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1. 1Polinomios

2. 2Polinomios
Polinomios
1. Para cuántos valores de “n” la expresión:
𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑥 𝑛−1
+ 4𝑥 𝑛
𝑦 − 𝑦3−𝑛
es racional entera.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 7
E) 9
2. Si se cumple: 𝑃(𝑥 − 2) ≡ 3𝑥 − 5
Calcular “a + b” de modo que:
𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏
A) 26 B) 28 C) 25 D) 15
E) 20
3. Para que valores de “m” y “n” el
polinomio:
𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑥 𝑚−1
+ 𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦 𝑛+1
es homogéneo
A) 2 y 3 B) 4 y 6 C) 1 y 4 D) 4 y 1
E) 5 y 1
4. Calcular “m + n” si el polinomio
𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 3𝑥2𝑚+𝑛−4
𝑦 𝑚+𝑛+2
+ 𝑥2𝑚+𝑛−3
𝑦 𝑚+𝑛+1
− 𝑥2𝑚+𝑛−2
𝑦 𝑚+𝑛
es de grado 10 y la diferencia entre los
grados relativos a x e y es 4.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2
E) 1
5. Determine el número de términos del
siguiente polinomio completo y ordenado
𝑃(𝑥) ≡ 𝑥2𝑎+𝑏+𝑐
+ 𝑥 𝑎+3𝑏+2𝑐
+ 𝑥 𝑎+4𝑏+8𝑐
+ 𝑥2𝑎+𝑏+4𝑐
+ ⋯ + 𝑥2
+ 𝑥
+ 1
A) 26 B) 16 C) 22 D) 24
E) 25
6. Calcular “n” a partir del polinomio:
𝑃(3 − √ 𝑥) ≡ (2𝑥 − 9) 𝑛−4 (
𝑛𝑥
9
− 4)
+
𝑛
9
(𝑥 − 9)
Si en P(x) su término independiente más
nueve veces su suma de coeficientes es
igual a cero.
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7
E) 9
7. Determinar el coeficiente de la expresión:
𝑀(𝑥, 𝑦) ≡ (
1
3
)
𝑛
9 𝑚
𝑥3𝑚+2𝑛
𝑦5𝑚−𝑛
cuyo grado absoluto es 10 y el grado
relativo a x es 7.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
NIVEL I

3. 3Polinomios
8. Si:
𝑃(4𝑥 + 1) + 3𝑥 ≡ 7 + 𝐹(𝑥 + 3)
𝐹(5𝑥 + 1) − 13 ≡ 𝑥2
− 𝑃(2𝑥 + 11)
Calcular: √𝐹(𝑃(13))3
A) 4 B) 2 C) 6 D) 7
E) 9
9. Calcular:
[𝑅[ 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎)]]
0,5
Si:
𝑅(𝑥) ≡
𝑥2
𝑥2 + 9𝑎2
𝑃(𝑥 − 𝑎) ≡
1 − 𝑥3
1 − 2𝑎
𝑄(𝑥 − 𝑎) ≡
1 + 𝑥3
1 + 2𝑎
; 𝑎 ≠ 0
A) 2 B) 0,2 C) 3 D) 0,8
E) 0,6
10. Calcular “ab” si:
𝐹(𝑥2
+ 𝑥) ≡ 𝑥
𝐹(𝑥) ≡ 𝑎√1 + 𝑏𝑥 −
1
2
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5
E) 6
11. Si:
𝑃(
√3𝑥 + 1
√3𝑥 − 1
) ≡ √3𝑥
Calcular:
𝑃(2)𝑃(4)𝑃(6) … 𝑃(98)𝑃(100)
𝑃(3)𝑃(5)𝑃(7) … 𝑃(97)𝑃(99)
A) 2,01 B) 2,02 C) 2,03 D)
√3 E) 2
12. Si:
𝐹 (
2
𝑥
+ 3) ≡ 𝑥; 𝑥 ≠ 0
Determinar:
𝐹(4) + 𝐹(5) + 𝐹(7) + 𝐹(11) + ⋯
A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 4
E) ∞
13. Sabiendo que:
𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ (𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑎𝑏)𝑥5
+ (𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑏𝑐)𝑥3
+ 𝑐2
+ 𝑎2
− 𝑎𝑐
es idénticamente nulo, calcular:
(𝑎 + 𝑏)2
𝑎𝑏
+
(𝑏 + 𝑐)2
𝑏𝑐
+
(𝑎 + 𝑐)2
𝑎𝑐
A) 16 B) 12 C) 9 D) 3
E) 1
14. ∀𝑥 ∈ ℝ − {0, −1, 1, 2} 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝐹 𝑎𝑠𝑖:
𝐹2(𝑥). 𝐹(1 − 𝑥) ≡ 𝑥(𝑥 − 2)
encuentre 𝑥0 tal que:
𝐹(𝑥0) ≡ √𝑥0
23
A) 4/5 B) 1/5 C) 2/5 D) 4/51
E) 5/4
15. A partir de:
[{( 𝑥 − 3)2
− 6}2
− 6]2
≡ 𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥2
+ ⋯
+ 𝐴7 𝑥7
+ 𝐴8 𝑥8
Calcular:
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + ⋯ + 𝐴8

