱𝑹 𝟐
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒗 ⊥ 𝒘 } ⊆ 𝑴𝐱𝑴 ⊆ 𝑹 𝟒
a) ¿ 𝑶 𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒗𝒂?
b) ¿ 𝑶 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂?
c) ¿ 𝑶 𝒆𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂?
7. Justifique las siguientes proposiciones:
a) Defina una función
b) Defina una relación
c) ¿Es una función, una relación?
d) ¿Es una relación, una función? ¿Por qué?
8. Sea 𝒁 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
Sea ∼ 𝟕= {( 𝒎, 𝒏) ∈ 𝒁𝐱𝒁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒎 − 𝒏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝟕 } ⊆ 𝒁 𝟐
a) ¿ ∼7 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎, 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎?
b) ¿Podría clasificar u ordenar a los elementos del conjunto 𝒁 bajo la
relación ∼7 ?
Observación: La mayoría de ejercicios fueron tomados del libro de
Matemática Básica de Ricardo Figueroa.
Con aprecio, Devis.
Chullunquiani, agosto de 2017