4. 4Polinomios
A) -5 B) -4 C) -13 D) 9
E) -9
16. Calcular:
1
101
[𝑃(√2) + 𝑃(√3) + 𝑃(√4) + ⋯
+ 𝑃(√102)]
Sabiendo que:
𝑃 (𝑥 +
1
𝑥
) ≡ 𝑥2
+
1
𝑥2
A) 40 B) 45 C) 50 D) 55
E) 100
17. Si el monomio:
𝑀(𝑥, 𝑦) ≡ [ √ 𝑥 𝑛 𝑛
√ 𝑥 𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛
]
𝑛
es de sexto grado. ¿Cuál es el grado del
polinomio?
𝑃(𝑥) ≡ (… (((𝑥 + 1)1
+ 1)2
+ 1)3
… +
1) 𝑛
A) 20 B) 30 C) 60 D) 90
E) 120
18. Si F(x) es un polinomio tal que:
𝑃(𝑥) ≡ 𝑥2
𝐹(𝑥) + 𝑥𝐹(𝑥2
)
Calcular “a” de modo que:
𝑃(𝑥) ≡ 8𝑥3
+ (𝑎 − 2)𝑥2
+ 3𝑥
A) 7 B) 5 C) 3 D) 9
E) 1
19. Si:
𝐹(
𝑥
𝑦
) ≡
𝐹(𝑥)
𝐹(𝑦)
Calcular F(2)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
20. Se define 𝑃(𝑥 𝑧 𝑦
) = 𝑥 𝑧 𝑦
− 1
Hallar el equivalente de
𝑃(𝑥2
+ 𝑥 + 1)
𝑃(𝑥2 − 𝑥 + 1)
A)
𝑥+1
𝑥−1
B) x C) 1 D)
1
𝑥
E)
1
𝑥−1
21. Si 𝑃 (𝑃(𝑃(𝑥))) = 8𝑥 + 7, halle P(x)
A) 2x+1 B) x2
C) x3
+1 D) x
E) N.A.
22. Si 𝑃 (
1
𝐹(𝑥)
) = 𝑎2
𝑥 + 3𝑎 + 1 donde
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1 indique el valor de P(-1/2)
A) -2 B) -3 C) 1 D) -1 E) 2
23. Dado que 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 1
además 𝑃 (𝑃 … 𝑃(𝑥)⏟
𝑘 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
) ≡ 𝑛2
𝑥 + 𝑚5
− 1
halle m +n si { 𝑚; 𝑛} ⊂ ℕ, los menores
posibles.
A) 38 B) 36 C) 40 D) 23
E) 43
NIVEL II

5. 5Polinomios
24. Sea 𝑓 (
𝑥2+𝑎
𝑥2−𝑏
) = 𝑥2
− 𝑏, halle 𝑓(
𝑏
𝑎
)
A) 𝑏2
− 𝑎2
B) 𝑏 − 𝑎 C) 𝑎−1
D)
𝑎2+𝑎𝑏
𝑏−𝑎
E) ab
25. Si 𝑃(𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 + 1, ¿Cuál es su valor
numérico cuando x asume el valor de
1−√5
2
?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2
E) 1
26. Halle el mayor valor natural de n, de
modo que la expresión:
𝑃(𝑥) =
√𝑥 𝑛−203
. √ 𝑥
6
√𝑥 𝑛−84
. √𝑥2−𝑛12
Sea equivalente a una expresión racional
fraccionaria
A) 23 B) 16 C) 22 D) 25
E) 27
27. Se define 𝑓(𝑥) como producto de las
cifras de x+8 y 𝑔(𝑥) como la suma de sus
cifras de 𝑥2
. ¿Cuál es el valor de
𝑓(𝑔(4)) − 𝑔(𝑓(5))?
A) -8 B) -6 C) -5 D) -4
E) -2
28. Si se verifica la identidad
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
𝑥 − 1
≡
𝑥2
− 𝑥 + 𝑘
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
hallar el valor de kB+A
A) -8 B) -11 C) -2 D) 8
E) -5
29. Si 𝑓(𝑥2
+ 𝑥) = 𝑥; además
𝑓(𝑥) = 𝑎√1 + 𝑏𝑥 −
1
2
, 𝑎 > 0
calcule ab.
A) 4 B) 2 C) -2 D) 1/2 E)
-1/2
30. Se tiene que 𝑓(𝑥) = (4𝑎) 𝑥−1
; 𝑎 > 0
Además 𝑓(𝑚 − 1) = 64𝑓(𝑚)
¿Cuál es el valor de 128a?
A) 12 B) 4 C) 1/2 D) 1
E) 3
31. Si ∅(2𝑥 + 1) = 6𝑥 − 10, además
∅(𝑓(𝑥) − 3) = 3𝑥 − 4; ¿Cuál es el valor
numérico de f en -1/6?
A) 33/4 B) 33/7 C) 37/5 D)
35/6 E) 1
32. Indique el grado del siguiente polinomio:
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑛−2
+ 3𝑦
8
𝑛−1 + 5𝑥𝑦5−𝑛
A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E)
Faltan datos
33. Halle el valor numérico del polinomio
𝑃(𝑥) ≡ (
100
99
𝑥)
2
− (
100
99
𝑥) + 1
Cuando 𝑥 =
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+ ⋯ +
1
9900
A) -1 B) -
100
99
C) 1 D) 0 E)
100
99

6. 6Polinomios
34. ¿Cuál será el valor de m en el polinomio
𝑃(2𝑥 − 1) = (5𝑥 − 1) 𝑚
+ (2𝑥 + 1) 𝑚
− 2𝑥 + 1
Si la suma de coeficientes y el término
independiente de P(x) suman 24 + (
3
2
)
𝑚
+
2 𝑚
?
A) 3 B) 1 C) 5 D) 4
E) 2
35. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Halle:
(𝑎−1)𝑓(…𝑓(𝑓(𝑓(𝑏)))… )
⏞
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝑏
+ 1
A) 1 B) (𝑎 − 1) 𝑛
C) 𝑎 𝑛
D) 𝑎 𝑛+1
E) (𝑎 − 1)
36. Clasifique la expresión reducida de:
𝐴(𝑥) =
(𝑥 + 1)𝑃(𝑥)
𝑃(𝑥) + 1
𝑆𝑖 𝑃(𝑥) = √ 𝑥
3
√ 𝑥√ 𝑥
3
A) Compleja B) trascendente C)
racional entera
D) irracional E) racional fraccionaria
37. Si 𝐹(𝑥) = 3𝑥 − 2, halle
𝐹(𝐹(𝐹 … (𝐹(𝑥)) … ))⏟
10 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠
A) 310
𝑥 − (310
− 1)
B) 312
𝑥 − (310
+ 1)
C) 310
𝑥 − (312
− 1)
D) 410
𝑥 + (315
− 1)
E) 310
𝑥 − (410
+ 1)
38. Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2
+ 1.
Si el polinomio H(x) se define así
𝐻(𝑥) = {
𝑃(𝑥 − 1) + 𝑃(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑃(𝑥) + 𝑃(−𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 1
Determine H(0)+H(1)
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
E) 10
39. Sean los polinomios idénticos
𝐴(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)𝑥2
+ (𝑏 + 𝑐)𝑥 + 𝑎 + 𝑐
𝐵(𝑥) = 2√𝑎𝑏𝑐 (
𝑥2
√ 𝑐
+
𝑥
√ 𝑎
+
1
√𝑏
)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑆 =
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5
E) 1/6
40. Si 𝑓(𝑡 𝑥+𝑦) = 𝑓(𝑡 𝑥). 𝑓(𝑡 𝑦); y además
𝑓(𝑡 𝑎) = 𝑓(𝑡 𝑏). 𝑒 𝑎−𝑏
;
Donde { 𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏} ⊂ ℤ0
+
⋀ 2 < 𝑒 < 3
Calcule 𝑓(𝑡0) + 𝑓(𝑡1) + ⋯ + 𝑓(𝑡 𝑛)
A)
𝑒 𝑛+1+1
𝑒−1
B)
𝑒 𝑛+2−1
𝑒−1
C)
𝑒 𝑛+1−1
𝑒−1
D)
𝑒 𝑛+1−1
𝑒+1
E) 1
ESCUELA DE TALENTOS CALLAO
Mat. Aldo Huayanay Flores
Publicado en Mayo